1. Ceros y singularidades de una función

Transcripción

1 TEMA 6 TEORÍA DE RESIDUOS. Ceros y singularidades de una función. Ceros de una función.2 Singularidades de una función.3 Relaciones entre ceros y singularidades.4 Singularidades y el punto del infinito 2. Residuos 2. Residuo de una función en un punto 2.2 Cálculo de residuos 2.3 Teorema de Cauchy de los residuos / 5. Ceros y singularidades de una función.2 Ceros de una función. Ceros y singularidades de una función.2 Ceros de una función Definición Se dice que z 0 C es un cero de una función f si f H({z 0 }) y f (z 0 ) = 0. Si además verifica f (z 0 ) = = f (m ) (z 0 ) = 0 y f (m) (z 0 ) 0 se dice que z 0 es un cero de f de orden m N. Si m =, también se llama cero simple. Se denota C(f ) = {z C : z es un cero de f }. Ejemplo. Si f (z) = z sen z = C(f ) = {kπ : k Z}, con z 0 = 0 un cero de orden 2 y z k = kπ cero simple k 0. Proposición. (Caracterización de los ceros de orden m) Sea f H({z 0 }). Se verifica: z 0 es un cero de orden m de f si y sólo si existen R > 0 y g H(D(z 0, R)), con g(z 0 ) 0, tales que f (z) = (z z 0 ) m g(z), z D(z 0, R). Observación: El orden del cero de un polinomio p(z) coincide con el de su multiplicidad como raíz de la ecuación p(z) = 0. Ejemplo 2. Dada f (z) = z 3 e z+ se tiene que C(f ) = {0} y z 0 = 0 es un cero de orden 3 de f. 2 / 5 Proposición 2. Si z 0 es un cero de f, entonces f es nula en algún disco centrado en z 0 ó z 0 es un punto aislado del conjunto C(f ), es decir, R > 0 tal que f (z) 0 para todo z D (z 0, R)..2 Singularidades de una función Definición. Una función f tiene una singularidad en z 0 C, ó z 0 es un punto singular de f, si f no es holomorfa en z 0 pero R > 0 existe z R D(z 0, R) tal que f H({z R }). Se denota S(f ) = {z C : z es singularidad de f }. Sea z 0 S(f ), se dice que z 0 es una singularidad aislada de f si R > 0 tal que f H(D (z 0, R)), esto es, z 0 I (S(f )). Ejemplo 3. Clasificación de singularidades en aisladas y no aisladas de las funciones: ( ) πi a) f (z) =. b) f (z) = Log z c) f (z) = cot. z 2 ( z) z 3 / 5

2 Clasificación de las singularidades aisladas Dada una función f, se tiene: Si z 0 I (S(f )) = R > 0 t.q. f (z) = a n (z z 0 ) n + a n z D (z n=0 n=(z z 0 ) n 0, R). Entonces: a n (z z 0 ) n es la parte regular de f en z 0 ; define una función holomorfa en D(z 0,R). n=0 n= a n (z z 0 ) n es la parte principal o singular de f en z 0 ; informa del comportamiento de f cerca de z 0, permitiendo la clasificación: i) Si a n = 0 para todo n N = z 0 es una singularidad evitable de f. ii) Si m N tal que a m 0 y a n = 0 n > m = z 0 es un polo de orden m de f. } Si {n iii) k } k= N estrictamente creciente = z tal que a nk 0 k N 0 es una singularidad esencial. Ejemplo 4. Clasificación de las singularidades aisladas de las funciones: a) f (z) = sen z. b) f (z) = c) f (z) = e /z. z z 2 4 / 5 Proposición 3. (Caracterización de singularidades evitables) Dada una función f, si z 0 I (S(f )) entonces son equivalentes: i) z 0 es una singularidad evitable de f. ii) Existe lim f (z) y es un número complejo. iii) El módulo de f es acotado en un disco perforado de centro z 0. { f (z) si z Corolario 3. Si z 0 es singularidad evitable de f = f z0 (z) = lim f (z) si z = z 0 es una función holomorfa en z 0. z z 0 Ejemplo 5. Dada f (z) = eiz, z z 0 = 0 es una singularidad evitable de f. Proposición 4. (Caracterización de polos de orden m) Dada un función f, si z 0 I (S(f )) son equivalentes: i) z 0 es un polo de f de orden m N. ii) R > 0 y g H(D(z 0, R)) tales que g(z 0 ) 0 y f (z) = iii) lim f (z) = y lim (z z 0 ) m f (z) C \ {0}. g(z) (z z 0 ) m z D (z 0, R). Corolario 4. (Caracterización de los polos) Dada una función f, si z 0 I (S(f )) se verifica: z 0 es un polo de f lim f (z) =. 5 / 5 Observación: Si z 0 polo de orden m de f y a m coeficiente de (z z 0 ) m en la serie de Laurent de f en torno a z 0, entonces 0 si n > m lim (z z 0 ) n f (z) = a m si n = m z z 0 si n < m, Ejemplo 6. Clasificación de singularidades aisladas: cos z a) f (z) = z 3 (2z π). tan z b) f (z) =. 2 z Proposición 5. (Caracterización de las singularidades esenciales: Teorema de Casorati-Weierstrass) Sean f una función y z 0 I (S(f )). Son equivalentes: i) z 0 es una singularidad esencial de f. ii) Para todo R > 0, f (Dom(f ) D (z 0, R)) = C. iii) No existe lim f (z). Ejemplo 7. La función f (z) = sen ( ) z πi tiene una singularidad esencial en z0 = πi. Teorema grande de Picard. z 0 es singularidad esencial de una función f si y sólo si la imagen por f de cada disco perforado de centro z 0 es todo C, salvo quizás una única excepción, y cada valor es alcanzado por f infinitas veces. 6 / 5

3 . Ceros y singularidades de una función.3 Relaciones entre ceros y singularidades.3 Relaciones entre ceros y singularidades Ceros, singularidades evitables y polos Proposición 6. Sean f, f 2 H({z 0 }) tales que f (z 0 ) 0. Entonces, z 0 es un cero de orden m de f 2 si y sólo si z 0 es un polo de orden m de f /f 2. Corolario 6. Sean z 0 C y una función f, se verifica:. Si z 0 cero de orden m de f = z 0 polo de orden m de /f. 2. Si z 0 polo de orden m de f = z 0 singularidad evitable de /f.la extensión holomorfa de /f a z 0 tiene un cero de orden m en z 0. Ejemplo 8. Clasificación de las singularidades de f (z) = tan z. (4z π) 2 z Aplicación: Singularidades de las funciones racionales Si p(z) y q(z) polinomios y f (z) = p(z) = S(f ) = C(q). Sea z q(z) 0 C(q) de orden m, se verifica:. Si p(z 0 ) 0 = z 0 polo de orden{ m de f. singularidad evitable de f si n m 2. Si z 0 C(p) con orden n = z 0 polo de orden m n de f si n < m Ejemplo 9. Clasificación de las singularidades de f (z) = z3 (+2i)z 2 +(2i+3)z 3 (z )(z 2 +9) 2.. Ceros y singularidades de una función.4 Singularidades y el punto del infinito Ceros y singularidades esenciales Proposición 7. Sean z 0 C, R > 0 y f H(D (z 0, R)) no idénticamente nula. Si z 0 es un punto de acumulación de ceros de f, entonces z 0 es una singularidad esencial de f. Ejemplo 0. El punto z 0 = 0 es una singularidad esencial de f (z) = sen z..3 Singularidades y el punto del infinito Definición. Sea f H(C \ D(0, R)), para algún R > 0, y sea f I = f I, donde I es la inversión I(z) = /z. Entonces:. f es holomorfa en si z 0 = 0 es una singularidad evitable de f I. 2. es un polo de orden m de f si z 0 = 0 es un polo de orden m de f I. 3. es una singularidad esencial de f si z 0 = 0 es una singularidad esencial de f I. Observación: Si f H(C \ D(0, R)) y su desarrollo en serie de Laurent en C \ D(0, R) es f (z) = n=0 a nz n + a n n= si z > R, entonces z n Si a n = 0 n N = f es holomorfa en. Si m N tal que a m 0 y a n = 0 n > m = es un polo de orden m de f. Si {n k } k= N estrictamente creciente tal que a n k 0 k N = es una singularidad esencial de f. 7 / 5 8 / 5 2. Residuos 2. Residuo de una función en un punto Ejemplo. a) f (z) = iz+ es holomorfa en. z b) es un polo simple de f (z) = z2 i. 3z+2 c) es un polo de orden 3 de f (z) = z 3 + 2z i. d) es una singularidad esencial de f (z) = sen z. 2. Residuos 2. Residuo de una función en un punto Definición. Si z 0 C es una singularidad aislada de una función f, se llama residuo de f en z 0, y se denota Res(f ; z 0 ), al coeficiente a del desarrollo de Laurent de f en torno a z 0, esto es, en un disco perforado de centro z 0. Ejemplo 2. Dada f (z) = e /z2, se tiene Res(f ; 0) = a = 0. Proposición 8. Si z 0 es una singularidad aislada de f se verifica Res(f ; z 0 ) = a = f (z)dz, donde es un contorno simple, cerrado y positivamente orientado tal que z 0 Int() y f H(Int() \ {z 0 }). 9 / 5

4 2. Residuos 2. Residuo de una función en un punto Ejemplo 3. Dada f (z) = ez, si es un contorno simple, cerrado y positivamente z πi orientado tal que πi Int(), se tiene Res(f ; πi) = e z dz =. z πi Observación: La teoría de residuos es útil para el cálculo de integrales de contorno. Por ejemplo, si es un contorno simple, cerrado y positivamente orientado tal que 0 Int() entonces e /z2 dz = Res(f ; 0) = 0. La proposición 8 permite extender la definición de residuo de una función al punto. Definición. Si f H(C \ D(0, R)), para algún R > 0, se define el residuo de f en el punto, y se denota Res(f ; ), como el número complejo Res(f ; ) = f (z)dz, donde C \ D(0, R) es un contorno simple, cerrado y positivamente orientado tal que 0 Int(). 0 / 5 2. Residuos 2. Residuo de una función en un punto Ejemplo 4. Dada f (z) = ez z πi, si C R es la circunferencia de centro el origen y radio R > π recorrida una vez en sentido positivo Res(f ; ) = e CR z dz =. z πi Nótese que Res(f ; ) = Res(f ; πi). Observación: Si f H(C) = Res(f ; ) = 0. Proposición 9. Si f H(C \ D(0, R)), con R > 0, se verifica: ( ( ) ) Res(f ; ) = Res z f ; 0. 2 z Ejemplo ( ) 5. Cálculo del residuo de f (z) = e /z en mediante el residuo de la función z f = ez 2 z z en z 2 0 = 0. / Cálculo de residuos 2. Residuos 2.2 Cálculo de residuos Proposición 0. Sea z 0 C singularidad aislada de una función f. Se verifica:. Si z 0 es singularidad evitable = Res(f, z 0 ) = Si z 0 es polo simple = Res(f, z 0 ) = lim (z z 0 )f (z). 3. Si z 0 es polo de orden m > = Res(f, z 0 ) = (m )! lim d m z z 0 dz ((z z 0) m f (z)). m Preposición. Si f (z) = f (z) f 2 (z) siendo f, f 2 H({z 0 }) tales que f (z 0 ) 0, f 2 (z 0 ) = 0 y f 2(z 0 ) 0, entonces z 0 es un polo simple de f cuyo residuo es Res(f, z 0 ) = f (z 0 ) f 2 (z 0). Ejemplo 6. Cálculo de los residuos de las siguientes funciones en sus singularidades. a) f (z) = iz + z. b) f (z) = z 3 ( + 2i)z 2 + (2i + 3)z 3. (z )(z 2 + 9) 2 tan z c) f (z) = (4z π) 2 z. d) f (z) = z 2 + π 2 e z +. 2 / 5

5 2. Residuos 2.3 Teorema de Cauchy de los residuos Teorema de Cauchy de los residuos. Sea C un contorno simple, cerrado y positivamente ( orientado. Si) z,..., z n Int() son singularidades de una función f y f H Int() \ {z,..., z n }, entonces n f (z) dz = Res(f, z k ). k= Ejemplo 7. Aplicación al cálculo de las siguientes integrales: a) 2z dz, donde es la circunferencia centrada en 0 y radio 2 recorrida una z(z )(z 3) vez en sentido positivo. b) z 2 +π 2 dz, donde es la circunferencia centrada en 0 y radio 4π recorrida una vez e z + en sentido positivo. Corolario. Si z,..., z n C singularidades de f tal que f H(C \ {z,..., z n }). Se verifica n Res(f, z k ) + Res(f, ) = 0. k= Ejemplo 8. Cálculo del residuo de f (z) = iz + z en. 3 / 5 Lema. Sean R 0, θ, θ 2 R tales que R 0 > 0 y 0 θ θ 2 2π. Si f es una función definida y continua en el sector S(R 0, θ, θ 2 ) = {Re it : R R 0 θ t θ 2 } tal que lim zf (z) = w 0, entonces z f (z)dz = iw 0 (θ 2 θ ), lim R C R (θ,θ 2 ) donde C R (θ, θ 2 ) es el arco de la circunferencia positivamente orientada con centro z 0 = 0 y radio R comprendido en el sector S(R 0, θ, θ 2 ). Lema 2 (Lema de Jordan). Sean a, R 0, θ, θ 2 R tales que a > 0, R 0 > 0 y 0 θ θ 2 π. Si f es una función definida y continua en el sector S(R 0, θ, θ 2 ) = {Re it : R R 0 θ t θ 2 } tal que lim f (z) = 0, entonces z lim f (z)e iaz dz = 0, R C R (θ,θ 2 ) donde C R (θ, θ 2 ) es el arco de la circunferencia positivamente orientada con centro z 0 = 0 y radio R comprendido en el sector S(R 0, θ, θ 2 ). Nota: El lema también se verifica si π θ θ 2 0 y a < 0. 4 / 5 Lema 3. Sean z 0 C, R 0, θ, θ 2 R tales que R 0 > 0 y 0 θ θ 2 2π. Si f es una función definida y continua en el sector S(z 0 ; R 0, θ, θ 2 ) = {z 0 +re it : 0 < r R 0 θ t θ 2 } tal que lim (z z 0 )f (z) = w 0, entonces lim r 0 C r (z 0 ;θ,θ 2 ) f (z)dz = iw 0 (θ 2 θ ), donde C r (z 0 ; θ, θ 2 ) es el arco de la circunferencia positivamente orientada con centro z 0 y radio r comprendido en el sector S(z 0 ; R 0, θ, θ 2 ). 5 / 5