Series numéricas y de potencias. 24 de Noviembre de 2014

Transcripción

1 Cálculo Series numéricas y de potencias 24 de Noviembre de 2014

2 Series numéricas y de potencias Series numéricas Sucesiones de números reales Concepto de serie de números reales. Propiedades Criterios de convergencia para series de términos positivos Series alternadas. Criterio de Leibniz Convergencia absoluta Series de potencias

3 Series numéricas

4 Sucesiones de números reales Definición Una sucesión de números reales es una aplicación a : N R n a(n) Se suele escribir a n en vez de a(n). Definición Se dice que el límite de la sucesión (a n ) cuando n tiende a infinito es l R, y se escribe l = lím n a n, si para cada ε > 0, existe un número natural N N tal que a n l < ε para todo n > N. En este caso, se dice que la sucesión (a n ) es convergente.

5 Series numéricas Definición Dada una sucesión (a n ), sea s n = a a n n N. La sucesión (s n ) se llama sucesión de sumas parciales. Se llama serie de término general (a n ), y se denota sucesión de sumas parciales (s n ), cuando éste existe: a n = lím s n. n a n, al límite de la La serie se dice convergente cuando la sucesión de sumas parciales es convergente.

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8 Series numéricas. Propiedades Sean a n, 1) La serie suma 2) La serie (a n + b n ) = b n dos series convergentes y c R. Entonces: (a n + b n ) es convergente y a n + b n (ca n ) es convergente y (ca n ) = c a n Teorema (Condición necesaria de convergencia de series) Si la serie a n es convergente, entonces lím n a n = 0

9 Criterio del cociente (o de D Alembert) Si a n > 0 n, y entonces: 1) si r < 1, la serie 2) si r > 1 o r = +, la serie a n+1 lím = r n a n a n es convergente. 3) Si r = 1, el criterio no decide. a n no es convergente.

10 Criterio del cociente (o de D Alembert). Ejemplos: n! n n : lím a n+1 = lím n a n n (n + 1) n = lím 1 n (1 + n 1 = 1 )n e < 1 Luego la serie es convergente. 3 n 3 + n! : lím n a n+1 a n Luego la serie es convergente n s : lím a n+1 n s = lím n a n n (n + 1) s = 1 n n En este caso el criterio no decide n! = 3 lím n 3 + (n + 1)! = 3 lím n! + 1 n 3 n! + n + 1 = 0

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15 Convergencia de las series armónicas y geométricas La serie armónica de grado s, es convergente si s > 1 divergente si s 1 La serie geométrica de razón r, 1 n s es convergente si y solo si r < 1. r n n=0

16 Criterio de la raíz (o de Cauchy) Si a n > 0 n, y existe entonces: lím n an = r n 1) si r < 1, la serie 2) si r > 1, la serie a n es convergente. 3) si r = 1, el criterio no decide. a n no es convergente.

17 Criterio de la raíz. Ejemplos: n=2 1 (logn) n : Luego la serie es convergente. ( ) n n 2 : n + 2 lím n 1 an = lím n n logn = 0 < 1 ( lím n an = lím 1 2 ) [ n ( = lím 1 2 ) n+2 ] 2n n+2 2 = e 2 < 1 n n n + 2 n n + 2 Luego la serie es convergente n s : lím n 1 an = lím n n (n 1/n ) s = 1 En este caso el criterio no decide.

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20 Criterio de comparación de Gauss Sean a n y b n dos series de términos positivos tales que a n b n n N Entonces: 1) si la serie 2) si la serie b n es convergente, la serie a n es divergente, la serie a n también lo es. b n también lo es.

21 Criterio de comparación de Gauss. Ejemplos: sin 2 (2n) 3 n Como sin2 (2n) 3 n 1 3 n n N, y la serie 1 es convergente (criterio 3n sin de la raíz), la serie 2 (2n) 3 n es convergente. ( ) 3 1/3 n ( ) 3 1/3 > 1 n n Como n N, y la serie armónica de grado 1/3 es 1/3 ( ) 3 1/3 divergente, la serie es divergente. n

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24 Criterio de comparación en el límite Sean Entonces: a n y 1) si l (0, +), las series 2) si l = 0, entonces: a n b n dos series de términos positivos y sea l = lím. n b n a n y b n tienen el mismo carácter. si la serie n es convergente, la serie a n también lo es. b si la serie n es divergente, la serie b n también lo es. a 3) si l = +, entonces: si la serie n es divergente, la serie a n también lo es. b si la serie n es convergente, la serie b n también lo es. a

25 Criterio de comparación en el límite. Ejemplos: n + 3 3n 3 + 4n + 5 : 2n+3 3n lím 3 +4n+5 n 1 n 2 = lím n 2n 3 + 3n 2 3n 3 + 4n + 5 = 2 3 (0,+) y la serie armónica de grado 2 es convergente. Por tanto, la serie dada es convergente. 1 : n n lím n 1 n+1+ n 1 n n = lím = 1 n n 2 (0,+) n y la serie armónica de grado 1/2 es divergente. Luego la serie dada es divergente.

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28 Series numéricas alternadas Definición Una serie se dice alternada si sus términos son alternativamente positivos y negativos. Por tanto, una serie alternada es de la forma ( 1) n a n, o bien ( 1) n+1 a n = ( 1) n a n, con a n 0 n N. Teorema (Criterio de Leibniz) Una serie alternada de la forma ( 1) n a n, con a n 0 n N, es convergente si la sucesión (a n ) es decreciente y tiende a cero, en cuyo caso: s 2n+1 < ( 1) n a n < s 2n y ( 1) n a n s n < a n+1

29 Series numéricas absolutamente convergentes Definición La serie convergente. a n se dice absolutamente convergente si la serie Teorema (Convergencia absoluta convergencia) Si la serie Observación a n es convergente, entonces la serie El recíproco no siempre es cierto. Si la serie a n es a n es convergente. a n es convergente pero no absolutamente convergente, se dice condicionalmente convergente. La serie a n es una serie de términos positivos. Por tanto, su convergencia se puede estudiar usando los criterios de convergencia para series de términos positivos.

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31 Series de potencias Definición Una serie de potencias es una expresión de la forma n=0 a n se llama coeficiente n-ésimo de la serie de potencias. a se llama centro de la serie de potencias. Teorema Dada la serie de potencias n=0 1. La serie sólo converge para x = a. a n (x a) n. a n (x a) n, hay tres posibilidades: 2. La serie converge absolutamente para todo x R. 3. Existe un número real R > 0 tal que la serie converge absolutamente si x a < R y no converge si x a > R. La convergencia en los puntos x = a R y x = a + R se debe estudiar separadamente.

32 Series de potencias. Radio de convergencia Definición El radio de convergencia de la serie de potencias R = 0 si la serie sólo converge para x = a. n=0 R = + si la serie es convergente para todo x R. a n (x a) n es R si la serie es convergente para x (a R,a + R) y no es convergente para x R \ [a R,a + R]. El intervalo en que la serie de potencias es convergente se llama campo de convergencia de la serie.

33 Series de potencias. Radio de convergencia El radio de convergencia de la serie de potencias n=0 a n (x a) n se puede calcular mediante el criterio del cociente o el criterio de la raíz: Ejemplos: n n x n : (x 2) n n=0 n! n=0 a n R = lím n a n+1 = 1 n lím an 1 R = lím n n = 1 n n n = 0 : R = lím n 1 n! 1 (n+1)! n = lím n (n + 1) = + x n es la serie geométrica de razón x. Esta serie es convergente si y solo si x < 1. Por tanto, R = 1 y el campo de convergencia es ( 1,1).