APLICACIONES a) Calculo de limites b) Calculo de aproximaciones y estimación del error. c) Criterios de máximos y mínimos.

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Luis Fuentes Figueroa
hace 7 años
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1 INTRODUCCION SERIES a) Seno b) e x c) Cotangente APLICACIONES a) Calculo de limites b) Calculo de aproximaciones y estimación del error. c) Criterios de máximos y mínimos. EXTRAS

2 INTRODUCCION La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a es la serie de potencias: que puede ser escrito de una manera más compacta como: donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x-a)0 y 0! son ambos definidos como uno. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r,a+r) y la suma es igual a f (x) entonces la función f (x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f (x) se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias, los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a=0,a la serie se le llama serie de Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: *La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. *Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. *Es posible demostrar que,si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor,es la óptima aproximación posible. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x. Por ejemplo f (x)=exp (-1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

3 Primero usaremos el teorema de Taylor para hallar las series de polinomios de la función SENO: Usando el comando Series, donde colocamos la función y la variable junto con los intervalos del grado del polinomio. Podemos darle el valor constante de a dándonos las serie s típicas de Taylor o igualando a=0 para concebir las series de Maclaurin. Usando las segundas damos valores desde 1 hasta 13 (solo los impares) que representa el grado del polinomio para aproximar la función. Para poder eliminar los términos innecesarios usamos el comando Normal. Y por ultimo graficamos con Plot todas las funciones anteriores incluyendo la original y observamos como se aproximan las funciones a seno conforme aumenta el grado del polinomio.

4 Ahora lo usaremos para hallar las series de polinomios de la función e x. Graficamos usando el comando Series, donde colocamos la función y la variable junto con los intervalos del grado del polinomio. Podemos darle el valor constante de a dándonos las serie s típicas de Taylor o igualando a=0 para concebir las series de Maclaurin. Usando las segundas damos valores desde 0 hasta 8 que representa el grado del polinomio para aproximar la función. Y por ultimo graficamos con Plot todas las funciones anteriores incluyendo la original y observamos como se aproximan las funciones a seno conforme aumenta el grado del polinomio.

5 Y por ultimo lo usaremos para hallar las series de polinomios de la función Arco tangente. Graficamos usando el comando Series, donde colocamos la función y la variable junto con los intervalos del grado del polinomio. Podemos darle el valor constante de a dándonos las serie s típicas de Taylor o igualando a=0 para concebir las series de Maclaurin. Usando las segundas damos valores desde 1 hasta 11 (solo los pares) que representa el grado del polinomio para aproximar la función. Podemos comprobar que las series polinomiales de la función arco tangente son correctos utilizando el comando InverseSeries con la tangente. Y por ultimo graficamos con Plot todas las funciones anteriores incluyendo la original y observamos como se aproximan las funciones a seno conforme aumenta el grado del polinomio.

6 Para resolver algunos problemas de aplicación se utiliza el siguiente método: 1.- Para el calculo de limites, se encuentra la serie (Series) de polinomios del grado adecuado del numerador y del denominador, se encuentra el limite Limit) de la expresión ya reducida. Esta se puede comprobar utilizando directamente la función Limit de la expresión inicial.

7 2.- Para el calculo de aproximaciones y estimación de error de un numero, se representa como función y se evalúa en a. Se deriva y se evalúa en a. Se procede de igual manera con la segunda derivada. Se obtiene la tercera derivada. Se origina el polinomio de Taylor adecuado y se evalúa en x. Para expresión decimal se usa el comando //N. Se verifica el resultado mediante la evaluación directa de la función en x. Para calcular el error se evalúa la tercera derivada en a y con el comando //N se obtiene la expresión decimal.

9 3.- Para calcular máximos y mínimos es necesario encontrar primeramente los valores críticos por lo cual derivamos(d) la función y encontramos sus soluciones con el comando Nsolve. Se encuentra la segunda derivada y se evalúa en los puntos críticos y así igual en la tercera y demás hasta encontrar valores mayores o iguales que cero dependiendo si se busca un máximo o un mínimo. Se puede observar el máximo o el mínimo si evaluamos la función original en los puntos críticos. Si n es par: a) f (n) (xo)<0 Þ f toma un máximo relativo en xo.b) f (n) (xo)>0 Þ f toma un mínimo relativo en xo. Por ultimo graficamos la función para observar los puntos críticos.

10 f(x)=sen x f(x)=cos x f(x)=e x

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