SUCESIONES. sucesiones 1

Transcripción

1 Profesor Waldo Márquez González sucesiones SUCESIONES Definición Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y cuyo rango es un subconjunto de los números reales. Si f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n le coorresponde un número real f(n). Estos números es el rango de f, generalmente se enumeran escribiendo f(), f(2), f(3),, f(n), Al número f() se le llama primer término de la sucesión, f(2) es el segundo término de la sucesión y, en general f(n) es el enésimo término de la sucesión. Se acostumbra a no usar la notación usual de función f(n) y se sustituye por la escritura a, a 2, a 3,, a n, de modo que f() = a, f(2) = a 2,, f(n) = a n,. Definición Igualdad de dos Sucesiones Una sucesión a, a 2,, a n, es igual a a una sucesión b, b 2,, b n, si y sólo si a k = b k, para todo entero positivo k. A menudo se definen las sucesiones infinitas enunciando la fórmula del enésimo término. Así la sucesión conocida de los números positivos impares, 3, 5, 7,... cuyo término enésimo es f(n) = 2n ; se tiene a =, a 2 = 3, a 20 = 39 y a 47 = 93, etc. Ejemplo Hallar los primeros cuatro términos y el décimo de la sucesión an = 2n 2 4. Solución: Tenemos a = 2() 2 4 = 2 a 2 = 2(2) 2 4 = 4 a 3 = 2(3) 2 4 = 4 a 4 = 2(4) 2 4 = 28 el décimo término sería: a 0 = 2(0) 2 4 = 96. Nota Si se conocen unos cuantos términos de una sucesión infinita, no queda determinada la fórmula que origina dichos números. Por ejemplo, si a n = n 4 0n n 2 48n + 23, provoca los números, 3, 5, 7 en los primeros cuatro términos como en la sucesión de los números positivos impares. Sin embargo, a 5 = 33 y no como a 5 = 9, como supondriamos. Nota 2 No siempre hay una fórmula an que provoquen una sucesión explícita de números, como es el reconocido caso de los números primos.

2 sucesiones 2 Definición Sucesión Recurrente Algunas secuencias infinitas se describen enunciando el primer término a junto con una regla que muestra como obtener cualquier término a k+ a partir del término anterior a k, siempre que k. A una descripción de este tipo se le llama definición recursiva o recurrente y se dice que la sucesión está definida recursivamente. Ejemplo 2 como, Hallar los cuatro primeros términos y el décimo término de la sucesión infinita que se define Solución: Aquí a = 3; a k+ = 2a k con k a = 3 a 2 = 2 a = 2 3 = 6 a 3 = 2 a 2 = 2 6 = 2 a 4 = 2 a 3 = 2 2 = 24 para encontrar el décimo término, buscamos el patrón que generan esos números: a n = 2 n 3 Así, a 0 = = = 536. NOTACIÓN DE SUMATORIA A menudo se requiere encontrar la suma de muchos términos de una sucesión infinita y para esto, se utiliza la letra griega mayúscula Σ (sigma) para indicarla. Dada la sucesión a, a 2, a 3,, a n, el símbolo m k= a k, representa la suma de los primeros m términos. Leyéndose así; la suma de los primeros términos a hasta el término a m. En notación matemática: m k= a k = a + a 2 + a a m. A la letra k se le llama índice de sumatoria, o variable de sumatoria y los valores hasta el m indican los valores extremos de la citada variable de sumatoria. Ejemplo 3 Evaluar 4 k 2 (k 3) k= Solución: Para determinar la suma pedida, sustituimos sucesivamente la letra k por, 2, 3 y 4 y sumamos los términos resultantes. Así,

3 sucesiones 3 4 = k 2 (k 3) = 2 ( 3) (2 3) (3 3) (4 3) = 0 k= Nota 3 La letra que designa la variable de sumatoria es arbitraria. Podemos perfectamente usar i, j, k, etc.como índice de la sumatoria. Esto es, o también, p a j = a + a a p j= p a i = a + a a p i= Nota 4 No siempre el índice de la sumatoria comienza en, en algunas situaciones puede iniciar en 0, o en cualquier otro número entero positivo. Definición Sumas Parciales Si n es un entero positivo la suma de los n primeros términos de una sucesión infinita se denota con S n. Por ejemplo, dada a, a 2,, a n,, S = a S 2 = a + a 2 S 3 = a + a 2 + a 3 S 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 y en general, S n = a k = a + a a n al número S n se le llama enésima suma parcial y a la sucesión infinita k= se le llama sucesión de sumas parciales. S, S 2,, S n, Ejemplo 4 Encuéntrese los cuatro primeros términos y el n-ésimo término de la sucesión de sumas parciales asociadas a la sucesión:, 2, 3, 4,...,n,... de enteros positivos.

4 sucesiones 4 Solución: S = S 2 = + 2 = 3 S 3 = = 6 S 4 = = 0 el término general de la suma de los primeros números positivos enteros, es la reconocida fórmula: Ejemplo 5 Evaluar S n = n = n(n + ) 2 Solución: 3 2 k k k k + = k k + = = 6 3 Teoremas de las Sumatorias Si a, a 2,, a n, y b, b 2,, b n, son sucesiones infinitas, C constante, < p < n, entonces para todo entero positivo n, se cumple: (a k ± b k ) = a k ± b k k= k= k= n ( ) C a k = C a k k= k= C = n C k= p a k = a k + a k k= k= k=p+

5 sucesiones 5 GRUPO de EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios, escribir los primeros cuatro términos de la sucesión para lo cual se da a n ; hallar también el término indicado.. a n = 2n + 4; a 80 = 2. a n = 5n 3; a 76 = 3. a n = 2n ; a 43 = 4. a n = 3n+ ; a 38 = 5. a n = 2n 2n+ ; a 23 = 6. a n = 3n 2n+3 ; a 96 = 7. a n = n 2 ; a 7 = 8. a n = n n 2 + ; a 48 = 9. a n = (n )(n 2)(n 3); a 3 = 0. a n = 2 n ; a =. a n = 2n 3 n ; a 7 = 2. a n = n2 n 2 + ; a 4 = 3. a n = ( )n n 2 ; a 0 = 4. a n = 2 + ( 0,) n ; a 2 = 5. a n = 4 + (0,) n ; a 3 = 6. a n = ( ) ( ) n n+7 2n ; a25 = 7. a n = ( ) n ( 6 2n n+ ) ; a0 = 8. a n = + ( ) n+ ; a 2 = 9. a n = ( ) n+ ; a 36 = 20. a n = 4 ( ) n+ ; a 36 = 2. a n = ( ) n+ + (0,) n ; a 7 = 22. a n = 2; a 5 = Encuentre los primeros 5 términos de las sucesiones que se definen en forma recursiva.. a = 2 y a k+ = 3a k 5 2. a = 5 y a k+ = 7 2a k 3. a = 3 y a k+ = (a k ) 2 4. a = 28 y a k+ = a k 4 5. a = 5 y a k+ = 2a k 6. a = 2 y a k+ = k(a k ) 7. a = 2 y a k+ = (a k ) k+ 8. a = 3 y a k+ = a k a k 9. a = 2 y a k+ = (a k ) k 0. a = 2 y a k+ = (a k ) k Encuentre el número dado en cada uno de los ejercicios siguientes.. 5 k= (2k 7) 7. ( ) 6 k 5 k=3 k 2. 6 k= (0 3k) 8. ( ) 6 3 k= k k= (k 2 5) 4. [ ] 0 k= + ( ) k 9. 5 k= ( 3) k 0. 4 ( 3(2 k ) ) 5. 5 [k(k 2)] 6. 4 (k )(k 3). 00 k=

6 sucesiones 6 Exprese las sumas siguientes en términos de la notación de sumatoria x2 + x4 x6 x2n + + ( )n n x + x2 2 + x xn n En cada una de las sucesiones siguientes, hallar un expresión para a n.. 3, 5, 7, 9, , 5, 8,,... 3., 2, 3, 4, , 7,, 5, , 9, 6, 25, , 3 4, 4 5, 5 6, , 3 4 5, 4 5 6, 5 6 7, , 4, 8, 6, , 3 2, 4 2 3, , , 2 5, 2 3 8, 2 3 4,... PROBLEMAS de APLICACIÓN. El número de bacterias que hay en cierto cultivo se duplica cada día. Si el número inicial de bacterias es 500, cuántas hay al cabo de un día? de dos días? de tres días? Obtenga una fórmula para el número de bacterias después de n días. 2. La Sucesión de Bode, definida por la ecuación a = 4 y a 0 k = 3 2k 2 +4 para k 2, puede emplearse 0 para calcular las distancias de los planetas al Sol.El tercer término de la sucesión es a 3 = unidad astronómica (que equivale a millas) y corresponde a la Tierra. Aproxime los primeros cinco términos de la sucesión (El quinto término corresponde al planetoide (o asteroide) Ceres). 3. La famosa Sucesión de Fibonacci se define recursivamente mediante a k+ = a k + a k con a = a 2 =. a) Encuentre los primeros diez términos de la sucesión. b) Los términos de la sucesión r k = a k+ a k dan progresivamente mejores aproximaciones de r, la razón de oro. Aproxime los primeros diez términos de la sucesión. 4. La Sucesión Logística Discreta es la sucesión definida recursivamente mediante y k+ = y k + r K y k(k y k ) a) Obtenga los términos de la sucesión si y = K. b) Aproxime los diez primeros términos de la sucesión si y = 400, r = 2 y K = 500. Describa el comportamiento de esta sucesión que predice el número y k en la poblacion después de k años.

7 Bibliografía [] Bardell, Roos H. Algebra Superior. [2] Swokowski, Earl W. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica.