Fórmula integral de Cauchy

Transcripción

1 Fórmula integral de Cauchy Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C!

2 Fórmula integral de Cauchy Otro resultado que se sigue de la fórmula integral de Cauchy es el siguiente: Sea C un camino cerrado simple, orientado positivamente y sea f una función analítica en el interior y sobre C. Si z es cualquier punto en el interior de C, entonces: (derivadas de funciones analíticas)

3 Fórmula integral de Cauchy Mientras que para f '' En general (extensión de la fórmula integral de Cauchy):

4 Fórmula integral de Cauchy Una consecuencia importante de la extensión de la fórmula integral de Cauchy es la siguiente: Si una función es analítica en un punto, existen sus derivadas (a todo orden) en ese punto y éstas son también funciones analíticas Similarmente, si f=u+iv es analítica en un dominio D, entonces todas las derivadas parciales de u y v existen y son analíticas.

5 Una consecuencia más de la extensión de la fórmula de Cauchy es el teorema de Liouville. Este último útil para demostrar el teorema fundamental del álgebra.

6 Cotas de funciones analíticas y Teorema de Liouville Lema: Se f(z) una función analítica en el interior y sobre los puntos de un círculo C R de radio R. Si M R denota el máximo valor de f(z) en C R, entonces conocida como desigualdad de Cauchy

7 Teorema de Liouville Teorema de Liouville: Si f(z) es una función entera y acotada en todo el plano complejo, entonces f(z) es constante en todo el plano. Así, las únicas funciones enteras son las funciones constantes.

8 Teorema fundamental del álgebra Utilizando el T. de Liouville podemos demostrar el T. fundamental del álgebra: Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero

9 Cotas de funciones analíticas Principio del modulo máximo : Si f(z) es una función analítica no constante en un dominio D, entonces f(z) no tiene máximo en D. Corolario: Sea f(z) una función analítica en un dominio acotado y cerrado (incluye su frontera), entonces f(z) adquiere su valor máximo en la frontera. Así pues, si f(z) es una función analítica y f(z) alcanza su máximo valor en un dominio D, entonces f(z) es constante.

10 Sucesiones y Series Vamos a estudiar cómo se expandir una función analítica en una serie de potencias. Preliminares (convergencia): Se dice que una sucesión infinita de números complejos tiene como límite z, si para todo existe un entero tal que siempre que Como puede ser arbitrariamente pequeño, se sigue que z n se aproxima a z

11 Sucesiones y Series El límite de z es único, si existe. Cuando el límite existe, se dice que la sucesión es convergente y que converge a z, es decir, Si la sucesión no tiene límite se dice que es divergente o que diverge.

12 Sucesiones y Series Teorema. Sea y. Entonces si y sólo si y

13 Sucesiones y Series Se dice que una serie de números complejos es convergente, si la sucesión de sumas parciales tiene un límite S, es decir,

14 Teorema. Sea y. Entonces Sucesiones y Series si y sólo si y

15 Comentario. Sucesiones y Series De forma similar a las series (reales), una condición necesaria para la convergencia de una serie de números complejos es que

16 Sucesiones y Series Serie absolutamente convergente: Se dice que una serie es absolutamente convergente si la serie de números reales es convergente. Además, como las series y son convergentes

17 Sucesiones y Series Por lo tanto la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia de la serie misma. Pero puede pasar que converge y diverge. En este caso se dice que la serie es condicionalmente convergente.

18 Sucesiones y Series Algunos criterios de convergencia: Criterio del resto: Sea la diferencia (resto) entonces la serie converge a un número S si y solo si la sucesión de restos tiende a cero. Criterio del cociente: sea l el cociente: Entonce la serie converge si l<1 y diverge si l>1

19 Sucesiones y Series Criterio de la raíz: Entonces la serie converge si l<1 y diverge si l>1

20 Series de Taylor Similarmente al caso de funciones reales, supongamos que queremos encontrar un polinomio P n (z) que se aproxime a una función analítica f(z) en una vecindad del punto z 0 Las series de Taylor nos dan una forma de construir dicho polinomio: se busca que las derivadas (n derivadas) del polinomio sean iguales a las derivadas de f(z) en z 0

21 Series de Taylor Es decir, De modo que:

22 Así tenemos el siguiente teorema: Sea f una función analítica en un disco Entonces f admite la representación de potencias: donde conocida como serie de Taylor (o serie de Maclaurin cuando ). Además la serie de Taylor es única