Capítulo 2: Funciones, límites y continuidad

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1 Capítulo : Funciones, ites y continuidad 1. Lección 6. Funciones racionales 1.1. Funciones polinómicas Las funciones polinómicas son las de la forma y = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 siendo los a i números reales, a n 0 y n 0 (cuando n = 0 la función es de la forma y = c, y se llama una función constante). El dominio de cualquier función polinómica es R. Se pueden observar las gráficas de funciones (siempre en un cierto intervalo [x 0, x 1 ]) utilizando wxmaxima. Para obtenerlas, el programa calcula los valores y = f(x) de la función para muchos puntos x muy próximos, de manera que la representación tiene la forma de una curva continua. Pero si queremos estar seguros de cómo es la gráfica en puntos muy alejados (por la izquierda o por la derecha), hay que estudiar el comportamiento de la función para valores de x muy grandes o muy pequeños. Con este objetivo, es necesario utilizar de nuevo la idea de ite, aplicándola a funciones. Definición 1. Sea y = f(x) una función cuyo dominio incluye un intervalo de la forma [a, + ). Sea L un número real o bien ±. Decimos que f(x) = L x + cuando para toda sucesión a n (con los términos a n en el dominio de f), que cumple n a n = +, se tiene n f(a n ) = L. Definición. Sea y = f(x) una función cuyo dominio incluye un intervalo de la forma (, a]. Sea L un número real o bien ±. Decimos que f(x) = L x cuando para toda sucesión a n (con los términos a n en el dominio de f), que cumple n a n =, se tiene n f(a n ) = L. El valor, si existe, del ite x + f(x) o x f(x), nos da información sobre el comportamiento de la gráfica de la función f para valores muy grandes (en valor absoluto) de la variable independiente x. Es muy fácil calcular los ites de las funciones polinómicas para x + o para x. Haremos notar que, en el cálculo de ites de funciones, las reglas válidas son exactamente las mismas que vimos para ites de sucesiones en el capítulo anterior. 1

2 Por ejemplo, calculemos x (x 5 + 5x 4 + x x + x + 5). Se tiene: x 5 + 5x 4 + x x + x + 5 = x 5 (1 + 5 x + x + 10 x x x 5 ) así que el ite es el de un producto. El primer factor tiene ite cuando x. El segundo factor, por las propiedades de los ites de sucesiones, dará ite 1, pues los demás sumandos tienen ite 0. Por tanto, x (x 5 + 5x 4 + x x + x + 5) =. 1.. Raíces de polinomios Sea y = f(x) una función polinómica. Las soluciones de la ecuación f(x) = 0 son las raíces del polinomio f(x). Si x 0 es una raíz de f(x), entonces (x 0, 0) es un punto de la gráfica de f, que es un punto de corte con el eje de abscisas. Además de para encontrar los puntos de corte de la gráfica de una función con el eje de abscisas, calcular las raíces de un polinomio es de ayuda en el proceso de factorizar polinomios; esto es, de expresar un polinomio como producto de otros polinomios. Cuando f(x) es un polinomio de grado 1 o de grado, sabemos resolver la ecuación f(x) = 0 para hallar las raíces del polinomio (y, por tanto, los puntos de corte de la gráfica de y = f(x) con el eje de abscisas). Si el grado de f(x) es mayor, existen diversos procedimientos para intentar calcular las raíces. De momento, comentamos solamente uno de ellos: Proposición. Si el número racional a b (siendo a b una fracción irreducible) es raíz del polinomio c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0 (con c n 0, n 1) entonces a es divisor de c 0 y b es divisor de c n. Ejemplo. Consideremos el polinomio h(x) = x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1. Sus raíces racionales, si las hay, han de ser de la forma a b con a, b divisores de 1. Como los únicos divisores de 1 son 1, 1, las únicas posibles raíces racionales del polinomio son 1, 1. Comprobar si alguno de estos números es raíz es un trabajo fácil: se puede calcular h(1) y h( 1) para ver si el resultado es 0; alternativamente, se puede emplear la regla de Ruffini para hacer la división de h(x) entre x 1 o x + 1. Ello se debe a la siguiente propiedad: Si a es raíz de un polinomio f(x), entonces existe un polinomio g(x) tal que f(x) = (x a)g(x). Ejemplo. Consideremos el polinomio g(x) = x 4 9x + 4x + 1 Sus raíces racionales, si existen, han de ser enteros divisores de 1. Probando, llegamos a la conclusión de que g() = 0, de modo que es una raíz. Entonces, la división de g(x) entre x debe dar resto 0. Haciendo la división, por ejemplo por el método de Ruffini, obtendremos g(x) = (x )(x 3 + x 5x 6)

3 1.3. Gráficas de funciones racionales Llamamos funciones racionales a las que son de la forma y = f(x) g(x) siendo f(x), g(x) polinomios (y g(x) no nulo). Es decir, las funciones racionales están dadas por cocientes de polinomios. Como en el caso de las funciones polinómicas, wxmaxima puede dar las gráficas de funciones racionales en intervalos [x 1, x ]. De nuevo, para estudiar la gráfica para valores muy grandes o muy pequeños de la variable independiente, habrá que calcular el ite de la función racional para x ±. Para calcular estos ites, usamos las reglas vistas en la lección anterior. Por ejemplo: x + x + (x 3)(x + 4) = x + x + x + x 1 = x + 1 x + x x 1 x = 0 1 = 0 x 3 5x x + 6 x x 3 + x 5x 6 = 5 x 1 x + 6 x 3 x 1 + x 5 x 6 = x 3 En el segundo ejemplo, el ite de la función para x es igual a. Esto significa que para valores muy grandes en valor absoluto, pero negativos, de la variable x, la gráfica se acerca mucho a la recta y =. Definición 3. Cuando una función y = f(x) verifica que x + f(x) = L (o x f(x) = L), siendo L un número, entonces decimos que la recta y = L es una asíntota horizontal de la función f. Así, la recta y = es una asíntota horizontal de la segunda de las funciones anteriores, mientras que y = 0 es una asíntota horizontal de la función del primer ejemplo. Cualquier función puede tener, a lo sumo, dos asíntotas horizontales (por la izquierda y por la derecha); y las asíntotas horizontales se obtienen cuando hay ite finito en el infinito Dominio de una función racional Si y = p(x) q(x) es una función racional, con p(x), q(x) polinomios, el dominio de dicha función consta de todos los números reales, excepto las raíces del polinomio denominador q(x). Esto se debe a que sumas, restas, productos y cocientes de números reales dan números reales, excepto la operación a/0, que no es ningún número real. Veamos algún ejemplo. Consideremos la función y = f(x) = x + (x 3)(x + 4) Las raíces del denominador de f(x) son 3, 4. Por tanto el dominio es: (, 4) ( 4, 3) (3, + ) Podemos expresar esto de modo más simple: R {3, 4}. 3

4 Sea la función y = h(x) = x x + 1 x + 3x Resolviendo la ecuación x +3x = 0, vemos que las raíces del denominador de h(x) son a = y b = Luego el dominio de la función es R {b, a}. O bien: (, ) ( 3+ 17, 3 17 ) ( 3 17, + ). Consideramos la función (no es exactamente una función racional, pero tiene las mismas propiedades en cuanto al dominio): y = p(x) = x3 5x x + 6 x 3 + x 5x 6 Si existen raíces racionales del denominador x 3 +x 5x 6 de p(x), han de ser enteros divisores de 6. Probando, observamos que 1 es una raíz, y dividiendo x 3 + x 5x 6 = (x + 1)(x + x 6) A su vez, x + x 6 = (x )(x + 3); luego las raíces del denominador son 3, 1,. El dominio de y = p(x) es R { 3, 1, }. O bien (, 3) ( 3, 1) ( 1, ) (, + ). Adelantando un término que se usará más adelante, diremos que un punto x 0 que no pertenece al dominio de una función y = f(x), pero tal que la función está definida en un intervalo [a, x 0 ) o (x 0, b], es un punto de discontinuidad de la función. El estudio del comportamiento de la función cerca de estos puntos de discontinuidad es también muy informativo sobre la gráfica de la función. Para estudiar este comportamiento, debemos aplicar de nuevo el concepto de ite a esta situación. Definición 4. Sea y = f(x) una función, x 0 R un punto de la recta real y sea L un número o bien ±. Supongamos que el dominio de la función incluye un intervalo de la forma [c, x 0 ). Diremos que L es el ite por la izquierda de la función dada para x x 0 (y escribiremos x x f(x) = L), cuando se verifica la siguiente propiedad: para 0 toda sucesión a n de números del dominio con a n < x 0 y tal que n a n = x 0, se tiene que n f(a n ) = L. Definición 5. Sea y = f(x) una función, x 0 R un punto de la recta real y sea L un número o bien ±. Supongamos que el dominio de la función incluye un intervalo de la forma (x 0, c]. Diremos que L es el ite por la derecha de la función dada para x x 0 (y escribiremos x x + f(x) = L), cuando se verifica la siguiente propiedad: para 0 toda sucesión a n de números del dominio con a n > x 0 y tal que n a n = x 0, se tiene que n f(a n ) = L. Añadimos a las anteriores una definición más global: 4

5 Definición 6. Sea y = f(x) una función, x 0 R un punto de la recta y sea L un número o bien ±. Supongamos que el dominio de la función incluye intervalos [c, x 0 ) y (x 0, d]. Diremos que L es el ite de la función dada para x x 0 (y escribiremos x x0 f(x) = L), cuando se verifica la siguiente propiedad: para toda sucesión a n de números del dominio con a n x 0 y tal que n a n = x 0, se tiene que n f(a n ) = L. Observemos que x x0 f(x) = L si y solo si se tiene f(x) = L = f(x) x x 0 x x + 0 Usando las definiciones anteriores, podemos ver lo que ocurre con algunas funciones racionales en los puntos que no están en su dominio. x+ Consideremos la función y = (x+3)(x 4). Los puntos x = 3 y x = 4 no pertenecen al dominio, ya que son las raíces del denominador. Usando los procedimientos generales, tendremos x 4 x + (x + 3)(x 4) = = 6 0 = Podemos precisar más, indicando si el ite es + o, y calculando los ites por la derecha y por la izquierda. Así, cuando x 4, hemos de considerar que la variable x toma valores próximos a 4, pero < 4. El numerador x + > 0 y el factor x + 3 > 0. De este modo, el signo de la fracción es el de x 4, que será negativo en este caso. Por tanto, x + x 4 (x + 3)(x 4) = Podemos hacer el mismo razonamiento cuando x 4 + ; en este caso, el factor x + 4 es positivo, luego se tiene x + x 4 + (x + 3)(x 4) = + Cuando x está próximo a 3, pero es x < 3, se tendrá x + 3 < 0; en cuanto a los otros factores, será x 4 < 0 y x + < 0 (en los dos casos, porque x toma valores muy próximos a 3). Luego resultará y de modo análogo, x + x 3 (x + 3)(x 4) = x + x 3 + (x + 3)(x 4) = + Estudiamos ahora la función y = 3x +x 1 x+. El único punto en que la función no está definida es x =. Como el numerador da, para x =, 5

6 el valor = 7, el numerador es > 0 para valores de x próximos a. Luego el signo del cociente es el mismo que el del denominador. Con el procedimiento general, 3x + x 1 = 7 x x + 0 = Para ver el signo, razonamos del mismo modo que antes: si x <, entonces x + < 0, y el denominador es negativo; si x >, entonces x + > 0 y el denominador es positivo. Como el cociente tiene (en esos valores) el mismo signo que el denominador, será 3x + x 1 3x + x 1 =, = + x x + x + x + Consideremos ahora la función h(x) = x3 5x x+6 x 3 +x 5x 6. Nótese que el denominador es igual a (x + 3)(x + 1)(x ), y que el numerador también se factoriza como (x + 1)(x )(x 3). Así, salvo para los valores x = 1 o x =, se tiene h(x) = x 3 x 3 x+3. Si llamamos g(x) = x+3, se tiene que, para x 1 y x, es h(x) = g(x). De acuerdo con la definición de ite, el valor del ite de f(x) en x = a, depende solamente de los valores de f(x) con x cercano a a, pero x a. Por tanto, en los tres puntos x = 1, x =, x = 3, se tiene que el ite de h(x) coincide con el de g(x). Así, x 3 5x x + 6 x 1 x 3 + x 5x 6 = x 3 x 1 x + 3 = 5 = 5 x 3 5x x + 6 x x 3 + x 5x 6 = x 3 x x + 3 = 1 5 x 3 5x x + 6 x 3 x 3 + x 5x 6 = x 3 x 3 x + 3 = 9 0 = En este último caso, podemos calcular los ites laterales. El signo de la fracción es el opuesto del signo del denominador, ya que el numerador está próximo a 9 y es negativo. Cuando x 3, se tiene x + 3 < 0 y el denominador es negativo, luego el cociente es positivo. Así, se tiene x 3 5x x + 6 x 3 x 3 + x 5x 6 = +, x 3 5x x + 6 x 3 + x 3 + x 5x 6 = 1.5. Asíntotas verticales ± o x x + 0 f(x) = Definición. Sea y = f(x) una función y x 0 un número tal que x x 0 f(x) = ±. Decimos entonces que la recta x = x 0 es una asíntota vertical de la función y = f(x). Como en el caso de las asíntotas horizontales, la gráfica de la función tiende a confundirse con la asíntota vertical conforme tomamos valores de x próximos a x 0. 6

7 En los ejemplos anteriores, y = x + 3 e y = x 4 son asíntotas verticales de la primera de las funciones; x + es una asíntota vertical de la segunda; y x + 3 es la única asíntota vertical de la función y = h(x).. Lección 7. Factorización de polinomios y funciones exponenciales.1. Factorización de polinomios reales Un resultado importante en la teoría de polinomios es el siguiente: Teorema 1. Todo polinomio con coeficientes reales o complejos y de grado 1, tiene alguna raíz compleja. A partir de este resultado y del hecho de que si α es raíz de un polinomio p(x), entonces p(x) = (x α)q(x) para algún polinomio q(x), se sigue el siguiente teorema fundamental de la teoría de polinomios: Teorema. Si p(x) es un polinomio con coeficientes reales o complejos de grado n 1, entonces existen complejos z 1,..., z n de manera que p(x) = k(x z 1 )(x z ) (x z n ) donde k es una constante. Recordemos que, por las propiedades de los complejos, si p(x) es un polinomio con coeficientes reales, entonces para cada raíz compleja z i que no sea real, z i es también una raíz. Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales. Por el Teorema y la observación anterior, existen números reales r 1,..., r t (con t 0), y números complejos no reales z 1,..., z s (con s 0), de manera que se tiene p(x) = k(x r 1 ) (x r t )(x z 1 )(x z 1 ) (x z s )(x z s ) Para completar nuestro razonamiento, observemos cuál es el producto de dos de estos factores: (x z h )(x z h ) = (x (a + bi))(x (a bi)) = ((x a) bi)((x a) + bi) = (x a) + b de manera que el producto de esos dos factores da un polinomio real de grado, cuyas raíces no son reales (puesto que dichas raíces son z h, z h ). Estos polinomios de grado sin raíces reales se llaman irreducibles. Esto nos conduce al resultado fundamental sobre polinomios reales, que es el de mayor interés para nosotros. Teorema 3. Sea p(x) un polinomio de grado 1 con coeficientes reales. Existen entonces números reales r 1,..., r t y polinomios de grado irreducibles, q 1,..., q s con coeficientes reales, de forma que p(x) = k(x r 1 ) (x r t )q 1 q q s = k(x r 1 ) d1 (x r j ) dj q e1 1 qe h h donde la segunda expresión se obtiene agrupando los factores de la primera que aparezcan repetidos. 7

8 Aunque sepamos que existe una factorización como se ha indicado, no siempre es fácil obtener dicha factorización de un polinomio arbitrario con coeficientes reales. Veamos, de todos modos, algunos ejemplos. x 3 3x + 4x Probando las posibles raíces enteras, encontramos que 1 es una raíz. Dividiendo por x 1, tenemos x 3 3x + 4x = (x 1)(x x + ) Resolviendo la ecuación para hallar las raíces del segundo factor, vemos que dichas raíces son complejas: ± 4 8 = ± 4 = ± i = 1 ± i En consecuencia, este polinomio de segundo grado es irreducible, y la factorización anterior es del tipo indicado en el teorema. x 4 x 3 + x + x. Este polinomio tiene las raíces 1, 1, y asi encontramos la factorización x 4 x 3 + x + x = (x 1)(x + 1)(x x + ) y ya sabemos que el tercer factor es irreducible, de forma que hemos terminado la factorización... Reducción de funciones racionales a fracciones simples Veremos a continuación que las expresiones f(x) que dan una función racional pueden reducirse a polinomios y fracciones de un tipo especial, que llamamos fracciones simples. Proposición 4. Sea p(x) q(x) un cociente de dos polinomios. Se pueden encontrar polinomios a(x), b(x), c(x), de manera que se tenga p(x) b(x) = a(x) + q(x) c(x) donde el grado de b(x) es menor que el grado de c(x). Esto se debe a que podemos dividir el polinomio p(x) entre q(x), y se obtiene un cociente y un resto. Aplicamos entonces la relación D = d c + r (donde D representa al dividendo, d al divisor, c al cociente de la división, y r al resto). Entonces D d = c + r d, y se sabe que el grado del resto es menor que el grado del divisor. Mediante el proceso de la división, por tanto, empezamos a reducir la fracción dada. Trataremos ahora el caso de una fracción p(x) q(x) cuando el grado de p(x) es menor que el de q(x). Lo desarrollaremos sobre un ejemplo. Sea la función y = 1 x 3 3x +4x. 8

9 En primer lugar, debemos factorizar el denominador de acuerdo con el resultado visto en el Teorema 3. En este caso, obtenemos la factorización x 3 3x + 4x = (x 1)(x x + ) El objetivo es expresar la fracción como una suma de fracciones simples: las fracciones simples son, por definición, las de alguna de estas formas: A (x α) k, Ax + B h(x) t con k, t 1, y siendo h(x) un polinomio de grado irreducible. Nuestro resultado básico es que este objetivo es siempre posible, siendo los denominadores de las fracciones que forman la suma precisamente los siguientes: todas las potencias desde x α hasta (x α) k, si en la factorización del denominador aparece el factor (x α) k ; y todas las potencias desde h(x) hasta h(x) t si en la factorización del denominador aparece el factor h(x) t. Usando esta propiedad, nuestro método consiste en suponer el problema resuelto: escribimos nuestra fracción igual a una suma de fracciones simples como se ha descrito, dejando los coeficientes de los numeradores indeterminados; calculamos después estos coeficientes indeterminados partiendo de la ecuación a la que hemos llegado. En el ejemplo, tendremos: Desarrollando el segundo miembro, 1 x 3 3x + 4x = A x 1 + Bx + C x x + A x 1 + Bx + C x x + = A(x x + ) + (Bx + C)(x 1) (x 1)(x = x + ) = Ax Ax + A + Bx + Cx Bx C x 3 3x + 4x = (A + B)x + (C A B)x + (A C) x 3 3x + 4x 1 Como esta fracción ha de ser igual a x 3 3x +4x, deducimos que 1 = (A + B)x + (C A B)x + (A C) 1 = A C, 0 = C A B = A + B 9

10 Esto da un sistema de ecuaciones lineales fácil de resolver. Por ejemplo, despejando C en la primera, C = A 1; luego tendremos 0 = 1 + B = A + B. Se sigue que A = 1, B = 1 y C = 1. Así, 1 x 3 3x + 4x = 1 x 1 + x + 1 x x + Estudiamos otro ejemplo. Sea la fracción x +x 1 (x 1) (x+). El primer paso, la factorización del denominador, está ya dado. Luego la ecuación ha de ser: x + x 1 (x 1) (x + ) = A x 1 + B (x 1) + C x + Desarrollando el segundo miembro, obtenemos A(x 1)(x + ) (x 1) (x + ) + B(x + ) C(x 1) (x 1) + (x + ) (x 1) (x + ) e igualando los numeradores con la fracción dada, A(x 1)(x + ) + B(x + ) + C(x 1) = x + x 1 (.1) Esto conduce a la ecuación x + x 1 = A(x + x ) + B(x + ) + C(x x + 1) = (A + C)x + (A + B C)x + ( A + B + C) Se podría ahora resolver el sistema resultante. Pero podemos usar otro procedimiento a partir de la ecuación.1: dar los valores 1, (y 0) a la variable: B(1 + ) = 1 + 1, B = 3 C( 3) = 4 4 1, C = 1 9 A( ) = 1, A = 10 9 Luego x + x 1 (x 1) (x + ) = 10 9(x 1) + 3(x 1) 1 9(x + ) 10

11 .3. La función exponencial Hemos visto ya el significado de a b para cualquier número real a > 0 y cualquier racional b. Una propiedad clave de los números reales es: Proposición. Todo número real x es el ite de alguna sucesión de números racionales. Usando este hecho, el valor de a x para a > 0 y x R se define como n a cn, para cualquier sucesión c n de números racionales que tenga la propiedad n c n = x. Esto permite considerar dos clases de funciones: (1) las potencias de exponente real; () las funciones exponenciales. Las funciones y = x a, siendo a R son funciones potencias. Su dominio de definición es [0, + ), ya que las potencias de exponente real y base negativa no están definidas. Las funciones exponenciales elementales son de la forma y = a x con a > 0. El dominio de una función exponencial es R. Usando wxmaxima podemos ver las gráficas de algunas funciones exponenciales. Por las propiedades de los ites, sabemos que los ites de la forma L + = + para L > 1. Pero L + = 0 para 0 < L < 1. Usando esto, vemos que: x ax = 0, x + ax = + (si a > 1) x ax = +, x + ax = 0 (si 0 < a < 1) De este modo, la recta y = 0 es una asíntota horizontal para cualquier función exponencial básica (de la forma y = a x ). Además, los valores que toma cualquier función exponencial básica son > 0. Las propiedades de la función exponencial son las ya vistas para potencias de exponente racional: a 0 = 1, a x+x = a x a x, a x x = ax, (a x ) x = a xx a x La función exponencial natural es la de base e: y = e x. Esta función aparece de forma natural en el estudio de problemas de crecimiento o decrecimiento de poblaciones o de procesos de desintegración, por ejemplo. De la consideración de la gráfica de una función exponencial se sigue que verifica la condición para tener función inversa. Como la exponencial es una función de dominio R que toma como valores todos los elementos de R + (los números reales positivos, es decir, el intervalo (0, + )), su inversa tendrá dominio R + y toma como valores todos los números reales..4. Funciones logarítmicas La inversa de la función exponencial y = b x se llama la función logarítmica de base b, y se escribe como y = log b x. Por definición de función inversa, la condición log b a = c quiere decir que b c = a. Es decir, el logaritmo de a es el exponente al que hay que elevar la base para obtener a. 11

12 La gráfica de la función logarítmica puede obtenerse a partir de la correspondiente exponencial: si (a, c) es un punto de la gráfica de la función exponencial y = b x, entonces (c, a) será un punto de la función logarítmica y = log b (x). Por ello, la gráfica se obtiene como la simétrica de la gráfica de la exponencial respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Podemos confirmar esta idea usando wxmaxima. Las propiedades de los logaritmos se obtienen asimismo de modo directo a partir de las propiedades de las potencias. log b 1 = 0, log b (xx ) = log b (x) + log b (x ) log b ( x x ) = log bx log b x, log b (x x ) = x log b x Los logaritmos de base e se llaman logaritmos naturales, o neperianos; y, en lugar de log e x se escribe ln(x) o log(x) o simplemente log x. Es decir: la función inversa de la función y = e x es la función logarítmica natural, y = log x. El dominio de esta función (como el de las demás funciones logarítmicas) es el conjunto R + de los números reales positivos: R + = (0, + ). La gráfica de la función y = ln x es simétrica de la exponencial y = e x respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Así, tiene una asíntota vertical, x = 0, ya que x 0 ln x =. Existe una relación directa entre el logaritmo natural de un número y su logaritmo en cualquier base b > 0. En efecto: y = ln x, z = log b (x) e y = x, b z = x Pero además e ln b = b. Luego x = (e ln b ) z = e zln b = e y. Igualando los exponentes, tenemos y = z ln(b), ln x = log b (x)ln b o bien log b x = ln x ln b. 3. Lección 8. Funciones trigonométricas 3.1. Las razones trigonométricas Si α es un ángulo agudo, podemos construir un triángulo rectángulo ABC con AC como hipotenusa y α igual al ángulo de vértice A. Entonces las razones trigonométricas básicas se definen como: sen(α) = CB AC cos(α) = AB AC tan(α) = CB AB De estas relaciones resulta inmediatamente que tan(α) = sen(α) cos(α). 1

13 3.. Las funciones trigonométricas básicas Las funciones trigonométricas se definen a partir de dos de ellas, el seno y el coseno. La función seno tiene dominio R. De esta manera, debemos definir sen(x) para cada número real x. A estos efectos, partimos de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas y de radio unidad. Para cada valor x de la variable independiente, consideramos un arco de circunferencia, empezando en U(1, 0) y recorrido en sentido positivo (antihorario) si x > 0; o en sentido negativo (horario) si es x < 0, y cuya longitud es igual a x (lo que puede implicar que el arco incluye varias vueltas completas). El extremo del arco será un punto X de la circunferencia, de coordenadas (a, b) (y que verificarán la condición a + b = 1). Entonces definimos sen x = b, cos x = a Además, definimos las restantes funciones trigonométricas elementales a partir de estas: Función tangente: tan x = sen x cos x Función cotangente: cot x = cos x sen x Función secante: sec x = 1 cos x Función cosecante: csc x = 1 sen x Usando estas definiciones, damos una tabla con algunos valores notables de las funciones seno, coseno, tangente. Téngase en cuenta que la longitud de la circunferencia unidad es π. Por tanto, los valores de seno y coseno se repiten periódicamente, dado que sen x = sen(x + kπ), cos x = cos(x + kπ) cualquiera que sea el entero k; y lo mismo ocurre, en consecuencia, con la tangente y las demás funciones. Por ello, solo damos valores de estas funciones entre 0 y π. sen cos tan π π π π Nótese que el valor de la tangente no está definido para x = π o 3π, debido a que en esos puntos el coseno es 0, y el cociente ±1 0 no existe. De hecho, el dominio de la función tangente es todo R excepto los valores x tales que cos x = 0. Por las definiciones, esto ocurre cuando el extremo X está sobre el eje de ordenadas. Si está en la parte positiva, debe tenerse x = π + kπ; si está en la parte negativa, será x = 3π + kπ. Esto significa que los puntos que no pertenecen al dominio de la función tan son precisamente los de la forma π + kπ, para algún k Z. 13

14 Las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente pueden verse con ayuda de wxmaxima. Las gráficas de seno y coseno son periódicas, con periodo π. Además, debido al hecho de que sen(x + π) = sen x y cos(x + π) = cos x, resulta que la tangente tiene periodo π Algunas propiedades de las funciones trigonométricas Hay otros valores interesantes de las funciones trigonométricas, cuando x es igual a fracciones notables de la circunferencia: π 6, π 4 o π 3. sen cos tan π 6 1/ 3/ 3/3 π 4 / / 1 π 3 3/ 1/ 3 Como resulta claramente de la definición (y puede comprobarse con las gráficas), los valores de sen x y cos x pertenecen siempre al intervalo [ 1, 1]. En cambio, la tangente toma todos los valores reales. De hecho, las rectas verticales x = π + kπ son asíntotas verticales de la función tangente: tan x = sen x x π x π cos x = +, sen x x π + cos x = porque para x > π, el coseno es negativo. La situación es análoga para cualquier otro punto de discontinuidad de la función tangente. Hemos definido las funciones seno, coseno y tangente sin referirnos a ángulos, sino a distancias medidas sobre la circunferencia; esto es, a arcos. Ahora bien: cualquier distancia x de un arco determina un punto extremo X y un ángulo, el ángulo UOX, siendo O el origen y U el punto (1, 0). Cuando el ángulo UOX es menor de 90 0, entonces es claro que la definición que hemos dado de sen x o de cos x coincide con la indicada al principio, usando el triángulo rectángulo de hipotenusa OX y ángulo U OX. Por otra parte, la medida x del arco de circunferencia entre U y X es también una medida del correspondiente ángulo UOX. Se dice que x es la medida en radianes de dicho ángulo; esto es: La medida en radianes de un ángulo es la longitud del arco de la circunferencia unidad determinado por los lados de dicho ángulo cuando su vértice se hace coincidir con el origen de coordenadas y el semieje positivo de abscisas es uno de los lados. Así, un ángulo de mide π radianes, puesto que el arco correspondiente es una semicircunferencia. Vemos ahora algunas otras propiedades de las razones trigonométricas, que han de sernos de utilidad. Observemos antes que existe el convenio de escribir sen 3 x en lugar de lo que sería normal, (senx) 3. Lo mismo se aplica para otras funciones trigonométricas y otros exponentes. sen x + cos x = 1. sen( x) = sen x, cos( x) = cos x. sen(x+y) = sen x cos y+sen y cos x, sen(x y) = sen x cos y sen y cos x. cos(x+y) = cos x cos y sen x sen y, cos(x y) = cos x cos y+sen x sen y. 14

15 1 cos x = 1 + tan x. sen(x) = sen x cos x, cos(x) = cos x sen x Funciones inversas de las trigonométricas La función seno no tiene función inversa, ya que no cumple la condición vista en el capítulo 1 para la existencia de función inversa. Por ejemplo, sen( π 4 ) = = sen(3π 4 ), π 4 3π 4 Sin embargo, si restringimos el dominio al intervalo [ π, π ], la función seno toma todos los valores entre 1 y 1, y arcos distintos dan senos distintos. Por tanto, la función sen : [ π, π ] R, x sen x admite una función inversa. Esta función se llama arco seno, y se tiene: arcsen : [ 1, 1] R, y = arcsen x x = sen y Por ejemplo, arcsen 1 = π o arcsen 0 = 0. Para la función coseno tenemos una situación parecida. Si tomamos la función cos : [0, π] R, x cos x entonces esta función tiene inversa, llamada arco coseno. arccos : [ 1, 1] R, y = arccos x x = cos y La tangente da un función con inversa cuando tomamos ( π, π ) como dominio, y su inversa es: arctan : R R, y = arctan x x = tan y 3.5. Funciones hiperbólicas Aunque con una definición aparentemente muy distinta, las funciones hiperbólicas (seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica) tienen propiedades muy parecidas a las de las funciones trigonométricas. senh : R R, cosh : R R, x senh x = ex e x x cosh x = ex + e x 15

16 tanh : R R, x tanh x = senh x cosh x Las gráficas pueden verse utilizando wxmaxima. Viendo las gráficas, apreciamos que cosh x 1 para todo x. Por esa razón, el dominio de la tangente hiperbólica es todo R, ya que el coseno hiperbólico no se anula en ningún punto. Otras propiedades notables de estas funciones son: cosh x senh x = 1, senh( x) = senh x, cosh( x) = cosh x senh(x + y) = senh(x)cosh(y) + cosh(x)senh(y) cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y) Todas estas propiedades son fáciles de comprobar usando solamente las definiciones de las funciones hiperbólicas (y las propiedades de las exponenciales) Inversas de las funciones hiperbólicas Las funciones senh y tanh tienen inversa, ya que cumplen la condición necesaria. Para obtener la inversa del coseno hiperbólico necesitamos restringir su dominio a [0, + ). De este modo obtenemos las respectivas funciones inversas: arg senh : R R, y = arg senh x x = senh y arg cosh : [1, + ) R, arg tanh : ( 1, 1) R se definen de modo análogo. Estas funciones se llaman argumento seno (respectivamente, coseno, tangente) hiperbólico. Las inversas de las funciones hiperbólicas admiten otra expresión. Vamos, para verlo, a calcular por los procedimientos generales, la inversa del senh. Llamemos y = senh(x). Para hallar la inversa, debemos expresar x en términos de y. Como paso intermedio, expresaremos e x en términos de y. Para ello, sea z = e x, de modo que e x = 1 e = 1 x z. Se tiene entonces, por la definición del seno hiperbólico, y = z 1 z, yz = z 1, z (y)z 1 = 0 Como z = e x, sabemos que ha de ser un valor positivo; además, para cada y, ha de ser z solución de la ecuación de segundo grado anterior. Así, z = y ± 4y + 4 = 1 (y ± y + 1) = y ± y + 1 Como y + 1 > y en todo caso, y sabemos que z > 0, deducimos que se tiene z = y + y + 1 = e x. A partir de esta igualdad, podemos despejar x en función de y: 16

17 x = ln(y + y + 1) Ahora, la función inversa se obtiene intercambiando los papeles de x, y. Así, dicha función inversa será y = arg senh x = ln(x + x + 1) Veamos también el caso de la función arg cosh. Como antes, llamamos z = e x. Además, y = cosh x, con x 0, ya que debe estar en el dominio de la función cosh. Por tanto, z e 0 = 1, y, teniendo en cuenta la gráfica de la función cosh, se tiene también y 1. Por la definición de la función cosh, y = z + 1 z, y así llegamos como antes a la ecuación de segundo grado z (y)z + 1 = 0. Las soluciones se obtienen como z = y ± 4y 4 = y ± y 1 De nuevo se deduce que esta ecuación es válida con el signo +. En efecto, si se tuviese 1 z = y y 1, entonces y 1 y 1, de donde resultará 0 y 1 (y 1) = y y + 1. Se sigue que 1 y + 1, 1 y 1, y, 1 y Este resultado solamente se tiene si es y = 1, en cuyo caso y 1 = 0, y z = y + y 1. Por tanto se obtiene en todo caso la relación e x = y + y 1 De aquí resulta x = ln(y + y 1), y la función inversa dará y = arg cosh x = ln(x + x 1) 4. Lección 9. Continuidad de funciones Varias de las funciones que hemos visto hasta ahora presentan ciertas interrupciones en su gráfica, cuando se llega a puntos en que la función no está definida. Sea y = x3 x+3 5 x. Esta función no está definida en x = ± 5 y tiene asíntotas verticales x = 5 y x = 5. Si se representa, puede verse cómo la gráfica queda interrumpida en esos dos puntos. Sabemos que la función y = tan x tiene asíntotas verticales x = π + kπ para cada entero k, que hacen que la gráfica de la función esté compuesta de infinitos trozos no conectados. La función que describe el cambio en la entropía absoluta en función de la temperatura está dada por fórmulas diferentes para cada fase. En la transición de una fase a otra, la entropía da un salto finito, debido al cambio repentino de las propiedades termodinámicas. 17

18 Sea y = x 4 x. El valor x = no es un punto del dominio. Salvo por ese punto, la función coincide con y = x +, pero se interrumpe justamente en ese punto. Es interesante y muy informativo estudiar el comportamiento de la función cerca de estos puntos. Pero estudiarla en los demás puntos, en que no hay interrupciones, presenta otro interés: las funciones en esa situación tienen mejores propiedades y podemos aprovechar esas propiedades. Los puntos en los que la gráfica no se interrumpe son los puntos en los que diremos que la función es continua. Definición 1. Sea y = f(x) una función y x 0 R. La función y = f(x) es continua en x 0 cuando se verifica f(x) = f(x 0 ) x x 0 Observación. Con la misma idea, puede definirse la noción de función continua a la izquierda (o a la derecha) en x 0. Para ello, simplemente sustituimos el ite de la definición por el ite a la izquierda (o a la derecha). Intuitivamente, la función es continua en x 0 si al tomar x valores próximos a x 0, la variable y toma valores próximos a f(x 0 ). Definición. Si (a, b) es un intervalo abierto contenido en el dominio de la función y = f(x), decimos que f es continua en (a, b) cuando es continua en todos los puntos de ese intervalo. Si [a, b] es un intervalo cerrado contenido en el dominio de la función y = f(x), decimos que f es continua en [a, b] cuando es continua en el intervalo abierto (a, b) y además, es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b. Por ejemplo, cualquier función polinómica es continua en todo punto de R, y por tanto en cualquier intervalo. La función y = tan x es continua en todos los intervalos de la forma ( π + kπ, π + (k + 1)π). La función y = x 4 x es continua, por ejemplo, en el intervalo [ 5, ); de hecho es continua en cualquier intervalo que no incluya al punto x =. Como se ha dicho, estudiaremos dos aspectos: propiedades de las funciones continuas; y descripciones de lo que ocurre en los puntos en que la función no es continua; y empezaremos por abordar este segundo aspecto. Si la función y = f(x) no es continua en x 0 (pero existe algún intervalo ([a, x 0 ) o (x 0, b] contenido en el dominio), decimos que presenta en x 0 una discontinuidad, o que x 0 es un punto de discontinuidad. Distinguiremos a continuación entre distintos tipos de discontinuidad. Notemos antes que si y = f(x) es continua en x 0, entonces se verifica en particular: Existe x x0 f(x) Si se cumple la condición de arriba (pero la función no es continua en x 0 ), se dice que la discontinuidad es evitable. Entonces el ite en x 0 existe, pero f(x 0 ) no existe o no coincide con el ite. 18

19 Si consideramos una función g que es exactamente igual a f, salvo porque g(x 0 ) = x x0 f(x), entonces g sería continua en x 0. Por eso la llamamos una discontinuidad evitable. Si existen y son finitos los ites de f(x) en x 0 por la izquierda y por la derecha, pero son distintos, decimos que la discontinuidad es de salto finito. En los demás casos, o bien no existe alguno de los ites laterales en x 0, o bien al menos uno de ellos es infinito. La discontinuidad no es evitable, ni de salto finito. Ejercicio 1. Estudiar los puntos de discontinuidad de la función y = tan x 1 x + 1 e indicar de qué tipo son. Indicar cómo será su gráfica y comprobarlo usando wxmaxima. Hay una discontinuidad en x = 1, ya que el argumento de la tangente no está definido en ese punto. Pero como x 1 x+1 = x 1 en todos los demás puntos, existe el ite en x = 1 y será tan( ). Así, esa es una discontinuidad evitable. También hay puntos de discontinuidad para cualquier x tal que x 1 = π +kπ (cualquier valor entero de k). Entonces, hay discontinuidad en x = 1 + π + kπ. Como en estos puntos el ite es ±, la discontinuidad no es de salto finito. Las correspondientes rectas verticales son asíntotas de la función. La gráfica, salvo para el valor x = 1 (en donde la función no está definida) es la de y = tan(x 1); y esta a su vez es la trasladada de la de y = tan x una unidad a la derecha. Ejercicio. Para cualquier número real r se llama suelo de r (o parte entera de r) al mayor número entero k tal que k r. El suelo de r se denota como r. Consideramos la función y = f(x) = x Se pide indicar los puntos de discontinuidad de esta función, y el tipo de cada discontinuidad. De la definición de la función se sigue que en cada intervalo [k, k + 1), para cada entero k la función permanece constante igual a k. El dominio es todo R, pero si k es entero, tendremos: f(x) = k 1, f(x) = k x k x k + luego la función presenta una discontinuidad de salto finito para cada punto x = k (con k entero). En los demás puntos, la función es continua: pues si k < r < k + 1, entonces f(r) = k y el ite por los dos lados de f(x) cuando x r es también k. Ejercicio 3. Estudiar, con ayuda de wxmaxima, las gráficas de las funciones siguientes: 19

20 sen( 1 x ). sen x x. x sen( 1 x ). y decir si existe el ite de esas funciones para x Continuidad de las funciones elementales Revisemos las funciones elementales estudiadas, considerando su continuidad. Para ello, necesitaremos las siguientes propiedades sencillas sobre funciones continuas. La suma, la diferencia, o el producto de funciones continuas en un intervalo I es una función continua en el intervalo I. El cociente de dos funciones continuas en un intervalo I es también continua en todos los puntos del intervalo, excepto en los que anulan al denominador. Una función potencia y = x a es continua en su dominio [0, + ). Las funciones exponenciales elementales y = a x son igualmente continuas. Igualmente, las funciones logarítmicas, con dominio (0, + ), son continuas en todo punto del dominio. La composición de dos funciones continuas en sus dominios es una función continua en su dominio. Si una función f es continua en un intervalo cerrado I y tiene función inversa en ese intervalo, entonces la inversa f 1 también es continua en los puntos de f(i). De esto resulta que todas las funciones elementales que hemos considerado: polinómicas, racionales, potencias, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas, hiperbólicas y sus inversas, son continuas en su dominio de definición. También lo son sus sumas, diferencias, productos, cocientes o compuestas. Teorema de Bolzano sobre funciones continuas. Si y = f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces existe c (a, b) tal que f(c) = 0. Este resultado es la base de un método, el método de bisección, para buscar las raíces de una función continua y = f(x) en un intervalo; esto es, los valores x del intervalo que cumplen f(x) = 0. Ejemplo. Supongamos que queremos hallar alguna raíz del polinomio x 3 x +. Esta es una función continua en cualquier intervalo cerrado, de forma que podremos aplicar el teorema sin restricciones. Directamente, sabemos que f( ) = = < 0, mientras que f(0) = > 0. Por el teorema, hay una raíz en el intervalo (, 0). Escogemos ahora el punto medio del intervalo x = 1, y calculamos f( 1) = = 3 > 0. Por tanto, hay una raíz en el intervalo (, 1). 0

21 El punto medio de ese intervalo es 1,5. Calculamos f( 1,5) = 1,65 > 0. Por el teorema, hay una raíz en (, 1,5). Tomemos ahora x = 1,75, y calculemos f( 1,75) = 0,14065 > 0. Luego la raíz está en (, 1,75). Tomamos de nuevo el punto medio de ese intervalo, x = 1,875. Calculando, f( 1,875) = 0, < 0. La raíz está en el intervalo ( 1,875, 1,75). Ahora x = 1,815 y f( 1,815) = 0, < 0. La raíz está en ( 1,815, 1,75). Con x = 1,7815, f(x) = 0, < 0. Queda el intervalo ( 1,7815, 1,75). x = 1,76565 y f(x) = 0, > 0. Llegamos a ( 1,7815, 1,76565). x = 1, y f(x) = 0, < 0. El intervalo es ( 1, , 1,76565). x = 1, y f(x) = 0, < 0. El intervalo es ( 1, , 1,76565). Está claro que podríamos seguir acotando con mayor precisión cada vez la raíz buscada. Con lo visto, sabemos que hay una raíz cuyas primeras cifras son 1,76, y se podrán ir determinando otras cifras decimales. Definición. Sea y = f(x) una función, y sea D un conjunto de números del dominio. Se dice: La función está acotada en D si existe algún número M > 0 tal que f(x) < M para todo x D. M es entonces una cota para los valores de la función en D. Para x 0 D, la función alcanza su máximo (absoluto) en D en el punto x 0 cuando f(x 0 ) f(x) para todo x D. Para x 0 D, la función alcanza su mínimo (absoluto) en D en el punto x 0 cuando f(x 0 ) f(x) para todo x D. Es claro que si una función alcanza sobre D un máximo y un mínimo, entonces está acotada en D: el mayor valor absoluto de estos dos extremos es una cota para los valores absolutos de la función. Teorema de Weierstrass. Si y = f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza en ese intervalo un máximo y un mínimo (absolutos). Por tanto, está acotada. 5. Ejercicios 1. Hallar el dominio de la función 3x + x 1 y = x 3 + 4x + 4x + 3 y calcular sus asíntotas verticales, si las tiene. 1

22 . Calcular las asíntotas horizontales de la función y = 3x x + 1 (x 3) y hallar los puntos de corte con el eje de abscisas. 3. Factorizar los polinomios: x 3 + 6x + 5x, x 3 7x + 16x Expresar como suma de fracciones simples la función racional y = x + x + 1 (x )(x + 1) 5. Reducir mediante fracciones simples la función racional y = x x 3 x + x 4 6. La función de onda radial del orbital 3s para el átomo de hidrógeno tiene la forma R 3s = N( r a 0 ) e r/a0 siendo N, a constantes. Encontrar el ite de R 3s cuando r 0 + y cuando r Indicar cuál es el dominio de la función y = ln( x x 1 ), y decir si tiene alguna asíntota vertical. Misma pregunta para la función y = ln( x 1 x ). 8. Resolver la ecuación cos(x) = 1 + cos x. 9. Indicar cuál es el dominio de la función y = ln( 1+tan x 1 tan x ). 10. Calcular el valor de arg tanh x en términos de logaritmos y raíces (como en los casos considerados en el texto, debe usarse la expresión de y = tanh x en función de e x para despejar e x en función de y. De ahí se obtiene x en función de y, y por tanto la función inversa de tanh). 11. El desplazamiento de una onda armónica en la dirección positiva del eje de abscisas está dado por la ecuación y 1 = A sen(π( x λ νt)) donde A es la amplitud, λ la longitud de onda y ν la frecuencia. Cuando esta onda se encuentra con otra onda en sentido contrario, de ecuación y = A sen(π( x λ νt)), la interferencia de ambas produce una nueva onda de la forma y = ay 1 +by. Si a = b = 1, probar que la ecuación para la onda resultante es: y = A sen πx λ cos(πνt)

23 1. Las siguientes funciones: f(x) = x3 + x x 3 x + x 1, g(x) = x + 1 x 1 presentan una discontinuidad en x = 1. Decir de qué tipo de discontinuidad es cada una de ellas. 13. La función y = tan(x 1) tan x tiene una raíz en el intervalo ( 1, 0). Calcular dicha raíz con cuatro cifras decimales exactas, usando el método de bisección del teorema de Bolzano. 14. Indicar cuáles son el máximo y el mínimo absolutos de la función y = sen x en el intervalo [ π 4, π ]. Justificar que la función f definida del siguiente modo: f(x) = cos x, si x 0, f(x) = sen x, si x > 0 no tiene un mínimo absoluto en el intervalo [ π 4, π 4 ]. 15. Se considera la función f dada por: f(x) = 1, si 1 x <, f(x) = 0, si x / [1, ) Dibujar la gráfica de la función f, indicar sus puntos de discontinuidad y decir si tiene ite por cada lado en esos puntos. 16. Expresar los siguientes logaritmos en función de log 10 : log 10 4, log 10 8, log 10 3 log 10 6, ln(8), ln(1/4) 17. Dado que el radical P H tiene forma de V en su estado fundamental, con el ángulo HP H de 13 0 y la longitud de uno de los enlaces P H igual a 140 pm, calcular la distancia H H. Si el ángulo y la distancia anteriores cambian a y 10 pm respectivamente en un estado electrónico excitado, calcular el cambio en la distancia H H. 18. Encontrar las raíces de la ecuación polinómica f(x) = x x + 17x + 6 = 0, y factorizar el polinomio. Dar un esquema de la gráfica de la función y = f(x). 19. El modelo de Einstein para la capacidad calorífica molar de un sólido con volumen constante C V proporciona la fórmula C V = 3R(ax) ( eax/ ) eax 1 siendo a = hν k, con k > 0 constante; y x = 1 T. Encontrar el valor ite C V cuando T Expresar en radianes los siguientes ángulos: 5 0, 10 0, Expresar en grados los siguientes ángulos (dados en radianes): π 10, 7π 8, 9π 80. 3

24 1. Usar los valores notables de las funciones trigonométricas para hallar el seno, el coseno y la tangente de los siguientes ángulos: 3π 4, 5π 4, 7π 4. Expresar sen(5x)cos(3x) y sen(5x)sen(3x) en función de los senos y cosenos de 8x y de x. 3. La ecuación de Bragg para la reflexión de una radiación de longitud de onda λ en los planos de un cristal es nλ = dsen θ donde d es la separación entre los planos, θ es el ángulo de incidencia de la radiación y n es un entero. Calcular los ángulos θ con los que se reflejan los rayos de longitud de onda 1, m en planos cuya separación es 3, m. 4. Para un sistema compuesto de N moléculas idénticas, la distribución de Boltzmann n i N = eɛi/kt da la fracción de moléculas que se encuentran en el estado molecular i con energía ɛ i. Demostrar que la proporción ni n j de las poblaciones de los estados i, j depende solamente de la diferencia de energía entre los dos estados. Deducir la proporción para dos estados que tienen la misma energía. 5. Simplificar las expresiones: ln(x 3 ) ln(x), ln(x 5 3x )+ln(x 1 ) ln(x 3 3), ln(e x +3 ) ln(e 3 ) 6. La ecuación x 3 + 1,74x,5x 3,97 = 0 tiene una raíz en el intervalo (0, ). Usar algún programa de cálculo algebraico (o, en su defecto, una calculadora) para aproximar esa raíz con dos decimales exactos, aplicando el teorema de Bolzano como se ha visto en el capítulo. 7. Calcular los siguientes ites de funciones: x + 4 x x +, (ln(x 4) ln(3x + )) x 8. Calcular los siguientes ites de funciones x + 1 x 0 x + 3, 9. Se considera la función x 1 x 1 x 1, x x 1 x 1 x x, si x 0; x 1 x, si 0 < x 1; x x 1, si x > 1 Indicar si tiene puntos de discontinuidad y de qué clase son. 4