14.1 Fórmula Integral de Cauchy

Transcripción

1 lase 4. Fórmulas de auchy Si f es analítica en un abierto que contiene al disco cerrado definido por la circunferencia (p, r), el comportamiento de f en determina la conducta de f en el interior del disco. Esto lo escribimos así 4. Fórmula Integral de auchy Sea f() una función analítica en un disco abierto D y sea una curva cerrada simple orientada positivamente en D. Para cualquier punto a, a en el interior de la región acotada por se tiene que f(a) = πi f() ( a) d. Para la demostración consideramos la función F definida en el interior de la región encerrada por como f() f(a) para a a F() = f (a) en = a. Vemos que F es derivable en todo, a, y que F es continua en el punto a. Así F será analítica en la región considerada. Luego, F() d = 0 y, en consecuencia, f() d d = f(a) ( a) a. d Usando el teorema de la deformación y el ejercicio?? se tiene que = πi y así a f(a) = πi f() ( a) d. Observación 4.. onociendo los valores de f en y que f es analítica en la región encerrada por, podemos calcular los valores f(a) con a en el interior de la región. Observación 4.. Si a D, a y a no está en el interior de la región entonces es claro que f() d = 0. a Observación 4.3. Si D es un dominio, o si D es un conjunto abierto y convexo, entonces la función F() es derivable en D excepto en el punto a, donde es continua. Es analítica en D ya que la integral definida por g() = f(w) dw, D, donde [a, ] es el segmento [a,]

2 (parametriado) de recta que va desde a hasta, está bien definida ([a, ] D) y dg() d. = f() Observación 4.4. Esta fórmula de representación integral también es válida en cualquier región donde se verifique el teorema de Green. Si pensamos en el punto a como una variable y cambiamos la notación, re-escribimos la fórmula integral en la forma f() = πi f(w) (w ) dw. 4. Fórmula de auchy para derivadas onsideremos una función f() analítica en una región arbitraria abierta Ω. Para cada punto a Ω, tomemos una circunferencia centrada en a completamente contenida en Ω. La fórmula de auchy es válida y para cada en la región interior a es f() = f(w) πi (w ) dw. que Suponiendo que en la integral se pueda derivar bajo el signo de integración se obtiene f () = πi f(w) (w ) dw y en general f (n) () = n! f(w) dw. πi (w ) n+ Re-escribimos f (n) (a) = n! f() d. πi ( a) n+ De esta manera, simplemente suponiendo que se puede derivar bajo el signo integral y aplicando el principio de inducción se tiene la siguiente generaliación de la fórmula integral de auchy Teorema 4. (Fórmula Integral para derivadas). Sea una curva cerrada simple orientada positivamente y sea f() una función analítica en un abierto D que contiene a y a su región interior. Si a es cualquier punto en la región interior a, entonces f (n) (a) = n! f() d (n = 0,,,...) πi ( a) n+.

3 Teorema 4. (Desigualdades de auchy). Sea una circunferencia con centro en a y radio r. Sea f() una función analítica en un conjunto abierto D que contiene a y a su región interior. Entonces f (n) (a) Mn! r n (n = 0,,,...), suponiendo que f es acotada en y f() M en. Demostración : Parametriamos la circunferencia por = (t) = a + re it, 0 t π. Usando la fórmula integral para derivadas encontramos que f (n) (a) n! f() n! d π a n+ π = Mn! πr n+ M d rn+ d = Mn! Mn! πrn+(πr) = r. on el siguiente teorema se muestra que las funciones complejas sen, cos son no acotadas, en contraste con las correspondientes funciones reales. Teorema 4.3 (Liouville). Sea f() una función analítica en todo el plano complejo. Si f es acotada entonces f es constante. Demostración : Por ser f acotada en, existe M > 0 (constante real) tal que f() M,. Para cualquier punto,, consideramos una circunferencia de centro y radio r, = (, r). omo f es analítica particulariando n = en la desigualdad de auchy es f () M. Tomando r, como f es analítica y acotada en se sigue cumpliendo la r desigualdad y así f () = 0. Luego f () = 0 y f es constante. Una función compleja analítica en todo se dice función entera. Una aplicación del teorema de Liouville es Teorema 4.4 (Teorema Fundamental del Algebra). Si p() es un polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos, entonces la ecuación p() = 0 tiene al menos una rai. Demostración : Sea p() = a 0 + a + a + + a n n, a n 0, a k (k = 0,,..., n). Si p() 0 entonces podemos escribir ( p() = n a0 + a n + + a ) n + a n n. 3

4 Para suficientemente grande, es decir, para > r con r real no-negativo r >>, se observa que n a k a n < n, k = 0,,..., n. Luego a k < a n, k = 0,,..., n y así n n a 0 + a n + + a n < a n n n + a n n + + a n n = a n y de a 0 + a n + + a n + a n n an a 0 + a n + + a n n a n a n = a n, obtenemos que p() = n a 0 + a n + + a n n para > r suficientemente grande. + a n n a n La función g() = es analítica en ya que p() 0 (y p es analítica en ) p() y de g() < a n es lím n g() = 0. Así g() es acotada en > r. Por ser g continua, ella es acotada en el disco r. Luego, g es acotada en y siendo analítica, por el teorema de Liouville g() es constante, al igual que p(), lo que es una contradicción. Así p() = 0 tiene al menos una solución. e α Ejemplo 4.. Para calcular = n+d, con α (orientación anti-horaria), vemos que la función f() = e α es analítica en y por la fórmula integral de auchy (a = 0) e α πi = n+d = n! f(n) (0) = πi n! αn. e m Ejemplo 4.. alcule I = d, siendo la circunferencia = a ( + a )i a orientada anti-horariamente y < a <, a 0. Factoriando el denominador, las raices son = ai, = i a y a ( + a )i a = a( ai)( i a ). omo = a >, está por fuera de la región, mientras que está en la región interior a. La función f() = em es analítica en la región encerrada por y aplicando la fórmula ( i ) a de auchy (f(a) = f() d, cambiando a por ai) se tiene que πi a I = e m a ( ai)( i )d = e m /( i) a d a ( ai) a = a πif(ai) = emai πi a ai i a = πemai a. 4

5 Ejemplo 4.3. Sea f() una función entera que satisface f() k, k > 0 (real) para todo. Pruebe que f() es un polinomio homogeneo de segundo grado. Demostremos que f () = 0 para todo. Para cualquier, consideramos la circunferencia (, R), definida por w = R y parametriada por w(t) = + Re it, 0 t π. Usando la fórmula de auchy es f () = 3 f(w) πi (w ) 4dw. Así f () 6 π π 0 f(w) w dw 3 π k w 4 π 0 R dw. 4 Usando la desigualdad w w = R es w + R y π f () 3 ( + R) dw = 3 ( Z + R) πr π 0 R 4 π R ( 4 = 6 R + 3 R + ). R omo f es entera podemos tomar R y así f () = 0,. La función g() = f () satisface entonces g () = 0, por lo cual g es constante, es decir, f () = a (a constante compleja). Escribimos f() = a + b + d. Note que f(0) = 0 ya que f() k. Por otra parte, f(0) = d, así que d = 0. También f (0) = 0: por lo que f f() f(0) f() (0) = lím = lím 0 0 0, 0 f (0) = lím f() 0 = lím 0 Por lo tanto f (0) = 0 y f (0) = 0. f() k lím 0 Por ser f() = a + b, f () = a + b y, en consecuencia, b = 0. Así f() = a es un polinomio homogeneo de segundo grado. Observación 4.5. omo f(0) = 0 y f (0) = 0, considerando la función f() si 0 ϕ() = f (0) en = 0, vemos que ϕ() es analítica en y acotada. Aplicando el teorema de Liouville es ϕ() constante. Así f() = A y f() = A. = 0. 5

6 lase 5. Series de Potencias Una serie infinita de la forma c n ( 0 ) n = c 0 + c ( 0 ) + + c n ( 0 ) n + donde 0, c n (n = 0,,,...) son números complejos y denota una variable compleja se llamará una serie (de potencias) en potencias de ( 0 ). Los números c n (n = 0,,,...) son los coeficientes de la serie de potencias. A veces diremos serie de potencias en un entorno de 0 (o centrada en 0 ). Estas series de potencias se pueden llevar a la expresión (numérica) conocida n= n, escribiendo k = c k ( 0 ) k, k =,, 3,.... El siguiente teorema mostrará que el conjunto de todos los en los cuales la serie de potencias c n ( 0 ) n converge absolutamente es el plano complejo ó el interior de un círculo centrado en 0 ó el único punto 0. Teorema 5.. ada serie de potencias c n ( 0 ) n tiene un radio de convergencia R tal que si 0 < R <, la serie converge absolutamente en 0 < R y diverge en 0 > R; cuando R = 0, la serie converge sólo en = 0 y si R = +, la serie converge (absolutamente) para todo. El número real R está dado por suponiendo que existe este límite. R = lím n n c n, Definición 5.. uando 0 < R <, el círculo { : 0 < R} se dice el círculo de convergencia (de la serie). En la frontera { : 0 = R} puede converger en algunos puntos y diverger en otros. Definición 5.. Si la serie c n( 0 ) n converge a f() para cada punto D, diremos que la serie representa la función f en D y escribimos f() = c n ( 0 ) n. Escribiremos los tres siguientes teoremas sin demostración. 6

7 Teorema 5. (Taylor). Sea f() una función analítica en el disco D = { : 0 < R}. Entonces para cada D se cumple que f() = f (n) ( 0 ) ( 0 ) n. n! Es decir, la serie converge al valor de f() para todo D. Definición 5.3. Esta serie es la serie de Taylor de f() en un entorno del punto 0. Si 0 = 0 se obtiene la serie (de MacLaurin) f() = f (n) (0) n. n! Teorema 5.3. Una serie de potencias representa una función continua en cada punto interior al disco de convergencia, es decir, la serie c n ( 0 ) n representa una función continua f() para cada en el disco de convergencia { : 0 < R}, siendo R 0 el radio de convergencia de la serie. Además, en el disco (círculo) de convergencia una serie de potencias puede ser integrada o derivada término a término y representa una función analítica. Teorema 5.4. Si f() = c n ( 0 ) n en 0 < R entonces a) f(w)dw = c n (w 0 ) n c n dw = 0 0 n + ( 0) n+. b) f es analítica en cada punto interior al disco de convergencia. c) f () = n= nc n( 0 ) n en 0 < R. Se puede probar entonces que la representación de una función analítica por medio de una serie de potencias en un entorno de un punto es única y es precisamente la serie de Taylor. Teorema 5.5. Si la serie c n ( 0 ) n converge a f() en el disco D = { : 0 < R} entonces esta serie es la serie de Taylor de f alrededor de 0. Demostración : La prueba consiste en derivar la expresión f() = c n ( 0 ) n = c 0 + c ( 0 ) + + c n ( 0 ) n + 7

8 término a término y evaluar en el punto = 0. Así por ejemplo y así sucesivamente. f () = c + c ( 0 ) + 3c 3 ( 0 ) + + nc n ( 0 ) n + f ( 0 ) = c, es decir, c = f ( 0 ). f () = c + 3 ( 0 ) + + n(n )c n ( 0 ) n + f ( 0 ) = c, es decir, c = f ( 0 ), Escribimos la serie de Taylor de algunas funciones elementales. i) ii) e = n = iii) cos = iv) sen = v) cosh = vi) senh = n n!,. en <. ( ) n n (n)!,. ( ) n n+ (n + )!,. n (n)!,. n+ (n + )!,. vii) Log( + ) = + 3 3! 4 +, en <. 4! 5. Series de Laurent onsideremos una serie de potencias b nw n convergente en w < r con r > 0. Si b n sustituimos w por 0, la serie resultante ( 0 ) n es convergente en 0 >. r 8

9 Llamando r =, esta serie converge entonces en la región exterior al disco { : r 0 r }. En esta región, ella representa una función g() analítica, así que g() = b n ( 0 ) n en 0 > r. Supongamos ahora que la serie de potencias a n ( 0 ) n converge en { : 0 < r, r > 0}, representando allí a una función h() analítica, h() = a n ( 0 ) n, 0 < r. Si r < r, la función f() definida por f() = g() + h() es analítica en la región intersección, es decir, en el anillo D = { : r < 0 < r }. Así se tiene que f() = b n ( 0 ) n + a n ( 0 ) n en r < 0 < r. on las sustituciones b n = a n, n =,,... y cambiando la constante (a 0 + b 0 ) y en su lugar escribiendo a 0, podemos expresar la suma de las dos series anteriores así f() = n= Definición 5.4. Diremos que la serie a n ( 0 ) n, r < 0 < r. n= a n ( 0 ) n es la serie de Laurent de la función f y que el anillo D = { : r < 0 < r } es su región de convergencia. Podemos así escribir Teorema 5.6. Una serie de la forma n= a n ( 0 ) n representa una función analítica en el anillo D = { : r < 0 < r }, donde r es el radio de convergencia de la serie a n y r ( 0 ) n es el radio de convergencia de la serie a n ( 0 ) n. El siguiente teorema (de Laurent) es esencialmente el recíproco del teorema anterior y es una generaliaciíon del teorema de Taylor. Teorema 5.7 (Laurent). Sea f una función analítica en el anillo D = { : r < 0 < r, r < r }. Para cada D se tiene que f() = a n ( 0 ) n, donde a n = πi n= f(w) (w 0 ) n+dw, n = 0, ±, ±,... 9

10 y es cualquier curva simple cerrada en D que contiene a 0 en su región interior. La integral sobre es en el sentido positivo. Observación 5.. Para ver que la serie de Laurent es una generaliación de la serie de Taylor, suponemos que la función f() es analítica en todo el disco D = { : 0 < r }. Entonces todas las funciones f(w)(w 0 ) n+ (n = 0, ±, ±,...) son analítica en D y así a, a, a 3,... son todos nulos y la serie que resulta es la serie de Taylor de f ya que de se obtiene que f (n) ( 0 ) n! f (n) ( 0 ) = n!a n = n! πi = πi f(w) (w 0 ) n+dw f(w) (w 0 ) n+dw = a n, n = 0, ±, ±,... Observación 5.. Para el anillo de convergencia D = { : r < 0 < r } de la serie de Laurent de f existen dos casos extremos a) Si r 0 entonces D = { : 0 < 0 < r }, es decir, el disco abierto de radio r sin el centro. b) Si r entonces D = { : r < 0 }, es decir, la región exterior al disco de radio r y centro 0. Observación 5.3. Las propiedades que se refieren a series de potencias se extienden a las series de la forma n= c n ( 0 ) n. En particular, las series de Laurent se pueden derivar e integrar término a término en el anillo de convergencia, además de la unicidad. Observación 5.4. Las series de la forma a n ( 0 ) n y n= c n ( 0 ) n se pueden sumar, restar (término a término) y multiplicar en sus regiones comunes (intersección). Si se dividen dos series de potencias o dos series de tipo Laurent, se obtiene otra serie (de potencias o de tipo Laurent, dependiendo de las series) en la región común (intersección). Así, por ejemplo, si f() = n= a n ( 0 ) n en D : r < 0 < r y si g() = n= b n ( 0 ) n en D : R < 0 < R, con D D = D =, entonces a) El producto f()g() = n= c n ( 0 ) n en D, con c n = k= a k b n k, n = 0, ±, ±,... 0

11 b) Para g() 0 en D, existe una serie n= c n ( 0 ) n y números reales r < r tales que f() g() = c n ( 0 ) n en r < 0 < r. n= Ejemplo 5.. Halle la función a la cual converge la serie n n y el círculo de convergencia. n= Solución. Partiendo de la serie geométrica n = n + = en < y derivando término a término n n = n n + = n= Multiplicando por, ( ) en <. n n = n= ( ), es decir, n n = n= ( ) en <. Derivando de nuevo n n = n n + = d [ ] d ( ) n= n n = 3 en <. ( ) 3 n= Multiplicando por será n n = n= n n = n= ( 3) ( ) 3 en < ( 3) ( ) 3 en <. Ejemplo 5.. Hallar la serie de Taylor de la función f() = y encontrar su radio de convergencia (de la serie). i + en un entorno de = 0

12 Solución. Escribimos f() = i( + ) = i +. i i Usando la serie geométrica n = en < se tiene que ( )n n = + en < y así + i = ( ) n ( ) n en < ya que =. i i Luego f() = i ( ) nn i = n ( ) nn+ i n+ en <. Ejemplo 5.3. Halle la serie de Laurent de la función f() = ( ) en a) el disco pinchado 0 < <. b) la región >. Solución. 3 + en potencias de a) Escribimos = + ( ). De la serie geométrica se obtiene que ( ) n ( ) n = en <. + ( ) Luego, si 0 < < es b) Si > es f() = ( ) ( ) = ( ) n ( ) n = ( ) n ( ) n = + ( ) = ( ) n+ ( ) n n= <. Así = ( ) + = ( ) ( + ).

13 Desarrollando por serie geométrica (ya que Luego, = ( ) n ( ) n = < ) es ( ) n ( ) n+. f() = ( ) ( ) = ( ) n ( ) n+ = ( ) n ( ) = ( ) n n+ ( ) n n= 3

14 lase 6. Singularidades y Residuos Un punto 0 se dice punto singular (o singularidad) de la función f() si f no es derivable en 0 pero cada entorno de 0 contiene al menos un punto en el cual f es analítica, es decir, f es analítica en cierto entorno reducido de. Se dice que 0 es un punto singular aislado (singularidad aislada) de f si f no es derivable en 0 pero existe un entorno reducido de 0 en donde f es analítica, es decir, f es analítica en N ( 0, ǫ) = { : 0 < 0 < ǫ, ǫ > 0}. Ejemplo 6.. La función f() = + es analítica en excepto en los puntos = i, = i. Ambos puntos son singularidades aisladas de f. Ejemplo 6.. La función g() = tiene un número infinito de singularidades aisladas. sen( ) Estas son k =, k = ±, ±,.... kπ El punto = 0 es un punto singular pero no es aislado ya que todo entorno de = 0 contiene un número infinito de puntos singulares. 6. lasificación de Singularidades Supongamos que 0 es un punto singular aislado de la función f y que es el punto singular de f más próximo a 0. Sea r la distancia entre ellos. omo f es analítica en el anillo D = { : 0 < 0 < r}, usando el teorema de Laurent se obtiene que donde f() = n= a n = πi a n ( 0 ) n D, f() d (n N). ( 0 ) n+ Definición 6.. La parte principal de f en el punto singular aislado 0 es aquella parte de la serie que envuelve las potencias negativas de ( 0 ), es decir n= a n ( 0 ) n = a + a 0 ( 0 ) + + a m ( 0 ) + m 4

15 y el coeficiente importante es a, al cual llamaremos el residuo de f en 0 y escribiremos Res(f, 0 ) = a = f(w) dw. πi Aparecen 3 tipos de puntos singulares aislados estudiando la parte principal de la serie: Singularidad Removible Supongamos que todos los coeficientes correspondientes a potencias negativas valen cero, es decir, a n = 0 n =,,..., entonces a n ( 0 ) n ( 0 ). Definiendo (o redefiniendo) f( 0 ) como a 0 = lím 0 f() se tiene que f es analítica. Una singularidad de este tipo se dice removible. Ejemplo 6.3. La función g() definida por sen 0 g() = 3 = 0 tiene una serie de potencias para > 0 dada por g() = 3 3! + 4 5! 6 7! + omo lím 0 g() = 3, podemos remover la singularidad en = 0 para así obtener una función entera f() = g() si 0 y f(0) = lím 0 3 3! + 5 5! =. Singularidad Esencial En la parte principal, un número infinito de los a n, n =,,... son diferentes de cero. En este caso se dice que 0 es un punto singular esencial. Ejemplo 6.4. La función f() = e para > 0 tiene una serie de Laurent dada por f() = ! n! + n As = 0 es una singularidad esencial. Polo En la parte principal todos los a n valen cero, excepto un número finito de ellos. Supongamos que a m 0 y que a k = 0 para todo k < m. En este caso se dice que 0 es un polo de orden m (multiplicidad) de la función f. La serie de Laurent toma la forma f() = a m ( 0 ) m +a m+ ( 0 ) m+ + + a ( 0 ) + a n ( 0 ) n (a m 0). En particular, si m = se hablará de un polo simple. 5

16 Ejemplo 6.5. La función f() = sen para > 0 tiene una serie de Laurent 3 f() = 3! + 5! + Así = 0 es un polo de orden. Podemos caracteriar los polos de las funciones de acuerdo al siguiente teorema. Teorema 6.. Sea f() analítica en un entorno del punto 0, excepto en dicho punto. Entonces f tiene un polo de orden m, m N, si y sólo si la función λ() dada por λ() = ( 0 ) m f() tiene una singularidad removible en 0 y lím 0 λ() 0. Demostración : Si f tiene un polo de orden m entonces f() = a m ( 0 ) m + a m+ ( 0 ) m+ + + a ( 0 ) + a n ( 0 ) n, con a m 0. Multiplicando por ( 0 ) m se obtiene ( 0 ) m f() = a m + a m+ ( 0 ) + + a ( 0 ) m + es decir λ() = a m + a m+ ( 0 ) + + a ( 0 ) m + a n ( 0 ) n+m ( 0 ), a n ( 0 ) n+m (para 0 ). Así λ() tiene una singularidad removible en = 0 y lím 0 λ() = a m 0. Recíprocamente, supongamos que se cumple la condición en λ() = ( 0 ) m f(). omo λ() tiene una singularidad removible, su serie de Laurent en un entorno de 0 tiene coeficientes c n iguales a cero (n =,, 3,...). Luego, ( 0 ) m f() = λ() = c n ( 0 ) n. Así f() = ( 0 ) m λ() = = c n ( 0 ) m+n c 0 ( 0 ) m + c ( 0 ) m + + c m ( 0 ) + c m + k=m+ c k ( 0 ) k m. omo c 0 = lím 0 λ() 0, vemos que f tiene un polo de orden m en 0. 6

17 6. eros (Raices) Si la función f() es analítica en un dominio D y el punto 0 está en D entonces para cada disco { D : 0 < R} (contenido en D) es valida la serie de Taylor f (n) ( 0 ) f() = ( 0 ) n = a n ( 0 ) n. n! Si a 0 = a = = a m = 0 y si a m 0 entonces f() = a m ( 0 ) m + a m+ ( 0 ) m+ + = Podemos escribir que a n ( 0 ) n. n=m f() = ( 0 ) m [ a m + a m+ ( 0 ) + a m+ ( 0 ) + ] = ( 0 ) m λ(). Se dirá en este caso que f tiene un cero de orden (multiplicidad) m en = 0. Luego, Teorema es un cero de orden m de una función analítica f() si y sólo si f() = ( 0 ) m λ(), donde λ() es una función analítica en un entorno de 0 y λ( 0 ) 0. También, por el teorema 6., tenemos Teorema 6.3. El punto 0 es un polo de orden m de f() si y sólo si f() = ( 0 ) mλ(), para alguna función λ() analítica en un entorno de 0 y λ( 0 ) 0. Observación 6.. Si f es analítica en un entorno de 0, f 0 y 0 es un cero de f entonces existe un entorno reducido de 0 que no contiene otros ceros de f. En otras palabras, los ceros de f son aislados. Escribiendo f() = ( 0 ) m λ(), λ analítica y λ( 0 ) 0, es λ continua en un entorno de 0. Luego, para k = λ( 0) existe un entorno N( 0, δ) de 0, N( 0, δ) = { : 0 < δ}, tal que λ() λ( 0 ) < k, N( 0, δ). Así λ() = λ( 0 ) (λ( 0 ) λ()) λ( 0 ) λ() λ( 0 ) > k k = k para N( 0, δ) y λ() 0 en N( 0, δ). Luego, N ( 0, δ) = { : 0 < 0 < δ} es un entorno reducido de 0 donde f() = ( 0 ) m λ() 0. 7

18 Observación 6.. Si = 0 es un polo de orden m de la función f() entonces f() cuando 0. Se tiene f() = ( 0 ) m λ(), λ( 0 ) 0 y λ() analítica en un entorno de 0. omo λ es continua en 0, existe un entorno de 0, N( 0, δ) = { : 0 < δ} tal que λ() > λ( 0), N( 0, δ). Luego, para N( 0, δ) es de donde lím 0 f() = +. f() = 0 m λ() > λ( 0) 0 m, 6.3 Residuos Sea 0 un punto singular aislado de la función f. Sean la singularidad de f mas próxima a 0 y R la distancia entre ellos. Así f es analítica en el anillo D = { : 0 < 0 < R} y por el teorema de Laurent se tiene f() = n= a n ( 0 ) n, D ; a n = πi f() d ( 0 ) n+ donde tomamos la circunferencia ( 0, r) de centro 0 y radio 0 < r < R. Definición 6.. El coeficiente a = f() d es llamado el residuo de f en πi 0 y se denota por Res(f(), 0 ). El siguiente teorema de auchy es muy importante. Teorema 6.4 (Residuos). Sea una curva simple cerrada orientada positivamente y sea D un conjunto abierto que contiene a y a su región interior. Si f es analítica en D, excepto (a lo sumo) en un número finito de puntos singulares,,..., N contenidos en la región interior definida por entonces f() d = πi N Res(f(), n ). Demostración : Aplicamos el teorema de la deformación con circunferencias,,..., N centradas en los puntos,,..., N respectivamente y de radios suficientemente pequeos (ver figura ) de manera que estén contenidas en la región interior a y no se corten. Todas con la misma orientación de. n= 8

19 Figura : Aplicando el teorema de la deformación para obtener el teorema de los residuos. Se tiene que f() d = f() d = N n= n f() d y así N πi Res(f(), n ) = πi n= ya que Res(f(), i ) = f() d, i =,,..., N. πi i N Res(f(), n ), Podemos calcular el residuo de una función f en un polo 0 de orden m con facilidad. Teorema 6.5. Sea f una función analítica en un entorno reducido de 0. Si 0 es un polo de orden m de f() entonces Res[f(), 0 ] = n= (m )! lím d m 0 d (( 0) m f()). m Demostración : Por tener f un polo de orden m en 0 es Luego, f() = a m ( 0 ) m + + a ( 0 ) + a n ( 0 ) n (a m 0). ( 0 ) m f() = a m + + a ( 0 ) m + 9 a n ( 0 ) n+m.

20 Derivando (m ) veces para obtener a es d m d[ m ] (( 0) m f()) = (m )!a + suma de términos con potencias de ( 0 ). Tomando límite a ambos lados: d m lím 0 d (( 0) m f()) = (m )! Res(f(), m 0 ) es decir, Res(f(), 0 ) = (m )! lím d m 0 d[ m ] (( 0) m f()). En particular, si 0 es un polo simple (m = ) será Res[f(), 0 ] = lím 0 [( 0 )f()]. En la práctica el siguiente resultado es importante. Teorema 6.6. onsideremos dos funciones analíticas p(), q() es un entorno de 0 con p( 0 ) 0. Sea f() = p() q(). Entonces: a) f() tiene un polo de orden m en 0 si y sólo si 0 es un cero de q() de orden m. b) Si 0 es un polo simple de f (cero de q() de multiplicidad ) entonces Res(f(), 0 ) = p( 0) q ( 0 ). c) Si 0 es un polo doble (m = ) de f entonces. Demostración : Res[f(), 0 ] = p ( 0 ) q ( 0 ) p( 0 )q ( 0 ) 3 [q ( 0 )] a) Si 0 es un cero de q() de orden m, podemos escribir q() = ( 0 ) m λ() con λ( 0 ) 0 y λ() analítica en un entorno de 0. Luego, f() = p() q() = p() ( 0 ) m λ() y ( 0 ) m f() = p() λ(). Esta función p() λ() es analítica en un entorno de 0 ya que λ( 0 ) 0. 0

21 alculando el límite y f() tiene un polo de orden m en 0. lím [( 0 ) m p() f()] = lím 0 0 λ() = p( 0) λ( 0 ) 0 Recíprocamente, si f() = p() q() tiene en 0 un polo de orden m se tiene que p() q() = λ() ( 0 ) m, con λ( 0 ) 0 y λ() analítica en un entorno de 0. Escribimos [ ] p() q() = ( 0 ) m. λ() Esta función p() λ() es analítica en un entorno de 0 ya que λ( 0 ) 0. omo p( 0) λ( 0 ) 0 entonces q() tiene en 0 un cero de orden m. b) Por ser 0 cero simple de q(), podemos escribir q() = c ( 0 ) + c ( 0 ) + = q ( 0 )( 0 ) + q ( 0 ) ( 0 ) +, con c = q q() ( 0 ) 0. Así lím = q ( 0 ). Luego 0 0 ( 0 )p() Res[f(), 0 ] = lím [( 0 )f()] = lím 0 0 q() p( 0 ) p( = ( ) 0 ) = lím q() q ( 0 ). 0 0 c) Se deja como ejercicio. Definición 6.3. Se dice que la función f() es meromorfa en el dominio D si f es analítica en D excepto en un número finito de puntos, en los cuales tiene polos. Ejemplo 6.6. onsidere la función f() = sen 3 ( ). a) Obtenga 4 términos de la serie de Laurent de f en potencias de.

22 b) alcular sen d, si es la circunferencia = recorrida en sentido positivo. 3 ( ) a) Escribiendo el desarrollo de Taylor de sen (en ) es sen = 3! + 4 5! 6 7! + sen = 3 3! + 5 5! 7 7! + Usando la serie geométrica n = en < es = = n = ( ]. Luego, f() = sen ( ) = [ 3! + 4 5! 6 = [ + + ( 6 = 5 6 ( 3! ] [ 7! ] ) ( 3! + ) + ) ] 3 + b) En = 0 hay un polo de orden y Res[f, 0] = c =. También [ ] sen Res[f, ] = lím ( ) 3 ( ) = lím sen 3 = sen. omo = 0 y = son los puntos singulares de f, será f() d = πi[res(0) + Res()] = πi[sen ].

23 Ejemplo 6.7. alcule un número real. e im d si es la circunferencia bi = b, b > 0 y m es ( + b ) Los polos de f() = e im ( +b ) son = bi y = bi. Adentro, en la región encerrada por, solo está, que es el centro de la circunferencia. es un polo de orden, calculando el residuo de f en será d Res[f(), bi] = lím bi d [ e im ( + bi) ] [( + bi) ]e im = lím = e mb ( mb). bi ( + bi) 3 4ib Así, Ejemplo 6.8. f() d = πi Res(f, bi) = π( mb)e mb. b a) lasifique los puntos singulares de la función f() = ( e ) sen. 4 ( + ) b) Hallar los residuos de f en cada uno de sus puntos singulares. c) alcule f() d, siendo la circunferencia dada por = 3 en sentido positivo. a) Escribimos sen = ] [ 3 3! + = 3! + 5! 4 7! 6 +. Además, de e = es! 3! e = [ ( + +! + 3 3! + = 3! )] Además sabemos que en <. + = + = ( ) n n =

24 Así f() en potencias de (entorno de = 0) se escribe ( ) ( ) e sen f() = + = λ(), con λ(0) = 0. Así, f() tiene un polo de orden en = 0. También, calculando su serie de Laurent es f() = [( 3! = [ ] + ) ( 3! + ) ] 5! 4 ( ) = + + b) Así f() tiene en = 0 un polo de orden y Res[f, 0] =. Las funciones e doble y en =, polo simple. alculamos, y sen son analíticas, por lo que f tiene sólo polos: en = 0, polo ( e ) sen Res[f, ] = lím ( ) 4 e Res[f, ] = sen(). e = ( e ) sen( ) c) En el interior de = sólo está el polo = 0, luego 3 f() d = πi Res[f, 0] = πi = πi. en realidad, estas funciones no son analítica pero sólo tienen singularidades removibles (ambas en = 0). Así, ambas funciones pueden ser re-definidas analíticamente. Es una práctica muy frecuente el reemplaar (automáticamente) las funciones con sólo singularidades removibles por sus funciones redefinidas analíticamente. 4

25 lase 7. Aplicaciones El cálculo de residuos se puede usar en la evaluación de algunos tipos de integrales reales: trigonométricas e impropias. 7. Integrales Trigonométricas onsideremos una integral de la forma I = π 0 g(sen θ, cosθ) dθ, donde g es una función racional de sen θ y cosθ que es acotada en el rango de integración. on la sustitución = e iθ y una aplicación del Teorema de los Residuos, se puede evaluar I. De sen θ = eiθ e iθ cosθ = eiθ + e iθ se obtiene sen θ = i ( ) ( y cosθ = + ). Luego, sen θ = i, cosθ = +, dθ = d i, = i y y así I = = g( i, + ) d i = f() d, donde es la circunferencia (0, ) (recorrida en sentido anti-horario) y f es una función racional acotada en el rango de integración. Por el teorema de los residuos, N I = πi Res[f(), n ], n= siendo,,..., N los polos de f() que se encuentran en la región interior del círculo unitario. 7. Integrales Impropias Evaluaremos integrales del tipo f(x) dx, f(x) cos(mx) dx, f(x) sen(mx) dx para cierta clase de funciones f. 5

26 Definición 7.. Sea p un número real. Se dice que la función f es del orden de (escribiremos f() = O( )) si existe una constante real k > 0 tal que f() k cuando es p p p suficientemente grande (es decir, cuando M para alguna constante real M > 0). Ejemplo 7.. La función f definida por f() = + 3 se puede escribir como f() = ( + 3 ) + 5 ( y así f() = 3 ) , es decir, f() cuando es suficientemente grande. Luego, f() = O( ) Teorema 7.. Sea f() una funcón meromorfa en el semiplano superior complejo y continua en el eje real. Si f() = O( p ) con p > entonces f(x) dx = πi N Res[f(), n ], donde,,..., N representan los polos de f() que están en el semiplano superior complejo. Demostración : Denotaremos con R la semicircunferencia superior = R, (θ) = Re iθ, 0 θ π. Llamemos la curva cerrada simple formada por R y el intervalo real [ R, R]. Tomando R suficientemente grande (de modo que los polos de f en el semiplano superior queden todos en la región encerrada por ) tenemos, gracias al teorema de los residuos, R R n= f(x) dx + f() d = πi R Ahora probaremos que lím f() d = 0. R R En efecto, f() d f() d R R omo p >, es lím R = k R p R N Res[f(), n ]. n= k d = p R d = k kπ R RpπR = R p. k R p d R f() d = 0 y así f(x) dx = πi N n= Res[f(), n]. Las integrales del tipo f(x) cos(mx) dx y f(x) sen(mx) dx se evaluarán usando la integral de la forma f(x)eimx dx ya que de e imx = cos(mx)+i sen(mx) bastaría tomar la parte real y la parte imaginaria de esta última integral. En la demostración del siguiente teorema usaremos dos resultados sencillos: 6

27 Figura : Todas las singularidades del semiplano superior quedan encerradas por. a) Desigualdad de Jordan. Estudiando las funciones reales h(x) = π sen x, g(x) = x en el intervalo real 0 x π se obtiene que h(x) g(x) (dibuje las gráficas). Así, θ π sen θ y sen θ, de π θ donde sigue la desigualdad de Jordan θ π sen θ θ en 0 θπ. b) La integral real π 0 emsen θ dθ (m R) la escribimos como π 0 e m sen θ dθ = π Usando la sustitución θ = π t obtenemos Luego, π π e m sen θ dθ = π π e m sen θ dθ + π e msen(π t) dt = π e m sen θ dθ. π π e msen θ dθ = e m sen θ dθ. 0 0 e msen t dt. Teorema 7.. onsideremos la función f() meromorfa en el semiplano superior tal que f() = O( ), con p > 0. Entonces para cada número real m > 0 es p lím e im f() d = 0, R R 7

28 donde R es la semicircunferencia superior dada por = R, (t) = Re it, 0 t π. Demostración : Para en R, (t) = Re it = R(cos t + i sen t). Así e im = e imr(cos t+i sen t) = e mr sen t e imr cos t = e mr sen t. omo f() = O( p ), con p > 0, existen constantes reales positivas k y M tales que para M es f() k p. Tomando R suficientemente grande (R > M) se cumple que para en R es f() k R p. Luego, π e im f() d = e im(t) f((t)) (t) dt R 0 π π = e im(t) f((t))rie it dt e im(t) f((t)) R dt 0 k R p π 0 e mr sen t R dt = k R p 0 π 0 e mr sen t dt. De la desigualdad de Jordan es sen t t, sustituyendo quedaría π π k e mr sen t dt R p 0 k π R p 0 Luego, como m > 0 y p > 0 concluimos que lím R e (mr π )t dt = πk mr p( e mr ). R e im f() d = 0. Teorema 7.3. Sea f() una función meromorfa en el semiplano superior y continua en el eje real. Si f() = O( p ) con p > 0 entonces para cada número real m > 0 es f(x)e imx dx = πi N Res[f()e im, n ], donde,,..., N denotan los polos de f() que están en el semiplano superior. n= on el teorema7., la prueba es similar a la del teorema7., usando la curva cerrada = [ R, R] R. Ejemplo 7.. alcular I = π 0 dθ sen θ. 8

29 Solución. Usando las fórmulas adecuadas se obtiene que Luego, = e iθ, =, dθ = d i, sen θ = i, sen θ = 4i + i I = = y dθ sen θ = d 4i +. ( ) d 4i = d = 4i. Factoriando es 4i = ( )( ), con = ( 3)i y = ( + 3)i. El punto está afuera y está adentro, en la región encerrada por =. alculamos Res[f, ( 3)i] = = [ ] lím ( ( ) 3)i ( )( ) ( 3)i ( + 3)i = 3i, = lím con lo cual ( I = ( )πi Res[f, ] = ( )(πi) ) 3i = π. 3 Ejemplo 7.3. alcule el valor de la integral I = π Solución. on las fórmulas correspondientes 0 ( + cosθ) n e inθ 5 4 cosθ dθ. será cos θ = + + cosθ = + +, = e iθ, dθ = d, =, i y 5 4 cosθ =

30 Así I = = i = i = = ( ++) n n n 5+ = d i ( + + ) n 5 + d ( + + ) n ( )( ) d. El punto = está adentro, en la región interior a = y el punto = está afuera. alculamos [ Res f, ] ( + + ) n = lím = ( )n = 3 ( ) n 7. 4 De aquí ( I = ) i = π ( ) n [ πi Res f, ] ( = ) ( πi i 3 ) ( ) n 7 4 Ejemplo 7.4. alcular I = dx (x + 9)(x + ). Solución. La función f() = es meromorfa en el semiplano superior con ( +9)( +) polos = 3i (polo simple) y = i (polo doble). Además, f() = O( ) = O( ), con p 6 p = 6 > y f es continua en el eje real. Aplicando el teorema correspondiente es I = πi[res(f, 3i) + Res(f, i)]. alculamos [ ] Res(f, 3i) = lím = 3i ( + 3i)( + ) 6 64i [ ] d Res(f, i) = lím = 3 i d ( + 9)( + i) 8 i. Luego, [ I = πi ] 8 i = 5π 96. Ejemplo 7.5. alcular cosx (x + 4) dx. 30

31 Solución. Para aplicar el teorema correspondiente, calculamos I = m =. e ix (x + 4) dx, Vemos que f() = es del orden de f() = O( ). f es meromorfa en el semiplano ( +4) 4 superior, con polo doble en = i y continua en el eje real. alculamos Res[f(), e i d, i] = lím i d [ ] e i ( + i) = 3 3 ie. Luego, I = πi Res[(f()e i, i] = 3π 6 e. Tomando parte real es cosx 3π dx = Re[I] = (x + 4) 6 e. 3