UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) y = ex cos y. e x cos y e x sin y. y 2.

Transcripción

1 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES HOJA 4: Derivadas de orden superior 4-1. Sea u : R R definida por u(x, y e x sen y. Calcula las cuatro parciales segundas, es decir el hessiano D u. Comprobar que se verifica la igualdad de las derivadas cruzadas. Solución: Las derivadas parciales de la función u(x, y e x sin y son u ex sin y, y el Hessiano es ( e x sin y e x cos y e x cos y e x sin y u ex cos y 4-. Sea la función cuadrática Q : R 3 R definida por Q(x, y, z x + 5y + 4xy yz. Calcular la matriz hessiana D Q. Solución: El gradiente de Q es El Hessiano es de Q es (x + 5y + 4xy yz (x + 4y, 10y + 4x z, y Dada f(x, y, z e z + 1 x + xe y, con x 0, calcular: f, f, f, f Solución: Las derivadas que se piden de la función f(x, y, z e z + 1 x + xe y son f(x, y, z x 3 f(x, y, z e y f(x, y, z e y f(x, y, z xe y 4-4. Sea z f(x, y, x at, y bt donde a y b son constantes. Se considera z como una función de t. Hallar d z dt en términos de a, b y de las derivadas parciales de segundo orden de f: f xx, f yy y f xy. Solución: Como la función es de clase C las derivadas se puede aplicar el Teorema de Schwarz. d dt (f(at, bt af x (at, bt + bf y (at, bt d dt (f(at, bt a f xx (at, bt + abf xy (at, bt + b f yy (at, bt 1

2 4-5. Sea f(x, y 3x y + 4x 3 y 4 7x 9 y 4. Calcular la matriz hessiana D Q. Solución: El gradiente de f es f(x, y ( 6xy + 1x y 4 63x 8 y 4, 3x + 16x 3 y 3 8x 9 y 3 La matriz Hessiana de f es ( 6y + 4xy H(x, y 4 504x 7 y 4 6x + 48x y 3 5x 8 y 3 6x + 48x y 3 5x 8 y 3 48x 3 y 74x 9 y 4-6. Sean f, g : R R dos funciones cuyas derivadas parciales son continuas en todo R y tales que existe una función h : R R tal que (f, g h, es decir, f(x, y h (x, y h g(x, y (x, y para todos los puntos (x, y R. Qué ecuación deben verificar f y g? Solución: Por un lado, tenemos que f ( h h Mientras que, por otro lado, tenemos que g ( h h Como las funciones f y g tienen derivadas parciales continuas en todo R, la función h es de clase C. Por el Teorema de Schwartz, tenemos que h h es decir, f g 4-7. La demanda de un consumidor está determinada por un sistema de ecuaciones de la forma u λp 1 u λp p 1 x + p y m donde u(x, y es la función de utilidad del agente, p 1 y p son los precios de los bienes, m es la renta del agente y λ R. Suponiendo que este sistema determina a x, y y λ en función del resto de los parámetros, calcular p 1 Solución: En primer lugar escribimos el sistema como f 1 u λp 1 y calculamos (f 1, f, f 3 (x, y, λ u u f u λp f 3 p 1 x + p y m u p 1 u p p 1 p 0 u p u p 1p + u p 1

3 3 Suponemos que este determinante no se anula y que podemos aplicar el Teorema de la función implícita. Derivando respecto a p 1 (pero ahora suponemos que x, y, λ son funciones de los demás parámetros obtenemos que podemos reescribir como Las incógnitas del sistema son, p 1 Vemos que el determinante del sistema es Aplicando la regla de Cramer obtenemos, λ p 1 u + u λ p 1 λ p 1 p 1 p 1 u + u p 1 λ p p 1 p 1 x + p 1 + p p 1 p 1 u + u λ p 1 λ p 1 p 1 p 1 u + u p 1 λ p p 1 p 1 p 1 + p x p 1 p 1 u p 1 0 u p x p 0 p 1, (f 1, f, f 3 (x, y, λ u p u p 1p + u p 1 λ p 1 λp + m u p m u p 1 u p u p 1p + u p Dado el sistema de ecuaciones z + t xy zt + x y (a Probar que este sistema de ecuaciones determina a z y t como funciones diferenciables de x, y en un entorno del punto (1, 0, 1, 1. (b Calcular las derivadas parciales de z y t respecto a x, y en el punto (1, 0. (c Sin resolver el sistema, cuál es el valor aproximado de z(1 001, 0 00 (d Calcular z (1, 0 Solución: (a En primer lugar escribimos el sistema como f 1 z + t xy f zt + x y y calculamos (f 1, f (z, t z 1 t z z t que no se anula para z 1, t 1. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de la función implícita. Derivando el sistema implícitamente respecto a x obtenemos z + y t + z + x

4 4 (1 Ahora sustituimos los valores x 1, y, z 1, t 1. Obtenemos (1, 0 + (1, 0 (1, 0 + (1, 0 por lo que (1, 0 3, 4 3 Derivando el sistema implícitamente respecto a y obtenemos z + x t + z y Ahora sustituimos los valores x 1, y, z 1, t 1. Obtenemos (1, 0 + (1, 0 1 (1, 0 + (1, 0 por lo que (1, 0 1 3, (1, (b Usamos la aproximación de Taylor de primer orden alrededor el punto (1, 0 y obtenemos P 1 (x, y z(1, 0 + (1, 0(x 1 + (1, 0y (x 1 + y 3 z(1 001, 0 00 P (1 001, (c Derivamos implícitamente el sistema 1 respecto a x, Ahora sustituimos los valores x 1, y, z 1, t 1, con lo que queda el sistema y resolviendo este sistema obtenemos z z + t 1 + t z + + z t (1, 0 3, 4 3, z (1, 0 + t (1, z (1, 0 t (1, 0 9 t (1, 0 3 9, z (1, (1, 0 1 3, Dado el sistema de ecuaciones xt 3 + z y 4zt x 4 (a Probar que este sistema de ecuaciones determina a z y t como funciones diferenciables de x, y en un entorno del punto (0, 1, 1, 1. (b Calcular las derivadas parciales de z y t respecto a x, y en el punto (0, 1. (c Sin resolver el sistema, cuál es el valor aproximado de z(0 001, 1 00

5 5 (d Calcular z (0, 1 ( Solución: (a En primer lugar escribimos el sistema como f 1 xt 3 + z y f 4zt x + 4 y calculamos (f 1, f 1 3xt (z, t 4t 4z 4z 1xt3 que no se anula para x, y 1, z 1, t 1. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de la función implícita. Derivando el sistema implícitamente respecto a x obtenemos t 3 + 3xt + 4t + 4z 1 Ahora sustituimos los valores x, y 1, z 1, t 1. Obtenemos (0, 1 (0, (0, 1 1 por lo que (0, 1 1, (0, Derivando el sistema implícitamente respecto a y obtenemos 3xt + y t + z Ahora sustituimos los valores x, y 1, z 1, t 1. Obtenemos (0, 1 (0, 1 + (0, 1 por lo que (0, 1, (0, 1 (b Usamos la aproximación de Taylor de primer orden alrededor el punto (0, 1, y obtenemos P 1 (x, y z(0, 1 + (0, 1x + (0, 1(y 1 x + y 1 z(0 001, 1 00 P (0 001, (c Derivamos implícitamente el sistema respecto a x, Ahora sustituimos los valores x, y 1, z 1, t 1, 3t + 6xt + 3xt t + z 4 + t z + t (0, 1 1, (0, 1 5 4, (0, 1, (0, 1

6 6 con lo que queda el sistema y resolviendo este sistema obtenemos 6 + z (0, 1 10 z + z t t (0, 1 16, z (0, Encontrar la aproximación polinómica de las siguientes funciones hasta el grado : (a f(x, y ln(1 + x + y en (, 1. (b f(x, y x 3 + 3x y + 6xy 5x + 3xy en (1,. (c f(x, y e x+y en (0, 0. (d f(x, y sen(xy + cos(xy en (0, 0. (e f(x, y, z x y + xz en (1, 0, 3. Solución: El polinomio de Taylor de orden de f alrededor del punto x 0 es P (x f(x 0 + f(x 0 (x x 0 + 1! (x x 0 t Hf(x 0 (x x 0 (a f(x, y log(1 + x + y en (, 1. Como, ( f(, 1 el Hessiano es y el polinomio de Taylor es x + y, 1 + x + y x,y1 ( 1 (1+x+y (1+x+y 4 (1+x+y (1+x+y f(, 1 ln 5 x,y1 ( 1 5, 5 ( P (x ln (x + 5 (y (x 5 (x (y 1 (y 1 5 (b f(x, y x 3 + 3x y + 6xy 5x + 3xy en (1,. Como, y el Hessiano es y f(1, ( 3x + 6yx + 9y 10x, 3x + 18yx x1,y (41, 39 el polinomio de Taylor es ( 6x + 6y 10 6x + 18y 6x + 18y 18x f(1, 38 x1,y ( P (x (x (y + 4(x 1 + 4(x 1(y + 9(y (c f(x, y e x+y en el punto (0, 0. Tenemos que f(0, 0 1. El gradiente es y el Hessiano es El polinomio de Taylor es f(0, 0 ( e x+y, e x+y x0,y0 (e 0, e 0 ] ( ( e x+y e x+y e 0 e e x+y e x0,y0 x+y 0 e 0 e 0 P (x 1 + 1x + 1y + 1! (1x + xy + y 1 + x + y + 1 x + yx + 1 y

7 7 (d f(x, y sin(xy + cos(xy en el punto (0, 0. Por una parte, f(0, 0 1. El gradiente es f(0, 0 ((cos yx y (sin yx y, (cos yx x (sin yx x x0,y0 (0, 0 Las derivadas segundas son y el Hessiano en el punto (0, 0 es f ( y sin(yx y cos(yx f yx sin(yx + cos(yx yx cos(yx sin(yx f ( x x cos(yx por lo que el polinomio de Taylor es ( P (x, y 1 + yx (e f(x, y, z x y + xz en el punto (1, 0, 3. Por una parte, f(1, 0, 3 4. El gradiente es y el Hessiano es por lo que el polinomio de Taylor es f(1, 0, 3 (1 + z, y, x x1,y0,z3 (4, 0, P (x, y, z 4 + 4(x 1 + (z 3 + 1! ( y + (x 1(z Dada la forma cuadrática Q (x, y, z x axy xz + y + 4yz + 5z para qué valores del parámetro a es definida positiva? Solución: Q(x, y, z x axy xz + y + 4yz + 5z Será definida positiva si los menores principales verifican D 1 > 0, D > 0, D 3 > 0. Vamos a calcularlos. D 1 1 D 1 a a 1 1 a > 0 si y sólo si a < 1. 1 a 1 D 3 a a + 4a a(4 5a > 0 si y sólo si a (0, 4/5. Por tanto, sera definida positiva si a (0, 4/5. Si a o a 4/5, entonces tenemos D 1 > 0, D > 0, D 3, por lo que es semidefinida positiva, pero no definida positiva. Cuando a (, 0 ( 4 5, + se verifica que D 1 > 0, D 3 < 0 por lo que la forma cuadrática es indefinida Estudiar el signo de las siguientes formas cuadráticas por el método de los menores principales. (a Q 1 (x, y, z x + 7y + 8z 6xy + 4xz 10yz. (b Q (x, y, z y z + xy + xz + 4yz. 1 3 Solución: a La matriz asociada a Q 1 es Calculamos D 1 1 > 0, D y D Por tanto, es indefinida. (No era necesario calcular D b La matriz asociada a Q es menores principales, hacemos el cambio de variables x z, z x. Obtenemos. Vemos que D 1. Para poder aplicar el método de los Q ( x, y, z y x + zy + x z + 4y x

8 8 cuya matriz asociada es Por tanto, es indefinida. Otra forma de hacer este ejercicio es la siguiente. Como D 3 D 1, por la proposición 3.13, la forma cuadrática es indefinida.. Los menores principales son D 1 1, D , pero D 1, Estudiar los valores que debe tomar a para que la forma cuadrática Q (x, y, z ax + 4ay + 4az + 4xy + axz + 4yz sea: (a Definida positiva. (b Definida negativa. Solución: La matriz asociada a la forma cuadrática Q(x, y, z ax + 4ay + 4az + 4xy + axz + 4yz es a a 4a a 4a (a Estudiamos las condiciones para que los menores principales verifiquen (i D 1 a > 0 (ii D a 4a 4a 4 4(a 1 > 0. Esta condición se verifica si y sólo si a > 1. a a (iii D 3 4a a 4a 1a3 1a 1a(a 1 > 0. Asumiendo que a > 0, la condición a(a 1 > 0 se simplifica en que (a 1 > 0 que es equivalente a a > 1. Por tanto, Q es definida positiva si a > 1. (b Estudiamos las condiciones para que los menores principales verifiquen (i D 1 a < 0. (ii D a 4a 4a 4 4(a 1 > 0 Esta condición se verifica si y sólo si a > 1. Asumiendo que a < 0, la condición 4(a 1 > 0 se convierte en a < 1. Hemos visto en el apartado anterior que D 3 1a(a 1 < 0 si a < 1. Por tanto, Q es definida negativa si a < 1. El razonamiento anterior demuestra que Q is indefinida si a ( 1, 0 (0, 1. Si a, la forma cuadrática es Q(x, y, z 4xy + 4yz y vemos que Q(1, 1, 0 4 > 0, Q(1, 1, 0 4 < 0, por lo que Q es indefinida Para estudiar los casos a ±1 hacemos el siguiente cambio de variables con lo que obtenemos la forma cuadrática x z, ȳ y, z x Q( x, ȳ, z a z + 4aȳ + 4a x + 4 zȳ + a z x + 4ȳ x 4a x + 4aȳ + a z + 4 xȳ + a z x + 4ȳ x cuya matriz asociada es Para esta matriz tenemos que y vemos que para a 1, 4a a 4a a a D 1 4a, D 16a 4, D 3 1a(a 1 D 1 4, D 8, D 3 por lo que Q es semidefinida positiva. Finalmente, para a 1, por lo que Q es semidefinida negativa. D 1 4, D 8, D 3

9 Clasificar las siguientes formas cuadráticas dependiendo de los parámetros. a Q(x, y, z 9x + 3y + z + axz b Q(x 1, x, x 3 x 1 + 4x + bx 3 + ax 1 x + x x 3 Solución: a La matriz asociada a Q(x, y, z 9x + 3y + z + axz es menores principales tenemos que son D 1 9, D y D 3 tanto, la forma cuadrática (a es DEFINIDA POSITIVA si 7 3a > 0, es decir si 3 < a < 3. (b no puede ser DEFINIDA NEGATIVA, ya que D 1 9 > 0. (c no puede ser SEMIDEFINIDA NEGATIVA, por la misma razón. (d es SEMIDEFINIDA POSITIVA si 7 3a. Es decir si a 3 a 3. (e es INDEFINIDA si 7 3a < 0, es decir si a > a a a a 0 1 b La matriz asociada a Q(x 1, x, x 3 x 1 + 4x + bx 3 + ax 1 x + x x 3 es. Calculando los 7 3a. Por lo 1 a 0 a b los menores principales tenemos que son D 1 1 > 0, D 1 a a 4 4 a y D 3 4b 1 a b b(4 a 1. (a Será DEF. POSIT. si 4 a > 0 4b 1 a b > 0 }. Calculando 1 a 0 a b de la primera desigualdad obtenemos la condición de que < a <. De la segunda b > 1 4 a, es decir } < a < b > 1 4 a (b no puede ser DEF. NEG. ya que D 1 1 > 0 (c no puede ser SEMIDEF. NEG por la misma razón. (d Si a (, y b 1 4 a entonces D 3 4b 1 a b por lo que es SEMIDEF. POS. (e Si a > (es decir, 4 a < 0, entonces es INDEF. 1 a 0 (f Por último, si a, obtenemos a 4 1. Los menores principales son 0 1 b D 1 1, D 4 a, D 3 4b 1 a b 1 por lo que la forma cuadrática es indefinida Sea u : R n R una función cóncava, es decir, para cualquier v 1, v R n y λ [0, 1], se verifica que u(λv 1 + (1 λv λu(v 1 + (1 λu(v. Demuestra que S {v R n : u(v k} es un conjunto convexo. En particular, si u : R R es cóncava, la gráfica de la figura representa a S {v (x, y R : u(x, y k}. u(x, y k Solución: Sea S {x R n : u(x k}. Sean x, y S, es decir, u(x k y también u(y k. Dada una combinación de estos dos puntos, x c λx + (1 λy tenemos que por tanto, x c S y S es convexo. u(x c u(λx + (1 λy λu(x + (1 λu(y λk + (1 λk k ya que u es cóncava

10 Cómo sería el enunciado del problema anterior para una función convexa u : R n R? Solución: Si u : R n R es una función convexa, entonces, el conjunto S {x R n : convexo. u(x k} es Determinar los conjuntos del plano donde las siguientes funciones son convexas o cóncavas: (a f(x, y (x 1 + xy. (b g(x, y x3 3 4xy + 1x + y. (c h(x, y e x + e y. (d k(x, y e xy. (e l(x, y ln xy. Solución: (a Primero observamos que si x entonces f(0, y 1 es constante. Por lo tanto, f es cóncava y convexa en el conjunto {(0, y : y R}. El Hessiano de f(x, y (x 1 + xy es ( y y x Vemos que D 1 > 0, D 4(x y. Como D 1 > 0 la función no es cóncava en ningún subconjunto de R. Vemos que D 0 si y sólo si x y. La función es convexa en el conjunto {(x, y R : x y }. (b El Hessiano de es f(x, y x3 3 4xy + 1x + y ( x 4 4 Vemos que D 1 x, D 4x 16. La función sería cóncava en los conjuntos convexos donde D 1 < 0 (y por tanto x < 0 y D 0 (y por tanto, x 4. Como ambas condiciones son imposibles no es cóncava en ningún subconjunto no vacío de R. Si x > 0 y x 4 entonces D 1 > 0 y D 0 y vemos que la función es convexa en el conjunto {(x, y R : x 4}. (c El Hessiano de h(x, y e x + e y es ( e x 0 0 e y Notamos que ambas derivadas segundas son siempre positivas y por tanto la función es convexa en todo R. (d El Hessiano de k(x, y e xy es ( e yx y xy + 1 xy + 1 x Como e yx > 0 para todo (x, y R el signo de la matriz anterior es el mismo que el signo de la matriz siguiente ( y xy + 1 xy + 1 x Para esta matriz obtenemos que D 1 y 0, D 1 xy. La función es convexa si D > 0, es decir si xy < 1. Por tanto, la función es convexa en el conjunto y también en el conjunto A {(x, y R : xy < 1/, x > 0} B {(x, y R : xy < 1/, x < 0} La unión A B no es un conjunto convexo. Finalmente, en los conjuntos convexos, C {(x, y R : x } y D {(x, y R : y }, la función es constante y por consiguiente, cóncava y convexa.

11 11 (e El dominio de la función l(x, y ln( xy es Si x, y > 0, el Hessiano de es R ++ R {(x, y R : x, y > 0} {(x, y R : x, y < 0} l(x, y ln( xy { 1 1 (ln x + ln y, if x, y > 0; (ln( x + ln( y, if x, y < 0; ( 1 1 x y Esta matriz es definida negativa y, por tanto, la función es cóncava en todo R ++. Si x, y < 0, el Hessiano de es también f(x, y ln( xy 1 (ln( x + ln( y ( 1 1 x y Esta matriz es definida negativa y, por tanto, la función es también cóncava en todo R y en todo R Determinar en las siguientes funciones el valor de los parámetros para que sean convexas en todo su dominio. (a f(x, y, z ax + y + z 4axy + yz (b g(x, y 4ax + 8xy + by Solución: (a El Hessiano de f(x, y, z ax + y + z 4axy + yz es a 4a 0 4a 0 4 Para que sea convexa necesitamos que la matriz sea semidefinida positiva. Observamos que D 1 a D a 4a 4a 4a 16a 4a(1 4a a 4a 0 D 3 4a 0 4 8a 64a 8a(1 8a Vemos que D 1 > 0 es equivalente a a > 0. Y suponiendo que a > 0, la condición D 3 > 0 es equivalente a a < 1/8. Además, si 0 < a < 1/8 entonces D > 0, por lo que la función es estrictamente convexa si 0 < a < 1/8. Por otra parte, si a o a 1/8, el Hessiano es semidefinido positivo. Por tanto, la función es convexa si 0 a 1/8. (b El Hessiano de g(x, y 4ax + 8xy + by es ( 8a 8 8 b Observamos que D 1 8a D 8a 8 8 b 16(ab 4 Para que g sea convexa necesitamos que el Hessiano sea semidefinido positivo. Es decir, la función es convexa si a > 0 y ab 4 (o equivalentemente si a > 0 y b 4/a. Si a, entonces D 1, D Y vemos que H h(x, y es indefinida en todos los puntos (x, y R por lo que la función no es convexa en R. Si a < 0, entonces D 1 < 0, por lo que H h(x, y no puede ser ni definida positiva ni semidefinida positiva en ningún punto (x, y R y la función no es convexa en R.

12 Discutir la concavidad o convexidad de la función f(x, y 6x + (a + 4xy y + 4ay según los valores del parámetro a. Solución: El Hessiano de f(x, y 6x + (a + 4xy y + 4ay es ( 1 a + 4 a + 4 Tenemos que D 1 1 < 0 D 1 a + 4 a a 16a Como D 1 < 0 la función no puede ser convexa. Sería cóncava si D 8 4a 16a 0. Las raíces de 8 4a 16a son ± 6. Entonces, D 0 es equivalente a 6 a + 6. Por lo tanto, f es cóncava si a [ 6, + 6] Hallar el mayor conjunto convexo del plano en el que la función f(x, y x y xy x 3 es cóncava. Solución: El Hessiano de f(x, y x y xy x 3 es ( 6x 1 1 Tenemos que D 1 6x D 1x 5 La condición D 0 es equivalente a x 5/1. Como 5/1 > 1/3, la condición anterior también garantiza que D 1 < 0. Por tanto, el mayor conjunto del plano en el que f es cóncava es el conjunto {(x, y R : x 5/1}.