Cálculo I Derivadas de Funciones Trascendentes. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción Derivadas de funciones trigonométricas inversas 7

Transcripción

1 3.3. Derivaas e Funciones Trascenentes Julio C. Carrillo E. * Ínice. Introucción 2. Derivaas e funciones trigonométricas 3. Derivaas e funciones trigonométricas inversas 7 4. Derivaas e la función exponencial y logaritmo 5. Derivaas e funciones iperbólicas 6 * Profesor Escuela e Matemáticas, UIS.

2 . Introucción 2. Derivaas e funciones trigonométricas Recoremos que sen x lím x!0 x Sea f(x) =senx. De la efinición e erivaa, cos x =, lím x!0 x =0. f 0 (x) =lím!0 f(x + ) f(x) =lím!0 sen(x + ) sen x sen x cos +cosxsen sen x =lím!0 sen x(cos ) + cos x sen =lím!0 =lím!0 sen x cos ) cos =senxlím!0 =cosx. +cosx sen +cosx lím!0 sen (reglas el límite) c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase /25

3 Por lo tanto, De igual moo se puee emostrar que Para erivar tan x = sen x cos x Entonces, De igual moo, sen x =cosx. x cos x = sen x. x se utiliza la regla el cociente: cos x tan x = x = sen x x cos x x sen x cos 2 x cos x cos x sen x ( sen x) cos 2 x = cos2 x +sen 2 x cos 2 x = cos 2 x =sec 2 x. x tan x =sec2 x. x cot x = csc2 x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 2/25

4 Lo mismo se ace para erivar sec x = cos x : cos x x sec x = () x = sen x cos 2 x = cos 2 x cos x =secxtan x. x cos x sen x cos x = 0 ( sen x) cos 2 x Por lo tanto, sec x =secxtan x. x De igual moo se establece que csc x = csc x cot x. x Teorema (Derivaas e funciones trigonométricas). Las erivaas e las funciones trigonométricas son sen x =cosx, x x tan x =sec2 x, sec x =secxtan x, x cos x = sen x, x x cot x = csc2 x, csc x = csc x cot x. x c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 3/25

5 Ejemplo. Encontrar la erivaa e las siguientes funciones.. y = x 2 sen x. 2. y =sen 2 x. 3. y = cos x 2+secx. 4. y =5senx cos x +4cscx sen t 5. P (t) = 3 2cost. Ejemplo 2. Encontrar las segunas erivaas e las siguientes funciones.. y =secx. 2. y = x 3 cos x. Ejemplo 3. Resuelva los siguientes problemas.. Encuentre la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función f(x) =senx en x = 4 3. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 4/25

6 2. Suponga que la cantia e inero en banco está aa por la función P (t) =500+00cost 50 sen t, one t es ao en años. Determine urante los 0 años que la cuenta estuvo abierta, en que perioos la cantia e inero se estuvo incrementano. La siguiente es la regla e la caena para las funciones trigonométricas. Teorema 2 (Derivaas e funciones trigonométricas). Si u = g(x) es erivable en x, entonces u sen u =cosu x x, u tan u =sec2 x x, u sec u =secutan x x, Ejemplo 4. Derive las siguientes funciones.. y =cos4x y =senx y =tan(6x 2 +). x cos u = x cot u = x csc u = u sen x, u csc2 x, u csc u cot x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 5/25

7 4. y =(9x 3 +) 3 sen 5x. 5. y =cos 4 (7x 3 ). 6. y =tan(senx). 7. y =sen tan p 3x y = cos(tan(x2 +)). csc 2 x 9. g(x) =3secx 2 0 cot(x ). 0. f(t) =3t 4 t 2 tan( p t).. y =5sen(x 2 ) cos(x 2 +)+4cscx 2. Ejemplo 5. Encuentre y/x a partir e las las siguientes ecuaciones.. sen y 2 = y cos 2x. 2. x 2 tan y 4 + y 0 sec x =2x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 6/25

8 3. Derivaas e funciones trigonométricas inversas Definición. Para la función inversa e seno se tiene que si y sólo si y =sen x sen y = x, apple x apple, /2 apple y apple /2. Al erivar ambos miembros e esta ecuación con respecto a x y aplicar la regla e la caena se tiene x sen y = x x =) cos y y0 ==) y 0 = cos y = p sen2 y = p. x 2 Por lo tanto, x sen x = p, x 2 <x<. Definición 2. Para la función coseno inversa se tiene que si y solo si y =cos x cos y = x, apple x apple, 0 apple y apple. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 7/25

9 También se puee establecer que x cos x = Definición 3. Para la función inversa e tangente se tiene que y =tan x si y sólo si tan y = x, <x<, /2 <y< /2. p x 2, <x<. Al erivar ambos miembros e esta ecuación con respecto a x y aplicar la regla e la caena se tiene x tan y = x x =) sec2 y y 0 ==) y 0 = sec 2 y = +tan 2 y = +x 2. Por lo tanto, x tan x = <x<. +x 2 Definición 4. Para la función inversa e cotangente se tiene que y =cot x si y sólo si cot y = x, <x<, 0 <y<. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 8/25

10 De igual moo, x cot x = <x<. +x 2 Definición 5. Para la función inversa e secante se tiene que si y sólo si y =sec x sec y = x, x >, 0 apple y< /2 o /2 <yapple. Al erivar ambos miembros e esta ecuación con respecto a x y aplicar la regla e la caena se tiene Por lo tanto, x sec y = x x=)sec y tan y y0 ==)y 0 = x sec x = x p x 2 = sec y tan y sec y ± p sec 2 y = ± x p, x >, x 2 = x p x 2 x >. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 9/25

11 Definición 6. Para la función inversa e cosecante se tiene que si y sólo si y =csc x csc y = x, x >, /2 apple y<0 o 0 <yapple /2. De igual moo, x csc x = x p x 2 x >. Teorema 3 (Derivaa e funciones trigonométricas inversas). Si u = g(x) es una función iferenciable, entonces x sen u u = p u 2 x, x cos u u = p u 2 x, x tan u = u +u 2 x, x sec u = u p u 2 u x, x cot u = u +u 2 x, x csc u = u p u 2 u x, c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 0/25

12 Ejemplo 6. Calcule las siguientes erivaas. a 4. Derivaas e la función exponencial y logaritmo Sea f(x) =a x one a>0. Aplicano la efinición e erivaa, pues el factor a x no epene e y Por lo tanto, f 0 (x) =lím!0 f(x + ) f(x) =lím!0 a x a a x = a x lím!0 a =lím!0 a x+ a x =lím!0 a x (a ) = a x f 0 (0), f 0 (0) = lím!0 f() f(0) =lím!0 a. () f 0 (x) =f 0 (0)a x. (2) La siguiente tabla a algunos valores aproximaos e f 0 (0) para f(x) =a x con a =2, 3. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase /25

13 0, 0,0 0,00 0, ,77 0,6956 0,6934 0,6932 3,62,047,0992,0987 Así, x 2x 0,6932, x=0 x 3x,0987. x=0 Definición 7 (El número e). El número e (e Euler) es el número real tal que e lím!0 =. (3) De () a (3) se obtiene que la erivaa e la función exponencial natural f(x) =e x es x ex = e x. Para encontrar la erivaa e cualquier función exponencial f(x) =a x, a>0, se aplica las propieaes e la función exponencial, el teorema anterior y la regla e la caena: x ax = x eln ax = x ex ln a = e x ln a x (x ln a) =ax ln a. Teorema 4 (Derivaa e funciones exponenciales). Sea a > 0. Siu = g(x) es una función erivable, entonces x eu = e uu x, c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 2/25

14 y Para encontrar la erivaa e la función logaritmo x ax = a x ln a u x. f(x) =log a x = ln x ln a, a > 0, primero se encuentra la erivaa e la función logaritmo natural, y =lnx. En efecto, Si y =lnxentonces e y = x, y x ey = x =) ey y 0 ==) y 0 = e = y x. Se tiene así el siguiente teorema. Teorema 5 (Derivaa e funciones logaritmo). Sea a>0. Siu = g(x) es una función erivable, entonces y x ln u = u u x, x log a x = u ln a u x. Ejemplo 7. Encuentre las erivaas e caa una e las siguientes funciones.. y = e x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 3/25

15 2. y = e /x. 3. y =8 3x2. 4. f(x) =x 3 ln x. 5. r(u) =4 u 5log 9 u. 6. f(t) =2e t +0t 2 ln t. 7. y = 2ex 3e x f(x) =lnx f(x) =ln(cosx). 0. y =ln(2x /5 3).. y =ln x/2 (2x +7) 4 (3x 2 +) y =ln(lnx). Ejemplo 8. Encuentre las siguientes erivaas aplicano erivación logarítmica.. y = x px, x>0. 2. y = 3p x4 +6x 2 (8x +3) 5 (2x 2 +7) 2/3. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 4/25

16 Ejemplo 9. Encuentre y/x para caa uno e los siguientes casos.. e 2x 3y x 2 =lnxy e 3y2 +8ln(x + y 2 )=. Ejemplo 0. Resuelva los siguientes problemas.. Dao que la posición vertical e un objeto está aa como s(t) =te t, establezca si alguna vez el objeto para e subir. 2. Encuentre los puntos sobre la gráfica e y =3x 2 e x2 one la recta tangente es orizontal. 3. Encuentre el punto sobre la gráfica e f(x) =2e x one la recta tangente es paralela a y = 4x Encuentre la peniente e la tangente a la gráfica e y =log 0 x en x =2. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 5/25

17 Cálculo I 5. Derivaas e funciones iperbólicas Catenaria (catenariam), caena colgante. ecx + e f (x) = k 2 c Julio C. Carrillo E. cx, c, k constantes. Para uso exclusivo en el salón e clase 6/25

18 Funciones iperbólicas sen x = ex e x 2 cos x = ex + e x 2 tan x = sen x cos x = ex e x e x + e x cot x = cos x sen x = ex + e x e x e x, x 6= 0 c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 7/25

19 sec x = cos x = 2 e x + e x csc x = sen x = 2 e x e x, x 6= 0 Ientiaes iperbólicas. Las ientiaes iperbólicas básicas son, sen( x) = sen x, cos( x) =cosx, tan( x) = tan x, cos 2 x sen 2 x =, tan 2 x =sec 2 x, cot 2 x =csc 2 x. 2. Las ientiaes iperbólicas e la suma e ángulos son, sen(x ± y) =senx cos y ± cos x sen y, cos(x ± y) =cosx cos y ± sen x sen y. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 8/25

20 En particular, sen 2x =2senx cos x, Derivaa e funciones iperbólicas cos 2x =cos 2 x +sen 2 x, sen 2 cos 2x x =, 2 cos 2 cos 2x + x =. 2 Se tiene que x sen x = e x e x = ex + e x =cosx. x 2 2 En general, se tienen las siguientes fórmulas para las erivaas e las funciones iperbólicas. Teorema 6 (Derivaas e funciones iperbólicas). Sea u = g(x) una función erivable. Entonces, u sen u =cosu x x, u cos u =senu x x, x tan u =sec2 u u x, x cot u = csc2 u u x, x sec u = u sec u tan u x, x csc u = u csc u cot u x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 9/25

21 Ejemplo. Encuentre y/x para caa caso. a) y =sen p 2x + b) y =cot(x 3 ) c) x 2 sec 2 y xy =0y 3. Solución. a) Por la erivaa e la función seno iperbólico, y x =cosp 2x + p p 2 2x +=cos 2x + x 2 p 2x + = cos p 2x + p 2x +. Para b), y x = csc2 (x 3 ) x (x3 ) = 3x 2 csc 2 (x 3 ). Para evaluar la erivaa y/x en c) se utiliza la regla e la caena: 2x sec 2 y + x 2 2secy ( sec y tan y) y y + x y x x Despejano y/x, 2x sec 2 y 2x sec 2 y 2x 2 sec 2 y tan y y x y =0 x y x =30y2y x y = 30y 2 +2x 2 sec 2 y tan y + x y x y x = 2x sec 2 y y 30y 2 +2x 2 sec 2 y tan y + x 3y 2y. x c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 20/25

22 Funciones iperbólicas inversas y =sen x y =cos x y =tan x y =cot x c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 2/25

23 y =sec x y =csc x Funciones iperbólicas inversas como logaritmos y =sen x =) x =seny = ey =) 2xe y = e 2y e y 2 =) e 2y 2xe y =0 =) e y = 2x ± p 4x =) e y = x ± p x 2 + =) e y = x + p x 2 + = e2y 2e y c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 22/25

24 Por lo tanto, y =sen x =ln x + p x 2 +. De igual moo, y =tan x Por lo tanto, y =tan x =) x =tany = ey e y e y e = e2y y e 2y + =) x(e 2y +)=e 2y =) +x = e 2y ( x) =) e 2y = +x x =) 2y =ln +x x y =tan x = +x ln 2 x. El siguiente teorema reúne toas estas representaciones e las funciones iperbólicas inversas como logaritmos. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 23/25

25 Teorema 7 (Ientiaes logarítmicas e funciones iperbólicas inversas). sen x =ln x + p x 2 +, cos x =ln x + p x 2, x, tan x = +x 2 ln, x <, cot x = x + x 2 ln, x >, x sec + p! p! x x =ln 2, 0 <xapple, csc +x x =ln x x + 2, x 6= 0. x Derivaa e funciones iperbólicas inversas Para encontrar la erivaa e las funciones iperbólicas inversas se puee recurrir a la regla e la caena, en forma similar a como ya se a eco, o erivar la representación logarítmica e esta funciones para obtener sus erivaa. Por ejemplo, x sen x = x ln = x + p x 2 + = x + p x 2 + = p x2 +. x + p x x 2 p x 2 + x + p x 2 + p x2 + c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 24/25

26 De igual moo, y =sen x =) sen y = x =) x sen y = x x =) cos y y x = =) y x = cos y = p sen 2 y + =) y x = p x2 +. Teorema 8 (Derivaas e funciones iperbólicas inversas). Sea u = g(x) una función erivable. Entonces, x sen u u = x, x cos u u = x, u >, p u2 + p u 2 x tan u = u, u <, u 2 x x cot u = u, u >, u 2 x x sec u = u p u 2 u x, 0 <u<, x csc u = u p u, u 6= 0. +u 2 x Ejemplo 2. Calcular y/x en caa caso. a) y =sen (x 2 5) b) y =cot 2x y = e x2 sec x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 25/25