Derivación de funciones de una variable real

Transcripción

1 Capítulo 4 Derivación e funciones e una variable real 4.1. Derivaa e una función Introucción Definición Sea f : (a, b) R R y x 0 (a, b). Se ice que la función f es erivable en el punto x 0 si existe y es finito el límite f(x) f(x 0 ) lím. (4.1.1) x x 0 x x 0 Al valor e este límite se le llama erivaa e la función f en el punto x 0 y se enota por f (x 0 ). La expresión f(x) f(x 0) se llama cociente incremental o tasa e variación meia e la x x 0 función f en el intervalo e extremos x y x 0, y mie la variación e la función f(x) con respecto a la variación e la variable x. Si hacemos x x 0 = h en (4.1.1) poemos expresar la erivaa en la forma f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lím. h 0 h 1

2 2 CAPíTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Derivaas laterales Definición Sea f : (a, b) R y supongamos que f está efinia en un intervalo e la forma [x 0, x 0 + δ) con δ > 0. Si existe el límite lím x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0 ) = lím, x x 0 x x x>x 0 0 iremos que la función f es erivable por la erecha en x 0. Al valor e este límite lo llamaremos erivaa por la erecha e la función f en el punto x 0 y lo enotaremos por f (x + 0 ). Análogamente, si f está efinia en un intervalo e la forma (x 0 δ, x 0 ] con δ > 0, poemos consierar el límite lím x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0 ) = lím. x x 0 x x x<x 0 0 Si este límite existe iremos que f es erivable por la izquiera en x 0. Al valor e ese límite lo llamaremos erivaa por la izquiera e la función f en el punto x 0 y lo enotaremos por f (x 0 ). Proposición Sea f : (a, b) R y x 0 (a, b). Entonces, f es erivable en x 0 si y sólo si f es erivable por la izquiera y por la erecha en x 0 y aemás f (x 0 ) = f (x + 0 ) = f (x 0 ) Interpretación geométrica y física e la erivaa Interpretación geométrica Sea f : (a, b) R y supongamos que f es erivable en un punto x 0 (a, b). El cociente incremental f(x 0 + h) f(x 0 ) h es la peniente e la recta que pasa por los puntos P (x 0, f(x 0 )) y Q (x 0 + h, f(x 0 + h)).

3 4.1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 3 f(x 0 + h) Q f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x 0 ) P h x 0 x 0 + h Cuano h 0, la recta que pasa por los puntos P y Q se aproxima a la recta tangente a la gráfica y = f(x) en el punto P (x 0, f(x 0 )). Por tanto, la erivaa f (x 0 ) se correspone geométricamente con la peniente e la recta tangente a la gráfica e y = f(x) en el punto (x 0, f(x 0 )). Interpretación física Supongamos una partícula que se mueve en línea recta y que recorre una istancia s = s(t) al cabo e un cierto tiempo t. La velocia meia e la partícula en el intervalo e tiempo [t 0, t 0 + h] viene aa por el cociente incremental s(t 0 + h) s(t 0 ). h Si en la expresión anterior tomamos el límite cuano h tiene a cero obtenemos la velocia instantánea en t 0 aa por s(t 0 + h) s(t 0 ) v(t 0 ) = lím = s (t 0 ), h 0 h es ecir, la velocia en el instante t = t 0 es la erivaa e la función s(t) en el punto t Ecuaciones e la recta tangente y la recta normal Sea f : (a, b) R una función erivable en x 0 (a, b). La recta tangente a la gráfica y = f(x) en el punto (x 0, f(x 0 )) tiene e peniente f (x 0 ) por lo que su ecuación viene aa por y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ).

4 4 CAPíTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL La recta que pasa por el punto (x 0, f(x 0 )) y es perpenicular a la recta tangente se enomina recta normal a la gráfica y = f(x) en el punto (x 0, f(x 0 )). Pueen presentarse os situaciones: 1) Si f (x 0 ) 0, la peniente e la recta normal es 1/f (x 0 ) y su ecuación viene aa por y = f(x 0 ) 1 f (x 0 ) (x x 0). 2) Si f (x 0 ) = 0, la recta tangente es la recta horizontal e ecuación y = f(x 0 ). En este caso la recta normal será la recta vertical e ecuación x = x Propieaes e las funciones erivables Teorema (Derivable Continua). Sea f : (a, b) R y x 0 (a, b). Si f es erivable en x 0 entonces f es continua en x 0. Ejercicio Poner un ejemplo e una función continua en un punto que no sea erivable en ese punto. Proposición Sean f, g os funciones erivables en x 0. Entonces 1. f + g es erivable en x 0 y 2. f g es erivable en x 0 y se cumple que (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ). 3. Si g(x 0 ) 0, entonces f/g es erivable en x 0 y ( f ) (x0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g [g(x 0 )] Si λ R, entonces la función λ f es erivable en x 0 y se cumple que (λ f) (x 0 ) = λ f (x 0 ). Teorema (Regla e la caena). Sean f, g os funciones tales que Im(f) Dom(g) y consieremos la función compuesta g f. Si f es erivable en x 0 Dom(f) y g es erivable en f(x 0 ) Dom(g), entonces g f es erivable en x 0 y aemás (g f) (x 0 ) = g [f(x 0 )] f (x 0 ).

5 4.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES 5 Ejercicio Aplicar la regla e la caena a la composición f 1 f para obtener la fórmula para la erivaa e la función inversa. Daa una función f : (a, b) R erivable, poemos efinir la función erivaa f como f : (a, b) R x f (x). La función erivaa se expresa también como f (x) = f(x) f(x) = x x. Si la función f también es erivable poemos efinir la erivaa seguna f := (f ). La erivaa seguna se expresa también como f (x) = 2 x 2 f(x) = 2 f(x) x 2. De forma similar poemos efinir la erivaa e oren n o erivaa enésima e la función f. Definición Sea I un intervalo e R. Notaremos por C n (I) al conjunto e toas las funciones f : I R que son n veces erivable en I y tales que la función f n) es continua en I. A las funciones e C n (I) las llamaremos funciones e clase n en I. Llamaremos C (I) al conjunto e toas las funciones efinias en I que amiten erivaas e cualquier oren en I. Dichas funciones se llamarán funciones e clase infinito en I Técnicas e erivación Derivación e funciones elementales a) b) c) ) e) x xα = α x α 1, α R. x ax = a x ln a, a > 0; x log a x = 1 x log a e, a > 0; x sen x = cos x, x tg x = 1 cos 2 x = 1 + tg2 x, x ex = e x. x ln x = 1 x. x cos x = sen x. x cotgx = 1 sen 2 x = (1 + cotg2 x).

6 6 CAPíTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL f) g) h) x arsen x = 1 1 x 2, x artg x = x 2. x sh x = ch x, x arcosx = x ch x = sh x. 1 1 x 2. Reglas e erivación a) b) x [f(x)]α = α [f(x)] α 1 f (x), α R. [ ] n f (x) f(x) = x n n f(x). n 1 c) x [log a f(x)] = f (x) f(x) log a e, ) [ a f(x)] = a f(x) f (x) ln a, x e) x [sen f(x)] = [cos f(x)] f (x), f) g) [tg f(x)] = f x f [ arsen f(x)] = x (x) cos 2 f(x), (x) 1 [f (x)] 2, x [ln f(x)] = f (x) f(x). [ e f(x)] = e f(x) f (x). x x [cos f(x)] = [sen f(x)] f (x). [cotg f(x)] = f (x) x sen 2 f(x). x [arcosf(x)] = f (x) 1 [f (x)] 2. h) i) f [ artg f(x)] = x (x) 1 + [f (x)] 2. x [ sh f(x)] = [ ch f(x)] f (x), x [ ch f(x)] = [ sh f(x)] f (x) Teorema e Rolle Máximos y mínimos relativos Definición Sea f : D R R y x 0 D. Diremos que f tiene un máximo relativo en x 0 si existe un r > 0, tal que f(x) f(x 0 ), x D (x 0 r, x 0 + r). (4.3.1)

7 4.3. TEOREMA DE ROLLE 7 Análogamente, iremos que f tiene un mínimo relativo en x 0 si existe un entorno E(x 0, δ), tal que f(x) f(x 0 ), x D (x 0 r, x 0 + r). (4.3.2) En cualquiera e los os casos anteriores se ice que f tiene un extremo relativo en x 0. El extremo es estricto si las esigualaes anteriores son estrictas. El extremo es absoluto si las esigualaes se cumplen para too x D. Teorema (Conición necesaria e extremo relativo). Sea f : (a, b) R y x 0 (a, b). Si f tiene un máximo o un mínimo relativo en x 0 y f es erivable en x 0 entonces f (x 0 ) = 0. Observación La conición f (x 0 ) = 0 no es suficiente para garantizar que una función tenga un máximo o mínimo relativo en x = x 0. Por ejemplo, la función f(x) = x 3 verifica que f (0) = 0 y sin embargo no tiene ningún extremo relativo en x 0 = El teorema e Rolle Teorema (Teorema e Rolle). Sea f : [a, b] R y supongamos que f es continua en [a, b], erivable en (a, b) y aemás f(a) = f(b). Entonces existe c (a, b) tal que f (c) = 0. Corolario Sea f : I R una función erivable en I. Se cumple que: 1) Si f tiene n raíces reales istintas en I entonces f tiene al menos n 1 raíces reales istintas en I. 2) Si f tiene n raíces reales en I entonces f tiene a lo sumo n + 1 raíces reales istintas en I. Teorema (Teorema el valor meio o e Lagrange). Sea f : [a, b] R y supongamos f f(b) f(a) es continua en [a, b] y erivable en (a, b). Entonces existe c (a, b) tal que = f (c). b a

8 8 CAPíTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL f(b) Q f(c) f(a) P b a f(b) f(a) a c b f(b) f(a) Si consieramos los puntos P = (a, f(a)) y Q = (b, f(b)), entonces m = es la b a peniente e la recta que pasa por los puntos P y Q. Por otra parte, f (c) es la peniente e la recta tangente a la gráfica y = f(x) en el punto C = (c, f(c)). Por tanto, el teorema el valor meio nos asegura que existe un punto c (a, b) tal que la recta tangente a la gráfica y = f(x) es paralela a la recta que une los extremos e la gráfica. Ejercicio Supongamos que un coche ha recorrio 350 km. en 2 horas y meia. Probar que ha superao el límite e velocia en algún momento. Como consecuencia el teorema el valor meio se obtienen los siguientes resultaos, que en particular nos permiten estuiar los intervalos e crecimiento y ecrecimiento e una función. Corolario Sea f : I R, one I es un intervalo abierto. 1. Si f (x) = 0 x I entonces f es una función constante en I. 2. Si f (x) 0 x I entonces f es una función creciente en I. 3. Si f (x) > 0 x I entonces f es una función estrictamente creciente en I. 4. Si f (x) 0 x I entonces f es una función ecreciente en I. 5. Si f (x) < 0 x I entonces f es una función estrictamente ecreciente en I. 6. Sea g : I R. Si f (x) = g (x) x I entonces existe c R tal que f(x) g(x) = c x I.

9 4.3. TEOREMA DE ROLLE 9 Sea f : I R una función erivable en I. Decimos que f es convexa en I si la gráfica e f es mayor o igual que cualquier recta tangente a icha gráfica en los puntos e I. Si la gráfica e f es menor o igual que cualquier recta tangente a icha gráfica en los puntos e I ecimos que f es cóncava en I. Si f es convexa a un lao e I y cóncava al otro iremos que f tiene en x 0 un punto e inflexión. Ejemplo La función f(x) = x 2 es convexa en R mientras que g(x) = x 2 es cóncava en R. El siguiente resultao nos permite analizar los intervalos e convexia y concavia e una función. Corolario Sea f : I R una función os veces erivable en el intervalo abierto I. 1. Si f (x) 0 para too x I entonces f es convexa en I. 2. Si f (x) 0 para too x I entonces f es cóncava en I. 3. Si f tiene en x 0 un punto e inflexión entonces f (x 0 ) = 0. El siguiente resultao resulta e gran utilia para resolver ineterminaciones el tipo 0/0. Teorema (Regla e L Hôpital). Sean f, g os funciones erivables en (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r), para algún r > 0, tales que lím x x 0 f(x) = lím x x 0 g(x) = 0. Si g f (x) (x) 0 x (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) y existe lím x x 0 g, entonces también existe (x) f(x) lím y aemás ambos límites coincien x x 0 g(x) f(x) lím x x 0 g(x) = lím f (x) x x 0 g (x). Observación La regla e L Hôpital es aplicable también cuano lím f(x) = ±, x x 0 lím g(x) = ±, x x 0 lo que permite utilizarla para resolver ineterminaciones el tipo /, y es también aplicable cuano x ± para resolver ineterminaciones el tipo 0/0 y /.

10 10 CAPíTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL 4.4. Polinomio e Taylor Definición Sea f : (a, b) R una función que amite erivaas e oren n en un punto x 0 (a, b). Se efine el polinomio e Taylor e oren n e la función f en el punto x 0 como P (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f n) (x 0 ) (x x 0 ) n 1! 2! n! n f k) (x 0 ) = (x x 0 ) k (4.4.1) k! k=0 Es fácil comprobar que el polinomio e Taylor e oren n e una función f en el punto x 0 satisface que P k) (x 0 ) = f k) (x 0 ), 0 k n, (4.4.2) es ecir, el polinomio e Taylor e oren n coincie con la función f y sus erivaas sucesivas hasta el oren n en el punto x = x 0. En lo sucesivo usaremos la notación T n (f, x 0 ) para este polinomio. Teorema (Fórmula el resto e Lagrange). Sea f : I R one I es un intervalo. Si f C n+1 (I) y x 0 I, entonces ao cualquier x I, x x 0, existe un valor c perteneciente al intervalo abierto e extremos x 0 y x tal que R n (x) = f(x) T n (f, x 0 )(x) = f n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1. (4.4.3) Corolario (Acotación el resto). Sea f C n+1 (I), x 0 I y supongamos que f n+1) (x) M, x I. Entonces, R n (x) M (n + 1)! x x 0 n+1, x I. Ejercicio Daa f(x) = sen(x) calcular su polinomio e Taylor e grao 3 centrao en x 0 = 0. Hasta qué grao ebemos esarrollar el polinomio e Taylor si queremos que el error cometio en el intervalo [ 1, 1] sea menor que 0.001? Corolario (Coniciones suficientes para la existencia e extremos relativos). Sea I un intervalo abierto, x 0 I, f : I R tal que f C n (I) y supongamos que Entonces se cumple que: f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f n 1) (x 0 ) = 0, f n) (x 0 ) 0.

11 4.4. POLINOMIO DE TAYLOR Si n es par y f n) (x 0 ) > 0, entonces la función f tiene un mínimo relativo en x = x Si n es par y f n) (x 0 ) < 0, entonces la función f tiene un máximo relativo en x = x Si n es impar, entonces la función f no tiene un extremo relativo en x = x 0. Corolario (Conición suficiente para la existencia e puntos e inflexión). Sea I un intervalo abierto, x 0 I, f : I R tal que f C n (I) y supongamos que f (x 0 ) = 0. Si n es el oren e la primera erivaa e f mayor que os que no se anula en x 0, es ecir, f (x 0 ) = = f n 1) (x 0 ) = 0, f n) (x 0 ) 0, entonces f tiene un punto e inflexión en x 0 si y sólo si n es impar.