La trascendencia de e y π

Transcripción

1 La trascendencia de e y π Comenzamos introduciendo unos convenios útiles de notación: Definición 1 Escribiremos h r = r!, de modo que si fz) = m c r z r C[z], entonces fh) representará fh) = m c r h r = m c r r! Igualmente, fz + h) será el polinomio que resulta de sustituir y r por h r = r! en la expresión desarrollada de fz + y). Concretamente: m m r ) r m m ) r fz+y) = c r z+y) r = c r z r k y k = c r )z r k y k, k k r=k luego fz+h) = m m ) r c r )z r k k! = k r=k m m ) r! r k)! c rz r k = r=k m f k) z), donde f k) z) eslak-ésima derivada formal del polinomio f. Observar que pues fz + h) = m c r z + h) r, m c r z + h) r = = m c r m z r ) k) = m m ) k) c r z r m f k) z) =fz + h). 1

2 Así mismo, Sea f0 + h) = Teniendo en cuenta que m f k) 0) = u r z) =r! n=1 m c r r!=fh). z n r + n)!. z n r+n)! r! < z n n!, es claro que la serie converge en todo C y que u r z) <e z. Llamaremos Así, ɛ r z) < 1. ɛ r z) = u rz) e z. Teorema 2 Sea φz) = s c r z r C[z]. Seaψz) = s c r ɛ r z)z r. Entonces e z φh) =φz + h)+ψz)e z. Demostración: En primer lugar r ) r z + h) r = z k h r k = k y por otro lado r!e z u r z)z r = r! = r! r r r! k! zk = r! z k k! r! z n r + n)! zr = r! z k k!, n=1 o sea, z + h) r = r!e z u r z)z r, y por lo tanto r z k k!, e z h r =z + h) r + u r z)z r =z + h) r + e z ɛ r z)z r. z k k! r! k=r+1 Multiplicando por c r y sumando en r obtenemos la igualdad buscada. z k k! 2

3 Teorema 3 Sea m 2 y fx) Z[x]. Definimos los polinomios F 1 y F 2 mediante: F 1 x) = xm 1 m 1)! fx), F 2x) = x m m 1)! fx). Entonces F 1 h), F 2 h) Z, F 1 h) f0) mód m) y F 2 h) 0 mód m). Demostración: Sea fx) = r a r x r, con a r Z. Entonces F 1 x) = s a r x r+m 1 m 1)!, F 1h) = s a r r + m 1)! m 1)! Z y m divide a cada sumando excepto quizá al primero, que es a 0 = f0). Por lo tanto F 1 h) f0) mód m). Con F 2 se razona análogamente. Como último preliminar recordemos que px 1,...,x n ) A[x 1,...,x n ]es un polinomio simétrico si para toda permutación σ de las variables se cumple que px 1,...,x n )=pσx 1 ),...,σx n )). Los polinomios simétricos elementales de n variables son los polinomios e 0,...,e n tales que e i es la suma de todos los monomios posibles formados por i variables distintas. Por ejemplo, los polinomios simétricos elementales de tres variables son e 0 =1, e 1 = x + y + z, e 2 = xy + xz + yz, e 3 = xyz. Vamos a usar los dos resultados siguientes sobre polinomios elementales: Todo polinomio simétrico px 1,...,x n ) es de la forma qe 1,...,e n ), para cierto polinomio qx 1,...,x n ). Los coeficientes x α 1 ) x α n ) son 1) i e i α 1,...,α n ), para i =0,...,n. Teorema 4 El número e es trascendente. Demostración: Si e fuera algebraico sería la raíz de un polinomio con coeficientes enteros. Digamos n c t e t = 0, con n 1, c t Z, c 0 0 si c 0 fuera 0 podríamos dividir entre e y quedarnos con un polinomio menor). Sea p un primo tal que p>ny p> c 0. Sea φx) = xp 1 x 1)x 2) x n))p. 3

4 Por el teorema 2: n 0= c t e t φh) = n c t φt + h)+ n c t ψt)e t = S 1 + S 2. Tomando m = p, el teorema 3 nos da que φh) Z y Si 1 t n, entonces φh) 1) pn n!) p mód p). φt + x) = x + t)p 1 x + t 1)x + t 2) x x + t n)) p, y sacando el factor x queda φt + h) = xp fx), con fx) Z[x]. Por el teorema 3 tenemos que φt + h) Z yesunmúltiplo de p. Ahora, S 1 = n c t φt + h) c 0 φh) c 0 1) pn n!) p 0 mód p), ya que c 0 0yp>n, c 0.Asípues, S 1 Z y S 1 0, luego S 1 1. Como S 1 + S 2 = 0, lo mismo vale para S 2, es decir, S 2 1. Por otro lado, sea φx) = s a r x r. Entonces ψt) = s a r ɛ r t)t r s a r ɛ r t) t r s a r t r. Observemos que a r es el coeficiente de grado r del polinomio x p 1 x +1) x + n))p. Basta ver que si b i es el coeficiente de grado i de x 1) x n)) p, entonces b i es el coeficiente de grado i de x +1) x + n)) p, pero b i = 1) pn i e np i 1,...,n,...,1,...,n) = 1) pn i e np i 1,..., n,..., 1,..., n). 4

5 Por lo tanto podemos concluir: ψt) s a r t r = tp 1 t + 1)t +2) t + n))p, y en definitiva: ψt) t + 1)t +2) t + n) tt +1) t + n))p 1. Pero esta expresión tiende a 0 cuando p tiende a infinito por la convergencia de la serie de la función exponencial). En consecuencia, tomando p suficientemente grande podemos exigir que S 2 = n c t ψt)e t cumpla S 2 < 1, cuando hemos demostrado lo contrario para todo p. Esto prueba que e es trascendente. La trascendencia de π es algo más complicada de probar. Además de los teoremas 2 y 3 necesitaremos otro resultado auxiliar: Teorema 5 Sea px) =dx m + d 1 x m d m 1 x + d m Z[x], sean α 1,...,α m sus raíces en C yseaqx 1,...,x m ) Z[x 1,...,x m ] un polinomio simétrico. Entonces qdα 1,..., dα m ) Z. Demostración: Claramente d m 1 px) =dx) m +d 1 dx) m 1 +dd 2 dx) m 2 + +d m 2 d m 1 dx)+d m 1 d m. O sea, d m 1 px) =rdx), donde rx) =x m + d 1 x m 1 + dd 2 x m d m 2 d m 1 x + d m 1 d m Z[x] es un polinomio mónico y sus raíces son obviamente dα 1,...,dα m. Consecuentemente, rx) =x dα 1 ) x dα m ) y los coeficientes de rx) son 1) i e i dα 1,...,dα m ) para i =0,...m.Así pues, e i dα 1,..., dα m ) Z para i =1,...,m. Por otro lado sabemos que qx 1,...,x m )=re 1,...,e m ) para cierto polinomio rx 1,...,x m ) Z[x 1,...,x m ], luego qdα 1,..., dα m )=re 1 dα 1,...,dα m ),...,e m dα 1,...,dα m )) Z. 5

6 Teorema 6 El número π es trascendente. Demostración: Si π es algebraico también lo es iπ. Sea dx m + d 1 x m d m 1 x + d m Z[x] un polinomio tal que d 0 y con raíz iπ. Sean ω 1,...,ω m sus raíces en C. Como una de ellas es iπ y e iπ +1 = 0, tenemos que 1+e ω 1 ) 1+e ωm) =0, o sea, 1+ 2 m 1 e αt =0, donde α 1,...,α 2 m 1 son ω 1,...,ω m,ω 1 + ω 2,...,ω m 1 + ω m,...,ω ω m. Supongamos que c 1 de ellos son nulos y n =2 m 1 c 1) no son nulos. Ordenémoslos como α 1,...,α n, 0,...,0. Así c 1y c + n e αt =0. 1) Notemos lo siguiente: e i x 1,...,x n )=e i x 1,...,x n, 0,...,0), donde e i es a la izquierda el polinomio simétrico elemental de n variables y a la derecha el de 2 m 1 variables. Por lo tanto e i dα 1,...,dα n )=e i dα 1,...,dα 2 m 1) = e i dω 1,...,dω m,dω 1 + dω 2,...,dω m 1 + dω m,..., dω dω m ). Sea q i x 1,...,x m )=e i x 1,...,x m,x 1 +x 2,...,x m 1 +x m,...,x 1 + +x m ). Claramente se trata de polinomios simétricos con coeficientes enteros y e i dα 1,...,dα n )=q i dω 1,...,dω m ), luego el teorema anterior nos permite afirmar que e i dα 1,..., dα n ) Z. Si sx 1,...,x n ) Z[x 1,...,x n ] es simétrico, entonces s depende polinómicamente de los e i, luego sdα 1,...,dα n ) Z. Sea p un primo tal que p> d, p>c, p> d n α 1 α n. Sea φx) = dnp+p 1 x p 1 x α 1 ) x α n )) p. 6

7 Multiplicamos 1) por φh) y aplicamos el teorema 2. Nos queda Ahora, cφh)+ n φα t + h)+ n ψα t )e αt = S 0 + S 1 + S 2 =0. φx) = xp 1 dp 1 dx dα 1 ) dx dα n )) p. Los coeficientes de y dα 1 ) y dα n ) son polinomios simétricos elementales sobre dα 1,...,dα n, luego son enteros, según hemos visto antes. De aquí se sigue que también son enteros los coeficientes de dx dα 1 ) dx dα n ), con lo que φx) = xp 1 np g r x r, donde cada g r Z. Por el teorema 3 tenemos que φh) Z y φh) g 0 mód p). Concretamente, g 0 = 1) pn d p 1 dα 1 dα n ) p, luego por la elección de p resulta que p g 0 aquí es importante que dα 1 dα n Z porque es el término independiente de y dα 1 ) y dα n ). Como p c, resulta que p S 0 = cφh). Nos ocupamos ahora de S 1. Tenemos que φα t + x) = dnp+p 1 α t + x) p 1 x + α t α 1 ) x + α t α t 1 ) xx + α t α t+1 ) x + α t α n )) p = xp dp dα t + dx) p 1 dx + dα t dα 1 ) dx + dα t dα t 1 ) dx + dα t dα t+1 ) dx + dα t dα n )) p = xp f rt x r, donde f rt = f r dα t,dα 1,...,dα t 1,dα t+1,..., dα n )yf r es un polinomio simétrico respecto a todas las variables excepto la primera, con coeficientes enteros y que no depende de t. En efecto, consideramos el polinomio y x 1 )) p 1 p. y x 2 x 1 )) y x n x 1 ))) 7

8 Sus coeficientes son los polinomios simétricos elementales actuando sobre x 1 p 1 veces) y sobre x 2 x 1,...,x n x 1 p veces cada uno), luego son polinomios simétricos en x 2,...,x n. Digamos que el polinomio es Entonces φα t + x) = s r x 1,...,x n )y r. xp d p s r dα t,dα 1,...,dα t 1,dα t+1,...,dα n )d r x r, es decir, f r = d r+p s r x 1,...,x n ). Por lo tanto, n φα t + x) = xp n ) f rt x r, pero n n f rt = f r dα t,dα 1,..., dα t 1,dα t+1,...,dα n ), y el polinomio n f r x t,x 1,...,x t 1,x t+1,...x n ) es simétrico respecto a todas las variables), luego F r = n f rt depende simétricamente de dα 1,...,dα n y por lo tanto es un entero. Así pues, n φα t + x) = xp F r x r, y por el teorema 3 concluimos que S 1 = n φα t + h) Z yesmúltiplo de p aquí hemos usado que φ 1 + φ 2 )h) =φ 1 h)+φ 2 h), lo cual es evidente). Esto nos da que S 0 + S 1 Z ynoesunmúltiplo de p. En particular S 0 + S 1 1 y, por la ecuación S 0 + S 1 + S 2 = 0 resulta que también S 2 Z y S 2 1. Como en el caso de e, ahora probaremos lo contrario. Sea ψx) = np+p 1 c r ɛ r x)x r. Entonces ψx) = np+p 1 c r ɛ r x)x r d np+p 1 x p 1 np+p 1 c r x r x + α 1 ) x + α n )) p 8

9 por el mismo razonamiento que en la prueba de la trascendencia de e) y así ψx) M 2np+2p 2, donde M es una cota que no depende de p. Como M 2np+2p 2 M 2np+2p = M 2n+2)p = K p = KK p 1, tenemos que ψx) K Kp 1 y la sucesión converge a 0 cuanto p tiende a infinito, pues la serie converge a Ke K. Esto para cada x fijo. Tomando un primo p suficientemente grande podemos exigir que S 2 n ψα t ) e αt < 1, con lo que llegamos a una contradicción. 9