Series de Taylor para funciones de variable compleja

Transcripción

1 Series de Taylor para funciones de variable compleja Marc Farrés Pijuan

2 1 Series de Taylor 1.1 Denición Tal y como sabemos para el ámbito de los reales, si dada una función f podemos derivarla tantas veces como queramos en un determinado entorno (x 0, x 0 + ) centrado en x 0 entonces podremos expresar el valor de la función para cualquier punto de ese entorno mediante una serie de Taylor: f (x) = f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n ; x (x 0, x 0 + ) (1) Siendo f (n) (x 0 ) la derivada n-ésima de la función en el punto x 0, y tomando el convenio de que f (0) (x 0 ) = f(x 0 ). La enorme utilidad de esta expresión radica en que nos permite conocer la función en un punto x cualquiera dentro del entorno a partir de conocer solamente a la función en uno de sus puntos x 0. Evidentemente cuantos mas términos de la serie cojamos mas nos acercaremos al valor que realmente tiene f (x), pero el echo de que a medida que cojamos mas términos de la sèrie estos se vayan haciendo cada vez mas pequeños nos permite en muchas ocasiones obtener aproximaciones sucientes para nuestros propósitos tomando solo los términos hasta n = 1 o n = 2. Seria pues muy interesante pues poder ampliar el rango de acción de esa herramienta hacia el cuerpo de los complejos, y de echo disponemos ya de algunos teoremas sobre funciones complejas que nos permiten hacerlo. Esta extensión deberá cumplir (como todas las extensiones de los reales a los complejos) que al limitar nuestra función compleja para que trabaje solamente en los reales (recordemos que los reales son un subconjunto de los complejos) recuperemos el resultado que ya conociamos para estos. Teorema 1 : Teorema de Taylor Sea f una función analítica en un disco z z 0 < R 0 centrado en z 0 y de radio R 0. Entonces f(z) admite la representación en serie de potencias f(z) = a n (z z 0 ) n ; ( z z 0 < R 0 ) donde... a n = f (n) (z 0 ) ; n = 0, 1, 2,... 2

3 Así pues hemos trasladado tal cual el resultado que ya conociamos para funciones reales, y para hacerlo solo hemos tenido que cambiar el "intérvalo" en el que f era diferenciable por su equivalente complejo: el "disco" en el que f sea analítica. Si os sentis incómodos aceptando esta traslación directa podeis consultar la demostración completa de que efectivamente esta serie también convergirá hacia el valor de la función en los complejos tal y como lo hacia cuando nos limitábamos a los reales en este link: Demostración. Son de especial interés aquellas series de Taylor que nos expresan una función a partir de su valor en el orígen, ya que la expresión para tales series se simplica bastante f(z) = f (n) (0) z n ; ( z < R 0 ) (2) Estas son las conocidas como series de Maclaurin. Además en muchas ocasiones nos encontraremos con que nuestra función será entera(analítica en todo el plano complejo), en cuyo caso ya no tendremos que preocuparnos de que el punto z en el que queremos aproximar a nuestra función esté o no dentro de un disco en cuyo interior f sea analítica (ya que este disco será arbitrariamente grande). Veamos ahora un teorema que quizás se nos presente de forma algo prematura, aunque justicada debido a la gran utilidad que le daremos. Teorema 2 : Unicidad del desarrollo en series Si tenemos una serie a n (z z 0 ) n que nos converge a f(z) para todo punto z que se encuentra dentro de una determinada circunferencia de radio R 0 centrada en z 0 ( z z 0 < R 0 ) Entonces esa sèrie será la sèrie de Taylor para f. Demostración. Aunque tras una primera lectura nos deje algo confusos acerca de lo que nos dice, este teorema nos asegura que si dada una función cualquiera en los complejos podemos expresarla como una suma de términos a n (z z 0 ) n 3

4 (con a n constantes complejas) esta suma que habremos encontrado será la misma que habriamos obtenido calculando la serie de Taylor haciendo la derivadas correspondientes, con el trabajo que eso implica. Aunque parezca algo extraño que una función pueda expresarse como una suma de términos a n (z z 0 ) n a no ser que ya esté preparada para que podamos hacerlo, no lo es tanto que pueda expresarse como una suma de términos del tipo a n (z) n (un polinomio complejo), que gracias al último teorema visto podremos asegurar que se tratará de su sèrie de Maclaurin (recordemos que no es mas que su sèrie de Taylor alrededor del punto z = 0). Este resultado nos permitirá nada mas que encontrar series de Taylor sin tener que derivar. Lo conseguiremos encontrando primero la serie de Taylor (derivando) para una función sencilla de derivar y utilizandola después para obtener otras series a partir de esa. Veámoslo: 1.2 Encontrando series de Taylor para funciones complejas Comenzamos trabajando con la función exponencial extendida a los complejos... f(z) = e z esta función es derivable en todo el plano complejo (f (z) = f(z), z C) y eso se traduce en que es análitica en todo el plano complejo(es entera). Así pues podremos encontrar su serie de Maclaurin en cualquier punto (el radio R 0 que antes considerábamos se hace tan grande como queramos), y vendrá dada por: e z = z n ; ( z < ) (3) podemos comprobar además que si nos limitamos a los números reales (que no son mas que los complejos sin parte imaginaria: z = x + i0), recuperamos el resultado que obteniamos en el cálculo con variable real: e x = x n ; ( < x < ) (4) Con este sencillo resultado en la mano hallamos ahora la serie de Maclaurin para una función algo mas complicada f(z) = z x e yz (con x e y números constantes reales), solo tenemos que acudir al caso anterior y sustituir z por yz, luego multiplicamos por z x obteniendo: z x e yz = z x (yz) n = y n zn+x = n=x y n x (n x)! zn ; ( z < ) (5) por ejemplo para una elección de x = 2, y = 3 esto queda... z 2 e 3z = n=2 3 n 2 (n 2)! zn ; ( z < ) 4

5 Otra familia para la que podemos encontrar ahora fácilmente su desarrollo de Maclaurin es la de las funciones trigonométricas. Veamos como ejemplo f(z) = cos(z) f(z) = cos(z) = eiz + e iz 2 Así pues se trata de volver a substituir en la ecuación (3) el término z en este caso por iz, iz y dividir por 2 este resultado: ( cos(z) = 1 ) (iz) n ( iz) n + = 1 [1 + ( 1) n ] in z n 2 2 (6) Solo nos falta ver que el término [1 + ( 1) n ] solo es distinto de 0 cuando ( 1) n es distinto de 1 y eso se da para cualquier n par, en estos casos [1 + ( 1) n ] = 2. Luego el término (i) n para n pares será (i) 2n = (i 2 ) n = ( 1) n. Así pues... cos(z) = ( 1) n z2n (2n)! ; ( z < ) (7) Y vemos que cuando z = x + i0 (z reales) esta serie se convierte en la que usamos para el coseno en los reales : cos(x) = ( 1) n x2n (2n)! = 1 x2 2! + x4 4! x ; ( < x < ) 6! Ejemplo de uso: teorema de la unicidad del desarrollo en sèrie Veamos como en ocasiones podemos usar el teorema 2 para hallar la expresión de una función en forma de sèrie de potencias (sèrie de Taylor) Si tenemos que f(z) = 1 1 z lo primero que debemos ver es que su sèrie de Maclaurin sea la que sea solo convergirá para valores de z que estén dentro de un círculo de radio 1 centrado en el orígen. Esto es así porque f(z) no es analítica en z = 1 (de echo f ni tan siquiera está denida para ese punto) y por lo tanto para cualquier z que cumpla z 1 no podremos decir que se encuentre dentro de un círculo donde f sea analítica en su interior, ya que este círculo contendrá al punto z = 1. Así pues su desarrollo en sèrie de Maclaurin deberá incluir la condición x < 1 (remarco que és desigualdad estricta) Para encontrar el desarrollo tendremos que recuperar uno de los resultados básicos del cálculo: 1 + z 1 + z 2 + z z n = 1 zn+1 1 z ; z 1 (8) Gracias a esta igualdad podemos expresar las sumas parciales como... S N (z) N 1 z n = 1 zn 1 z (9) Así pues si cogemos f(z) = 1 1 z y hacemos f(z) S N (z) = zn 1 z 5

6 y cuando z < 1 esto tiende a 0 a medida que consideramos mas y mas términos N lo que signica que la série zn converge hacia 1 1 z cuando z < 1, en resumen: z n = 1 1 z ; z < 1 (10) Así pues hemos encontrado una forma de escribir la función f(z) = 1 1 z así que según el teorema 2 esta sèrie serà su serie de Maclaurin. en forma de una serie de potencias de z, 6