Funciones Analíticas, Singularidades y Funciones Meromorfas

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1 Funciones Analíticas, Singularidades y Funciones Meromorfas Rodrigo Vargas. Suponga que f es una función meromorfa en C y existen números positivos C, k y R tal que f(z) < C z k si z > R. Demuestre que f es racional. Solución. Observe que f no tiene polos dentro de z > R como f es acotada para cualquier punto dentro de z > R. Luego, todos los polos de f están en z R, con la única posibilidad de un polo en. Sean z,...,z n los polos de f. Entonces f(z) = g(z) (z z ) (z z n ) donde g es una función entera. Ahora bien, g(z) = z z z z n f(z) < C z z z z n z k. Por lo que g es un polinomio de grado menor o igual a n + k. Se sigue que f(z) = g(z)/(z z ) (z z n ) es una función racional. 2. Suponga que f es holomorfa en el disco unitario D y continua sobre D con f(z) = c n z n, z D. Demuestre que si f tiene exactamente m ceros contados con multiplicidad en D, entonces mín f(z) c 0 + c + + c m. z = Solución. Suponga que la desigualdad es estricta. Definimos g(z) = m c n z n, entonces sobre z =, tenemos que m g(z) = c n z n m c n z n = c 0 + c + + c m.

2 2 Rodrigo Vargas Luego, sobre z =, f(z) < g(z). Por el Teorema de Rouche, f g y g tiene el mismo número de ceros en D. Pero f(z) g(z) = c n z n n=m+ tienen un cero de orden al menos m +, dependiendo de si algún c n se anula para n m +. Pero g(z) tiene exactamente m ceros en interior de D. 3. Sea f una función analítica sobre D. Suponga que existen una cantindad infinita de puntos distintos z k D, k =,2,3,... tal que f(z k ) = 0. Esto implica que f(z) 0? Pruebe o de un contraejemplo. Solución. No. Considere f(z) = sen (πz/(z )), entonces f es analítica en D y tiene ceros cuando z/(z ) = n Z luego tiene ceros en z = n/(n ) n. 4. Sea f analítica en C {0}. Suponga que Demuestre que f(z) 0. f(z) log( z ), z 0. Solución. Notemos que sobre z = tenemos que f(z) log() = 0 entonces f(z) 0 sobre z = y por el principio de unicidad implica que f(z) 0 sobre C {0}. 5. Suponga que f : D D es analítica y que a D. Demuestre que f (a) a 2. Solución. Considere las siguientes aplicaciones analíticas ϕ(z) = z+a +az f(z) ψ(z) = z f(a) f(a)z Definimos g = ψ f ϕ : D D, entonces g es analítica y g(0) = 0. Por

3 Funciones Analíticas, Singularidades y Funciones Meromorfas 3 el Lema de Schwarz se tiene que g (0). Ahora bien, tenemos que ψ (z) = ϕ (z) = obteniendo que ψ (f(a)) = f(a)z + f(a)(z f(a)) = f(a) 2 ( f(a)z) 2 ( f(a)z) 2 ( + az) (a(z + a)) ( + az) 2 = a 2 ( + az) 2 f(a) 2 y ϕ (0) = a 2. Por lo tanto, g (0) ψ (f(ϕ(0)))f (ϕ(0))ϕ (0) ψ (f(a)) f (a) ϕ (0) f (a) ψ (f(a)) ϕ (0) f (a) f(a) 2 a 2 a Suponga que f es analítica sobre D, continuas en D y que f se anula sobre un arco abierto no vacío de D. Pruebe que f 0. Solución. Considere las aplicaciones analíticas ϕ(z) = z i z + i f(z) C Tenemos que f ϕ : H + C es analítica y se anula sobre un arco abierto del eje real. Luego, por el Principio de Reflexión de Schwarz, podemos extender f ϕ tal como lo muestra la figura f ϕ C z f(z ) z f(z )

4 4 Rodrigo Vargas Pero entonces f ϕ se anularía sobre un conjunto no numerable lo implica según el Principio de unicidad que f ϕ 0. Luego, f Suponga que f : C C es entera y tiene exactamente k ceros en D pero no tiene sobre el círculo { z = }. Demuestre que existe ε > 0 tal que para toda función entera g que satisface f(z) g(z) < ε sobre el circulo { z = }, entonces g tiene exactamente k ceros en D. Solución. Sea ε = mín f(z), entonces ε > 0 como f no tiene cero z = en z =. Si g es cualquier función entera que satisface f(z) g(z) < ε f(z) sobre z =, entonces por el Teorema de Rouche f y g tienen el mismo número de ceros en D. 8. Suponga que f es analítica en D = {z : 0 < z < } excepto por polos en los puntos n, n = 2,3,4,... Pruebe que para todo ε > 0, f({0 < z < ε}) es denso en C. Solución. Supongamos que f({0 < z < ε}) no es denso en C. Entonces existe w C tal que f(z) w δ para todo z {0 < z < ε}. Consideremos g(z) =, entonces g tiene singularidades removibles en n f(z) w, n = 2,3,4,... Luego, g es analítica en {0 < z < ε} y lím g(z) = 0, se sigue que g es definida en 0 sobre la sucesión {/n : n = z n 2,3,...}. Además, g(z) δ, z {0 < z < ε}. Luego, g es acotada en una vecindad de 0 por lo que tiene una singularidad removible en 0. Entonces, por la continuidad de g, g(0) = 0, se sigue que g es analítica en { z < ε} y se anula sobre una sucesión de puntos que tiene un punto límite, por el Principio de unicidad, g 0 sobre { z < ε}, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, f({0 < z < ε}) es denso en C. 9. Sea f analítica en {z : 0 < z < 2} y suponga que para n = 0,,2,... z n f(z)dz = 0. z =

5 Funciones Analíticas, Singularidades y Funciones Meromorfas 5 Demuestre que f tiene una singularidad removible en z = 0. Solución. Tenemos que f(z) = m= a m z m en una vecindad de 0. Si f tiene un polo de orden k en z = 0, entonces a m = 0 para todo m < k y luego f(z) = a k z k + + a z + a 0 + a z +. Se sigue que z k f(z) = a k + + a z k 2 + a 0 z k + a z k + y z note que k k 0. Entonces, por el Teorema de los residuos z k f(z)dz = a k 0, z = lo cual es una contradicción. Si f tiene una singularidad esencial en 0, entonces sea k el primer término en la parte principal de f tal que a k 0. Entonces, por el Teorema de los residuos, z = lo cual es una contradicción. z k f(z)dz = a k 0 Por lo tanto, f tiene una singularidad removible en z = Sea f analítica en una vecindad de z 0. Si la serie f (n) (z 0 ) converge, demuestre que f se extiende a una función entera y la serie converge para todo z. Solución. Si la serie f (n) (z) f (n) (z 0 ) converge implica que f (n) (z 0 ) n 0 se sigue que existe B > 0 tal que f (n) (z 0 ) B para todo n N, entonces f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n z z 0 n B = Be z z0 < n! n! para todo z C. Por lo tanto, la serie absolutamente para todo z C y f(z) = f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n converge n! f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n es entera. n!

6 6 Rodrigo Vargas. Sea z n un cero de p n (z) = + z + z2 2! + + zn, n =,2,3,... Pruebe n! que lím z n =. n Solución. Por demostrar que para todo R > 0 existe N N tal que p n (z) no tiene ceros en z < R, para todo n N. Luego, los ceros de p n (z) tienden a cuando n. Sean R > 0 y ε = e R = mín ez. Observe que {p n (z)} converge uniformemente a e z sobre el conjunto compacto z R. Luego, existe N N tal que p n (z) e z < ε, n N, z { z R}. Entonce, sobre z = R, tenemos que p n (z) e z < ε = e R e z para todo n N. Por el Teorema de Rouche, p n no tiene ceros en z < R. 2. Dado que la serie a n z n tiene radio de convergencia, pruebe que la función definida por la serie tiene una singularidad en algún z que satisface z =. Solución. Si f(z) = a n z n no tiene singularidades para todo z =, entonces f sería analítica sobre z =, lo que implica que para todo z con z = existe δ z > 0 tal que f es analítica sobre D(z,δ z ). Ahora, z = es compacto y luego el cubrimiento abierto {D(z,δ z ) : z = } posee un subcubrimiento finito, digamos D(z,δ ) D(z n,δ n ). Tomando un δ > 0 apropiado se tiene que f es analítica en D(z, + δ). Entonces el radio de convergencia es al menos + δ, lo cual es una contradicción. 3. Pruebe que la ecuación e z = z tiene una solución. Solución. Sea g(z) = e z z, entonces g es entera. Luego, por el Teorema de Picard, g toma todo valor en C, con la excepción de un posible valor, una cantidad infinita de veces. Luego, g(z) = 0 una cantidad infinita de

7 Funciones Analíticas, Singularidades y Funciones Meromorfas 7 veces o bien g(z) = una cantidad infinita de veces. El el primer caso, no hay nada que probar. En el segundo caso, note que e z+ = e z e z+ z = una cantidad infinita de veces e z+ = z + una cantidad infinita de veces e w = w una cantidad infinita de veces. 4. Cuántas soluciones hay para sen z = z? Verifique. Solución. Note que podemos usar el mismo argumento del problema anterior como sen z es periódica de período 2π. Luego, sen z = z tiene una cantidad infinita de soluciones. 5. Demuestre que si f es analítica en α y g(z) = f(z) + αf (α) zf (α) f(α) (z α) 2 entonces g tiene una singularidad removible en z = α. Solución. Observe que f(z) + αf (α) zf (α) f(α) lím(z α)g(z) = lím z α z α z α L Hopital f (z) f (α) = lím = f (α) f (α) = 0 z α Por lo tanto, g tiene una singularidad removible en z = α. 6. Sea G una región simplemente conexa distinta de C, y sea a G. Sea f : G G analítica tal que f(a) = a. Demuestre que f (a). Más aún, si f (a) =, demuestre que f(z) es uno a uno y sobre. Solución. Por el Teorema del mapeo de Riemann, G es conformemente equivalente al disco abierto D, es decir, existe una mapeo conforme uno a uno ϕ : D G tal que ϕ(0) = a. Ahora bien, sea g(z) = ϕ f ϕ(z), z D. Luego, g(z) sobre D y g(0) = 0. Por el Lema de Schwarz, g (0). Notemos que g (0) = (ϕ ) (f(ϕ(0))) f (ϕ(0)) ϕ (0) = (ϕ ) (a)f (a)ϕ (0). Además, (ϕ ) (a) = /ϕ (0) lo que implica que g (0) = f (a). Ahora bien, si f (a) =, entonces g (0) = lo que implica según el

8 8 Rodrigo Vargas Lema de Schwarz que g(z) = cz con c =, entonces cz = ϕ f ϕ(z) f ϕ(z) = ϕ(cz) f(z) = cz la cual es uno a uno y sobre. 7. Sea f analítica sobre el anillo A = {z : r < z < R} y suponga que existe a R tal que f(z) = z a para todo z A. Demuestre que a Z y que f(z) = e iθ z a para algún θ R. Solución. Sea g(z) = z a = e alog z con z A R, entonces g es analítica en A R y g(z) = f(z) para z A R. Además, f(z) g(z) = para todo z A R lo que implica que f(z)/g(z) = c donde c =, z A R. Por lo tanto, f(z) = e iθ g(z) = e iθ z a, para algún θ R. Ahora, sea γ(t) = ρe it, π t π, r < ρ < R, entonces f es continua en ρ y luego e iθ ρ a e iπa = lím t π + f(ρeit ) = lím t π f(ρe it ) = e iθ ρ a e iπa lo que implica que e iπa = e iπa e a = a Z. 8. Suponga que f(z) = a n z n es analítica en el disco { z < R} y continua en { z R}. Sea M = máx f(z). (a) Demuestre que a n R n M. (b) Más generalmente, demuestre que Solución. a n 2 R 2n M 2. (a) Notemos que a n = f(z) z n+dz 2π f(z) dz M z n+ 2πR n+(2πr) = M R n. (b) Si podemos demostrar que f(z) 2 dz = z a n 2 R 2n,

9 Funciones Analíticas, Singularidades y Funciones Meromorfas 9 entonces obtenemos lo pedido como f(z) 2 dz M 2 z 2π R (2πR) = M2. Ahora bien, ( )( ) ( f(z) 2 = f(z)f(z) = a n z n a n z n = a n 2 z )+g(z) 2n donde g es una ( función analítica, por lo que sobre z = R se tiene ) que f(z) 2 = a n 2 R 2n + g(z) y obtenemos que f(z) 2 dz = z = ( ) a n 2 R 2n ( ) a n 2 R 2n z dz + dz z } {{ } +0 = 9. Sea R = {x R : x 0}. Suponga que f es analítica en C R y f(z) = x x para x R, x > 0. Hallar f(i) y f( i). g(z) z dz a n 2 R 2n. Solución. La función g(z) = z z = e z log z es analítica en C R donde log z es el brazo principal del logaritmo. Además, g(x) = f(x), para todo x R, x > 0. Luego, por el Principio de unicidad, g(z) = f(z) para todo z C R, es decir, f(z) = z z para todo z C R. Ahora bien, tenemos que f(i) = i i = e i log i = e i(log i +i π 2 ) = e i(i π 2 ) = e π 2, f( i) = ( i) i = e i log( i) = e i(log i i π 2 ) = e i( i π 2 ) = e pi Sea f una función analítica sobre un conjunto conexo abierto G C. Suponga que f mapea G sobre un subconjunto de una línea recta. Demuestre que f es constante.

10 0 Rodrigo Vargas Solución. Por el Teorema del mapeo abierto, f(g) tiene que ser un subconjunto abierto de C a no ser que f sea constante. Un subconjunto de una línea recta no es un conjunto abierto, Luego, f tiene que ser constante. 2. Suponga que f es holomorfa en C {0} y satisface f(z) z 2 + z 2 para z 0. Si f es una función impar, qué forma tiene la función? Solución. Tenemos que f(z) = Ahora bien, a n 2π f(z) z n+dz 2π n= a n z n donde a n = f(z) z n+dz. ( ) R 2 + R 2 R n+ (2πR) = R2 R n + R R n+2 0 siempre que n 3 y n 3. Por lo que a n 0 para n =..., 5, 4, 3,3,4,5,... y se sigue que f(z) = a 2 z 2 + a z + a 0 + a z + a 2 z 2. Como f es impar entonces f( z) = f(z) lo que implica que a 2 = a 2 = 0 y por lo tanto f(z) = a z + a 0 + a z.