Carlos A. Rivera-Morales. Precálculo 2

Transcripción

1 y Carlos A. Rivera-Morales Precálculo 2 Introducción a y

2 Tabla de Contenido Introducción a y

3 Definición 1: Una sucesión infinita es un listado ilimitado de números, en nuestro caso números reales, considerados en un orden específico. Definición 2: Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Los valores f(1), f(2), f(3),... son los términos de la sucesión.... Introducción a y

4 Notación: Se denota por a 1, a 2, a 3,.... a 1 primer término de la sucesión a 2 segundo término de la sucesión... a n n-ésimo término de la sucesión Introducción a y

5 Ejemplos: 1. Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9, Sucesión de los múltiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20, Sucesión de los dígitos del número π 4. a n = 1 1/n 5. a n = 1 1/n 6. c n = 3 + ( 1) n 7. t n = 0, b n = 2n/1 + n 9. a n = ( 1) n 10. c n = n 2 /(n + 1) Introducción a y

6 Sucesiones Recursivas Def.: Una sucesión se define de forma recursiva cuando el n-ésimo término depende de algunos o todos los términos anteriores. Ejemplos: 1. a 1 = 1, a n = 3(a n 1 + 2) 2. SucesióndeFibonacci : F n = F n 1 + F n 2 ; F 1 = 1 y F 2 = 1 Introducción a y

7 Sumas Parciales de Sucesiones Nota: Para la sucesión a 1, a 2, a 3,..., las sumas parciales son: S 1 = a 1 : primera suma parcial S 2 = a 1 + a 2 : segunda suma parcial S 3 = a 1 + a 2 + a 3 : tercera suma parcial... S n = a 1 + a 2 + a a n : n-ésima suma parcial S 1, S 2, S 3,..., S n : sucesión de sumas parciales Introducción a y

8 Ejercicios: 1. Calcule las 4 primeras sumas parciales y la n-ésima suma parcial de la sucesión representada por a n = 1 2 n. 2. Calcule las 4 primeras sumas parciales y la n-ésima suma parcial de la sucesión representada por a n = 1 n 1 n+1. Introducción a y

9 Ejercicios: 1. Suponga que el patrón continúa y escriba una fórmula para definir el término n-ésimo de las sucesiones siguientes: a) 1/2, 3/4, 5/6, 7/8,... b) 2, 4, 8, 16, 32, Grafique cada sucesión. a) a n = 1/n b) ( 1) n+1 /n Introducción a y

10 Ejercicios: 3. Incrementos al Salario A un vendedor recién contratado se le prometió un salario inicial de $30 000,00, con un aumento de $2 000,00 cada año. Sea s n su salario en su n-ésimo año de empleo a) Determine una definición no recursiva para s n. b) Determine una definición recursiva para s n. c) Determine el salario del vendedor en el quinto año de empleo usando cada una de las dos definiciones anteriores. Introducción a y

11 Ejercicios: 4. Concentración de una solución Una bióloga está tratando de determinar la concentración de sal óptima para el crecimiento de cierta especie de molusco. Empezó con una solución de sal que contiene 4 g/l de sal y aumenta la concentración de sal 10 % todo los días. Sea c 0 la concentración inicial de sal y c n la concentración después de n días. a) Escriba una definición no recursiva para c n. b) Escriba una definición recursiva para c n. c) Calcule la concentración de sal después de 8 días. Introducción a y

12 Nota: La suma de los primeros n términos de la sucesión dada por a 1, a 2, a 3,... se puede denotar por n k=1 a k = a 1 + a 2 + a a n donde k es el índice de suma o variable de la sumatoria. La expresión anterior también se puede escribir de otras formas equivalentes tales como: 1. n i=1 a i = a 1 + a 2 + a a n 2. n j=1 a j = a 1 + a 2 + a a n Introducción a y

13 Ejemplos: 1. 8 i=1 i = = k=1 k3 = = r=3 1 r = = k=4 5 = = (7)5 = 35 Introducción a y

14 Ejercicios: Exprese cada suma en notación sigma n 3 2 n x + 3x 2 4x 3 + 5x 4 100x 99 Introducción a y

15 Propiedades de las Sumas: 1. n k=1 (a i + b i ) = n k=1 a i + n k=1 b i 2. n k=1 (a i b i ) = n k=1 a i n k=1 b i 3. n k=1 (ca i) = c( n k=1 a i) Introducción a y

16 Ejemplos: k=1 (1 + ( 1)i ) = 10 k= k=1 ( 1)i = = Dado que 10 i=1 x i = 15, 10 i=1 y i = 33, entonces 10 i=1 (2x i 1 2 y i 3 2 ) = 10 i=1 (2x i) 10 i=1 ( 1 2 y i) 10 i=1 3 2 = 2 10 i=1 x i i=1 y i 10 i=1 3 2 = 2(15) - (1/2)(33) - (10)(3/2) = - 3/2 Introducción a y

17 Ejercicio: 1. Dado que 10 i=1 y i = 33, y 1 = 4, y 10 = 2, determine: a) 9 i=2 (2y i 3) Introducción a y