5.1 Comprender las funciones lineales

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1 Nombre Clase Fecha 5.1 Comprender las funciones lineales Pregunta esencial: Qué es una función lineal? Resource Locker Eplorar 1 Reconocer funciones lineales Un automóvil de carreras puede recorrer hasta 210 m.p.h. Si el automóvil pudiera andar a esa velocidad continuamente, = 210 indicaría el número de millas que podría recorrer el automóvil en horas. Las soluciones se muestran en la gráfica de abajo (5, 1050) Distancia (millas) 0 (, 0) 630 (3, 630) 20 (2, 20) 210 (1, 210) Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan Image Credits: Corbis Tiempo (horas) La gráfica de la velocidad del automóvil es una función porque cada valor de se corresponde con eactamente un valor de. Como la gráfica es una línea recta que no es vertical, también es una función lineal. Completa la tabla con los datos de la gráfica anterior. B Usa la tabla para comprobar que tiene un cambio constante entre términos consecutivos. Módulo Lección 1

2 C Ahora comprueba que tiene un cambio constante entre términos consecutivos. D A partir de las respuestas anteriores, qué cambio en se corresponde con un cambio en? E Todas las funciones lineales se comportan de manera similar a la de este ejemplo. En base a esta información, se puede hacer la generalización de que un cambio en se corresponderá con un cambio en. Refleiona 1. Debate Una función no lineal tendrá un cambio constante en que se corresponda con un cambio constante en? 2. = 2 representa una típica función no lineal. Usa la tabla de valores para comprobar si un cambio constante en se corresponde con un cambio constante en. = Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan Módulo Lección 1

3 Eplorar 2 Comprobar que las funciones lineales aumentan en diferencias iguales en intervalos iguales Las funciones lineales cambian en una cantidad constante (en diferencias iguales) en intervalos iguales. Ahora eplorarás las demostraciones de estos enunciados representan dos intervalos en los valores de de una función lineal. También es importante saber que cualquier función lineal se puede escribir en la forma ƒ() = m + b, donde m b son constantes. Completa la evidencia de que las funciones lineales aumentan en diferencias iguales en intervalos iguales. Dado: 2-1 = - 3 f es una función lineal de la forma ƒ () = m + b. Demuestra que: ƒ ( 2 ) - ƒ ( 1 ) = ƒ ( ) - ƒ ( 3 ) Demostración: = - 3 Dado. 2. m ( 2-1 ) = ( - 3 ) Propiedad de igualdad de la multiplicación 3. m 2 - = m -. m 2 + b - m 1 - b = m + - m 3-5. m 2 + b - (m 1 + b) = m + b - 6. ƒ ( 2 ) - ƒ ( 1 ) = Definición de ƒ () Refleiona 3. Debate Observa la función = 3. Usa dos intervalos iguales para determinar si la función es lineal. A continuación, se muestra la tabla para = 3. = 3 Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan En la información dada de la demostración se establece que: f es una función lineal de la forma ƒ () = m + b. Cuál es el nombre de la forma de esta función lineal? Módulo Lección 1

4 Eplicar 1 Representar gráficamente funciones lineales dadas en forma estándar Cualquier función lineal se puede representar con una ecuación lineal. Una ecuación lineal es cualquier ecuación que puede epresarse en la forma estándar que se epresa a continuación. Forma estándar de una ecuación lineal A + B = C donde A, B C son números reales A B no son ambos 0. Cualquier par ordenado que hace que la ecuación lineal sea verdadera es una solución de una ecuación lineal en dos variables. La gráfica de una ecuación lineal representa todas las soluciones de la ecuación. Ejemplo 1 B 5 + = 10 Determina si la ecuación es lineal. Si lo es, representa gráficamente la función. La ecuación es lineal porque está epresada en la forma estándar de una ecuación lineal: A = 5, B = 1 C = = 10 Para representar gráficamente la función, primero resuelve la ecuación para = 10-5 hallar el valor de. (-1, 15) Haz una tabla marca los puntos. Luego, conecta los puntos. 12 (0, 10) (1, 5) (2, 0) Observa que, como el dominio el rango de las funciones de una línea que -6 (3, -5) no es horizontal son siempre números reales, la gráfica es continua. - + = 11 La ecuación es lineal porque está en la forma ecuación lineal: de una = 10 A =, B = C =. Para representar gráficamente la función, primero resuelve la ecuación para hallar el valor de. Haz una tabla marca los puntos. Luego, conecta los puntos = 11 = Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan Módulo Lección 1

5 Refleiona 5. Escribe una ecuación que sea lineal pero que no esté en forma estándar. 6. Si A = 0 en una ecuación epresada en forma estándar, qué forma tiene la gráfica? Es tu turno 7. Determina si 6 + = 12 es lineal. Si lo es, representa gráficamente la función Eplicar 2 Hacer modelos con funciones lineales Una función discreta es una función cua gráfica está compuesta por puntos no conectados, mientras que una función continua es una función cua gráfica es una línea recta o curva continua, sin espacios ni interrupciones. Por ejemplo, una función que representa la venta de manzanas sueltas es una función discreta porque ninguna parte fraccionaria de una manzana estará representada en una tabla o una gráfica. Una función que representa la venta de manzanas por libra es una función continua porque cualquier parte fraccionaria de una libra de manzanas estará representada en una tabla o gráfica. Ejemplo 2 Representa gráficamente las funciones determina su dominio su rango. Salomón abre una nueva tienda de video paga $2.00 por cada DVD que les compra a los estudios de cine. La cantidad que paga Salomón está dada por ƒ () = 2, donde es el número de DVD comprados. Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan ƒ () = 2 0 ƒ (0) = 2 (0) = 0 1 ƒ (1) = 2 (1) = 2 2 ƒ (2) = 2 (2) = 3 ƒ (3) = 2 (3) = 6 ƒ () = 2 () = Esta es una función discreta. Como el número de DVD debe ser un número cabal, el dominio es {0, 1, 2, 3, } el rango es {0, 2,, 6,, }. Costo ($) DVD comprados (, ) f() = (0, 0) (1, 2) (2, ) (3, 6) Número de DVD Módulo Lección 1

6 B Elsa alquila un local en el centro comercial de su abuelo para abrir un puesto de venta de helados. Le paga a su abuelo $1 por cada hora que el puesto permanece abierto. La cantidad que paga Elsa está dada por ƒ () =, donde es el número de horas que el puesto permanece abierto. ƒ () = 0 ƒ (0) = Alquiler del puesto de venta de helados 1 ƒ (1) = 2 ƒ (2) = 3 ƒ (3) = ƒ () = Costo ($) Número de horas Esta es una función. El dominio es/son el rango es/son. Refleiona. Por qué están conectados todos los puntos de la gráfica del Ejemplo 2B? 9. Debate Cuál es la relación entre la gráfica de la función en el Ejemplo 2A la gráfica de una sucesión aritmética? Es tu turno 10. Kristoff alquila un quiosco en el centro comercial para abrir un puesto de venta de paraguas. Le paga al dueño del centro comercial $6 por cada paraguas que vende. La cantidad que paga Kristoff está dada por ƒ () = 6, donde es el número de paraguas vendidos. Representa gráficamente la función da su dominio su rango. Costo ($) Venta de paraguas Número de paraguas Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan Módulo 5 20 Lección 1

7 Etender 11. Cuál es una solución de una ecuación lineal en dos variables? 12. Qué tipo de función tiene una gráfica con un conjunto de puntos que no están conectados? 13. Énfasis en la pregunta esencial Cuál es la forma estándar de una ecuación lineal? Evaluar: Tarea práctica Determina si la ecuación es lineal. Si lo es, representa gráficamente la función = Tarea en línea Pistas auda Práctica adicional = 6 Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan 3. 2_ + _ = 3_ Módulo Lección 1

8 . 3 + = = = Indica si la función es discreta o continua. 7. el número de pelotas de básquetbol fabricadas por día 9. el número de centros anotados en cada hora de práctica de tiro. = _, donde es el número de horas e es el número de millas caminadas 10. =, donde es el tiempo e es el número de galones de agua Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan 11. = 35 1, donde es la distancia e es la altura 12. la cantidad de cajas enviadas por turno Módulo Lección 1

9 Representa gráficamente las funciones determina su dominio su rango. 13. Hans abre una nueva tienda de videojuegos paga $5.00 por cada videojuego que les compra a las empresas de juegos. La cantidad que paga Hans está dada por ƒ () = 5, donde es el número de videojuegos comprados. 1. Peter abre una nueva librería paga $3.00 por cada libro que les compra a las editoriales. La cantidad que paga Peter está dada por ƒ () = 3, donde es el número de libros comprados. Compra de videojuegos Compra de libros Costo ($) Costo ($) Número de videojuegos Número de libros 15. Steve abre una joería tiene una ganancia de $15.00 por cada joa que vende. La cantidad de dinero que gana Steve está dada por ƒ () = 15, donde es el número de joas vendidas. 16. Anna es dueña de una empresa aérea paga al aeropuerto $35.00 por cada boleto que vende. La cantidad que Anna le paga al aeropuerto está dada por ƒ () = 35, donde es el número de boletos vendidos. 75 Venta de joas 175 Venta de boletos de avión Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan Ganancia ($) Número de joas Costo ($) Número de boletos Módulo Lección 1

10 17. Un globo de aire caliente puede recorrer hasta 5 m.p.h. Si el globo viaja a esta velocidad de manera continua, = 5 indica el número de millas que el globo de aire caliente recorrería en horas. Completa la tabla con los datos de la gráfica. Determina si e tienen un cambio constante entre términos consecutivos si están en una función lineal. Número de millas (9, 765) (7, 595) (5, 25) = 5 (3, 255) 5 (1, 5) Número de horas 1. Determina si las ecuaciones están en forma estándar. a. 3 + = b. - = 15z c. 2 + = 11 d = e. + = 12 f = Física Una física que trabaja en un importante laboratorio halló que las partículas de luz que viajan en un acelerador de partículas aumentan su velocidad de una manera que podría describirse con la función lineal = 15, donde es el tiempo e es la velocidad en kilómetros por hora. Usa esta función para determinar cuándo una partícula alcanzará los 30 km/h. Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan Image Credits: Cultura Creative/Alam Módulo 5 20 Lección 1

11 20. Viajes En la gráfica, se muestra el costo de una habitación de hotel por una noche para un grupo que está de viaje. El costo total depende del número de habitaciones que necesite el grupo. El diagrama sigue una función lineal? La gráfica es discreta o continua? Costo total ($) (1, 50) (2, 100) (3, 150) (, 200) Número de habitaciones 21. Biología El patrón de migración de una especie de rana a diferentes zonas pantanosas durante el transcurso de un año puede describirse con la siguiente gráfica. Completa la tabla e indica si el patrón muestra una función lineal. Si el patrón de migración es una función lineal, indica cuál es el cambio constante en que se corresponde con un cambio constante en. 15 (5, 15) Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan Image Credits: Alekse Stemmer/Shutterstock Distancia (km) (1, 3) (2, 6) (3, 9) (, 12) Tiempo (días) H.O.T. Enfoque en alta capacidad de razonamiento 22. Representa problemas del mundo real Escribe un problema del mundo real que sea una función discreta no lineal Módulo Lección 1

12 23. Eplica el error Un estudiante usó la siguiente tabla de valores determinó que la función descrita por la tabla era una función lineal. Eplica el error del estudiante Comunica ideas matemáticas Eplica cómo dos gráficas de la misma función pueden ser diferentes. Tarea de rendimiento de la lección Jordan comenzó un negocio de paseos para perros. Sus ganancias totales de las primeras semanas se epresan en esta tabla. a. Muestra que las ganancias se pueden describir con una función lineal. Tiempo (semanas) Ganancias ($) b. Representa gráficamente esta función usa la gráfica para predecir las ganancias de su negocio 9 semanas después de haberlo iniciado Ganancias ($) Tiempo (semanas) c. Eplica por qué es una buena idea, o por qué no lo es, proectar sus ganancias tanto tiempo en el futuro. Da ejemplos para respaldar tu respuesta. Houghton Mifflin Harcourt Publishing Compan Módulo Lección 1