15.2 Crear sucesiones geométricas

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1 Nombre Clase Fecha 15.2 Crear sucesiones geométricas Pregunta esencial: Cómo escribes una sucesión geométrica? Resource Locker Explorar Comprender fórmulas recurrentes y explícitas para sucesiones Has aprendido anteriormente que una fórmula explícita para una sucesión define el enésimo término como una función de n. Una fórmula recurrente define el enésimo término de una sucesión en función de uno o más términos anteriores. Puedes usar lo que sabes para identificar fórmulas recurrentes y explícitas para sucesiones, e identificar si las sucesiones son aritméticas, geométricas o ninguna de ellas. n-1 Una regla para la sucesión 6, 9, 13.5,... es ƒ(n) = 6( 3_ 2 ). A La regla dada es una fórmula porque no necesitas conocer el valor de. B C El único valor desconocido en la expresión es, que representa. La sucesión es una sucesión porque cada término es el/la del término anterior y 3 2. Reflexiona 1. Debate Cómo puedes diferenciar entre una sucesión geométrica y una sucesión aritmética? 2. Cómo puedes darte cuenta al observar una regla de función para una sucesión si se trata de una fórmula recurrente? Módulo Lección 2

2 Explicar 1 Crear fórmulas recurrentes y explícitas para sucesiones geométricas dadas Para escribir una fórmula recurrente para una sucesión, necesitas conocer el primer término y una regla para los términos sucesivos. Ejemplo 1 Escribe una fórmula recurrente y una fórmula explícita para cada sucesión geométrica. A Los fabricantes de espadas japonesas del siglo XV plegaban y martillaban repetidamente el metal para formar capas. El proceso de plegado aumentaba la resistencia de la espada. En la tabla, se muestra cómo el número de capas depende del número de pliegues. Número de pliegues Número de capas f(n) Para escribir una fórmula recurrente, halla la razón común calculando la razón de los términos sucesivos. 4_ 2 = 2 La razón común r es 2. El primer término es 2; entonces, f (1) = 2. Todos los términos que le siguen al primer término son el producto del término anterior y la razón común: ƒ (2) = ƒ (1) 2, ƒ (3) = ƒ (2) 2, ƒ (4) = ƒ (3) 2,... Establece la fórmula recurrente proporcionando el primer término y la regla para los términos sucesivos. ƒ (1) = 2 ƒ (n) = ƒ (n - 1) 2 para n 2 Escribe una fórmula explícita para la sucesión escribiendo cada término como el producto del primer término y una potencia de la razón común. n f(n) (2) = (2) = (2) = (2) = (2) = 32 Image Credits: kazenouta/shutterstock Generaliza los resultados de la tabla: ƒ (n) = 2 2 n-1. Módulo Lección 2

3 B f(n) Para escribir una fórmula recurrente, halla la razón común calculando la razón de los términos sucesivos. _ 5 = La razón común r es. El primer término es. Entonces, la fórmula recurrente es: ƒ(n) = ƒ(n - 1) para n 2. Escribe una fórmula explícita para la sucesión escribiendo cada término como el producto del primer término y una potencia de la razón común. n f(n) 1 5(3) = 2 5(3) = 3 5(3) = 4 5(3) = 5 5(3) = n-1 Generaliza los resultados de la tabla: ƒ(n) =. Reflexiona 3. Explica por qué la sucesión 5, 10, 20, 40, 80, parece ser una sucesión geométrica. 4. Saca conclusiones Cómo puedes usar propiedades de exponentes para simplificar la fórmula explícita ƒ(n) = 2 2 n-1? Módulo Lección 2

4 Es tu turno Escribe una fórmula recurrente y una fórmula explícita para cada sucesión geométrica. 5. f(n) Escribe una fórmula recurrente y una fórmula explícita para la sucesión geométrica 128, 32, 8, 2, 0.5, Explicar 2 Derivar las formas generales de reglas de sucesiones geométricas Ejemplo 2 A Usa las sucesiones geométricas para escribir una fórmula recurrente y una fórmula explícita dada una sucesión geométrica. Para las reglas generales, los valores de n son enteros consecutivos que comienzan con 1. 6, 24, 96, 384, 1536, Halla la razón común. Números Álgebra 6, 24, 96, 384, 1536, ƒ (1), ƒ (2), ƒ (3), ƒ (4), ƒ (5),... Razón común = 4 Razón común = r Escribe una fórmula recurrente. Números Álgebra ƒ (1) = 6 y Dado ƒ (1), ƒ (n) = ƒ (n - 1) 4 para n 2 ƒ (n) = ƒ (n - 1) r para n 2 Escribe una fórmula explícita. Números Álgebra ƒ (n) = 6 4 n-1 ƒ (n) = ƒ (1) r n-1 Módulo Lección 2

5 B 4, 12, 36, 108, 324, Halla la razón común. Números Álgebra 4, 12, 36, 108, 324, ƒ(1), ƒ(2), ƒ(3), ƒ(4), ƒ(5),... Razón común = Razón común = Escribe una fórmula recurrente. Números Álgebra ƒ(1) = y Dado ƒ(1), ƒ(n) = ƒ(n - 1) para n ƒ(n) = ƒ(n - 1) para n Escribe una fórmula explícita. Números n-1 Álgebra ƒ(n) = ƒ(n) = ƒ( ) n-1 Reflexiona 7. Debate El primer término de una sucesión geométrica es 81 y la razón común es. Explica cómo puede 3 determinarse el 4.º término de la sucesión. 8. Cuál es la fórmula recurrente para la sucesión ƒ(n) = 5(4) n-1? Es tu turno Usa las sucesiones geométricas para escribir una fórmula recurrente y una fórmula explícita dada una sucesión geométrica. 9. 6, 12, 24, 48, 96, Módulo Lección 2

6 Explicar 3 Crear una sucesión geométrica dados dos términos Las fórmulas explícita y recurrente para una sucesión geométrica también pueden escribirse en notación de subíndices. En la notación de subíndices, el subíndice indica la posición del término en la sucesión. a 1, a 2 y a 3 son los términos primero, segundo y tercero de una sucesión, respectivamente. En general, a n es el enésimo término de una sucesión. Ejemplo 3 A Escribe una fórmula explícita para cada sucesión mediante la notación de subíndices. Fotografía Los ajustes del tiempo de exposición de una cámara forman una sucesión geométrica, donde a n es el tiempo de exposición en segundos y n es el número de ajuste. El quinto ajuste 1 de la cámara es de segundo y el séptimo ajuste de la cámara es 60 1 de segundo. 15 Identifica los términos dados en la sucesión. 1 El quinto ajuste es 60 de segundo; entonces, el 5. º término de la 1 sucesión es 60. a 5 = 60 1 El séptimo ajuste es 15 de segundo; entonces, el 7. º 1 término de la sucesión es 1 a 7 = 15 Halla la razón común. a 7 = a 6 r Escribe la fórmula recurrente para a 7. a 6 = a 5 r Escribe la fórmula recurrente para a 6. a 7 = a 5 r r Sustituye la expresión para a 6 en la fórmula para a = 60 r 2 Sustituye a 7 por 15 y a 5 por 4 = r 2 Multiplica ambos lados por = r Definición de raíz cuadrada positiva Halla el primer término de la sucesión. a n = a 1 r n-1 Escribe la fórmula explícita. 60 = a Sustituye a n por, r por 2 y n por = a 1 16 Simplifica. 960 = a 1 Divide ambos lados entre 16. Escribe la fórmula explícita. a n = a 1 r n-1 a n = Escribe la regla general. 960 (2)n-1 Sustituye a 1 por y r por Image Credits: Itsra Sanprasert/Shutterstock Módulo Lección 2

7 B Video viral Le comentas a un número de amigos acerca de un interesante video que viste en línea. Cada uno de esos amigos le comenta al mismo número de amigos acerca de ese video. El patrón continúa, y no hay repeticiones de personas a las que se les comenta. El número de personas que se enteran por ti acerca de este video forma una sucesión geométrica. Hay 256 personas en la cuarta ronda y 4096 personas en la sexta ronda. Identifica los términos dados en la sucesión. El 4. término de la sucesión es. a 4 = El 6. término de la sucesión es. a 6 = Halla la razón común. a 6 = r Escribe la fórmula recurrente para a 6. a 5 = r Escribe la fórmula recurrente para a 5. a 6 = r Sustituye la expresión para a 5 en la fórmula para a 6. = r 2 Sustituye a 6 por y a 4 por. = r 2 Divide ambos lados entre 256. = r Definición de raíz cuadrada positiva Halla el primer término de la sucesión. a n = a 1 r n-1 Escribe la fórmula explícita. -1 = a 1 Sustituye a n por, r por y n por. = a 1 Simplifica. = a 1 Divide ambos lados entre. Escribe la fórmula explícita. Reflexiona a n = a 1 r n-1 Escribe la regla general. a n = ( ) n-1 Sustituye a 1 por y r por. 10. Hallar la razón común en el ejemplo del tiempo de exposición implicaba hallar una raíz cuadrada. Por qué no se consideró la raíz cuadrada negativa? Módulo Lección 2

8 Es tu turno Escribe una fórmula explícita para la sucesión mediante la notación de subíndices. 11. El tercer término de una sucesión geométrica es 1 27 y el quinto término es 1. Todos los términos de la 243 sucesión son positivos. Extender 12. Qué pasaría si...? Imagina que tienes los términos a 3 y a 6 de una sucesión geométrica. Cómo puedes hallar la razón común r? Es tu turno 13. Si conoces el segundo término y la razón común de una sucesión geométrica, puedes escribir una fórmula explícita para la sucesión? De ser así, explica cómo. 14. Énfasis en la pregunta esencial Cómo puedes escribir la fórmula explícita para una sucesión geométrica si conoces la fórmula recurrente para la sucesión? Módulo Lección 2

9 Evaluar: Tarea y práctica Para cada sucesión geométrica, halla la razón común calculando la razón de los términos sucesivos para escribir una fórmula recurrente. Escribe una fórmula explícita para la sucesión escribiendo cada término como el producto del primer término y una potencia de la razón común. Tarea en línea Pistas y ayuda Práctica adicional 1. a n a n a n a n a n _ 3 1 7_ 9 Módulo Lección 2

10 6. a n a n a n a n a n , a n Módulo Lección 2

11 Usa la sucesión geométrica como ayuda para escribir una fórmula recurrente y una fórmula explícita dada una sucesión geométrica. Para las reglas generales, los valores de n son enteros consecutivos que comienzan con , 15, 45, 135, 405, , 40, 160, 640, 2,560, 14. 5, 10, 20, 40, 80, , 90, 450, 2250, 11,250, Módulo Lección 2

12 Escribe una fórmula explícita para cada sucesión geométrica mediante la notación de subíndices. Usa una calculadora y redondea tu respuesta al décimo más próximo de ser necesario. 16. El quinto término de la sucesión es 5. El sexto término es El tercer término de la sucesión es 120. El quinto término es El cuarto término de la sucesión es 216. El sexto término es Deportes El número de equipos que queda en cada ronda de un torneo de tenis de eliminación simple representa una sucesión geométrica, donde a n es el número de equipos que compiten y n es la ronda. Quedan 32 equipos en la ronda 4 y 8 equipos en la ronda Juegos de video El número de puntos que debe acumular un jugador para alcanzar cada siguiente nivel de un juego de video forma una sucesión geométrica, donde a n es el número de puntos que se necesitan para completar el nivel n. Necesitas 20,000 puntos para completar el nivel 3 y 8,000,000 de puntos para completar el nivel 5. Módulo Lección 2

13 21. Conservación Un estado inició una campaña para aumentar la población de venados. En el año 2 de la campaña, la población de venados en un bosque del estado era En el año 4, la población era Biología El crecimiento de una población local de mapaches se aproxima a una sucesión geométrica, donde a n es el número de mapaches en un año dado y n es el año. Al cabo de 6 años hay 45 mapaches y al cabo de 8 años hay 71 mapaches. Alan D Carey/Photodisc/ Getty Images 23. Química Un químico mide la temperatura en grados Fahrenheit de un compuesto químico cada hora. La temperatura se aproxima a una sucesión geométrica, donde a n es la temperatura a una hora dada y n es la hora. A la hora 4, la temperatura es 70 F y a la hora 6 la temperatura es 80 F. 24. Se le pidió a Yusuf que escribiera una fórmula recurrente para una sucesión. Cuál de las siguientes opciones es una respuesta apropiada? Selecciona todas las opciones que correspondan. a. f(n) = 11(5) n - 1 b. f(n) = 11f(n - 1), f(1) = 555 c. f(n) = f(n - 1) + 15, f(1)= 36 d. f(n) = f(n - 1) e. f(n) = -4( 2_ 3) n - 1 Módulo Lección 2

14 H.O.T. Enfoque en alta capacidad de razonamiento 25. Varios pasos Un economista predice que el costo de los alimentos aumentará el 4% anual para los próximos años. a. Escribe una fórmula explícita para la sucesión que indique el costo f(n) en dólares de una caja de cereales en el año n que cuesta $3.20 en el año 1. Justifica tu respuesta. b. Cuál es el cuarto término de la sucesión? Qué representa en esta situación? Justifica tu respuesta. 26. Analiza las relaciones Imagina que conoces el 8.º término de una sucesión geométrica y la razón común r. Cómo puedes hallar el 3. er término de la sucesión sin escribir una fórmula para la sucesión? Explica tu respuesta. 27. Explica el error Dado que el segundo término de una sucesión es 64 y el cuarto término es 16, Francis n - 1 escribió la fórmula explícita a n = 128 ( para la sucesión. Explica su error. 4) 28. Comunica ideas matemáticas Imagina que tienes dos términos de una sucesión geométrica como los del Ejemplo 3, solamente que ambos términos son negativos. Explica de qué manera escribir la fórmula explícita para la sucesión diferiría de los ejemplos de esta lección. Tarea de rendimiento de la lección En la tabla, se muestra cómo cambió con el tiempo una población de conejos. Escribe una fórmula explícita para la sucesión geométrica descrita en la tabla. En qué año habrá más de 5000 conejos? Tiempo (años), n Población, a n (t) Plush Studios/Blend Images/Corbis; (b) amanaimages/corbis Módulo Lección 2