Derivadas y aplicaciones

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1 Cálculo Infinitesimal Grado en Matemáticas Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla renato/clases.html

2 Un poco de historia: derivada de una función Uno de los problemas más antiguo de la Geometría y por tanto de la Matemática era el problema de encontrar las rectas tangentes y normales a una curva dada. Este problema tiene un sinfín de aplicaciones prácticas: 1 Calcular el ángulo entre dos curvas (Descartes) 2 Construir telescopios (Galileo) 3 Encontrar máximos y mínimos (Fermat) 4 Velocidad y aceleración del movimientos de cuerpos (Galileo, Newton) 5 Astronomía, movimiento de los cuerpos celestes (Kepler, Newton)

3 Un poco de historia: derivada de una función Para algunas curvas los griegos sabían como encontrar dichas tangentes. Por ejemplo, la circunferencia. y y=m x+n y=p x+q x=a x 0 Figura: La recta y = mx +n tangente a una curva f(x) y recta normal

4 Un poco de historia: derivada de una función Para algunas curvas los griegos sabían como encontrar dichas tangentes. Por ejemplo, la circunferencia. y y=m x+n y=p x+q x=a x 0 Figura: La recta y = mx +n tangente a una curva f(x) y recta normal El problema es más complicado para una curva en general.

5 Un poco de historia: derivada de una función Intentemos calcular la pendiente m de la recta tangente. y f(x) y=m x+n f(a+h) b f(a) x 0 s a s+h a+h De la figura podemos comprobar que la pendiente toma el valor: m = f(a) s = b s +h = b f(a). h

6 derivada de una función m = f(a) s = b s +h = b f(a) h Si h es muy pequeño b f(a+h) m f(a+h) f(a). h Fermat usaba la fórmula anterior sólo para aquellas curvas donde desaparecía el término h del denominador y luego sustituía h = 0. Por ejemplo: Sea la parábola y = x 2 m (a+h)2 a 2 h = 2a+h m = 2a.

7 derivada de una función m = f(a) s = b s +h = b f(a) h Si h es muy pequeño b f(a+h) m f(a+h) f(a). h Fermat usaba la fórmula anterior sólo para aquellas curvas donde desaparecía el término h del denominador y luego sustituía h = 0. Por ejemplo: Sea la parábola y = x 2 m (a+h)2 a 2 = 2a+h m = 2a. h Esto no funciona para funciones más complicadas : f(x) = sinx

8 Un poco de historia: derivada de una función Otro genial matemático que consideró el problema fue Barrow y f(x) y=m x+n (x+h,y+k) C (x,y) k A h B x 0 Barrow tenía un método geométrico muy ingenioso para las curvas definidas por la ecuación f(x,y) = 0.

9 Un poco de historia: derivada de una función Ejemplo: la hipérbola f(x,y) = xy p = 0, p R. f(x +h,y +k) = 0 = (x +h)(y +k) p = 0 por tanto (x y p) +h y +x k +h k = 0, }{{} =0 h y +x k = 0 k h = y x. Los dos métodos descritos se hace uso de cantidades infinitésimales, pero qué son esas cantidades infinítesimales?

10 Un poco de historia: derivada de una función Para evitar el uso de las cantidades infinitesimales Newton considera que las cantidades matemáticas están descritas por un movimiento continuo: Las curvas son descritas y de esta forma generadas, no por una disposición de partes, sino por el continuo movimiento de puntos.

11 Un poco de historia: derivada de una función Para evitar el uso de las cantidades infinitesimales Newton considera que las cantidades matemáticas están descritas por un movimiento continuo: Las curvas son descritas y de esta forma generadas, no por una disposición de partes, sino por el continuo movimiento de puntos. Newton en De Methodis serierum et fluxionum define los dos principales problemas del cálculo:

12 Un poco de historia: derivada de una función Para evitar el uso de las cantidades infinitesimales Newton considera que las cantidades matemáticas están descritas por un movimiento continuo: Las curvas son descritas y de esta forma generadas, no por una disposición de partes, sino por el continuo movimiento de puntos. Newton en De Methodis serierum et fluxionum define los dos principales problemas del cálculo: P1 Dada la relación entre las cantidades fluentes (variables), encontrar la relación de las fluxiones (derivadas), P2 Cuando una ecuación para las fluxiones (derivadas) de cantidades es dada, determinar la relación de las cantidades.

13 Un poco de historia: derivada de una función En De quadratura curvarum (1704) describe un método directo para calcular las fluxiones: Veamos como ejemplo f(x) = x n

14 Un poco de historia: derivada de una función En De quadratura curvarum (1704) describe un método directo para calcular las fluxiones: Veamos como ejemplo f(x) = x n Cuando la función x fluyendo se convierta en x +h, la función x n se convierte en (x +h) n, esto es por el método de series infinitas x n +nhx n 1 + n(n 1) hhx n 2 + +etc. 2 Y el incremento h (de x) y nhx n 1 + n(n 1) hhx n 2 + +etc. 2 (de x n ) es uno a otro como 1 a nx n 1 + n(n 1) hx n 2 + +etc. 2 Ahora dejemos que estos incrementos (h) se desvanezcan y su última razón será como 1 a nx n 1.

15 Un poco de historia: derivada de una función Para resolver los inconvenientes de los infinitesimales se necesitaron más de 200 años. Se necesitaba el concepto de ĺımite! f (a) = ĺım h 0 f(a+h) f(a) h

16 Un poco de historia: derivada de una función Para resolver los inconvenientes de los infinitesimales se necesitaron más de 200 años. Se necesitaba el concepto de ĺımite! f (a) = ĺım h 0 f(a+h) f(a) h (x n ) = ĺım h 0 (x +h) n x n h ( n = ĺım nx n 1 + h 0 2 ) hx n 2 + +h n 1 = nx n 1

17 Un poco de historia: derivada de una función El segundo descubridor del Cálculo diferencial fue Leibniz. La idea original de Leibniz era considerar las curvas como una unión de infinidad de segmentos indivisibles de longitud infinitesimal de forma que la prolongación de estos segmentos daban las rectas tangentes a la curva en los distintos puntos. Leibniz afirmaba: Una figura curviĺınea debe ser considerada lo mismo que un poĺıgono con un infinito número de lados. Se necesitarían otros 100 años más hasta que apareciera en el Cálculo no estándard de A. Robinson que es la fundamentación sólida del cálculo leibniziano.

18 Un poco de historia: derivada de una función Hoy día usamos la notación introducida por Leibniz para el diferencial d f(x), la derivada d f(x) y para la integral d x La notación f (x) para la derivada se debe a Lagrange (1797). Más:

19 La derivada de una función Definición (Bolzano 1817, Cauchy, 1821) Se dice que una función f : A R es derivable en x = a si existe el ĺımite f(x) f(a) f(a+h) f(a) ĺım = ĺım. x a x a h 0 h Dicho ĺımite se denomina derivada de f(x) en x=a. Geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x = a es igual a f (a) y por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en x = a se escribe como y f(a) = f (a)(x a). (1)

20 La derivada de una función y t r s f(x) 0 a a+h a+3h x Figura: Construcción de la recta tangente a una curva f(x) en x = a.

21 La derivada de una función Definición Se dice que una función f : A R es derivable por la izquierda en x = a si existe el ĺımite lateral f(x) f(a) ĺım = ĺım x a x a h 0 f(a+h) f(a), h que denominaremos derivada por la izquierda en x = a. Dicha derivada la denotaremos por f (a ). Teorema Una función f : A R es derivable en x = a si y sólo si f(x) es derivable por la izquierda y por la derecha en x = a. Teorema Si f es derivable en un punto x = a, f es continua en x = a.

22 Reglas de derivación Teorema Sean f, g : A R dos funciones derivables en A. Entonces las funciones f(x)+g(x), f(x) g(x) y f(x) son derivables y g(x) d d f(x) [f(x)+g(x)] = + d g(x) d x d x d x, d f(x) [f(x) g(x)] = g(x)d +f(x) d g(x) d x d x d x, d d x [ ] f(x) g(x) d f(x) = d x g(x) f(x) d g(x) d x [g(x)] 2, si g(x) 0.

23 Propiedades de las funciones derivables Proposición Sea f(x) : [a,b] R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces, si la función f(x) es creciente en (a,b), f (x) 0 en todo [a,b]. Si por el contrario f(x) es decreciente en (a,b), entonces f (x) 0 en todo (a,b).

24 Propiedades de las funciones derivables Proposición Sea f(x) : [a,b] R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces, si la función f(x) es creciente en (a,b), f (x) 0 en todo [a,b]. Si por el contrario f(x) es decreciente en (a,b), entonces f (x) 0 en todo (a,b). Sea f una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) y supongamos que es creciente en (a,b). Sean c < x (a,b) cualesquiera. Entonces f(x) f(c) x c f(x) f(c) > 0, ĺım = f (c) 0. x c x c

25 Propiedades de las funciones derivables Proposición Sea f(x) : [a,b] R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces, si la función f(x) es creciente en (a,b), f (x) 0 en todo [a,b]. Si por el contrario f(x) es decreciente en (a,b), entonces f (x) 0 en todo (a,b). Sea f una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) y supongamos que es creciente en (a,b). Sean c < x (a,b) cualesquiera. Entonces f(x) f(c) x c f(x) f(c) > 0, ĺım = f (c) 0. x c x c Si f es decreciente en (a,b), entonces para c < x (a,b) cualesquiera f(x) f(c) x c f(x) f(c) < 0, ĺım = f (c) 0. x c x c

26 Propiedades de las funciones derivables Definición Diremos que una función f(x) tiene un máximo local en el punto x = a si existe un entorno (a δ,a+δ), de x = a, t.q. f(x) f(a). Diremos que una función f(x) tiene un mínimo local en el punto x = a si existe un entorno (a δ,a+δ), de x = a, t.q. f(x) f(a).

27 Propiedades de las funciones derivables Definición Diremos que una función f(x) tiene un máximo local en el punto x = a si existe un entorno (a δ,a+δ), de x = a, t.q. f(x) f(a). Diremos que una función f(x) tiene un mínimo local en el punto x = a si existe un entorno (a δ,a+δ), de x = a, t.q. f(x) f(a). y 4 f(x) y 1 1 y x 0 1/2 1 3/2 2 x 4 1 f(x) = { x 2 1 x < 2 2x +8 2 x 6 g(x) = sinπx, x [0,2]

28 Propiedades de las funciones derivables Teorema (Lema de Fermat) Si una función tiene un extremo local en x = a y f(x) es derivable en x = a, entonces, f (a) = 0. y 0 x

29 Propiedades de las funciones derivables Teorema (Teorema de Rolle) Sea f(x) : [a,b] R, continua en [a,b] y derivable (a,b) tal que f(a) = f(b). Entonces, c (a,b), tal que f (c) = 0. y f(a)=f(b) 0 a c d b x Figura: Interpretación geométrica del Teorema de Rolle.

30 Propiedades de las funciones derivables a b a b a b a b a b a b Figura: Interpretación geométrica del Teorema de Rolle. Cuidado g : [ 1,1] R, g(x) = 3 x 2

31 Propiedades de las funciones derivables Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange) Sea la función f(x) : [a,b] R, continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces, c en el interior de [a,b], c (a,b), tal que f (c) = f(b) f(a). b a

32 Propiedades de las funciones derivables Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange) Sea la función f(x) : [a,b] R, continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces, c en el interior de [a,b], c (a,b), tal que f (c) = f(b) f(a). b a Sea g(x) = f(x) f(a) f(b) f(a) b a (x a). Usemos Rolle

33 Propiedades de las funciones derivables Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange) Sea la función f(x) : [a,b] R, continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces, c en el interior de [a,b], c (a,b), tal que f (c) = f(b) f(a). b a Sea g(x) = f(x) f(a) f(b) f(a) b a (x a). Usemos Rolle y f(a) 0 f(b) a c d b x

34 Propiedades de las funciones derivables Corolario Sea f(x) : [a,b] R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f (x) > 0 (f (x) 0) en (a,b), entonces f es creciente (no decreciente) en (a,b) y si f (x) < 0 (f (x) 0) en (a,b), entonces f(x) es decreciente (no creciente) en todo (a,b).

35 Propiedades de las funciones derivables Corolario Sea f(x) : [a,b] R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f (x) > 0 (f (x) 0) en (a,b), entonces f es creciente (no decreciente) en (a,b) y si f (x) < 0 (f (x) 0) en (a,b), entonces f(x) es decreciente (no creciente) en todo (a,b). Corolario Si f(x) es derivable en (a,b) y f (x) = 0 para todo x del intervalo (a,b), entonces f(x) = const. Luego una función continua es constante en [a,b] si y sólo si f (x) = 0 para todo x (a,b)

36 Propiedades de las funciones derivables Corolario Sea f(x) : [a,b] R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f (x) > 0 (f (x) 0) en (a,b), entonces f es creciente (no decreciente) en (a,b) y si f (x) < 0 (f (x) 0) en (a,b), entonces f(x) es decreciente (no creciente) en todo (a,b). Corolario Si f(x) es derivable en (a,b) y f (x) = 0 para todo x del intervalo (a,b), entonces f(x) = const. Luego una función continua es constante en [a,b] si y sólo si f (x) = 0 para todo x (a,b) Corolario Si dos funciones f(x) y g(x), derivables en (a,b) tienen derivadas iguales, o sea, f (x) = g (x) para todo x del intervalo (a,b), entonces dichas funciones difieren en una constate, es decir, f(x) = g(x)+const.

37 Propiedades de las funciones derivables Teorema (Teorema del valor medio de Cauchy) Sean dos funciones f(x) : [a,b] R y g(x) : [a,b] R, continuas en todo el intervalo cerrado [a,b] y derivables en el intervalo abierto (a,b). Entonces, existe un c en el interior de del intervalo [a,b], c (a,b), tal que [f(b) f(a)]g (c) = [g(b) g(a)]f (c).

38 Propiedades de las funciones derivables Teorema (Teorema del valor medio de Cauchy) Sean dos funciones f(x) : [a,b] R y g(x) : [a,b] R, continuas en todo el intervalo cerrado [a,b] y derivables en el intervalo abierto (a,b). Entonces, existe un c en el interior de del intervalo [a,b], c (a,b), tal que [f(b) f(a)]g (c) = [g(b) g(a)]f (c). Sea la función Usemos Rolle. h(x) = [f(b) f(a)]g(x) [g(b) g(a)]f(x).

39 Propiedades de las funciones derivables Teorema (Regla de L Hospital para la indeterminación 0 0 ) Sean dos funciones f(x) y g(x) definidas y son derivables en un entorno del punto x = a (excepto quizás en x = a) tales que 1 ĺım x a f(x) = ĺım x a g(x) = 0 2 g (x) 0 en un entorno de x = a (excepto quizás en x = a) 3 Existe el ĺımite ĺım x a f (x) g (x) Entonces existe el ĺımite ĺım x a f(x) g(x) f (x) es igual a ĺım x a g (x).

40 Calculando derivadas Calcular las derivadas de senx, cosx, tanx y e x.

41 La derivada y la diferenciabilidad de una función Definición Diremos que f : A R es diferenciable en x = a si C t.q. f(x) f(a) = C(x a)+o(x a). La función C(x a) se denomina diferencial de f en x = a y se denota por d f(a).

42 La derivada y la diferenciabilidad de una función Definición Diremos que f : A R es diferenciable en x = a si C t.q. f(x) f(a) = C(x a)+o(x a). La función C(x a) se denomina diferencial de f en x = a y se denota por d f(a). E diferencial de f en x = a es único f(x) f(a) ĺım = ĺım x a x a x a ( C + ) o(x a) = C. x a Además C = f (a). Luego si f es diferenciable, f es derivable. Supongamos que f es derivable en x = a α(x,a) tal que f(x) f(a) x a = f (a)+α(x,a), ĺım x a α(x,a) = 0 f(x) f(a) = f (a)(x a)+α(x,a)(x a), pero α(x,a)(x a) = o(x a), es decir, f es diferenciable.

43 Significado geométrico del diferencial de una función Es la distancia entre f(a) y el valor y(x) de la recta tangente a f en x = a. y f(x) y=m x+n (x,f(x)) (a,f(a)) h (x,y) (x,f(a)) f (a)(x a)=df(a) x 0 a x Figura: El diferencial df(a) de una función f(x) en el punto x = a.

44 Reglas de derivación: La composición de funciones Teorema (Regla de la cadena) Sea f : A R y g : B R tales que f(a) B. Definamos la función compuesta de g en f, g f : A R. Supongamos que f es derivable en x = a y que g es derivable en x = f(a). Entonces la función compuesta g f : A R es derivable en x = a y además (g f) (a) = g [f(a)]f (a) d g(y) d y d f(x). d x y=f(a) x=a

45 Reglas de derivación: La composición de funciones Teorema (Regla de la cadena) Sea f : A R y g : B R tales que f(a) B. Definamos la función compuesta de g en f, g f : A R. Supongamos que f es derivable en x = a y que g es derivable en x = f(a). Entonces la función compuesta g f : A R es derivable en x = a y además (g f) (a) = g [f(a)]f (a) d g(y) d y d f(x). d x y=f(a) x=a Ejercicio: Si f(x) tiene inversa y es derivable prueba que d f 1 (x) d x = 1 f [f 1 (x)]. Aplicarlo a arccosx, arcsinx, arctanx y logx.

46 Reglas de derivación: las funciones elementales Teorema Todas las funciones elementales son derivables en su dominio y 1 (x α ) = αx α 1, α R, x R 2 (senx) = cosx, (cosx) = senx, x R 3 (tanx) = 1 { π } cos 2 x, x R\ 2 +nπ, n Z 4 (arcsenx) 1 =, 1 1 x 2 (arccosx) =, x ( 1,1) 1 x 2 5 (arctanx) = 1 1+x 2, (arccotg x) = 1 1+x 2, x R 6 (a x ) = a x loga, a > 0,a 1, x R 7 (log a x) = 1 x loga, x > 0, a > 0 8 (sinhx) = coshx, (coshx) = sinhx, x R 9 (tanhx) 1 = cosh 2 x, x R

47 Derivadas de orden superior

48 Derivadas de orden superior Si existe f (x) x (a,b) podemos definir la función g(x) : (a,b) R, g(x) = f (x). Obviamente podemos definir la derivada de f (x) en x 0 (a,b) f (x) f (x 0 ) f (x 0 +h) f (x 0 ) ĺım = ĺım = f (x 0 ). x x 0 x x 0 h 0 h Si existe f (x 0 ) x (a,b) podemos definir la tercera derivada...

49 Derivadas de orden superior Si existe f (x) x (a,b) podemos definir la función g(x) : (a,b) R, g(x) = f (x). Obviamente podemos definir la derivada de f (x) en x 0 (a,b) f (x) f (x 0 ) f (x 0 +h) f (x 0 ) ĺım = ĺım = f (x 0 ). x x 0 x x 0 h 0 h Si existe f (x 0 ) x (a,b) podemos definir la tercera derivada... Análogamente, si existe la derivada de orden n para todo x (a,b) podemos definir la función n-ésima derivada de f, que denotaremos por f (n) (x) o dn f(x) d x n, i.e., f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (x 0 ) (x 0 ) := ĺım, x 0 (a,b). x x0 x x 0

50 Teorema de Taylor y sus aplicaciones Las funciones elementales no son tan elementales como su nombre indica. Por ejemplo, calcular la exponencial o el seno de un número real arbitrario no es un cálculo sencillo. Las únicas funciones que son sencillas de calcular son las potencias naturales de los números, es decir las funciones f(x) = x n con n natural. Por tanto vamos a intentar encontrar una fórmula general que nos permita aproximar cualquier función f(x) lo bastante buena mediante polinomios.

51 El polinomio de Taylor Definición Dada una función f(x) n-veces derivable en un entorno de x = a, llamaremos polinomio de Taylor de orden n de f(x), y lo denotaremos por P n (x,a), al polinomio P n (x,a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n n! Nótese que P n (x,a) es un polinomio de grado a lo más n.

52 El polinomio de Taylor Definición Dada una función f(x) n-veces derivable en un entorno de x = a, llamaremos polinomio de Taylor de orden n de f(x), y lo denotaremos por P n (x,a), al polinomio P n (x,a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n n! Nótese que P n (x,a) es un polinomio de grado a lo más n. Teorema (Teorema local de Taylor) Si f(x) es n veces derivable en un entorno de x = a y P n (x,a) es el polinomio de Taylor de orden n de la función f(x), entonces f(x) P n (x,a) ĺım x a (x a) n = 0 f(x) P n (x,a) = o[(x a) n ].

53 Aproximando funciones Del teorema anterior tenemos que una buena aproximación local a f en x = a es el polinomio P n (x,a): f(x) = P n (x,a)+o[(x a) n f(x) P n (x,a).

54 Aproximando funciones Del teorema anterior tenemos que una buena aproximación local a f en x = a es el polinomio P n (x,a): f(x) = P n (x,a)+o[(x a) n f(x) P n (x,a). Ejercicio: Calcular los polinomios de Taylor (McLaurin) de orden n de e x, senx, cosx, log(1 x) y (1+x) α, α R en x = 0. Comenzamos por e x. Como (e x ) (k) = e x para todo k N, tenemos e x = n k=0 x n n! +o(xn ).

55 Aproximando funciones Función senx: (senx) = cosx, (senx) = senx (senx) (2k 1) = ( 1) k+1 cosx, (senx) (2k) = ( 1) k senx. Luego, el polinomio de Taylor del seno no tiene potencias pares senx = n k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k +1)! +o(x 2n+1 ). y el orden de aproximación es o(x 2n+2 ) y no o(x 2n+1 ) por qué?

56 Aproximando funciones Función senx: (senx) = cosx, (senx) = senx (senx) (2k 1) = ( 1) k+1 cosx, (senx) (2k) = ( 1) k senx. Luego, el polinomio de Taylor del seno no tiene potencias pares senx = n k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k +1)! +o(x 2n+1 ). y el orden de aproximación es o(x 2n+2 ) y no o(x 2n+1 ) por qué? Para el logaritmo tenemos [log(1+x)] = 1 1+x, [log(1+x)] = 1 (1+x) 2, [log(1+x)] = [log(1+x)] (k) = ( 1)k+1 (k 1)! (1+x) k log(1+x) = 2 (1+x) 3 n ( 1) k+1 x k +o(x n ). k k=0

57 Polinomios de McLaurin de las funciones elementales Teorema 1 senx = 2 cosx = n ( 1) k 1 x 2k 1 (2k 1)! +o(x2n ). n ( 1) k x2k (2k)! +o(x2k+1 ). k=1 k=0 3 (1+x) α = 1+ 4 e x = n k=0 5 log(1+x) = n k=1 x k k! +o(xn ). n k=1 (α) k k! xk +o(x n ). ( 1) k+1xk k +o(xn ).

58 Aplicación al cálculo de ĺımites Usando los desarrollos del teorema anterior tenemos, por ejemplo, x senx ĺım x 0 x 3 Otro ejemplo es x x +x 3 /6+o(x 3 ) = ĺım x 0 x 3 = ĺım o(x 3 ) x 0 x 3 = 1 6. e x 1 x ĺım x 0 1 cosx = ĺım 1+x +x 2 /2+o(x 2 ) 1 x x 0 1 (1 x 2 /2+o(x 2 )) x 2 /2+o(x 2 ) 1+ o(x2 ) = ĺım x 0 x 2 /2+o(x 2 ) = ĺım x 2 x 0 1+ o(x2 ) x 2 = 1.

59 Propiedades del polinomio de Taylor Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea P n (x,a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n. 2! n! Entonces P n (a,a) = f(a).

60 Propiedades del polinomio de Taylor Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea P n (x,a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n. 2! n! Entonces P n (a,a) = f(a). P n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 1)! (x a)n 1.

61 Propiedades del polinomio de Taylor Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea P n (x,a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n. 2! n! Entonces P n (a,a) = f(a). P n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 1)! (x a)n 1. Entonces P n (a,a) = f (a).

62 Propiedades del polinomio de Taylor Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea P n (x,a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n. 2! n! Entonces P n (a,a) = f(a). P n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 1)! (x a)n 1. Entonces P n (a,a) = f (a). n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (4) (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 2)! (x a)n 2. P

63 Propiedades del polinomio de Taylor Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea P n (x,a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n. 2! n! Entonces P n (a,a) = f(a). P n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 1)! (x a)n 1. Entonces P n (a,a) = f (a). n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (4) (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 2)! (x a)n 2. P Entonces P n(a,a) = f (a)...

64 Propiedades del polinomio de Taylor Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea P n (x,a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n. 2! n! Entonces P n (a,a) = f(a). P n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 1)! (x a)n 1. Entonces P n (a,a) = f (a). n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (4) (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 2)! (x a)n 2. P Entonces P n(a,a) = f (a)... P (n) n (a,x) = f (n) (a)

65 Propiedades del polinomio de Taylor Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea P n (x,a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n. 2! n! Entonces P n (a,a) = f(a). P n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 1)! (x a)n 1. Entonces P n (a,a) = f (a). n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (4) (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 2)! (x a)n 2. P Entonces P n(a,a) = f (a)... P (n) n (a,x) = f (n) (a) P (n) n (a,a) = f (n) (a).

66 Propiedades del polinomio de Taylor Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea P n (x,a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n. 2! n! Entonces P n (a,a) = f(a). P n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 1)! (x a)n 1. Entonces P n (a,a) = f (a). n (x,a) = f (a)+f (a)(x a)+ f (4) (a) (x a) f (n) (a) 2! (n 2)! (x a)n 2. P Entonces P n(a,a) = f (a)... P (n) n (a,x) = f (n) (a) P (n) n (a,a) = f (n) (a). P (k) n (a,a) = f (k) (a), k = 1,2,...n

67 Propiedades del polinomio de Taylor. Definición Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x = a si f(a) = g(a) y sus derivadas f (k) (a) = g (k) (a), para k = 1,2,...n.

68 Propiedades del polinomio de Taylor. Definición Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x = a si f(a) = g(a) y sus derivadas f (k) (a) = g (k) (a), para k = 1,2,...n. El polinomio de Taylor P n (x,a) y f(x) tienen un punto de tangencia de orden n en x = a.

69 Propiedades del polinomio de Taylor. Definición Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x = a si f(a) = g(a) y sus derivadas f (k) (a) = g (k) (a), para k = 1,2,...n. El polinomio de Taylor P n (x,a) y f(x) tienen un punto de tangencia de orden n en x = a. Teorema El único polinomio P n, degp n n que tiene un punto de tangencia de orden n en x = a con f(x) es el polinomio de Taylor P n (x,a).

70 Propiedades del polinomio de Taylor. Definición Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x = a si f(a) = g(a) y sus derivadas f (k) (a) = g (k) (a), para k = 1,2,...n. El polinomio de Taylor P n (x,a) y f(x) tienen un punto de tangencia de orden n en x = a. Teorema El único polinomio P n, degp n n que tiene un punto de tangencia de orden n en x = a con f(x) es el polinomio de Taylor P n (x,a). Sea P n (x) = a n (x a) n +a n 1 (x a) n 1 + a 1 (x a)+a 0 y supongamos f(a) = P n (a), f (a) = P n(a), f (a) = P n(a),,f (n) (a) = P (n) n (a). Como P (k) n (a) = k!a k

71 Propiedades del polinomio de Taylor. Definición Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x = a si f(a) = g(a) y sus derivadas f (k) (a) = g (k) (a), para k = 1,2,...n. El polinomio de Taylor P n (x,a) y f(x) tienen un punto de tangencia de orden n en x = a. Teorema El único polinomio P n, degp n n que tiene un punto de tangencia de orden n en x = a con f(x) es el polinomio de Taylor P n (x,a). Sea P n (x) = a n (x a) n +a n 1 (x a) n 1 + a 1 (x a)+a 0 y supongamos f(a) = P n (a), f (a) = P n(a), f (a) = P n(a),,f (n) (a) = P (n) n (a). Como P (k) n (a) = k!a k a k = f (k) (a), k = 0,1,2,...,n. k!

72 Fórmula del resto Definición La función R n (x,a) = f(x) P n (x,a) se denomina resto o error de la fórmula de Taylor. Teorema (Estimación del error del Teorema de Taylor) Sea f una función n veces derivable en [a,x] tal que f (n) es continua en [a,x] y derivable en (a,x) y sea P n (x,a) = n k=0 f (k) (a) (x a) k, k! el polinomio de Taylor de la función f. Sea φ una función continua en [a,x] y derivable en (a,x) con φ 0 en (a,x). Entonces c (a,x) tal que R n (x,a) = φ(x) φ(a) φ f (n+1) (c)(x c) n, c (a,x). (c)n!

73 Fórmula del resto Corolario: Si f (n) es continua en [a,x] y derivable en (a,x) 1 Fórmula del resto de Taylor en forma de Cauchy. R n (x,a) = f (n+1) (c) (x c) n (x a), c (a,x). n! 2 Fórmula del resto de Taylor en forma de Lagrange. R n (x,a) = f (n+1) (c) (n+1)! (x a)n+1, c (a,x). 3 Fórmula del resto de Taylor en forma de Scholömilch. R n (x,a) = f (n+1) (c) (x c) n+1 p (x a) p, c (a,x), p > 0. n!p

74 Fórmula del resto Corolario: Si f (n) es continua en [a,x] y derivable en (a,x) 1 Fórmula del resto de Taylor en forma de Cauchy. R n (x,a) = f (n+1) (c) (x c) n (x a), c (a,x). n! 2 Fórmula del resto de Taylor en forma de Lagrange. R n (x,a) = f (n+1) (c) (n+1)! (x a)n+1, c (a,x). 3 Fórmula del resto de Taylor en forma de Scholömilch. R n (x,a) = f (n+1) (c) (x c) n+1 p (x a) p, c (a,x), p > 0. n!p φ(t) = x t

75 Fórmula del resto Corolario: Si f (n) es continua en [a,x] y derivable en (a,x) 1 Fórmula del resto de Taylor en forma de Cauchy. R n (x,a) = f (n+1) (c) (x c) n (x a), c (a,x). n! 2 Fórmula del resto de Taylor en forma de Lagrange. R n (x,a) = f (n+1) (c) (n+1)! (x a)n+1, c (a,x). 3 Fórmula del resto de Taylor en forma de Scholömilch. R n (x,a) = f (n+1) (c) (x c) n+1 p (x a) p, c (a,x), p > 0. n!p φ(t) = x t φ(t) = (x t) n+1

76 Fórmula del resto Corolario: Si f (n) es continua en [a,x] y derivable en (a,x) 1 Fórmula del resto de Taylor en forma de Cauchy. R n (x,a) = f (n+1) (c) (x c) n (x a), c (a,x). n! 2 Fórmula del resto de Taylor en forma de Lagrange. R n (x,a) = f (n+1) (c) (n+1)! (x a)n+1, c (a,x). 3 Fórmula del resto de Taylor en forma de Scholömilch. R n (x,a) = f (n+1) (c) (x c) n+1 p (x a) p, c (a,x), p > 0. n!p φ(t) = x t φ(t) = (x t) n+1 φ(t) = (x t) p

77 Aplicaciones del Teorema de Taylor Ejercicio: Calcula e 1 4 utilizando el polinomio de McLaurin de grado 3 y estima el error cometido.

78 Aplicaciones del Teorema de Taylor Ejercicio: Calcula e 1 4 utilizando el polinomio de McLaurin de grado 3 y estima el error cometido. Solución: e x 1+x + x2 2 + x3 6,

79 Aplicaciones del Teorema de Taylor Ejercicio: Calcula e 1 4 utilizando el polinomio de McLaurin de grado 3 y estima el error cometido. Solución: e x 1+x + x2 2 + x3 6, R 3(x) = ec 24 x4, c (0, 1 4 ),

80 Aplicaciones del Teorema de Taylor Ejercicio: Calcula e 1 4 utilizando el polinomio de McLaurin de grado 3 y estima el error cometido. Solución: e x 1+x + x2 2 + x3 6, R 3(x) = ec 24 x4, c (0, 1 4 ), e ,28385, R 3(x) e <

81 Aplicaciones del Teorema de Taylor Ejercicio: Calcula e 1 4 utilizando el polinomio de McLaurin de grado 3 y estima el error cometido. Solución: e x 1+x + x2 2 + x3 6, R 3(x) = ec 24 x4, c (0, 1 4 ), e ,28385, R 3(x) e 24 e ,28385, R 3(x) e < < 1,

82 Aplicaciones del Teorema de Taylor De qué orden ha de ser el polinomio de Taylor en x = 0 para que aproxime la función e x hasta un orden dado, digamos 10 6, en un cierto intervalo, por ejemplo [0, 1]?

83 Aplicaciones del Teorema de Taylor De qué orden ha de ser el polinomio de Taylor en x = 0 para que aproxime la función e x hasta un orden dado, digamos 10 6, en un cierto intervalo, por ejemplo [0, 1]? Solución: Para responder a la pregunta tenemos que usar el término del error (por ejemplo en forma de Lagrange) R n (x,0) = ec x n+1 (n+1)!, c (0,x). Como estamos trabajando en el intervalo [0,1], e c e < 3 R n (x,0) < 3 (n+1)!

84 Aplicaciones del Teorema de Taylor De qué orden ha de ser el polinomio de Taylor en x = 0 para que aproxime la función e x hasta un orden dado, digamos 10 6, en un cierto intervalo, por ejemplo [0, 1]? Solución: Para responder a la pregunta tenemos que usar el término del error (por ejemplo en forma de Lagrange) R n (x,0) = ec x n+1 (n+1)!, c (0,x). Como estamos trabajando en el intervalo [0,1], e c e < 3 R n (x,0) < 3 (n+1)! Como para n = 8, R n (x,0) < 3 9! y para n = 9 tenemos R n (x,0) < 3 10! 8, , concluimos que necesitamos un polinomio de Tayor de orden 9.

85 Aplicaciones del Teorema de Taylor: El número e es irracional Sup. que e es racional. p,q N t.q. e = p/q y, por tanto, N N t.q. n > N, n!e N.

86 Aplicaciones del Teorema de Taylor: El número e es irracional Sup. que e es racional. p,q N t.q. e = p/q y, por tanto, N N t.q. n > N, n!e N. Sea n > 3. Entonces usando el polinomio de Taylor de e x en [0,1] con la fórmula de Lagrange para el resto en x = 1 tenemos e = ! + 1 2! n! + ec (n+1)!, 0 < c < 1.

87 Aplicaciones del Teorema de Taylor: El número e es irracional Sup. que e es racional. p,q N t.q. e = p/q y, por tanto, N N t.q. n > N, n!e N. Sea n > 3. Entonces usando el polinomio de Taylor de e x en [0,1] con la fórmula de Lagrange para el resto en x = 1 tenemos e = ! + 1 2! n! + n!e = ec (n+1)!, 0 < c < 1. ( n!+n!+ n! n! + + )+ ec 2 n! n+1.

88 Aplicaciones del Teorema de Taylor: El número e es irracional Sup. que e es racional. p,q N t.q. e = p/q y, por tanto, N N t.q. n > N, n!e N. Sea n > 3. Entonces usando el polinomio de Taylor de e x en [0,1] con la fórmula de Lagrange para el resto en x = 1 tenemos e = ! + 1 2! n! + n!e = ec (n+1)!, 0 < c < 1. ( n!+n!+ n! n! + + )+ ec 2 n! n+1. Escogemos n > N entonces n!e N, y n!+n!+ n! 2 e c es decir que n+1 N. Pero como e < 3 e c n+1 < e n+1 < 3 n+1 < n! n! N,

89 Aplicaciones del Teorema de Taylor: El número e es irracional Sup. que e es racional. p,q N t.q. e = p/q y, por tanto, N N t.q. n > N, n!e N. Sea n > 3. Entonces usando el polinomio de Taylor de e x en [0,1] con la fórmula de Lagrange para el resto en x = 1 tenemos e = ! + 1 2! n! + n!e = ec (n+1)!, 0 < c < 1. ( n!+n!+ n! n! + + )+ ec 2 n! n+1. Escogemos n > N entonces n!e N, y n!+n!+ n! 2 e c es decir que n+1 N. Pero como e < 3 e c n+1 < e n+1 < 3 n+1 < 3 4!!! + + n! n! N,

90 Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales máximo mínimo

91 Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales máximo mínimo Teorema (Condición suficiente de extremo) Sea f continua en todo un entorno de x = a y derivable en todo un entorno de x = a excepto quizá el propio punto x = a. Si f (x) cambia de signo al pasar por x = a, entonces f tiene un extremo local en x = a.

92 Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales { 2x 2 +x 2 sen 1 x, x 0 Sea f(x) = 0, x = 0. Esta función tiene un mínimo local (de hecho global) en x = 0 pues x 2 f(x) 3x 2 f(x) 0, x R. Además, f es derivable en todo R siendo { 4x +2x sen 1 f x cos 1 x, x 0 (x) = 0, x = 0.

93 Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales { 2x 2 +x 2 sen 1 x, x 0 Sea f(x) = 0, x = 0. Esta función tiene un mínimo local (de hecho global) en x = 0 pues x 2 f(x) 3x 2 f(x) 0, x R. Además, f es derivable en todo R siendo si x 0 { 4x +2x sen 1 f x cos 1 x, x 0 (x) = 0, x = 0.

94 Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales f (x) = { 4x +2x sen 1 x cos 1 x, x 0 0, x = f(x) x

95 Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales f (x) = { 4x +2x sen 1 x cos 1 x, x 0 0, x = f(x) x

96 Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales f (x) = { 4x +2x sen 1 x cos 1 x, x 0 0, x = f(x) e x

97 Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales Teorema (Condición suficiente de extremo) Sea f(x) : A R una función dos veces derivable con segunda derivada continua en un entorno de x = a tal que f (a) = 0, entonces la función tendrá en x = a un máximo local si f (a) < 0 y un mínimo local si f (a) > 0.

98 Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales Teorema (Condición suficiente de extremo) Sea f(x) : A R una función dos veces derivable con segunda derivada continua en un entorno de x = a tal que f (a) = 0, entonces la función tendrá en x = a un máximo local si f (a) < 0 y un mínimo local si f (a) > 0. Dos ejemplos reveladores: f(x) = x 3 y f(x) = x 4.

99 Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales Teorema (Condición suficiente de extremo) Sea f(x) : A R una función dos veces derivable con segunda derivada continua en un entorno de x = a tal que f (a) = 0, entonces la función tendrá en x = a un máximo local si f (a) < 0 y un mínimo local si f (a) > 0. Dos ejemplos reveladores: f(x) = x 3 y f(x) = x 4. Ejercicio: Calcular los extremos de las funciones: 1 f(x) = e x2, 2 f(x) = 1 x 2 5 y { 2 x 3, x 0 3 f(x) = x 2 +2x, x < 0.

100 Aplicaciones del Teorema de Taylor Teorema (Criterio de la (n + 1) ésima derivada) Supongamos que la función f(x) es (n+1) veces derivable con f (n+1) (x) continua en el intervalo abierto (a δ,a+δ) y que f (a) = f (a) = f (a) = = f (n) (a) = 0, f (n+1) (a) 0. Entonces si n es impar la función f(x) tiene un extremo local en a y es máximo si f (n+1) (a) < 0 y mínimo si f (n+1) (a) > 0.

101 Aplicaciones del Teorema de Taylor Teorema (Criterio de la (n + 1) ésima derivada) Supongamos que la función f(x) es (n+1) veces derivable con f (n+1) (x) continua en el intervalo abierto (a δ,a+δ) y que f (a) = f (a) = f (a) = = f (n) (a) = 0, f (n+1) (a) 0. Entonces si n es impar la función f(x) tiene un extremo local en a y es máximo si f (n+1) (a) < 0 y mínimo si f (n+1) (a) > 0. Demostración: Supondremos que f (n+1) (a) > 0. Como f (n+1) es continua en a, entonces f (n+1) > 0 en todo un entorno de a, digamos (a, x). Entonces aplicando el teorema de Taylor-Lagrange f(x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k + f (n+1) (a) k! (n +1)! (x a)n+1, c (a,x)

102 Aplicaciones del Teorema de Taylor Teorema (Criterio de la (n + 1) ésima derivada) Supongamos que la función f(x) es (n+1) veces derivable con f (n+1) (x) continua en el intervalo abierto (a δ,a+δ) y que f (a) = f (a) = f (a) = = f (n) (a) = 0, f (n+1) (a) 0. Entonces si n es impar la función f(x) tiene un extremo local en a y es máximo si f (n+1) (a) < 0 y mínimo si f (n+1) (a) > 0. Demostración: Supondremos que f (n+1) (a) > 0. Como f (n+1) es continua en a, entonces f (n+1) > 0 en todo un entorno de a, digamos (a, x). Entonces aplicando el teorema de Taylor-Lagrange f(x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k + f (n+1) (a) k! (n +1)! (x a)n+1, c (a,x) f(x) f(a) = f (n+1) (c) (n+1)! (x a)n+1 > 0 x U δ (a)

103 Aplicaciones del Teorema de Taylor Teorema (Criterio de la (n + 1) ésima derivada) Supongamos que la función f(x) es (n+1) veces derivable con f (n+1) (x) continua en el intervalo abierto (a δ,a+δ) y que f (a) = f (a) = f (a) = = f (n) (a) = 0, f (n+1) (a) 0. Entonces si n es impar la función f(x) tiene un extremo local en a y es máximo si f (n+1) (a) < 0 y mínimo si f (n+1) (a) > 0. Demostración: Supondremos que f (n+1) (a) > 0. Como f (n+1) es continua en a, entonces f (n+1) > 0 en todo un entorno de a, digamos (a, x). Entonces aplicando el teorema de Taylor-Lagrange f(x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k + f (n+1) (a) k! (n +1)! (x a)n+1, c (a,x) f(x) f(a) = f (n+1) (c) (n+1)! (x a)n+1 > 0 x U δ (a) MIN

104 Funciones convexas: Definición geométrica Definición Una función f(x) es estrictamente convexa hacia abajo (cóncava) en un intervalo (a,b) si cualquier recta secante s que corte a f en los puntos x 1 < x 2, x 1,x 2 (a,b), está siempre por encima del gráfico de la curva y = f(x) en el intervalo (x 1,x 2 ). y f(x) s 1 s 2 s 3 a b x

105 Funciones convexas: Definición geométrica Definición Una función f(x) es estrictamente convexa hacia abajo (cóncava) en un intervalo (a,b) si cualquier recta secante s que corte a f en los puntos x 1 < x 2, x 1,x 2 (a,b), está siempre por encima del gráfico de la curva y = f(x) en el intervalo (x 1,x 2 ). y f(x) s 1 s 2 s 3 a b x

106 Funciones convexas: Definición anaĺıtica Sea y(x) la secante que pasa (x 1,f(x 1 )) y (x 2,f(x 2 )) x 1 x 2 y = f(x 1 )+ f(x ( 2) f(x 1 ) x2 x (x x 1 ) = x 2 x 1 x 2 x 1 ) }{{} 1 t ( x x1 f(x 1 )+ x 2 x 1 }{{} t ) f(x 2 ).

107 Funciones convexas: Definición anaĺıtica Sea y(x) la secante que pasa (x 1,f(x 1 )) y (x 2,f(x 2 )) x 1 x 2 y = f(x 1 )+ f(x ( ) 2) f(x 1 ) x2 x (x x 1 ) = x 2 x 1 x 2 x 1 }{{} 1 t ( ) ( x2 x x x1 x (x 1,x 2 ) x= x 1 + x 2 x 1 x 2 x 1 ( x x1 f(x 1 )+ x 2 x 1 }{{} t ) x 2 =(1 t)x 1 +tx 2 ) f(x 2 ).

108 Funciones convexas: Definición anaĺıtica Sea y(x) la secante que pasa (x 1,f(x 1 )) y (x 2,f(x 2 )) x 1 x 2 y = f(x 1 )+ f(x ( ) 2) f(x 1 ) x2 x (x x 1 ) = x 2 x 1 x 2 x 1 }{{} 1 t ( ) ( x2 x x x1 x (x 1,x 2 ) x= x 1 + x 2 x 1 x 2 x 1 ( x x1 f(x 1 )+ x 2 x 1 }{{} t ) x 2 =(1 t)x 1 +tx 2 Si f(x) y en (x 1,x 2 ) f[(1 t)x 1 +tx 2 ] (1 t)f(x 1 )+tf(x 2 ). ) f(x 2 ).

109 Funciones convexas: Definición anaĺıtica Definición: Una función es convexa hacia abajo si para todo x 1, x 2 de (a,b), y todo x tal que x 1 < x < x 2, x 1, x 2 (a,b), y t [0,1], f[(1 t)x 1 +tx 2 ) < (1 t)f(x 1 )+tf(x 2 ),

110 Funciones convexas: Definición anaĺıtica Definición: Una función es convexa hacia abajo si para todo x 1, x 2 de (a,b), y todo x tal que x 1 < x < x 2, x 1, x 2 (a,b), y t [0,1], f[(1 t)x 1 +tx 2 ) < (1 t)f(x 1 )+tf(x 2 ), Entonces (x 2 x 1 )f(x) < (x 2 x)f(x 1 )+(x x 1 )f(x 2 ),

111 Funciones convexas: Definición anaĺıtica Definición: Una función es convexa hacia abajo si para todo x 1, x 2 de (a,b), y todo x tal que x 1 < x < x 2, x 1, x 2 (a,b), y t [0,1], f[(1 t)x 1 +tx 2 ) < (1 t)f(x 1 )+tf(x 2 ), Entonces (x 2 x 1 )f(x) < (x 2 x)f(x 1 )+(x x 1 )f(x 2 ), (x 2 x)f(x)+(x x 1 )f(x) < (x 2 x)f(x 1 )+(x x 1 )f(x 2 ),

112 Funciones convexas: Definición anaĺıtica Definición: Una función es convexa hacia abajo si para todo x 1, x 2 de (a,b), y todo x tal que x 1 < x < x 2, x 1, x 2 (a,b), y t [0,1], f[(1 t)x 1 +tx 2 ) < (1 t)f(x 1 )+tf(x 2 ), Entonces (x 2 x 1 )f(x) < (x 2 x)f(x 1 )+(x x 1 )f(x 2 ), (x 2 x)f(x)+(x x 1 )f(x) < (x 2 x)f(x 1 )+(x x 1 )f(x 2 ), (x 2 x)[f(x) f(x 1 )] < (x x 1 )[f(x 2 ) f(x)], de donde tenemos f(x) f(x 1 ) x x 1 < f(x 2) f(x). x 2 x

113 Funciones convexas Proposición Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario que f (x) no decrezca.

114 Funciones convexas Proposición Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario que f (x) no decrezca. Prueba: Como f es convexa hacia abajo, x 1 < x < x 2. f(x) f(x 1 ) x x 1 < f(x 2) f(x) x 2 x

115 Funciones convexas Proposición Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario que f (x) no decrezca. Prueba: Como f es convexa hacia abajo, x 1 < x < x 2. Tomando el ĺımite x x 1 y x x 2 f (x 1 ) = f(x) f(x 1) f(x 2) f(x) = f (x 2 ) x x 1 x 2 x

116 Funciones convexas Proposición Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario que f (x) no decrezca. Prueba: Como f es convexa hacia abajo, x 1 < x < x 2. Tomando el ĺımite x x 1 y x x 2 f (x 1 ) = f(x) f(x 1) f(x 2) f(x) = f (x 2 ) x x 1 x 2 x O sea, si x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ).

117 Funciones convexas Teorema Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f (x) no decrezca. Además si f (x) es estrictamente creciente en todo (a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a,b).

118 Funciones convexas Teorema Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f (x) no decrezca. Además si f (x) es estrictamente creciente en todo (a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a,b). Prueba: Usamos TVM de Lagrange. c 2 (x,x 2 ), c 2 < x 2 t.q. f(x 2 ) f(x) x 2 x = f (c 2 ) f (x 2 ) f (c 2 ) f (x 2 ) Análogamente c 1 (x 1,x), x 1 < c 1, t.q. f (x 1 ) f (c 1 ) = f(x) f(x 1) x x 1 x 1 < x < x 2, Como f es convexa hacia abajo (necesidad) f(x) f(x 1 ) x x 1 < f(x 2) f(x) x 2 x

119 Funciones convexas Teorema Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f (x) no decrezca. Además si f (x) es estrictamente creciente en todo (a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a,b). Prueba: Usamos TVM de Lagrange. c 2 (x,x 2 ), c 2 < x 2 t.q. f(x 2 ) f(x) x 2 x = f (c 2 ) f (x 2 ) f (c 2 ) f (x 2 ) Análogamente c 1 (x 1,x), x 1 < c 1, t.q. f (x 1 ) f (c 1 ) = f(x) f(x 1) x x 1 x 1 < x < x 2, Como f es convexa hacia abajo (necesidad) f (x 1 ) f (c 1 ) = f(x) f(x 1) x x 1 < f(x 2) f(x) x 2 x = f (c 2 ) f (x 2 )

120 Funciones convexas Teorema Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f (x) no decrezca. Además si f (x) es estrictamente creciente en todo (a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a,b). Prueba: Usamos TVM de Lagrange. c 2 (x,x 2 ), c 2 < x 2 t.q. f(x 2 ) f(x) x 2 x = f (c 2 ) f (x 2 ) f (c 2 ) f (x 2 ) Análogamente c 1 (x 1,x), x 1 < c 1, t.q. f (x 1 ) f (c 1 ) = f(x) f(x 1) x x 1 x 1 < x < x 2, Como f es creciente (suficiencia) f (c 1 ) f (c 2 )

121 Funciones convexas Teorema Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f (x) no decrezca. Además si f (x) es estrictamente creciente en todo (a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a,b). Prueba: Usamos TVM de Lagrange. c 2 (x,x 2 ), c 2 < x 2 t.q. f(x 2 ) f(x) x 2 x = f (c 2 ) f (x 2 ) f (c 2 ) f (x 2 ) Análogamente c 1 (x 1,x), x 1 < c 1, t.q. f (x 1 ) f (c 1 ) = f(x) f(x 1) x x 1 x 1 < x < x 2, Como f es creciente (suficiencia) f(x) f(x 1 ) x x 1 = f (c 1 ) f (c 2 ) = f(x 2) f(x) x 2 x

122 Funciones convexas Teorema Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f (x) no decrezca. Además si f (x) es estrictamente creciente en todo (a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a,b).

123 Funciones convexas Teorema Para que una f(x) derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f (x) no decrezca. Además si f (x) es estrictamente creciente en todo (a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a,b). Corolario Para que una f(x) dos veces derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (cóncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f (x) 0. Además si f (x) > 0 en todo (a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo.

124 Funciones convexas: Otra definición geométrica Si x 0 < x y f es convexa, f ր f (x 0 ) f (x).

125 Funciones convexas: Otra definición geométrica Si x 0 < x y f es convexa, f ր f (x 0 ) f (x). La recta tangente a f en x = x 0 : y(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) f(x) y(x) = [f(x) f(x 0 )] f (x 0 )(x x 0 ).

126 Funciones convexas: Otra definición geométrica Si x 0 < x y f es convexa, f ր f (x 0 ) f (x). La recta tangente a f en x = x 0 : y(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) f(x) y(x) = [f(x) f(x 0 )] f (x 0 )(x x 0 ). Por el TVM de Lagrange x 0 < c < x t.q. f(x) f(x 0 ) = f (c)(x x 0 ) f(x) y(x) = [f (c) f (x 0 )](x x 0 ) 0 Definición: Una función f(x) derivable en (a,b) es convexa hacia abajo (cóncava) si la curva y = f(x) está por encima de cualquiera de las rectas tangentes a ella en dicho intervalo.

127 Funciones convexas: Otra definición geométrica Definición: Una función f(x) derivable en (a,b) es convexa hacia abajo (cóncava) si la curva y = f(x) está por encima de cualquiera de las rectas tangentes a ella en dicho intervalo. y f(x) a b x

128 Funciones convexas: Definición anaĺıtica Una función es convexa hacia arriba si para todo x 1, x 2 de (a,b), y todo x tal que x 1 < x < x 2, x 1, x 2 (a,b), y t [0,1], f[(1 t)x 1 +tx 2 ) > (1 t)f(x 1 )+tf(x 2 ), o, equivalentemente, f(x) f(x 1 ) > f(x 2) f(x). x x 1 x 2 x Ello indica que todo lo que hemos visto lo podemos repetir pero cambiando el signo de la desigualdad. y y s1 s2 f(x) f(x) s3 f(x) a b x a b x

129 Funciones convexas Convexa f(x) = x 2k, convexa (cóncava) f(x) = x 2k, k N.

130 Funciones convexas Convexa f(x) = x 2k, convexa (cóncava) f(x) = x 2k, k N. Definición Diremos que un punto x = a es un punto de inflexión de la función f(x) si en un entorno de dicho punto la gráfica de la función f(x) tiene diferentes direcciones de convexidad (hacia abajo y hacia arriba) a la izquierda y derecha del punto y y f(x) f(x) a c b x a c b x

131 Funciones convexas De lo anterior se sigue que los puntos de inflexion de f(x) son los extremos de f (x).

132 Funciones convexas De lo anterior se sigue que los puntos de inflexion de f(x) son los extremos de f (x). Teorema (Condición necesaria de existencia de pto. de inflexión) Si f(x) tiene un punto de inflexión en x = a, entonces o f (a) = 0 o f (a) no existe.

133 Funciones convexas De lo anterior se sigue que los puntos de inflexion de f(x) son los extremos de f (x). Teorema (Condición necesaria de existencia de pto. de inflexión) Si f(x) tiene un punto de inflexión en x = a, entonces o f (a) = 0 o f (a) no existe. Teorema (Criterio de la (n + 1) ésima derivada) Supongamos que la función f(x) es (n+1) veces derivable en el intervalo abierto (a,b) y que para cierto c (a,b) tenemos que f (c) = f (c) = = f (n) (c) = 0, f (n+1) (c) 0. Entonces si n es par la función f(x) tiene un punto de inflexión en c. Además f(x) pasa de cóncava a convexa si f (n+1) (c) < 0 y de convexa a cóncava si f (n+1) (c) > 0.

134 Representación gráfica de funciones Esquema para la representación de la función y = f(x). 1 Determinar el dominio de la función f(x). 2 Determinar si la función tiene simetría par o impar, o si es periódica. 3 Determinar los puntos de discontinuidad de la función (evitables y no evitables) así como las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función. 4 Encontrar los puntos de corte con los ejes, o sea, los ceros de la función f(x) = 0, y el punto f(0). 5 Encontrar los extremos de la función y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 6 Encontrar los puntos de inflexión de la función y los intervalos de concavidad y convexidad.

135 Representación gráfica de funciones Esquema para la representación de la función y = f(x). 1 Determinar el dominio de la función f(x). 2 Determinar si la función tiene simetría par o impar, o si es periódica. 3 Determinar los puntos de discontinuidad de la función (evitables y no evitables) así como las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función. 4 Encontrar los puntos de corte con los ejes, o sea, los ceros de la función f(x) = 0, y el punto f(0). 5 Encontrar los extremos de la función y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 6 Encontrar los puntos de inflexión de la función y los intervalos de concavidad y convexidad. Ejercicio: Estudiar la función f(x) = x2 +1 x 2 1.