Cada grado se divide en 60 minutos (60 ) y cada minuto en 60 segundos (60 ). Así, por ejemplo, un ángulo puede medir = 38º

Transcripción

1 Sistemas e meición e ángulos Como en toos los elementos susceptibles a meiciones, en los ángulos se han establecio iversos sistemas e meición, entre ellos los más importantes son: El sistema seagesimal En el sistema seagesimal, el ángulo corresponiente a una circunferencia (o a un arco e una vuelta) mie 60 graos (60º). Por tanto, grao (º) es la meia e un ángulo corresponiente a un arco que mie /60 e la circunferencia. Caa grao se ivie en 60 minutos (60 ) caa minuto en 60 segunos (60 ). Así, por ejemplo, un ángulo puee meir = 8º 47. El sistema circular o raial En el sistema circular o raial, la meia e un ángulo cuo arco corresponiente tiene la misma longitu que el raio es raián, o simplemente. Como la longitu e una circunferencia es raio, un arco e una vuelta subtiene un ángulo que mie raianes o simplemente. Por la misma razón, un ángulo llano mie raianes, o simplemente. elación entre graos raianes De las efiniciones e grao raián se euce la siguiente tabla e equivalencias: Vueltas Graos 0º 0º 45º 60º 90º 5º 80º 70º 60º aianes Para transformar la meia e un ángulo e graos a raianes viceversa, suele utilizarse la iguala 80º como factor e conversión. Nota: Aunque se ice que la unia e meia en el sistema circular es el raián, en realia este sistema es aimensional. La meia en raianes puee epresarse meiante un número puro, por ejemplo: ra Ángulo en posición normal En un sistema e coorenaas cartesianas, un ángulo está en posición normal si su vértice coincie con el origen e coorenaas el lao inicial está sobre la parte positiva el eje X.

2 Y Vértice O Lao inicial OX Un ángulo en posición normal puee ser positivo o negativo. Es positivo si la rotación se realiza en sentio antihorario (levógiro) es negativo si la rotación se realiza en sentio horario (etrógiro). X Y Y Ángulo positivo Ángulo negativo X X Depenieno e la ubicación e su lao terminal, un ángulo, a sea positivo o negativo, pertenece a uno e los cuatro cuarantes en que se ivie el plano cartesiano. Ángulos cuarantales o cuarangulares Se llaman ángulos cuarantales o cuarangulares a los ángulos cuo lao terminal coincie con alguno e los ejes e coorenaas. Los ángulos cuarantales positivos menores o iguales a vuelta son: 0º, 90º, 80º, 70º 60º. Ángulos coterminales Los ángulos que tienen el mismo lao terminal se enominan coterminales. En general, ao un ángulo positivo menor a una vuelta, toos los ángulos que son coterminales con tienen la forma: k 60º con k k 0

3 El ángulo, por ser positivo menor a una vuelta, es el representante o ángulo base e toos los ángulos que son coterminales con él. Ejemplo: Halla la meia el ángulo, positivo menor a una vuelta, que es coterminal con un ángulo e 0º. Inica a que cuarante pertenece el ángulo 0º cuál es el ángulo negativo menor a una vuelta que es coterminal con él. a) Encontramos el ángulo restano sucesivamente 60º: 0º - 60º = 750º 750º - 60º = 90º 90º - 60º = 0º b) Encontramos el ángulo iviieno 0º entre 60º: 0º = 60º 0º 0º En ambos casos se ve que 0º equivale a vueltas más 0º. c) Como el ángulo 0º pertenece al primer cuarante (I C), el ángulo e 0º también pertenece al primer cuarante. ) El ángulo, negativo menor a una vuelta, que es coterminal con el ángulo e 0º se obtiene aplicano a 0º la epresión k 60º con k = -: 0º ( ) 60º 0º 60º 0º azones trigonométricas e un ángulo cualquiera Dao un ángulo en posición normal, si tomamos un punto cualquiera, P(,), en el lao terminal, se eterminan tres valores: Los valores e la abscisa,, la orenaa,, el punto P cuos signos epenen el cuarante one se encuentre el punto. El valor (siempre positivo) e la istancia entre el punto P el origen e coorenaas. El valor e se relaciona con los e e meiante el teorema e Pitágoras: Con estos tres valores se efinen las seis razones trigonométricas el ángulo : seno sen cosenocos tangente tan csc secantesec cotangentecotan cosecante Los valores que las funciones trigonométricas toman para un eterminao ángulo no epenen e las coorenaas el punto P que se consiere. Este hecho se eplica por las propieaes e los triángulos semejantes.

4 Signos e las razones trigonométricas La abscisa la orenaa el punto P(, ) tienen siempre un signo, positivo o negativo, epenieno el cuarante en el que se encuentre el ángulo ; por lo tanto, las razones trigonométricas e un ángulo son números positivos o negativos: Cálculo el ángulo I C II C III C IV C sen cos tan csc sec cotan Si conocemos el valor e una función trigonométrica (por ejemplo, sen =m) poemos calcular el valor e un ángulo que es igual a o coterminal con él, meiante la función trigonométrica inversa (que para el ejemplo se enomina arco seno) que se simboliza meiante arc sen o sen m arcsen ( m) o En la calculaora se utilizan las teclas respectivas: sen, cos sen : sen ( m) tan. Nota: e las efiniciones e las funciones trigonométricas se sigue que: csc sen cotan tan sec tan cos sen cos azones trigonométricas e ángulos notables Llamamos ángulos notables a los ángulos e 0º, 45º 60º a los ángulos cuarantales o cuarangulares e 0º, 90º, 80º, 70º 60º. sen 0 cos tan 0 0º 0º 45º 60º 90º 5º 80º 70º 60º No - 0 No 0 4

5 La circunferencia trigonométrica En la circunferencia trigonométrica, a cualquier ángulo le correspone un punto P(, ) situao sobre el lao terminal sobre la circunferencia. El seno el coseno el ángulo son la orenaa la abscisa el punto, respectivamente; es ecir: P(, ) P(cos, sen) La circunferencia trigonométrica permite visualizar las razones trigonométricas seno coseno como segmentos e recta, verticales horizontales, respectivamente. La efinición e las otras razones trigonométricas se reuce a: tan csc sec cotan eucción e ángulos Ángulos negativos Las razones trigonométricas e un ángulo negativo están relacionaos con las razones trigonométricas el ángulo positivo: sen( ) sen cos( ) cos tan( ) tan Ejemplo: Calcula sen (-0º) cos (-5º) sen( 0º ) sen0º cos( 5º ) cos5º eucción e ángulos al primer cuarante Las razones trigonométricas e un ángulo que no pertenece al primer cuarante (I C) pueen calcularse a partir e las razones trigonométricas e un ángulo positivo, llamao ángulo e referencia, perteneciente al primer cuarante. La siguiente tabla muestra las reucciones para ángulos positivos menores a 60º: Ángulos en el II C Ángulos en el III C Ángulos en el IV C II C III C IV C 80º sen sen cos cos tan tan 80º sen sen cos cos tan tan 60º sen sen cos cos tan tan 5

6 Práctica I.- Determina los valores e las restantes razones trigonométricas, si pertenece al cuarante inicao: ) csc 0 ; IV C ) sen ; II C 4 4) cos ; III C ) sec ; IV C II.- Determina el valor el ángulo, positivo menor a una vuelta, para caa inciso e la activia anterior. 5 III.- Calcula utilizano una calculaora: ) sen48º csc80º cotan70º sec0º ) sec5º cos0º csc80º cotan0º IV.- Elabora una tabla con los valores e cosecante, secante cotangente para los ángulos notables los ángulos cuarantales: csc sec cotan 0º 0º 45º 60º 90º 5º 80º 70º 60º V.- Calcula las siguientes epresiones sin usar calculaora: ) ) cos0º sen45º cos 45º tan0º tan45º sec0º cos60º cotan60º csc0º ) sen cos tan sen cos tan cotan 6 VI.- Calcula las siguientes epresiones sin usar calculaora: ) tan80º cos80º csc70º sen90º ) 4cos 5sen sen sen60º ) sen0º cotan90º 5sec80º 4cos70º 4) tan cos0 sen60º sec80º 5) sec90º csc80º sec70º cotan csc tan 6) sen cos80º 5 tan sen0º cos0º tan0º 7) sen60º cos60º tan60º 6

7 VII.- Epresa las razones trigonométricas seno, coseno tangente el ángulo ao como razones el respectivo ángulo e referencia (perteneciente al I C) ) 0º ) 50º ) 0º 4) 875º 5) 854º VIII.-Escribe la razón trigonométrica en función e un ángulo positivo etermina su valor con calculaora: ) sen (-7º)= 4) sen (-05º)= ) cos (-65º)= ) tan (-5º)= 5) cos (-7º)= 6) tan (-65º)= IX.- Escribe las razones seno, coseno tangente el ángulo ao como razones e un ángulo el primer cuarante: ) 0º ) 65º ) -657º 4) 5º 5) 05º 6) -8º 7) 4º 8) 885º 9) -487º 0) 5º Bibliiografía Álgebra Aplicaciones e Matemática 4, E. Santillana. 05 7