C alculo Septiembre 2010

Transcripción

1 Cálculo Septiembre 2010

2 Funciones reales de variable real Conjuntos de números Números complejos Funciones reales de variable real Valor absoluto Funciones polinómicas y racionales Función exponencial y logarítmica Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Límites Continuidad c Dpto. de Matemáticas UDC

3 Conjuntos de números IN Z Q IR C Densidad de Q en IR: dados a,b IR, a < b, existe q Q t.q. a < q < b

4 Números complejos Definición El conjunto de los números complejos es C = {a + bi / a,b IR}, donde i = 1 es la unidad imaginaria. En C operaremos de la siguiente manera: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Distintas representaciones de un número complejo z: a + ib (a,b) z θ z = a 2 + b 2 es el módulo, o distancia al origen θ [0,2π) se denomina argumento Propiedades: Sea a IR; entonces a = a + 0i C. Podemos considerar IR C Todo polinomio p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (a i C) tiene n raíces en C. (Teorema fundamental del Álgebra) c Dpto. de Matemáticas UDC

5 Función real de variable real Sea A IR Definición La correspondencia f : A IR es una función si a cada x A le asigna una única imagen f (x) IR Llamamos: dominio: D(f ) = {x/ existe f (x)} = {x/f (x) IR} imagen: Im (f ) = {y IR/y = f (x) para algún x IR}

6 Función real de variable real Definición Sea f : A IR una función real de variable real. Sea B A. f es creciente en B si x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ), x 1,x 2 B, f es estrictamente creciente en B si x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ), x 1,x 2 B, f es decreciente en B si x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ), x 1,x 2 B, f es estrictamente decreciente en B si x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ), x 1,x 2 B. Definición Decimos que f es inyectiva si: x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 )

7 Función real de variable real. Simetrías Definición Decimos que una función f es par si f (x) = f ( x), y decimos que es impar si f (x) = f ( x) Función par Función impar Nota El nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios con exponente par (x 2, x 4, x 6,...) tienen simetría par y los monomios con exponente impar (x, x 3, x 5,...) tienen simetría impar. c Dpto. de Matemáticas UDC

8 Función real de variable real. Periodicidad Definición Sea f : R R. Diremos que f es periódica, con período T si f (x) = f (x + T), x R. El ejemplo más clásico de funciones periódicas son las funciones trigonométricas. Si sabemos que una función tiene un período T, será suficiente con representarla en [0,T]. Después se repetirá. T

9 Composición de funciones Definición Sean f : A R R, g : B R R, con f (A) B. Definimos la función compuesta g f (se lee f compuesta con g ) a la función g f : A R R x A (g f )(x) := g(f (x)). f x A f (x) g(f (x)). g

10 No se debe pensar que f 1 = 1 f! La forma práctica de calcular una función inversa es despejar la x en función de la y (es decir, de f (x)) e intercambiar sus papeles. c Dpto. de Matemáticas UDC Función inversa Definición Sea f : A R R una función inyectiva. Existe una única función h : Imf R tal que h(f (x)) = x, x A. Esta función se denomina inversa de f y suele denotarse como f 1. Es decir, f 1 f = Id. Además, en este caso se verifica que la composición es conmutativa, es decir, que f f 1 = Id (siendo Id la función identidad, es decir, Id(x) = x, x R). x y = f 1 (x)

11 Valor absoluto Definición Sea x IR, llamamos valor absoluto de x a la cantidad: { x, si x < 0, x = x, si x 0. Definición Dado x R, su distancia al origen es d(x,0) := x. En general, para x, y R, definimos la distancia entre estos dos puntos como d(x,y) := x y. c Dpto. de Matemáticas UDC

12 Valor absoluto Propiedad Sean x,y IR x 0 x = 0 x = 0 x + y x + y (desigualdad triangular) xy = x y, x y = x, si y 0. y Si C > 0, x C C x x x C

13 Funciones polinómicas Las funciones polinómicas son funciones del tipo p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, con a 0, a 1,..., a n R, y a n 0. Diremos que grado del polinomio es n, coeficiente principal es a n. Ejemplos de polinomios son 1. p 1 (x) = 5x 3 4x + 2, 2. p 2 (x) = 8x 3 2, 3. p 3 (x) = πx 4 + 2x 3 3x. El dominio de una función polinómica es siempre R, mientras que su imagen varía en cada caso.

14 Funciones racionales Las funciones racionales son cocientes de funciones polinómicas, es decir, Ejemplos de funciones racionales son 1. f 1 (x) = 5x3 4x + 2 8x 3 2, 2. f 2 (x) = 1 x f (x) = p(x) q(x). El dominio de estas funciones son todos los reales, excepto aquéllos que anulen el denominador, Domf = R {x R : q(x) = 0}, mientras que su imagen varía en cada caso.

15 Función exponencial Sea a > 0. Definimos la función exponencial de base a como Siempre que a 1, Domf = R, Imf = (0,+ ), f (0) = a 0 = 1. f (x) = a x. 1. a < 1. En este caso, f (x) = a x es una función estrictamente decreciente, x < y a x > a y, límx a x = +, límx + a x = a > 1. En este caso, f (x) = a x es una función estrictamente creciente, x < y a x < a y, límx a x = 0, límx + a y = +. c Dpto. de Matemáticas UDC

16 Función exponencial x 0.5 x El caso más importante es la función f (x) = e x (recordemos que e = 2, ). A esta función es a la que se suele conocer, por defecto, como función exponencial. Propiedad i) a x+y = a x a y, x,y R, ii) (a x ) y = a xy, x,y R, iii) a x = 1 a x x R (consecuencia de la anterior propiedad).

17 Función logarítmica Es la inversa de la función exponencial. Definición Dado a > 0, a 1, decimos que y es el logaritmo en base a de x si a y = x, Propiedad Para cualquier valor de a, y = log a (x) : a y = x. el dominio de la función logaritmo lo forman los números positivos: Dom log = (0,+ ), la imagen es R, log a (1) = 0. Propiedad i) log a (xy) = log a (x) + log a (y), x,y R, ii) log a (x y ) = ylog a (x), x,y R, ( ) x iii) log a = log y a (x) log a (y) x,y R, y 0.

18 Función logarítmica 1. a > 1. En este caso, f (x) = loga (x) es una función estrictamente creciente, límx 0 + log a (x) =, límx + log a (y) = +. x < y log a (x) < log a (y), 2. a < 1. En este caso la situación se invierte, como se muestra en la gráfica. 6 4 log 2 (x) log 0.5 (x)

19 Función logarítmica 6 4 log 2 (x) log 0.5 (x) El logaritmo más utilizado es el que tiene como base el número e, f (x) = log e (x). Se denomina logaritmo neperiano, y suele denotarse por ln(x) o, simplemente, log(x). Cualquier otro logaritmo se puede expresar en función del ln mediante la fórmula log a (x) = ln(x) ln(a).

20 Funciones trigonométricas Función seno La función f (x) = sin(x), verifica su dominio es todo R, su imagen es [ 1,1], es una función impar, es una función periódica con período 2π sen(x)

21 Funciones trigonométricas Función coseno La función f (x) = cos(x), verifica su dominio es todo R, su imagen es [ 1,1], es una función par, es una función periódica con período 2π cos(x)

22 Funciones trigonométricas El seno y el coseno pueden entenderse como las longitudes de las proyecciones sobre los ejes del ángulo, en radianes, dibujado sobre la circunferencia de radio unidad. 1 x cos(x) sin(x) Propiedad sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 x, sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y), cos(x + y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y).

23 Funciones trigonométricas Definimos la función tangente como tan(x) := sin(x) cos(x). El dominio de esta función lo forman todos los puntos de R en los que el coseno no se anule, es decir, { π } Dom tan = R 2 + kπ : k Z, mientras que su imagen es todo R. Además, es una función impar y periódica, con período π tan(x)

24 Funciones trigonométricas Otras funciones trigonométricas Cosecante, cosec(x) := 1 sin(x), Secante, sec(x) := 1 cos(x), Cotangente, cotan(x) := 1 tan(x).

25 Funciones trigonométricas inversas Función arco-seno Es la inversa de la función seno. Como ésta no es una función inyectiva, restringimos su dominio, quedándonos con el seno definido sólo en el intervalo [ π 2, π 2 ]. Definimos entonces la función arco-seno, arcsin(x), como la función que, dado un x [ 1,1], le asocia el único y en [ π 2, π 2 ]. x y = asin(x)

26 Funciones trigonométricas inversas Función arco-seno Por tanto la función arcsin(x) tiene como dominio el intervalo [ 1,1] y como imagen el [ π 2, π 2 ]. Es una función impar asin(x)

27 Funciones trigonométricas inversas Función arco-coseno Es la inversa de la función coseno. En este caso, restringimos el dominio para quedarnos con el coseno definido en el intervalo [0,π]. Definimos entonces la función arco-coseno, arccos(x), como la función que, dado un x [ 1,1], le asocia el único y en [0,π] tal que x = cos(y). 3 acos(x)

28 Funciones trigonométricas inversas Función arco-tangente Es ( la inversa de la función tangente. Restringimos su dominio al intervalo π 2, π ) 2. Definimos entonces la función arco-tangente, arctan(x), como la función que, dado un x R, le asocia el único y en ( π 2, π 2 ) tal que x = tan(y). y = arctan(x) x

29 Funciones trigonométricas inversas Función arco-tangente Por tanto la función arctan(x) tiene como dominio todo R y como imagen el intervalo ( π 2, π 2 ). Es una función impar atan(x)

30 Definición de límite. Introducción ε δ Figura: Eligiendo x en el intervalo azul, f (x) estará en el verde Figura: Si x está en el intervalo azul, (x,f (x)) está dentro del rectángulo verde

31 Límite de una función en un punto Sea f : (a,b) IR Definición Decimos que l IR es límite de f en x 0 (a,b) si: ε > 0, δ > 0 tal que 0 < x x 0 < δ = f (x) l < ε Se representa por lím x x0 f (x) = l

32 Propiedad El límite de una aplicación en un punto, si existe, es único. Propiedad Supongamos que lím x x0 f (x) = l 1 y lím x x0 g(x) = l 2. Entonces, lím x x0 (f (x) + g(x)) = l 1 + l 2 lím (f (x)g(x)) = l 1 l 2 x x0 ( ) f (x) lím = l 1 si l 2 0 x x0 g(x) l 2

33 Límites laterales Definición Diremos que el límite de f, cuando x se acerca a x 0 por la derecha, es l si [ / ] lím x x + f (x) = l : ε > 0, δ > 0 0 < x x 0 < δ = f (x) l < ε. 0 Diremos que el límite de f, cuando x se acerca a x 0 por la izquierda, es l si [ / ] lím x x f (x) = l : ε > 0, δ > 0 0 < x 0 x < δ = f (x) l < ε. 0

34 Límites laterales x 0 x 0 Límite por la derecha Límite por la izquierda Propiedad Existe lím x x0 f (x) si y sólo si existen lím x x + 0 f (x) y lím x x 0 f (x) y son iguales.

35 Límites infinitos Definición lím [ x x0 f (x) = + / : ] M > 0, δ > 0 0 < x x 0 < δ f (x) > M, lím [ x x0 f (x) = / : ] M > 0, δ > 0 0 < x x 0 < δ f (x) < M. M M lím x x0 f (x) = + lím x x0 f (x) =

36 Límites en el infinito Definición [ / ] lím x + f (x) = l : ε > 0, M > 0 x > M f (x) l < ε, [ / ] lím x f (x) = l : ε > 0, M > 0 x < M f (x) l < ε. l l M M lím x + f (x) = l lím x f (x) = l

37 Decimos que la función f tiene: una asíntota horizontal en y = l si: lím x ± f (x) = l una asíntota vertical en x = x 0 si: lím f (x) = ± x x0 una asíntota oblicua si lím (f (x) (mx + n)) = 0. x ± Para calcular m y n: m = lím x ± x calculamos n = lím (f (x) mx); x ± la ecuación de la asíntota es: y = mx + n f (x). Si m 0 y m, entonces

38 Continuidad Sea f : (a,b) IR, x 0 (a,b) Definición Decimos que la aplicación f es continua en x 0 si y sólo si: ε > 0, δ > 0 tal que x 0 x < δ = f (x 0 ) f (x) < ε o bien, teniendo en cuenta la definición de límite, si lím x x0 f (x) = f (x 0 )

39 En caso de no cumplir la condición anterior, decimos que f es discontinua en x 0. Las discontinuidades pueden ser de varios tipos: evitable: lím x x0 f (x) f (x 0 ) esencial: no existe el límite de f en x 0, porque: lím f (x) lím f (x) x x0 x x 0 + alguno de los límites laterales (o ambos) no existe

40 Propiedad Si f,g : (a,b) IR son funciones continuas en x 0 (a,b), λf es continua en x 0, λ R, (f ± g) y (f g) son continuas en x 0, si g(x 0 ) 0, entonces f g es continua en x 0. Propiedad La composición de funciones continuas es una función continua. Además, si f y g son funciones tales que lím x x0 f (x) = l y g es continua en l, entonces lím g(f (x)) = g(l) x x 0 Propiedad El límite conmuta con las funciones continuas. Es decir, sean f y g funciones tales que existe lím x x0 f (x) = l R y g es una función continua en l. Entonces lím x x0 g(f (x)) = g ( lím x x0 f (x) ) = g(l).

41 Continuidad en intervalos Definición Sea f : (a,b) R R. Diremos que f es continua en (a,b) si es continua en todos los puntos de (a,b). Definición Sea f : [a,b] R R. Diremos que f es continua en [a,b] si 1. f es continua en (a,b), 2. f es continua en a por la derecha, 3. f es continua en b por la izquierda.

42 Teorema de Bolzano Teorema (de Bolzano) Sea f : [a, b] IR continua. Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces x 0 (a,b) tal que f (x 0 ) = 0

43 Teorema de Bolzano. Comentarios 1. Pueden existir varias raíces, a b 2. Si se suprime alguna de las hipótesis, el teorema no es aplicable, a b a b f (a)f (b) > 0 f no continua en [a,b]

44 Teorema de Bolzano. Cálculo de raíces Método de bisección o dicotomía Consideramos f : [a,b] R continua en [a,b] con f (a)f (b) < 0. Para aproximar una raíz de f, el método de bisección: Divide el intervalo dado a la mitad. Toma el punto medio del intervalo como aproximación de la raíz. Repite el proceso con la mitad del intervalo en la que f presenta un cambio de signo.

45 Teorema de Bolzano. Cálculo de raíces Método de bisección o dicotomía Inicializamos [a 1,b 1 ] = [a,b]. Para k = 1,2,... Calculamos x k = a k + b k. 2 Si f (a k )f (x k ) < 0, actualizamos [a k+1,b k+1 ] = [a k,x k ] Si no, [a k+1,b k+1 ] = [x k,b k ] Nota El proceso se repite hasta que x k aproxima satisfactoriamente una raíz α. Notemos que x k α b a 2 k

46 Teorema de Weierstrass Teorema (de Weierstrass) Si f : [a,b] IR es continua, entonces f alcanza el máximo y el mínimo en el intervalo [a,b], es decir, existen x 1,x 2 [a,b] tales que: f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), x [a,b]

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