Departamento de Matemáticas. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.1/15

Transcripción

1 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Departamento de Matemáticas Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.1/15

2 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.2/15

3 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.2/15

4 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.2/15

5 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.2/15

6 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.2/15

7 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.2/15

8 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... El símbolo... " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para y así sucesivamente". Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.2/15

9 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... El símbolo... " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para y así sucesivamente". Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado por un entero indicando su posición en el renglón: Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.2/15

10 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... El símbolo... " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para y así sucesivamente". Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado por un entero indicando su posición en el renglón: Posición en el renglón Número de ancestros Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.2/15

11 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: a m,a m+1,a m+2,...,a n (1) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.3/15

12 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: a m,a m+1,a m+2,...,a n (1) Cada elemento a k (léase a sub k ) se llama término. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.3/15

13 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: a m,a m+1,a m+2,...,a n (1) Cada elemento a k (léase a sub k ) se llama término. La letra k en a k se conoce como subíndice o índice. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.3/15

14 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: a m,a m+1,a m+2,...,a n (1) Cada elemento a k (léase a sub k ) se llama término. La letra k en a k se conoce como subíndice o índice. m es el subíndice del término inicial. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.3/15

15 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: a m,a m+1,a m+2,...,a n (1) Cada elemento a k (léase a sub k ) se llama término. La letra k en a k se conoce como subíndice o índice. m es el subíndice del término inicial. n es el súbíndice del término final. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.3/15

16 Sucesión infinita: definición Definición Una sucesión infinita es un conjunto ordenados de elementos que se pueden describir mediante una lista: a m,a m+1,a m+2,... (2) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.4/15

17 Sucesión infinita: definición Definición Una sucesión infinita es un conjunto ordenados de elementos que se pueden describir mediante una lista: a m,a m+1,a m+2,... (2) Una fórmula explícita o fórmula general para una sucesión es una fórmula en función de k que evaluada en k da el término a k. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.4/15

18 Ejemplo Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula: a n = 3 n, para n 4 3 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.5/15

19 Ejemplo Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula: a n = log 2 (n), para n 4 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.6/15

20 Ejemplo Determine en orden la fórmula general de la sucesión a 1, a 2, a 3,... dados los términos iniciales: a) 2 1, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7,... b) 1 3, 2 9, 3 27, 4 81, 5 243, 6 729,... c) 6, 6, 6, 6, 6, 6,... Ubicándola en la lista 1. a n = n 3 n 2. a n = 6 ( 1) n 3. a n = 3 ( 1) n ( 1 + n) 4. a n = ( 1) (1+n) n 1+n Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.7/15

21 Notación de Suma La notación: n a k (3) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.8/15

22 Notación de Suma La notación: n a k (3) representa la suma desarrollada a m + a m+1 + a m a n Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.8/15

23 Notación de Suma La notación: n a k (3) representa la suma desarrollada a m + a m+1 + a m a n Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L. Lagrange. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.8/15

24 Notación de Suma La notación: n a k (3) representa la suma desarrollada a m + a m+1 + a m a n Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.8/15

25 Notación de Suma La notación: n a k (3) representa la suma desarrollada a m + a m+1 + a m a n Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice, m se llama el índice inferior de la suma, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.8/15

26 Notación de Suma La notación: n a k (3) representa la suma desarrollada a m + a m+1 + a m a n Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice, m se llama el índice inferior de la suma, n se llama el índice superior de la suma. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.8/15

27 Notación del Producto La notación: n a k (4) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.9/15

28 Notación del Producto La notación: n a k (4) representa la producto desarrollada a m a m+1 a m+2 a n Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.9/15

29 Notación del Producto La notación: n a k (4) representa la producto desarrollada a m a m+1 a m+2 a n En la notación de producto, k se llama índice, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.9/15

30 Notación del Producto La notación: n a k (4) representa la producto desarrollada a m a m+1 a m+2 a n En la notación de producto, k se llama índice, el índice inferior del producto, m se llama Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.9/15

31 Notación del Producto La notación: n a k (4) representa la producto desarrollada a m a m+1 a m+2 a n En la notación de producto, k se llama índice, m se llama el índice inferior del producto, n se llama el índice superior del producto. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.9/15

32 Ejemplo Determine en orden la evaluación de cada fórmula: 1. 3 n=1 n n=0 2n (3 + n) 3. 5 n=1 n (1 + n) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.10/15

33 Ejemplo Indique en orden la versión compacta de cada desarrollo: a) 1 r + r 2 r 3 + r 4 b) k 3 c) k 2 dentro de la lista: 1. 4 i=0 ( 1)i r i 2. k n=1 n3 3. n i=3 i 4. n i=1 i2 5. k n=1 n2 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.11/15

34 Ejemplo Indique en orden la versión desarrollada de cada forma compacta: a) 4 n=1 (n3 1) b) 4 n=2 (n2 1) c) 4 n=1 (1 t4 ) dentro de la lista: 1. (2 2 1) (3 2 1) (4 2 1) n 3. (1 t) (1 t 2 ) (1 t 3 ) (1 t 4 ) 4. (1 t 2 ) (1 t 3 ) (1 t 4 ) 5. (1 3 1) (2 3 1) (3 3 1) (4 3 1) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.12/15

35 Propiedades de las Sumatorias Si a m, a m+1,... y b m, b m+1, b m+2,... son sucesiones de números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n m se cumple: Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.13/15

36 Propiedades de las Sumatorias Si a m, a m+1,... y b m, b m+1, b m+2,... son sucesiones de números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n m se cumple: n a k + n b k = n (a k + b k ) (7) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.13/15

37 Propiedades de las Sumatorias Si a m, a m+1,... y b m, b m+1, b m+2,... son sucesiones de números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n m se cumple: n a k + n b k = n (a k + b k ) (7) c n a k = n c a k (7) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.13/15

38 Propiedades de las Sumatorias Si a m, a m+1,... y b m, b m+1, b m+2,... son sucesiones de números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n m se cumple: n a k + n b k = n (a k + b k ) (7) c n a k = n c a k (7) ( n a k ) ( n b k ) = n (a k b k ) (7) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.13/15

39 Ejemplo de corrimiento de índice Ejemplo Indique a cuáles sumatorias es equivalente la siquiente: dentro de la lista: j=11 ( j) 2. 7 i= 4 (27 + 5i) n= k= 9 ( n) (52 + 5k) 12 n=1 (2 + 5n) m=12 ( m) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.14/15

40 Ejemplo Determine en orden los valores de A, B y C para que A (C + B k) se igual a la suma : k= j=3 (3 5j) + 6 j= 3 (4 + j) Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.15/15