Listo para seguir? Intervención de destrezas

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1 A Listo para seguir? Intervención de destrezas - Cómo identificar funciones lineales Busca estas palabras de vocabulario en la Lección - el Glosario multilingüe. Vocabulario función lineal ecuación lineal Identificar una función lineal usando pares ordenados Indica si cada conjunto de pares ordenados satisface una función lineal. A Completa cada diferencia para hallar el cambio en. ( 3) ( ) 0 ( ) 0 Ha un cambio constante de? Completa cada diferencia para hallar el cambio en. Sí Ha un cambio constante de? No Como las diferencias para los cambios en son diferentes, estos pares ordenados no satisfacen una función lineal. B. {( 3, ), (, ), (, 3), (0, ), (, )} Completa la tabla Completa cada diferencia para hallar el cambio en. ( 3) ( ) 0 ( ) 0 Completa cada diferencia para hallar el cambio en. 3 3 Ha un cambio constante de e? Sí Como las diferencias de los cambios en e son constantes, los pares ordenados satisfacen una función lineal. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 8 Holt Álgebra

2 A Listo para seguir? Intervención de destrezas - Cómo usar la intersección Busca estas palabras de vocabulario en la Lección - el Glosario multilingüe. Vocabulario intersección con el eje intersección con el eje Representar gráficamente ecuaciones lineales por medio de intersecciones Usa intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por la ecuación 0. PASO : La intersección con el eje es el punto donde la línea se interseca con el eje. La coordenada para la intersección con el eje siempre es 0. Halla la intersección con el eje de 0. ( 0 ) 0 Sustitue = 0. ( 0 ) 0 Multiplica. 0 El punto donde 0 cruza el eje es (, 0). PASO : La intersección con el eje es el punto donde la línea se interseca con el eje. La coordenada para la intersección con el eje siempre es 0. Halla la intersección con el eje de 0. ( 0 ) 0 Sustitue = 0. ( 0 ) 0 Multiplica. 0 El punto donde 0 cruza el eje es (0, ). PASO 3: La intersección con el eje es (, 0). Marca este punto en el sistema de coordenadas. La intersección con el eje es (0, ). Marca este punto en el sistema de coordenadas. Conecta estas dos intersecciones 6 con una línea recta. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 8 Holt Álgebra

3 A Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas - Cómo usar la intersección Las intersecciones de la gráfica de una función lineal son puntos específicos sobre la línea. Son los puntos donde la línea cruza cada eje. Jaime recibe una mensualidad de $0. Actualmente debe a su madre $0 por dinero que le pidió prestado. La función f ( ) 0 0 representa la situación actual de la mensualidad de Jaime, donde meses. Representa gráficamente la función halla sus intersecciones. Qué representa cada intersección? Comprende el problema. Qué representa? meses. Qué representa f ( )? la cantidad de dinero que tiene Jaime Haz un plan 3. Usa la función f ( ) 0 0 para completar la tabla Resuelve. Representa gráficamente los pares ordenados de la tabla.. Identifica el par ordenado de la intersección con el eje. 00 (0, 0) La intersección con el eje representa la cantidad de dinero que Jaime debe a su mamá Identifica el par ordenado de la intersección con el eje. (, 0) 8. La intersección con el eje representa la cantidad de meses que pasarán antes de que Jaime haa cancelado la deuda con su madre. Repasa 9. Para comprobar tu respuesta, sustitue las intersecciones en la función. intersección con el eje : (, 0) intersección con el eje : (0, 0) f ( ) 0( ) 0 f ( 0 ) 0( 0 ) 0 f ( ) 0 0 f ( 0 ) 0 0 f ( ) 0 f ( 0 ) 0 0. Las intersecciones hacen que la función sea verdadera? Sí Copright b Holt, Rinehart and Winston. 83 Holt Álgebra

4 A Listo para seguir? Intervención de destrezas -3 Tasa de cambio pendiente Busca estas palabras de vocabulario en la Lección -3 el Glosario multilingüe. Vocabulario tasa de cambio distancia vertical distancia horizontal pendiente Hallar la pendiente Halla la pendiente de la línea. Halla dos puntos de la línea. Completa cada punto. (, ) ( 3, ). Marca estos dos puntos en la gráfica de la línea. La cantidad de unidades verticales, o distancia vertical, entre estos dos puntos es 6. La cantidad de unidades horizontales, o distancia horizontal, 7 entre los dos puntos es. Pendiente distancia vertical distancia horizontal 6 3 Describir la pendiente Indica si la pendiente de la línea es positiva, negativa, cero o indefinida. Cuál es el valor de cuando? Cuál es el valor de cuando? Cuando el valor de aumenta de a, el valor de aumenta o disminue? Aumenta. La línea se eleva o cae de izquierda a derecha? Se eleva. 7 Como la línea se eleva de izquierda a derecha, la pendiente es positiva, negativa, cero o indefinida? positiva Copright b Holt, Rinehart and Winston. 8 Holt Álgebra

5 A Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas -3 Tasa de cambio pendiente La tasa de cambio es la razón del cambio entre la variable dependiente el cambio en la variable independiente. La tasa de cambio se puede determinar a partir de pares ordenados, una gráfica o una ecuación. En la tabla se da el precio promedio de la gasolina en diferentes años. Representa gráficamente estos datos muestra las tasas anuales de cambio. Año Costo ($) Comprende el problema. Cuál es la variable independiente, el año o el costo de la gasolina? el año. Cuál es la variable dependiente, el año o el costo de la gasolina? el costo de la gasolina Haz un plan 3. Mira la tabla determina cuántas tasas de cambio debes hallar.. Completa la tabla: Cambio en la variable independiente Cambio en la variable dependiente Tasa Tasa Tasa 3 Tasa Resuelve. Halla cada razón para determinar cada tasa de cambio: tasa tasa tasa tasa Representa gráficamente los pares ordenados a partir de la tabla de datos. Costo, $ Escribe la tasa de cambio anual entre cada punto de la gráfica. Repasa 8. La inclinación de cada línea corresponde a las tasas del Ejercicio? Sí Año Copright b Holt, Rinehart and Winston. 8 Holt Álgebra

6 A Listo para seguir? Intervención de destrezas - La fórmula de la pendiente Hallar la pendiente a partir de gráficas tablas Halla la pendiente de la línea. Luego indica qué representa la pendiente. A. Distancia recorrida Usa los dos puntos dados para hallar la pendiente. Sea Distancia (km) (, 80) (, 60) Tiempo (h) (, 60 ) (, ) sea (, 80 ) (, ) pendiente Como la pendiente 0, significa que la tasa de cambio es 0 km por hora. B. Precios de la gasolina Usa los dos puntos dados para hallar la pendiente. Sea Costo ($) (0, ) (30, 7) Galones ( 0, ) (, ) sea ( 30, 7) (, ) pendiente Como la pendiente, significa que cada 7 galones de gasolina el costo es $. 0 C. Valor de un automóvil Usa los dos puntos dados para hallar la pendiente. Sea Valor (miles de $) (, 7) (, 8) Tiempo (años) (, 7 ) (, ) sea (, 8 ) (, ). 7 8 pendiente Como la pendiente 3, significa que cada año el valor de un automóvil disminue $ Copright b Holt, Rinehart and Winston. 86 Holt Álgebra

7 A Listo para seguir? Intervención de destrezas - Variación directa Busca estas palabras de vocabulario en la Lección - el Glosario multilingüe. Vocabulario variación directa constante de variación Identificar variaciones directas a partir de pares ordenados Indica si la relación es una variación directa. Si es así, identifica la constante de variación. Halla para cada par ordenado. (3, ): (7, 8): 8 3 (, 0): 0 7 (9, 36): 36 Es igual para cada par ordenado? Sí Por lo tanto, éste es un ejemplo de variación directa. Escribir resolver ecuaciones con variaciones directas El valor de varía directamente con e 8 cuando 0. Halla cuando. Como varía directamente con, puedes usar la fórmula k. Se da que 8 cuando 0. 9 Sustitue por estos valores en la fórmula de variación directa: 8 k( 0 ) PASO : Halla k. 8 0k k 0 k Sustitue k por este valor en la ecuación k. PASO : Halla cuando. Sustitue por halla. ( ) ( 96 ) 9. PASO 3: Completa: Cuando, 9.. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 87 Holt Álgebra

8 A Listo para seguir? Prueba - Cómo identificar funciones lineales Indica si los pares ordenados dados satisfacen una función lineal. Eplica No, no ha una diferencia de cambio constante en.. {(, ), (, ), (3, 8), (, 6), (, 3)} No, no ha una diferencia de cambio constante en Sí, ha una diferencia de cambio constante en en. - Cómo usar la intersección. Un tanque que contiene galones de agua tiene una filtración está perdiendo agua a una tasa de galón por minuto. La función f () da la cantidad de agua que queda en el tanque después de minutos. Representa gráficamente la función halla sus intersecciones. Qué representa cada intersección? (, 0) (0, ); La intersección con el eje representa el momento en que a no queda agua en el tanque. La intersección con el eje representa la cantidad de agua que había en el tanque antes de producirse la pérdida Usa intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por cada ecuación Copright b Holt, Rinehart and Winston. 88 Holt Álgebra

9 A Listo para seguir? Prueba, (continuación) -3 Tasa de cambio pendiente 8. En la tabla se da la cantidad de personas que asisten a un parque de diversiones en diversos momentos del día. Representa gráficamente los datos e indica las 8 tasas de cambio. Tasas de cambio: ; 3 ; 0; Asistencia al parque de diversiones Horas transcurridas después de la apertura del parque Personas (en miles) La fórmula de la pendiente Halla la pendiente de cada línea. Luego indica qué representa la pendiente. 9. Costo ($) Costo de la carne molida (7, 6.) (3, 7) Carne molida (lb) 0. Profundidad bajo el nivel del mar (m) Profundidad bajo el nivel del mar (3, ) (7, 9) Tiempo (min). Distancia (mi) Distancia recorrida por el ciclista (3, ) (, 30) Tiempo (h) m 9 8 ; lb por $.38 m 3; 3 m por min m ; mi/h - Variación directa Indica si cada relación es una variación directa. Si es así, identifica la constante de variación Sí; k No. El valor de varía directamente con, e 8 cuando 8. Halla cuando. 6 Copright b Holt, Rinehart and Winston. 89 Holt Álgebra

10 A Listo para seguir? Enriquecimiento Funciones sobreectivas Una relación es una función si por cada número en el dominio, ha uno sólo un número en el rango. Otra forma de describir una función es determinando si es sobreectiva. Una función es sobreectiva si sólo si todos los números del rango forman un par con todos los números del dominio. Por ejemplo, la función de la Tabla se describe como sobreectiva porque cada número del rango tiene un número asignado en el dominio. Dominio Tabla 3 La función de la tabla no es sobreectiva porque el número 7 del rango no tiene un número asignado en el dominio. Rango Tabla Dominio 3 Determina si cada función se puede describir como sobreectiva. Rango no sobreectiva. sobreectiva Dominio Dominio Rango Rango 8 3. sobreectiva. no sobreectiva Dominio 0 0 Dominio Rango Rango Copright b Holt, Rinehart and Winston. 90 Holt Álgebra

11 B Listo para seguir? Intervención de destrezas -6 Forma de pendiente-intersección Representar gráficamente usando pendiente e intersección con el eje Representa gráficamente la línea dada una pendiente de una intersección con el eje de. PASO : La intersección con el eje es, por lo tanto, la línea 3 contiene el punto ( 0, ). Marca la intersección con el eje : ( 0, ). 7 cambio en PASO : Pendiente cambio en Cuenta unidades hacia arriba unidades hacia la derecha desde (0, ) marca otro punto. PASO 3: Conecta estos dos puntos con una línea recta. Escribir ecuaciones lineales en forma de pendiente-intersección Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección luego represéntala gráficamente. Para escribir una ecuación en forma de pendiente-intersección, despeja la variable,. Suma a ambos lados. Halla. Determina la pendiente la intersección con el eje. Recuerda que m b. m b PASO : La intersección con el eje es contiene el punto ( 0, ). Marca la intersección con el eje : ( 0, )., por lo tanto, la línea cambio en PASO : Pendiente cambio en Cuenta unidades hacia arriba unidad hacia la derecha desde (0, ) marca otro punto. PASO 3: Conecta estos dos puntos con una línea recta. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 9 Holt Álgebra

12 B Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas -6 Forma de pendiente-intersección Se puede escribir una ecuación lineal en forma de pendiente-intersección, m b, donde m repite la pendiente b repite la intersección con el eje. En el festival de la fresa, a cada persona se le cobra una entrada de $.00 más $.0 por cada libra de fresas que recojan. En la gráfica se muestra el costo total por persona como función de la cantidad de libras de fresas recogidas. a. Escribe una ecuación que represente el costo total por persona como función de la cantidad de libras de fresas recogidas. b. Identifica la pendiente la intersección con el eje describe el significado de cada una en esta situación. Comprende el problema. Cuánto cuesta entrar al festival de la fresa? $.00. Cuánto cuesta cada libra de fresas? $.0 Haz un plan 3. Sea el costo total la cantidad de libras de fresas. Completa la ecuación: el costo es igual a una entrada de $.00 más $.0 por libra... En forma de pendiente-intersección, m b, m pendiente b intersección con el eje. Resuelve. Cuál es la pendiente de la ecuación del Ejercicio 3?. Usa el Ejercicio eplica lo que significa la pendiente de esta ecuación. El precio que se paga por cada libra de fresas. 6. Cuál es la intersección con el eje de la ecuación del Ejercicio 3? Usa el Ejercicio eplica lo que significa la intersección con el eje de esta ecuación. el costo de la entrada al festival Repasa 7. Sustitue la por 0 en la ecuación del Ejercicio 3. Costo ($) Festival de la fresa Fresas (lb).( 0 ) El resultado es el mismo que la intersección con el eje? Sí Copright b Holt, Rinehart and Winston. 9 Holt Álgebra

13 B Listo para seguir? Intervención de destrezas -7 Forma de punto pendiente Usar la pendiente un punto para representar gráficamente Representa gráficamente la línea con una pendiente de 3 que contiene el punto (, ). PASO : El punto dado es (, ). Marca este punto en la gráfica. PASO : Usa la pendiente para moverte de (, ) a otro punto. Pendiente cambio en cambio en 3 Cuenta 3 unidades hacia abajo unidad a la derecha desde (, ) marca otro punto. PASO 3: Conecta estos dos puntos con una línea recta. Usar dos puntos para escribir una ecuación Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por los puntos ( 6, 6) (, 0). Para escribir una ecuación en forma de pendiente-intersección debes conocer el valor de la pendiente la intersección con el eje. PASO : Halla la pendiente. Sea ( 6, 6 ) (, ) sea (, 0 ) (, ). Pendiente m 0 ( 6 ) ( 6) 6 8 PASO : Elige uno de los puntos ( 6, 6) ó (, 0). Si no quieres usar coordenadas negativas, elige el punto (, 0 ). Sustitue (, ) la pendiente del PASO por este punto en la fórmula de punto pendiente: m ( ). m 0 0 PASO 3: Halla en esta ecuación para escribirla 0 en forma de punto pendiente Copright b Holt, Rinehart and Winston. 93 Holt Álgebra

14 B Identificar líneas paralelas Identifica qué líneas son paralelas. ; 3; ; ( 8) Completa la tabla. Las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Cuántas ecuaciones tienen la misma pendiente pero diferentes intersecciones con el eje? 3 Qué ecuaciones son paralelas? 3; ; ( 8) Identificar líneas perpendiculares Identifica qué líneas son perpendiculares. ; ; 9; Completa la tabla. Listo para seguir? Intervención de destrezas -8 Pendientes de líneas paralelas perpendiculares El producto de las pendientes de líneas perpendiculares es. Cuál es el producto de? Ecuación Pendiente m Intersección con el eje b 3 ( 8) 9 Ecuación Pendiente m Intersección con el eje b Cuál es el producto de? indefinida Las pendientes de qué dos ecuaciones tienen un producto de? ; Por lo tanto, cuáles son las dos ecuaciones perpendiculares? ; Copright b Holt, Rinehart and Winston. 9 Holt Álgebra

15 B Listo para seguir? Intervención de destrezas -9 Transformación de funciones lineales Trasladar funciones lineales Representa gráficamente f () g () 3. Luego describe la transformación a partir de la gráfica de f () a g (). PASO : Representa gráficamente f (). La pendiente de esta función lineal es. La intersección con el eje es. Desde (0, ) mueve unidad hacia arriba unidades hacia la derecha. PASO : Representa gráficamente g () 3. La pendiente de esta función lineal es. La intersección con el eje es 3. Desde (0, 3) mueve unidad hacia arriba unidades hacia la derecha. PASO 3: Representa gráficamente ambas líneas. PASO : Describe la transformación. La gráfica de g () 3 es el resultado de trasladar la gráfica de f ( ) 7 unidades hacia arriba. Reflejar funciones lineales Representa gráficamente f ( ) 3 g ( ) 3. Luego describe la transformación desde la gráfica de f ( ) a g ( ). PASO : Representa gráficamente f ( ) 3. PASO : Representa gráficamente g ( ) 3. La pendiente de esta función lineal es 3. La La pendiente de esta función lineal es 3. La intersección con el eje es 0. Desde (0, 0) mueve 3 unidades hacia arriba unidad hacia la derecha. intersección con el eje es 0. Desde (0, 0) mueve 3 unidades hacia abajo unidad hacia la derecha. PASO 3: Representa gráficamente ambas líneas. PASO : Describe la transformación. La gráfica de g ( ) 3 es el resultado de reflejar la gráfica de f ( ) 3 sobre el eje. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 9 Holt Álgebra

16 B Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas -9 Transformación de funciones lineales Cada función lineal es una transformación de la función f ( ). Un colegio preescolar cobra una matrícula única de $80 por materiales luego $7 por mes. La cuenta total del colegio después de enseñar a un niño durante meses es f ( ) Cómo cambiará la gráfica de esta función si la matrícula por materiales aumenta a $0? Y si la cuota mensual disminue a $00? Comprende el problema. Cuánto cuestan los materiales? $80. Cuánto cuesta que un niño concurra a este colegio preescolar por mes? $7 Haz un plan 3. Cuál es la pendiente de () 7 80? 7 Esto representa el costo por mes. Cuál es la intersección con el eje? 80 Esto representa la matrícula por materiales. Resuelve. Si una ecuación lineal se traslada, la intersección con el eje aumenta o disminue.. Si la matrícula por suministros aumenta a $0, la gráfica de la función se traslada 70 unidades hacia arriba. 6. Si se rota una ecuación lineal, la pendiente de la ecuación cambia. 7. Si la cuota mensual disminue a $00, la gráfica de la función se rota alrededor del punto (0, 80). La gráfica de la función con una matrícula mensual de $00 será menos o más pronunciada que la función original? menos pronunciada Repasa 8. Compara las funciones f ( ) 7 80 f ( ) 7 0. Si las trazas en una cuadrícula de coordenadas, qué función tiene la maor intersección con el eje? f ( ) Compara las pendientes de las funciones f ( ) 7 80 f ( ) Cuál tiene la menor pendiente? f ( ) Cuál tiene la línea más inclinada? f ( ) 7 80 Copright b Holt, Rinehart and Winston. 96 Holt Álgebra

17 B Listo para seguir? Prueba -6 Forma de pendiente-intersección Representa gráficamente cada línea dadas la pendiente la intersección con el eje.. pendiente ;. pendiente ; 3. pendiente ; 3 intersección con el eje intersección con el eje intersección con el eje Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección luego representa gráficamente Un pintor cobra una tarifa fija de $3 luego $ por cada galón de pintura que usó. En la gráfica se muestra el costo total por galón como función de la cantidad de galones de pintura usados. a. Escribe una ecuación para representar la situación. f ( ) 3 b. Identifica la pendiente la intersección con el eje describe el significado de cada una. intersección con el eje : costará $3 si no se usa pintura; pendiente: $/galón Costo ($) Costo del pintor Cantidad de pintura (gal) -7 Forma de punto pendiente Representa gráficamente la línea con la pendiente dada que contiene el punto dado. 8. pendiente ; (0, ) 9. pendiente ; (, ) 0. pendiente ; (, ) Copright b Holt, Rinehart and Winston. 97 Holt Álgebra

18 B Listo para seguir? Prueba, (continuación) Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por los dos puntos.. (, ) (, ). ( 6, 7) (, 9) 3. (, ) ( 3, 0) 3-8 Pendientes de líneas paralelas perpendiculares Identifica qué líneas son paralelas.. 3 ; 3 ;. 3; ; 3 ; 3( 6) ; 3 ( 6) _ ; 3 _ ( 6) 3 ; 3 ; 3( 6) Identifica qué líneas son perpendiculares ; 6 ; 7. ; ; 3 3 3; 6 3 ; 3; 6 ; 6 _ 3 3_ ; 3 8. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por (, 6) es paralela a la línea descrita por Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por (0, 3) es perpendicular a la línea descrita por Transformación de funciones lineales Representa gráficamente f () g (). Luego describe la/s transformación/es de la gráfica de f () a la gráfica de g (). 0. f () ; g (). f () ; g () 3 3 refleión sobre traslación de 7 el eje unidades hacia arriba Copright b Holt, Rinehart and Winston. 98 Holt Álgebra

19 B Listo para seguir? Enriquecimiento La función madre de las funciones cuadráticas Una función cuadrática es una función descrita por una ecuación epresada como a b c, donde a 0. La función madre de todas las funciones cuadráticas es. La gráfica la tabla de esta función se muestran a la derecha. Al igual que la familia de funciones lineales, también se pueden hacer transformaciones en las funciones cuadráticas. La gráfica de f ( ) está dibujada en cada cuadrícula de coordenadas. Representa gráficamente la función g ( ) completando la tabla de valores marcando los puntos. Luego describe la transformación de la gráfica de f ( ) a g ( ) g ( ) 3. g ( ) La gráfica se traslada 3 unidades hacia abajo. La forma de la gráfica se ensancha. 3. g ( ). g ( ) La gráfica se refleja sobre el eje. La forma de la gráfica se angosta. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 99 Holt Álgebra