Matemáticas II. Segundo Curso, Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática Grado en Ingeniería Eléctrica. 24 de febrero de 2013

Transcripción

1 Matemáticas II Segundo Curso, Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática Grado en Ingeniería Eléctrica 4 de febrero de 0. Conteste las siguientes cuestiones: (a) (0. ptos.) Escriba en forma polar 6 i. Solución: Necesitamos el módulo de r yelargumento θ arctan 6 arctan arctan π 6 (ya que está en el cuarto cuadrante) (b) (0. ptos.) Calcula e para π 4 i y π i Solución: Por la definición de exponencial Entonces para π 4 i e e x+iy e x (cos y + i sen y) Re () x 0 Im () y π 4 por tanto ypara π i µ e π 4 i e 0 cos π 4 + i sen π cos π i sen π 4 + i por tanto Re () x 0 Im () y π µ e π i e 0 cos π + i sen π cos π + i sen π + i (c) (0. ptos.) Utilice la fórmula de Moivre para calcular las soluciones complejas de Solución: Utiliando la fórmula de Moivre π µ π cos + i sen cos 4 4 π π cos + i sen 4 4 µ π 4 + i sen µ π (cos(8π)+isen (8π)) 4

2 y la ecuación queda luego son las raíces cúbicas de la unidad que calculamos en forma polar. Para ello ponemos en forma polar o exponencial 0 e i0 y utiliaremos la expresión para el cálculo de raíces n ésimas de un número complejo. Tenemos raíces cúbicas cuyo módulo es k p y cuyos argumentos ϕ k son luego ϕ 0 0 π ϕ π ϕ π 0 0 e i 0 ϕ k θ +kπ kπ π e i π/ + i 4π e i 4π/ i. ( pto.) Resuelva en C la ecuación siguiente: sen() 0. k 0,, (calculado en el ejercicio anterior) (conjugado de, polinomio de coeficientes reales) Solución: Utiliamos la definición de sen en términos de la función exponencial para reescribir la ecuación µ e i e i 0 i Hacemos el cambio e i w ycomow6 0 e i e i w De esta forma se obtiene una ecuación en la variable w w w i 0 w wi 0 y multiplicando por wi obtenemos una ecuación de segundo grado w 4wi 0 w 4wi 0 que podemos resolver fácilmente mediante la correspondiente fórmula q ( 4i) 4 () ( ) w 4i ± obteniendo dos soluciones 4i ± w w + i i 4i ± 4i ± i ± i

3 Con estos valores para w y w y teniendo en cuenta el cambio que se hio al principio del ejercicio obtendremos, mediante la definición de logaritmo complejo e i w i logw, tenemos en cuenta además que w y w son dos números imaginarios puros, ambos con parte imaginaria positiva i log + i ln + π +kπ + i i ln + π +kπ + i log i ln π +kπ + i i ln π +kπ +. (. ptos.) Encuentre, demostrando su existencia, una función u(x, y), de manera que la función f() u(x, y)+iv(x, y) seaenteraysecumplaf(0) π.lafunciónv(x, y) se define mediante Im (f ()) v(x, y) x y xy Exprese f como función de x + iy. Solución: Como se dice en el enunciado que f (x, y) debe ser entera, su parte imaginaria v (x, y) debe ser una función armónica y debe cumplir la ecuación de Laplace Derivando v (x, y) respecto x e y, una ve yotra y al sustituir en v xx + v yy 0 () v x x y v y 6xy v xx 6x v yy 6x (6x) {} v xx +( 6x) { } v yy 0 luego v (x, y) es armónica. Para el cálculo de u (x, y), la parte real de f (x, y), tendremos que aplicar las ecuaciones de Cauchy- Riemann: u x v y u y v x De la primera de estas ecuaciones (aunque esta elección es indiferente para el resultado final): u x v y u x 6xy e integrando respecto a x obtenemos u (x, y) Z u ( 6xy) dx x x y + ϕ (y) ϕ (y) es constante para x y para encontrar su expresión derivamos respecto de y u y x + ϕ 0 (y) Por la segunda de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, esta expresión debe coincidir con v x x y : x + ϕ 0 (y) x y

4 de donde se deduce que e integrando respecto a y se obtiene La expresión para u (x, y) será ϕ 0 (y) y ϕ (y) y + c R u (x, y) x x y + y + c y la función f (x, y) f (x, y) x x y + y + c + i x y xy Notar que si x + iy, entonces podemos expresar f (x, y) como función de de la forma f () i + c Como f (0) π/, podemos comprobar que c π/. 4. (. ptos.) Se considera la función racional f(). Calcule, justificando la valide de la región de ( i) convergencia, el desarrollo de Laurent de f convergente en el anillo A(0;, ) { C; > }. Solución: En primer lugar buscamos las raíces del denominador para descomponer la función en fracciones simples. Está claro que sólo hay una raíces i. Como estamos buscando potencias de, podemos expresar la función como: f () i donde la expresión entre paréntesis ya está expresada en potencias de. Para la fracción el desarrollo de Laurent en el conjunto indicado > es muy sencillo. Puesto que > i < y entonces i i n0 µ n i n0 i n + X i n con i > Donde se ha cambiado el contador en la última suma para que la potencia de sea la n ésima. La función tendrá el siguiente desarrollo f () i X i n i n X i n X i n X i n separamos las potencias negativas y positivas de forma que f () {} + {} i + n n i n X i n cambiamos el contador en el primer sumatorio (n n n n +) y podemos agrupar ambos sumatorios f () ( + i)+ f () ( + i)+ 4 i n+ µ i n+ X i n in

5 y sacamos factor común f () ( + i)+ i n i ( + i) in donde se ha tenido en cuenta que i. Existe otra forma alternativa de encontrar el desarrollo. En primer lugar hay que tener en cuenta que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, por tanto hay que hacer una división f () i Como ya conocemos el desarrollo de la fracción ( + i) ( + i) i i f () ( + i) i ( + i) X i n ( + i) X in y podemos comprobar que el desarrollo es el mismo que antes.. Calcule las siguientes integrales: (a) (0.7 ptos.) Z d; γ(t) r exp(it),r > y t [0, π]. γ ( +)( /) Solución: Es la integral de un cociente de funciones derivables a lo largo de una curva cerrada, por tanto utiliaremos el teorema de los residuos teniendo en cuenta solamente las singularidades que caen dentro de la curva. Las singularidades de la función son los números complejos que anulan el denominador de la función, por tanto que tiene por soluciones ( +)( /) 0 Teniendo en cuenta que r>, tanto como estándentrodelacurva,yaqueladistanciadecada k al centro de la circunferencia es: d (, 0) 0 <r d (, 0) 0 < <r La singularidad es evitable, puesto que es un cero simple del denominador, pero también anula al numerador, ya que sen (π ) sen ( π) 0 y podemos comprobar que el límite de la función existe en ese punto, aplicando L Hôpital: lím ( +)( /) lím π cos (π) +/ π 4/ π 4 C yportanto es una singularidad evitable y su residuo será por tanto 0.

6 El residuo para se puede calcular mediante límites por ser un polo simple µ Res ( +)( /), µ lím / ( +)( /) lím sen π/ / ( +) (/+) 4 8 ylaintegralserá Z γ µ d πires ( +)( /) ( +)( /), Ã πi! 8 π i 4 (b) (.7 ptos.) Calcule raonadamente, aplicando la teoría de variable compleja, la integral real Z π dt. +cost 0 Solución: Es una integral trigonométrica de una función racional en (sen t, cos t), por tanto haremos el cambio usual cos t + dt i d en este caso la función del integrando es dt +cost + + i d i + + d y la integral trigonométrica se transforma en Z π dt Z 0 +cost i γ + + d siendo γ la circunferencia unidad. γ (t) e it t [0, π] Utiliando el teorema de los residuos podremos resolver dicha integral. En primer lugar buscaremos los ceros del denominador de la función q + + ± 4 ± 0 4 ± 4 + Sólo está en la circunferencia den centro (0, 0) yradio, puesto que + < mientras que estará fuera puesto que + > Para la integral sólo tendremos en cuenta a Z π Ã dt πi +cost i Res! + +, + π π + 0 6

7 6. ( pto.) Aplique el teorema de los residuos para calcular la transformada inversa de Laplace de la función F () ( ) + Solución: Aplicando la fórmula de inversión de Bromwich mediante residuos tendremos f (t) L (F ()) (t) X Res e t F (), k siendo k las singularidades de la función F (). Estas singularidades son los ceros del denominador ( ) +0 ( ) ( ) ± i es decir + i i y los residuos buscados Res µ e t F (), Res e t ( )( ), e t e (+ i)t i i et cos t + i sen t El otro residuo es, por las características de la función empleada, su conjugado Res µ e t F (), Res e t ( )( ), e t e ( i)t i i et cos t i sen t ylasumadeambosnosdalafunciónf (t) buscada f (t) e t cos t a) ( pto.) Resuelva la ecuación en diferencias y n+ y n 0 n y 0 0 y b) (0. ptos.) Compruebe que la solución verifica las condiciones iniciales y la propia ecuación en diferencias. Solución: Para resolver la ecuación en diferencias y n+ y n 0 junto con las condiciones iniciales y 0 0,y, aplicaremos la transformada Z y sus propiedades: linealidad y desplaamiento Z [y n+ y n ]() Z [0] () Primero la linealidad Z [y n+ ]() Z [y n ]() Z [0] () y a continuación la propiedad de desplaamiento junto con las condiciones iniciales y 0 0, y Z [y n ]() Y () Z [y n+ ]() Z [y n ]() y 0 y Y () 7

8 Sustituyendo en la ecuación Y () Y () Z [0] () Y () Z [0] () y despejando Y () Z [0] ()+ ( ) El valor de Z [0] () es trivialmente la función nula, luego Y () ( ) + Para obtener el valor de y n tendremos que calcular la transformada Z inversa à y n Z! + Para calcular la transformada Z inversa, hay que encontrar las raíces del denominador y hacer la descomposición de la función racional en fracciones simples µ A + + B + A continuación desarrollamos cada fracción en series de Laurent dentro de conjuntos de la forma A (0,r, ), es decir en el exterior de bolas de centro 0 yradior, en todas hay que hacer la misma operación, transformar la fracción para poder emplear la suma de una serie geométrica Ã! n n n + > + + n0 n0 n0 Ã! n ( ) n n0 n ( ) n ( ) n n + > y sustituyendo en la expresión para F () à X A n B ( ) n n! F () + + A +( ) n B n > Los coeficientes de las potencias de son los elementos de la sucesión que buscamos y n A +( ) n B n n mientras que y 0 0 como se indicaba en las condiciones iniciales. Calculamos los valores de A y B. Para ello se tiene en cuenta que µ A + + B + 8

9 podemos sumar e identificar coeficientes ( )(+ ) ( ) A + + B + por tanto A + + B Dando a los valores de las raíces y A A B B y obtendremos el valor de y n y n n +( ) n y +( ) n n Podemos comprobar que para n, se obtienen el correspondiente valor para la segunda condición inicial +( ) Notar que también es válido para n 0 y 0 También se cumple la ecuación en diferencias y n+ y n y sumando, teniendo en cuenta que y n+ y n +( ) ( ) n+ n+ n n +( ) +( ) n+ n+ n+ n+ +( ) +( ) n n n n+ +( ) ysin luego n+ +( ) n n+ ( ) n+ ( ) n n+ ( ) ( ) n+ ( ) n ( ) ( ) n y n+ y n 0 9