1. Para la función f(x) = x sen x, halle su polinomio de Taylor de orden 2 en a = 0. x x3 3! + x5

Transcripción

1 Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática Problemas resueltos, -, -4 y 4-5 (tercera parte Preparado por los profesores de la asignatura: Pablo Fernández, Dragan Vukotić, Luis Guijarro (coordinadores, Kazaros Kazarian y José Luis Torrea. Para la función f(x = x sen x, halle su polinomio de Taylor de orden en a =. La respuesta es: P (x = x. Como recordaremos de la teoría vista en clase, los polinomios de Taylor en a = de la función sen x son x, x x!, x x! + x5 5!, etc. Multiplicándolos por x, obtenemos que los polinomios correspondientes de f(x son x, x x 4 /!, etc. El primero es de grado mientras que el siguiente ya es de grado 4; por tanto, P (x = x. Otra manera de llegar a la misma conclusión es calculando f (x = sen x + x cos x, f (x = cos x x sen x y evaluándolos en x =, para luego calcular P (x = f( + f ( + f ( x = x.. Calcule el polinomio de Taylor de grado 6 de la función f(x = cos x en el punto x =. Utilizando la fórmula anterior, calcule g (8 ( de la función g(x = cos x. Calculando las derivadas de f de todos los órdenes hasta 6 y aplicando la fórmula general para el polinomio de Taylor o, alternativamente, partiendo de la fórmula (vista en clase para la serie de Taylor de la función coseno en x =, obtenemos P 6 (x = x! + x4 4! x6 6! Sustituyendo x en lugar de x, se obtiene el polinomio de Taylor (Maclaurin de orden de la función g: x4! + x8 4! x 6! El coeficiente al lado de x 8 es igual a g (8 (/8!. Igualando ambas cantidades, vemos que Despejando, obtenemos 4! = g(8 (. 8! g (8 ( = 8! = = 56 = 68. 4!. Consideremos la función ( πx f(x = cos π x. 8 Determine el polinomio de Taylor de orden de la función f centrado en x =.

2 Hay varias formas de hacer este problema. La más rápida es usar la fórmula para el polinomio de Taylor de cos x remplazando la x por πx, y recordar que el polinomio de Taylor de grado de π x 8 centrado en coincide con π x. Esto nos daría 8 ( πx p, (x = π x = π x π x = π x La otra posibilidad es hallar f(, f (,..., f ( y sustituir en la fórmula del polinomio de Taylor. Esto resulta en y en f(x = cos ( πx π x 8, f (x = π sen ( πx ( f (x = π πx 4 cos ( f (x = π πx 8 sen π x 4,, π 4, f( =, f ( =, f ( = π, f ( =. Con lo que al sustituir en la fórmula del polinomio de Taylor nos queda el polinomio p, (x anterior. 4. Estime el error de aproximación de la función f(x = cos x cerca de a = por el polinomio de Taylor de grado y en el punto x =. Para obtener el polinomio de Taylor P n (x de orden n de la función coseno, tenemos dos formas de proceder: usar el desarrollo de cos x en serie de Taylor alrededor de a = ; en este caso: truncando luego la serie después de la potencia x n ; cos x = x! + x4 4! x6 6! +..., calcular las derivadas sucesivas f (x, f (x, f (x,..., evaluándolas en a =, etc. De cualquiera de las dos maneras, obtendremos: P (x = = P (x, P (x = x = P (x, P 4 (x = x + x4 4 = P 5(x,... Los polinomios P y P coinciden porque f ( =, lo cual significa que no hay ningún término con x. Lo que nos interesa en concreto en este caso es P (x = x / y x = /. El error que se comete al aproximar cos x por P (x, según la fórmula vista en clase, es igual a E = f (4 (c(x a 4 /4! para algún punto c entre a = y x = / =,. Recordando que f (4 (x = cos x, tenemos la siguiente estimación para E; E f (4 (c, 4 4 = cos c, 4, 4, 467.

3 5. Calcule la integral indefinida sen x cos x. Aplicando el cambio de variable: sen x = t, cos x = dt, la integral se transforma en sen x cos x = t dt = t + C = sen x + C, donde la constante C es arbitraria. 6. Calcule la integral indefinida arc tg x. Aplicando Integración por partes, con u = arc tg x y dv =, obtenemos du = x +, v = x. Por lo tanto, según la fórmula para la Integración por partes, se obtiene x arc tg x = x arc tg x x + = x arc tg x x + + C. (La última integral se suele calcular o bien directamente o bien mediante la sustitución x + = t. 7. Evalúe la integral indefinida 9 x + 6 x + 5. Completando el cuadrado en el denominador: 9x + 6x + 5 = (x + x = (x + + 4, obtenemos I = 9 x + 6 x + 5 = Después del siguiente cambio de variable (bastante obvio: (x = 4 ( x+. + se obtiene I = 4 donde C denota una constante real arbitraria. (x + / = t, = (t/ dt, dt t + = 6 arc tg t + C = x + arc tg + C, 6 8. Calcule la integral indefinida sen x cos x, aplicando la relación fundamental entre las funciones trigonométricas: sen x + cos x =

4 Observemos que sen x cos x = sen x cos x cos x = sen x ( sen x cos x. Al igual que antes, podemos aplicar el cambio de variable sen x = t, obteniendo cos x = dt. La integral se convierte en sen x cos x = t ( t dt = (t t 4 dt = t + t5 5 + C = sen x + sen5 x + C Calcule razonadamente la integral I = x x 4 +. Hacemos el cambio de variable u = x, con lo que du = x y x 4 + = u + : la integral queda entonces como 9 du I = (u + (observe que hemos cambiado los ĺımites de la integral de acuerdo con el cambio de variable. En esta integral reconocemos la derivada de la arco tangente, así que I = 9 du u + = [arc tg u]9 = (arc tg 9 arc tg Se puede escribir un poco más si se reconoce que arc tg( = π/4.. Calcule el valor exacto de la integral x( + x. Aplicando el cambio de variable x = t en nuestra integral definida, obtenemos: x = dt, x = t ; x = : t =, x = : t =, de manera que dt ( = x( + x + t = arc tg x π = π = π Calcule la integral indefinida sen x cos x. 4

5 Primero aplicamos un truco visto en otros ejercicios similares: I = sen x cos x = cos x sen x cos x y luego el cambio de variable t = sen x. Observemos que t < y t puesto que sen x cos x. Del cambio de variable obtenemos que y, por tanto, dt = cos x, cos x = sen x = t I = dt t ( t = dt t ( + t ( t. De esta manera hemos conseguido reducir la integral I a la integral de una función racional de t. Ésta se puede calcular usando las fracciones simples o parciales: t ( + t ( t = A + t + B t + C t + D t. Multiplicando ambos lados por el denominador de la izquierda: t ( + t ( t, obtenemos la condición = At ( t + Bt ( + t + Ct ( t + D ( t. Agrupando los términos constantes y los términos que contienen a t, t y t respectivamente, vemos que = D + Ct + (A + B Dt + ( A + B Ct. Para que el polinomio (constante a la izquierda y el polinomio a la derecha sean iguales para todo t R, es necesario y suficiente que sus coeficientes correspondientes sean iguales, luego D =, C =, A + B D =, A + B C =. De ahí se sigue inmediatamente que D =, C =, A + B = y B = A. De las dos últimas ecuaciones fácilmente obtenemos A = B = /. Por lo tanto, t ( + t ( t = t + + t + t, que es la representación buscada. Puesto que + t > y t > podemos aplicar la formula = ln x + C, x >. x Integrando obtenemos I = ln(t + ln( t t + C = ln t + t t + C, donde C R es una constante arbitraria. Finalmente, sustituyendo de nuevo t = sen x, vemos que I = ln + sen x sen x sen x + C. 5

6 . Evalúe la integral definida (x (9 + x. Primero descomponemos la fracción en suma de fracciones simples. Dado que 9+x 9 >, este trinomio cuadrático no tiene ceros reales, luego no se puede factorizar más (en factores lineales con coeficientes reales. Por tanto, según la teoría, buscamos los números reales A, B y C para los que (x (9 + x = A x + Bx + C 9 + x para todo x. Multiplicando ambos lados por (x (9 + x, obtenemos = A(9 + x + (x (Bx + C = (A + Bx + (C Bx + 9A C, x R. Comparando los coeficientes del polinomio a la derecha con los del polinomio constante uno, deducimos que A + B =, C B =, 9A C =. Por tanto, B = C = A y A =, luego A = / y B = C = /. Finalmente, (x (9 + x = x x x = x x 9 + x 9 + x. La primera fracción se integra directamente, hay que tener en cuenta que x > puesto que x [, ]. La segunda fracción se integra usando el cambio de variable t = +x y la tercera, directamente o poniendo primero x = t. El resultado final es (x (9 + x ( = ln(x ln(9 + x arc tg x = ln 8 ln (π 4 π 6 = ln( + ln π 6.. Calcule el valor de la integral ln xe x. Integrando por partes: u = x, dv = e x, du =, v = e x, obtenemos xe x = xe x e x = xe x e x + C. Por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que ln xe x = (xe x e x ln = ln e ln e ln ( e = ln + = ln. 6

7 4. Calcule el área comprendida entre las curvas f(x = y g(x = 4 x. x Los puntos de intersección de las dos gráficas se encuentran resolviendo la ecuación f(x = g(x, es decir, x = 4 x. Para x, la ecuación es equivalente a = 4x x, que es lo mismo que x 4x + =. Las soluciones de esta ecuación cuadrática son x = 4 ± = ±, siendo ambas positivas y menores que 4 ya que >. Observando las gráficas de las funciones f y g entre x = y x = +, vemos que g(x > f(x en dicho intervalo y que encierran una región en forma parecida a la de media luna, contenida en el triángulo con los vértices (,, (4, y (, 4. Esto se puede comprobar algebraicamente, pues en el intervalo (, + se cumple x 4x + <, luego < 4x x y, al ser x positivo, podemos dividir por x para deducir que 4 x > x. El área entre las dos gráficas es, por tanto, A = + (g(x f(x = + (4 x x = (4x x ln x + = 4 ln Halle F (x cuando la función F viene dada por F (x = Considerando la función g(x = x x e t dt. e t dt, vemos que F es la función compuesta de g y h(x = x : F (x = g(x = g(h(x. Por tanto, la Regla de la Cadena y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos dicen que F (x = g (x x = xe x. 6. Calcule la derivada de la función F (x = e x +x x ln(t + dt. Primero representamos F como diferencia de dos integrales: F (x = e x +x x ln(t + dt = e x +x Derivando la diferencia, obtenemos (como en el problema anterior: x ln(t + dt ln(t + dt. F (x = (e x + ln((e x + x + x ln(x Si f : [, ] R es una función continua y tal que c f(t dt =? Razone la respuesta. f(t dt =, es cierto que siempre existe c (, 7

8 Sí, esto se cumple siempre. Damos la prueba a continuación. En primer lugar, puesto que f C[, ], podemos definir la función F mediante F (x = x f(t dt, x [, ]. Según el Teorema Fundamental del Cálculo, F es diferenciable y, por tanto, continua en el mismo intervalo. Además, F cumple F ( = f(t dt =, F ( = f(t dt =. Puesto que < / <, por el Teorema de Bolzano se sigue que existe c (, tal que F (c = /; es decir, c f(t dt =. 8. (a Determine los puntos críticos de la función F (x = x sen t t dt, x ( π, π, en el intervalo indicado. (b Razone si los puntos críticos encontrados son puntos de máximo o mínimo o no. (a Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, derivamos la función F, obteniendo F (x = sen x x. Para encontrar los puntos críticos de F, igualamos la derivada a cero y obtenemos sen x =. Recordando que π < x < π, la única posibilidad es x = π. (b Para decidir si el punto crítico encontrado, x = π, es un punto de extremo local o no, calculamos la segunda derivada de F (aplicando la regla del cociente y examinamos su signo en dicho punto: ( sen x F x cos x sen x (x = = x x ; F (π = π ( π = π <. Por tanto, el punto crítico es un punto de máximo local. 9. Definamos la función F mediante la fórmula F (x = x e t dt, x R. (a Calcule razonadamente su derivada, F (x. Luego determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de máximo y mínimo de la función F. (b Determine los intervalos de convexidad y concavidad de F y los puntos de inflexión. 8

9 (a La función f es composición de las funciones G(x = F (x = G(g(x. Por la regla de la cadena, x F (x = G (g(x g (x = e (x x = xe x4 e t dt y de g(x = x, i.e, donde hemos usado que por el teorema fundamental del cálculo, G (x = e x. Para calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento, buscamos los intervalos donde F (x sea positiva y negativa. F (x tiene un único cero, ya que e x4 es siempre positivo, y F (x sólo se anulará donde lo haga x; además F (x tiene el signo de x; por ello, F es decreciente en (, y creciente en (, infty. Esto implica que F tiene un único mínimo en x =, que además debe ser un mínimo global. (b Empezamos calculando la segunda derivada de F : F (x = e x4 + x( 4x e x4 = ( 4x 4 e x4 F se anula sólo cuando 4x 4 =, lo que ocurre en los puntos x = ±/. Por ello examinamos el signo de F en los intervalos (, /, ( /, / y (/, evaluando F en un punto de cada uno: F ( = e <, F ( =, F ( = e Por lo tanto F es cóncava en (, / y (/, y convexa en ( /, /. Los puntos x = / y / corresponden a puntos de inflexión, ya que se cambia de cóncavo a convexo o viceversa.. Compruebe que la serie p-armónica n= n p, p R, converge si y sólo si p >, usando el Criterio de la integral. Cuando p, el término general de la serie no tiene a cero y, por tanto, la serie diverge. Por tanto, sólo nos interesa considerar el caso p >. Cuando p >, la función f(x = es decreciente en [, + ya que el denominador es una función xp creciente y el numerador es constante. Por tanto, podemos aplicar el Criterio de la integral, que nos dice que la serie en cuestión es convergente si y sólo si converge la integral impropia M x p = lím M x p x p = lím M p Este último ĺımite es finito si y sólo si p <, es decir, si p >. M M p = lím. M p. Use el criterio de la integral para decidir si la serie es convergente. n= n(ln n 9

10 La función f(x = x(ln x = x ln x es decreciente en (, + ya que el denominador es una función creciente y el numerador es constante. Podemos aplicar entonces el Criterio de la integral. Éste nos dice que la serie en cuestión es convergente si y sólo si converge la integral impropia x(ln x. Para estudiar la convergencia de esta última integral, empezamos reemplazando la integral impropia por el ĺımite correspondiente A = lím x(ln x A x(ln x. A continuación observamos que el cambio de variable u = ln x convierte la integral indefinida en x(ln x = u du = u + C = ln x + C lo cual, volviendo a la integral impropia, nos da A lím A = lím x(ln x A ln x A = lím A ln ln A = ln <. Puesto que la integral correspondiente converge, la serie también converge.