CONSULTAR la Gran Idea. Meteorólogo (pág. 77) Antena parabólica que genera electricidad (pág. 71) Puente Gateshead Millennium (pág.

Transcripción

1 Funciones cuadráticas.1 Transformaciones de funciones cuadráticas. Características de las funciones cuadráticas.3 Foco de una parábola. Representar con funciones cuadráticas CONSULTAR la Gran Idea Meteorólogo (pág. 77) Antena parabólica que genera electricidad (pág. 71) Puente Gateshead Millennium (pág. 6) Fútbol (pág. 63) Canguro (pág. 53)

2 Mantener el dominio de las matemáticas Hallar intersecciones con el eje Ejemplo 1 Halla la intersección con el eje de la gráfica de la ecuación lineal = 3 1. = 3 1 Escribe la ecuación. = 3 1 Sustitue por. 1 = 3 Suma 1 a cada lado. = Divide cada lado entre 3. La intersección con el eje es. Halla la intersección con el eje de la gráfica de la ecuación lineal. 1. = + 7. = = = 3( 5) 5. = ( + 1) = La fórmula de distancia La distancia d entre dos puntos cualquiera ( 1, 1 ) (, ) está dada por la fórmula d = ( 1 ) + ( 1 ). Ejemplo Halla la distancia entre (1, ) ( 3, 6). Imagina que ( 1, 1 ) = (1, ) (, ) = ( 3, 6). d = ( 1 ) + ( 1 ) Escribe la fórmula de distancia. = ( 3 1) + (6 ) Sustitue. = ( ) + Simplifica. = 16 + Evalúa las potencias. = Suma..7 Usa una calculadora. Halla la distancia entre los dos puntos. 7. (, 5), (, 7) 8. ( 1, ), ( 8, ) 9. (3, 1), (5, 9) 1. (7, ), ( 5, ) 11. (, 8), (, ) 1. (, 9), ( 3, 6) 13. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Usa la fórmula de distancia para escribir una epresión para la distancia entre los dos puntos (a, c) (b, c). Ha alguna manera más fácil de hallar la distancia cuando las coordenadas son iguales? Eplica tu razonamiento. Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com 5

3 Prácticas matemáticas Los estudiantes que dominan las matemáticas distinguen el razonamiento correcto del razonamiento equivocado. Usar la lógica correcta Concepto Esencial Razonamiento deductivo En el razonamiento deductivo, comienzas con dos o más enunciados que sabes o presupones que son verdaderos. A partir de ellos, deduces o infi eres la veracidad de otro enunciado. He aquí un ejemplo. 1. Premisa: Si este tráfico no se soluciona, entonces llegaré tarde al trabajo.. Premisa: El tráfico no se ha solucionado. 3. Conclusión: Llegaré tarde al trabajo. Este patrón de razonamiento deductivo se llama silogismo. Reconocer razonamientos errados Los silogismos a continuación representan tipos comunes de razonamiento errado. Eplica por qué cada conclusión no es válida. a. Cuando llueve, el suelo se moja El suelo está mojado. Por lo tanto, debe haber llovido. c. La policía, las escuelas las carreteras son necesarias. Los impuestos financian a la policía, las escuelas las carreteras. Por lo tanto, los impuestos son necesarios. SOLUCIÓN b. Cuando llueve, el suelo se moja. No está lloviendo. Por lo tanto, el suelo no está mojado. d. Todos los estudiantes usan teléfonos celulares. Mi tío usa un teléfono celular. Por lo tanto, mi tío es estudiante. a. El suelo puede estar mojado por otra razón. b. El suelo podría estar mojado todavía cuando deje de llover. c. Los servicios se podrían financiar de otra manera. d. Ha personas que no son estudiantes que usan teléfonos celulares. Monitoreo del progreso Decide si el silogismo representa un razonamiento correcto o errado. Si el razonamiento es errado, eplica por qué la conclusión no es válida. 1. Todos los mamíferos tienen sangre caliente. Todos los perros son mamíferos. Por lo tanto, todos los perros tienen sangre caliente. 3. Si esto enfermo, entonces no iré a la escuela. No fui a la escuela. Por lo tanto, esto enfermo.. Todos los mamíferos tienen la sangre caliente. Mi mascota tiene la sangre caliente. Por lo tanto, mi mascota es un mamífero.. Si esto enfermo, entonces no iré a la escuela. No dejé de ir a la escuela. Por lo tanto, no esto enfermo. 6 Capítulo Funciones cuadráticas

4 .1 Transformaciones de funciones cuadráticas Pregunta esencial Cómo afectan las constantes a, h k a la gráfica de la función cuadrática g() = a( h) + k? La función madre de la familia cuadrática es f() =. Una transformación de la gráfica de la función madre está representada en la función g() = a( h) + k, donde a. Identificar gráficas de funciones cuadráticas Trabaja con un compañero. Une cada función cuadrática con su gráfica. Eplica tu razonamiento. Luego usa una calculadora gráfica para verificar que tu respuesta sea correcta. a. g() = ( ) b. g() = ( ) + c. g() = ( + ) d. g() =.5( ) e. g() = ( ) f. g() = ( + ) + A. B C. D E. F. BUSCAR UNA ESTRUCTURA Para dominar las matemáticas, necesitas observar con atención para discernir un patrón o estructura. Comunicar tu respuesta. Cómo afectan las constantes a, h, k la gráfica de la función cuadrática g() = a( h) + k? 3. Escribe la ecuación de la función cuadrática cua gráfica se muestra a la derecha. Eplica tu razonamiento. Luego, usa una calculadora gráfica para verificar que tu ecuación sea correcta. 6 6 Sección.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 7

5 .1 Lección Vocabulario Esencial función cuadrática, pág. 8 parábola, pág. 8 vértice de una parábola, pág. 5 forma en vértice, pág. 5 Anterior transformaciones Qué aprenderás Describir transformaciones de funciones cuadráticas. Escribir transformaciones de funciones cuadráticas. Describir transformaciones de funciones cuadráticas Una función cuadrática es una función que se puede escribir en la forma f() = a( h) + k, donde a. A la gráfica en forma de U de una función cuadrática se le llama parábola. En la Sección 1.1, graficaste las funciones cuadráticas utilizando tablas de valores. También puedes graficar funciones cuadráticas aplicando transformaciones a la gráfica de la función madre f() =. Concepto Esencial Traslaciones horizontales f() = f( h) = ( h) = ( h), h < = Traslaciones verticales f() = f() + k = + k = + k, = k > se mueve a la izquierda cuando h < se mueve a la derecha cuando h > = ( h), h > = + k, k < se mueve hacia abajo cuando k < se mueve hacia arriba cuando k > Traslaciones de una función cuadrática Describe la transformación de f() = representada en g() = ( + ) 1. Luego haz una gráfica de cada función. SOLUCIÓN Observa que la función es de la forma g() = ( h) + k. Reescribe la función para identificar h k. g() = ( ( )) + ( 1) h k Dado que h = k = 1, la gráfica de g es una traslación unidades a la izquierda 1 unidad hacia debajo de la gráfica de f. g 6 6 f 8 Capítulo Funciones cuadráticas Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Describe la transformación de f() = representada en g. Luego, haz una gráfica de cada función. 1. g() = ( 3). g() = ( ) 3. g() = ( + 5) + 1

6 Concepto Esencial Refleiones en el eje f() = f() = ( ) = = Refleiones en el eje f() = f( ) = ( ) = = = se invierte en el eje Ajustes reducciones horizontales f() = f(a) = (a) = (a), a > 1 = = (a), < a < 1 ajuste horizontal (lejos del eje ) cuando < a < 1 reducción horizontal (hacia el eje ) cuando a > 1 = es su propia refleión en el eje. Ajustes reducciones verticales f() = a f() = a = a, a > 1 = = a, < a < 1 ajuste vertical (lejos del eje ) cuando a > 1 reducción vertical (hacia el eje ) cuando < a < 1 Transformaciones de funciones cuadráticas BUSCAR UNA ESTRUCTURA En el Ejemplo b, observa que g() = + 1. Entonces, también puedes describir la gráfica de g como un ajuste vertical por un factor de seguido de una traslación 1 unidad hacia arriba de la gráfica de f. Describe la transformación de f() = representada en g. Luego, haz una gráfica de cada función. a. g() = 1 b. g() = () + 1 SOLUCIÓN a. Observa que la función es de la forma g() = a, donde a = 1. Entonces, la gráfica de g es una refleión en el eje una reducción vertical por un factor de 1 de la gráfica de f. f g b. Observa que la función es de la forma g() = (a) + k, donde a = k = 1. Entonces, la gráfica de g es una reducción horizontal por un factor de 1 seguida de una traslación 1 unidad hacia arriba de la gráfica de f. 6 g f Sección.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 9

7 Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Describe la transformación de f() = representada en g. Luego, haz una gráfica de cada función.. g() = ( 1 3 ) 5. g() = 3( 1) 6. g() = ( + 3) + Escribir transformaciones de funciones cuadráticas El punto más bajo en una parábola que se abre hacia arriba o el punto más alto en una parábola que se abre hacia abajo es el vértice. La forma en vértice de una función cuadrática es f() = a( h) + k, donde a el vértice es (h, k). a indica una refleión en el eje /o un ajuste o reducción vertical. f() = a( h) + k h indica una traslación horizontal. k indica una traslación vertical. Escribir una función cuadrática transformada Imagina que la gráfica de g es un ajuste vertical por un factor de una refleión en el eje, seguida de una traslación 3 unidades hacia abajo de la gráfica de f() =. Escribe una regla para g e identifica el vértice. SOLUCIÓN Método 1 Identifica cómo afectan las transformaciones a las constantes en forma de vértice. refleión en el eje ajuste vertical por a = Traslación 3 unidades hacia abajo} k = 3. Escribe la función transformada. g() = a( h) + k Forma en vértice de una función cuadrática = ( ) + ( 3) Sustitue por a, por h 3 por k. = 3 Simplifica. La función transformada es g() = 3. El vértice es (, 3). Método Comienza con la función madre aplica las transformaciones una por una en el orden indicado. Primero escribe una función h que represente la refleión el ajuste vertical de f. h() = f() Multiplica la salida por. = Sustitue por f(). Luego escribe una función g que represente la traslación de h. g() = h() 3 Resta 3 de la salida. = 3 Sustitue por h(). Verifica f 5 g 5 La función transformada es g() = 3. El vértice es (, 3). 5 Capítulo Funciones cuadráticas

8 Escribir una función cuadrática transformada RECUERDA Para multiplicar dos binomios, usa el método FOIL. Primeros Internos ( + 1)( + ) = Eternos Últimos Imagina que la gráfica de g es una traslación 3 unidades hacia la derecha unidades hacia arriba, seguida de una refleión en el eje de la gráfica de f() = 5. Escribe una regla para g. SOLUCIÓN Paso 1 Primero escribe una función h que represente la traslación de f. h() = f( 3) + Resta 3 de la entrada. Suma a la salida. = ( 3) 5( 3) + Reemplaza con 3 en f(). = Simplifica. Paso Luego escribe una función g que represente la refleión de h. g() = h( ) Multiplica la entrada por 1. = ( ) 11( ) + 6 Reemplaza con en h(). = Simplifica. 6 = X=5 Y= 3 8 Representar con matemáticas La altura h (en pies) del agua rociada desde una manguera contra incendios se puede representar mediante h() = , donde es la distancia horizontal (en pies) desde el camión de bomberos. Los bomberos elevan la escalera de manera tal que el agua llegue al suelo 1 pies más allá del camión de bomberos. Escribe una función que represente la nueva ruta del agua. SOLUCIÓN 1. Comprende el Problema Te dan una función que representa la ruta del agua que se rocía desde una manguera contra incendios. Te piden que escribas una función que represente la ruta del agua después de que el personal de bomberos eleva la escalera.. Haz un Plan Analiza la gráfica de la función para determinar la traslación de la escalera que ocasiona que el agua vaa 1 pies más allá. Luego escribe la función. 3. Resuelve el Problema Usa una calculadora gráfica para hacer una gráfica de la función original. Dado que h(5) =, el agua originalmente llega al suelo a 5 pies del camión de bomberos. El rango de la función en este conteto no inclue valores negativos. Sin embargo, al observar que h(6) = 3, puedes determinar que una traslación 3 unidades (pies) hacia arriba ocasiona que el agua vaa 1 pies más allá del camión de bomberos. g() = h() + 3 Suma 3 a la salida. = Sustitue por h() simplifica. La nueva ruta del agua se puede representar mediante g() = Verifícalo Para verificar que tu solución sea correcta, verifica que g(6) =. g(6) =.3(6) = = Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 7. Imagina que la gráfica de g es una reducción vertical por un factor de 1 seguida de una traslación unidades hacia arriba de la gráfica de f() =. Escribe una regla para g e identifica el vértice. 8. Imagina que la gráfica de g es una traslación unidades a la izquierda seguida por una reducción horizontal por un factor de 1 3 de la gráfica de f() = +. Escribe una regla para g. 9. QUÉ PASA SI? En el Ejemplo 5, el agua llega al suelo 1 pies más cerca del camión de bomberos después de bajar la escalera. Escribe una función que represente la nueva ruta del agua. Sección.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 51

9 .1 Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. COMPLETAR LA ORACIÓN La gráfica de una función cuadrática se llama.. VOCABULARIO Identifica el vértice de la parábola dada por f() = ( + ). Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 3 1, describe la transformación de f() = representada en g. Luego haz una gráfica de cada función. (Consulta el Ejemplo 1). 3. g() = 3. g() = g() = ( + ) 6. g() = ( ) 7. g() = ( 1) 8. g() = ( + 3) 9. g() = ( + 6) 1. g() = ( 9) g() = ( 7) g() = ( + 1) 3 ANALIZAR RELACIONES En los Ejercicios 13 16, une la función con la transformación correcta de la gráfica de f. Eplica tu razonamiento. 13. = f( 1) 1. = f() = f( 1) = f( + 1) 1 A. B. f En los Ejercicios 17, describe la transformación de f() = representada en g. Luego haz una gráfica de cada función. (Consulta el Ejemplo ). 17. g() = 18. g() = ( ) 19. g() = 3. g() = g() = (). g() = () 3. g() = 1 5. g() = 1 ( 1) ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 5 6, describe corrige el error cometido al analizar la gráfica de f() = La gráfica es una refleión en el eje un ajuste vertical por un factor de 6, seguida de una traslación unidades hacia arriba de la gráfica de la función cuadrática madre. La gráfica es una traslación unidades hacia abajo, seguida de un ajuste vertical por un factor de 6 una refleión en el eje de la gráfica de la función cuadrática madre. C. D. USAR LA ESTRUCTURA En los Ejercicios 7 3, describe la transformación de la gráfica de la función cuadrática madre. Luego identifica el vértice. 7. f() = 3( + ) f() = ( + 1) 5 9. f() = f() = 1 ( 1) 5 Capítulo Funciones cuadráticas

10 En los Ejercicios 31 3, escribe una regla para g descrita mediante las transformaciones de la gráfica de f. Luego identifica el vértice. (Consulta los Ejemplos 3 ). 31. f() = ; ajuste vertical por un factor de una refleión en el eje, seguida de una traslación unidades hacia arriba. 3. f() = ; reducción vertical por un factor de 1 3 una refleión en el eje, seguida de una traslación 3 unidades hacia la derecha 33. f() = 8 6; ajuste horizontal por un factor de una traslación unidades hacia arriba, seguida de una refleión en el eje. 3. f() = ( + 6) + 3; reducción horizontal por un factor de 1 una traslación 1 unidad hacia abajo, seguida de una refleión en el eje. USAR HERRAMIENTAS En los Ejercicios 35, une la función con su gráfica. Eplica tu razonamiento. 35. g() = ( 1) 36. g() = 1 ( + 1) 37. g() = ( 1) g() = ( + 1) g() = ( + 1). g() = ( 1) + A. B. JUSTIFICAR LOS PASOS En los Ejercicios 1, justifica cada paso al escribir una función g basada en las transformaciones de f() = Traslación 6 unidades hacia abajo seguida de una refleión en el eje. h() = f() 6 = g() = h() = ( + 6 6) = Refleión en el eje seguida de una traslación unidades hacia la derecha. h() = f( ) = ( ) + 6( ) = 6 g() = h( ) = ( ) 6( ) = REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La función h() =.3( 1) + 6 representa el salto de un canguro rojo, donde es la distancia horizontal recorrida (en pies) h() es la altura (en pies). Cuando el canguro salta desde una ubicación más alta, aterriza 5 pies más lejos. Escribe una función que represente el segundo salto. (Consulta el Ejemplo 5). C. D. E. F.. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La función f(t) = 16t + 1 representa la altura (en pies) de un objeto t segundos después de que se lo dejara caer desde una altura de 1 pies en la Tierra. El mismo objeto, dejado caer desde la misma altura en la Luna, está representado en g(t) = 8 3 t + 1. Describe la transformación de la gráfica de f para obtener g. Desde qué altura se debe dejar caer el objeto en la Luna para que llegue al suelo al mismo tiempo que en la Tierra? Sección.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 53

11 5. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Los peces voladores usan sus aletas pectorales como alas de avión para planear por el aire. a. Escribe una ecuación de la forma = a( h) + k con el vértice (33, 5) que representa la ruta de vuelo, asumiendo que el pez abandona el agua en (, ). b. Cuál es el dominio el rango de la función? Qué representan en esta situación? c. El valor de a cambia cuando la ruta de vuelo tiene el vértice (3, )? Justifica tu respuesta. 7. COMPARAR MÉTODOS Imagina que la gráfica de g es una traslación 3 unidades hacia arriba 1 unidad hacia la derecha seguida de un ajuste vertical por un factor de de la gráfica de f() =. a. Identifica los valores de a, h k usa la forma de vértice para escribir la función transformada. b. Usa la notación de función para escribir la función transformada. Compara esta función con tu función en la parte (a). c. Supón que el ajuste vertical se llevó a cabo primero, seguido de las traslaciones. Repite las partes (a) (b). d. Qué método prefieres al escribir una función transformada? Eplica. 8. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Un salto en un palo de pogo con un resorte convencional se puede representar mediante f() =.5( 6) + 18, donde es la distancia horizontal (en pulgadas) f() es la distancia vertical (en pulgadas). Escribe por lo menos una transformación de la función proporciona una razón posible para tu transformación. 6. CÓMO LO VES? Describe la gráfica de g como transformación de la gráfica de f() =. g 6 f 9. CONECCIONES MATEMÁTICAS El área de un círculo depende del radio, como se muestra en la gráfica. Un pendiente circular con un radio de r milímetros tiene un hueco circular de 3r milímetros. Describe una transformación de la gráfica siguiente que representa el área de la porción azul del pendiente. Círculo 6 Área (unidades cuadrados) A 3 A = πr r Radio (unidades) Mantener el dominio de las matemáticas Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores En rojo se muestra un eje de simetría para la figura. Halla las coordenadas del punto A. (Manual de revisión de destrezas) 5. (, 3) = (, ) A 5. A = A = (, ) 5 Capítulo Funciones cuadráticas

12 . Características de las funciones cuadráticas Pregunta esencial Qué tipo de simetría tiene la gráfica de f() = a( h) + k cómo puedes describir esta simetría? Parábolas simetría Trabaja con un compañero. a. Completa la tabla. Luego usa los valores en la tabla para hacer un bosquejo de la gráfica de la función 6 f() = 1 en papel cuadriculado f() f() PRESTAR ATENCIÓN A LA PRECISIÓN Para dominar las matemáticas, necesitas usar definiciones claras en tu razonamiento en tus discusiones con otras personas. b. Usa los resultados en la parte (a) para identificar el vértice de la parábola. c. Halla una recta vertical en tu papel cuadriculado, de manera que cuando dobles el papel, la porción izquierda de la gráfica coincida con la porción derecha de la gráfica. Cuál es la ecuación de esta recta? Cómo se relaciona con el vértice? d. Muestra que la forma en vértice f() = 1 ( ) es equivalente a la función dada en la parte (a). Parábolas simetría Trabaja con un compañero. Repite la Eploración 1 para la función dada por f() = = 1 3 ( 3) + 6. Comunicar tu respuesta 3. Qué tipo de simetría tiene la gráfica de f() = a( h) + k cómo puedes describir esta simetría? Describe la simetría de cada gráfica. Luego usa una calculadora gráfica para verificar tu respuesta. a. f() = ( 1) + b. f() = ( + 1) c. f() = ( 3) + 1 d. f() = 1 ( + ) e. f() = + 3 f. f() = 3( 5) + Sección. Características de las funciones cuadráticas 55

13 . Lección Qué aprenderás Vocabulario Esencial eje de simetría, pág. 56 forma estándar, pág. 56 valor mínimo, pág. 58 valor máimo, pág. 58 forma de intersección, pág. 59 Anterior intersección con el eje Eplorar las propiedades de las parábolas. Hallar los valores máimos mínimos de las funciones cuadráticas. Hacer gráficas de las funciones cuadráticas usando intersecciones con el eje. Resolver problemas de la vida real. Eplorar las propiedades de las parábolas Un eje de simetría es una recta que divide una parábola en imágenes especulares pasa por el vértice. Dado que el vértice de f() = a( h) + k es (h, k), el eje de simetría es la recta vertical = h. Anteriormente, usaste transformaciones para hacer gráficas (h, k) de funciones cuadráticas en forma de vértice. También = h puedes usar el eje de simetría el vértice para hacer gráficas de funciones cuadráticas escritas en forma de vértice. Usar la simetría para hacer gráficas de funciones cuadráticas Haz una gráfica de f() = ( + 3) +. Rotula el vértice el eje de simetría. SOLUCIÓN Paso 1 Identifica las constantes a =, h = 3, k =. Paso Marca el vértice (h, k) = ( 3, ) dibuja el eje de simetría = 3. Paso 3 Evalúa la función para dos valores de. = : f( ) = ( + 3) + = = 1: f( 1) = ( 1 + 3) + = ( 3, ) 6 Marca los puntos (, ), ( 1, ), sus refleiones en el eje de simetría. Paso Dibuja una parábola a través de los puntos marcados. = 3 Las funciones cuadráticas también se pueden escribir en forma estándar, f() = a + b + c, donde a. Puedes derivar la forma estándar al desarrollar la forma en vértice. f() = a( h) + k Forma en vértice f() = a( h + h ) + k Desarrolla ( h). f() = a ah + ah + k Propiedad distributiva f() = a + ( ah) + (ah + k) Agrupa los términos semejantes. f() = a + b + c Imagina que b = ah que c = ah + k. Esto te permite hacer las siguientes observaciones. a = a: Entonces, a tiene el mismo significado en forma de vértice en forma estándar. b = ah: Resuelve para hallar h para obtener h = b. Entonces, el eje de a simetría es = b a. c = ah + k: En forma de vértice f() = a( h) + k, observa que f() = ah + k. Entonces, c es la intersección del eje. 56 Capítulo Funciones cuadráticas

14 Concepto Esencial Propiedades de la gráfica de f() = a + b + c = a + b + c, a > = a + b + c, a < (, c) = b a b = a (, c) La parábola se abre hacia arriba cuando a > se abre hacia abajo cuando a <. La gráfica es más angosta que la gráfica de f() = cuando a > 1 más ancha cuando a < 1. El eje de simetría es = b a ( el vértice es b a (, f a) b ). La intersección con el eje es c. Entonces, el punto (, c) está en la parábola. Hacer una gráfica de una función cuadrática en forma estándar ERROR COMÚN Asegúrate de incluir el signo negativo al escribir la epresión para la coordenada del vértice. Haz una gráfica de f() = Rotula el vértice el eje de simetría. SOLUCIÓN Paso 1 Identifica los coeficientes a = 3, b = 6, c = 1. Dado que a >, la parábola se abre hacia arriba. Paso Halla el vértice. Primero calcula la coordenada. = b a = 6 (3) = 1 Luego halla la coordenada del vértice. f(1) = 3(1) 6(1) + 1 = Entonces, el vértice es (1, ). Marca este punto. Paso 3 Dibuja el eje de simetría = 1. Paso Identifica la intersección con el eje con c, que es 1. Marca el punto (, 1) su refleión en el eje de simetría, (, 1). Paso 5 Evalúa la función para otro valor de, como = 3. f(3) = 3(3) 6(3) + 1 = 1 Marca el punto (3, 1) su refleión en el eje de simetría, ( 1, 1). Paso 6 Dibuja una parábola mediante los puntos marcados. (1, )) = 1 Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Haz una gráfica de la función. Rotula el vértice el eje de simetría. 1. f() = 3( + 1). g() = ( ) h() = + 1. p() = Sección. Características de las funciones cuadráticas 57

15 CONSEJO DE ESTUDIO Cuando una función f se escribe en forma de vértice, puedes usar h = b a ( k = f a) b para enunciar las propiedades mostradas. Hallar los valores máimos mínimos Dado que el vértice es el punto más alto o más bajo de una parábola, su coordenada es el valor máimo o el valor mínimo de la función. El vértice corresponde al eje de simetría, entonces la función es ascendente en un lado del eje de simetría descendente en el otro lado. Concepto Esencial Valores máimos mínimos Para la función cuadrática f() = a + b + c, la coordenada del vértice es el valor mínimo de la función cuando a > es el valor máimo cuando a <. a > a < descendente mínimo = b a Valor mínimo: f ( a) b ascendente Dominio: Todos los números reales Rango: f ( a) b Descendente hacia la izquierda de = b a Ascendente hacia la derecha de = b a ascendente = b a máimo Valor máimo: f ( a) b descendente Dominio: Todos los números reales Rango: f ( a) b Ascendente hacia la izquierda de = b a Descendente hacia la derecha de = b a Verifica 1 1 mínimo X= Y= Hallar un valor máimo o mínimo Halla el valor mínimo o el valor máimo de f() = 1 1. Describe el dominio el rango de la función dónde la función es ascendente o descendente. SOLUCIÓN Identifica los coeficientes a = 1, b =, c = 1. Dado que a >, la parábola se abre hacia arriba la función tiene un valor mínimo. Para hallar el valor mínimo, calcula las coordenadas del vértice. = b a = = f() = ( 1 1 () () 1 = 3 ) El valor mínimo es 3. Entonces, el dominio son todos números reales el rango es 3. La función es descendente hacia la izquierda de = ascendente hacia la derecha de =. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 5. Escribe el valor mínimo o el valor máimo de (a) f() = (b) h() = Describe el dominio el rango de cada función, dónde cada función es ascendente descendente. 58 Capítulo Funciones cuadráticas

16 RECUERDA La intersección con el eje de una gráfica es la coordenada de un punto donde la gráfica se interseca con el eje. Ocurre donde f() =. ERROR COMÚN Recuerda que las intersecciones con el eje de la gráfica de f() = a( p) ( q) son p q, no p q. Hacer gráficas de las funciones cuadráticas usando intersecciones con el eje Cuando la gráfica de una función cuadrática tiene por lo menos una intersección con el eje, la función se puede escribir en forma de intersección, f() = a( p)( q), donde a. Concepto Esencial Propiedades de la gráfica de f() = a( p)( q) Dado que f(p) = f(q) =, p q son las intersecciones con el eje de la gráfica de la función. El eje de simetría está en el medio de (p, ) (q, ). Entonces, el eje de simetría es = p + q. La parábola se abre hacia arriba cuando a > se abre hacia abajo cuando a <. Hacer una gráfica de una función cuadrática en forma de intersección Haz una gráfica de f() = ( + 3)( 1). Rotula las intersecciones con el eje, el vértice el eje de simetría. SOLUCIÓN Paso 1 Identifica las intersecciones con el eje. Las intersecciones con el eje son p = 3 q = 1, entonces la parábola pasa por los puntos ( 3, ) (1, ). Paso Halla las coordenadas del vértice. = p + q = = 1 f( 1) = ( 1 + 3)( 1 1) = 8 Entonces, el eje de simetría es = 1 el vértice es ( 1, 8). Paso 3 Dibuja una parábola que pase por el vértice los puntos donde ocurren las intersecciones con el eje. (p, ) = p + q (q, ) ( 1, 8) ( 3, ) = a( p)( q) 6 = 1 (1, ) Verifica Puedes verificar tu respuesta generando una tabla de valores para f en una calculadora gráfica. intersección con el eje intersección con el eje X X=-1 Y Los valores muestran simetría alrededor de = 1. Entonces, el vértice es ( 1, 8). Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Haz una gráfica de la función. Rotula las intersecciones del eje, el vértice el eje de simetría. 6. f() = ( + 1)( + 5) 7. g() = 1 ( 6)( ) Sección. Características de las funciones cuadráticas 59

17 Resolver problemas de la vida real Representar con matemáticas (5, 5) La parábola muestra la traectoria de tu primer lanzamiento de golf, donde es la distancia horizontal (en ardas) es la altura correspondiente (en ardas). La traectoria de tu segundo lanzamiento se puede representar mediante la función f() =.( 8). Qué tiro recorre maor distancia antes de llegar al suelo? Cuál tiene una traectoria más alta? (, ) (1, ) SOLUCIÓN 1. Comprende el Problema Te dan una gráfica una función que representa las traectorias de dos tiros de golf. Te piden que determines qué tiro recorre una maor distancia antes de llegar al suelo qué tiro tiene una traectoria más alta.. Haz un Plan Determina cuán lejos llega cada tiro interpretando las intersecciones del eje. Determina cuán alto llega cada tiro hallando el valor máimo de cada función. Luego, compara los valores. 3. Resuelve el Problema Primer tiro: La gráfica muestra que las intersecciones con el eje son 1. Entonces, la pelota recorre 1 ardas antes de llegar al suelo. 5 d 1 d Dado que el eje de simetría está a medio camino entre (,) (1,), el eje de simetría es = + 1 = 5. Entonces, el vértice es (5, 5) la altura máima es 5 ardas. Segundo tiro: Al reescribir la función en forma de intersección como f() =.( )( 8), puedes ver que p = q = 8. Entonces, la bola recorre 8 ardas antes de llegar al suelo. Para hallar la altura máima, halla las coordenadas del vértice. = p + q = + 8 = f() =.()( 8) = 3 La altura máima del segundo tiro es 3 ardas. = 5 f Dado que 1 ardas > 8 ardas, el primer tiro recorre maor distancia. Dado que 3 ardas > 5 ardas, el segundo tiro recorre maor altura.. Verifícalo Para verificar que el segundo tiro recorre maor altura, haz una gráfica de la función que represente la traectoria del segundo tiro la recta = 5, que representa la altura máima del primer tiro. 9 La gráfica se eleva por encima de = 5, entonces el segundo tiro recorre maor altura. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 8. QUÉ PASA SI? La gráfica de tu tercer tiro es una parábola que pase por el origen que alcanza una altura máima de 8 ardas cuando = 5. Compara la distancia que recorre antes de llegar al suelo con las distancias de los dos primeros tiros. 6 Capítulo Funciones cuadráticas

18 . Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. ESCRIBIR Eplica cómo determinar si una función cuadrática tendrá un valor mínimo o un valor máimo.. CUÁL NO CORRESPONDE? La gráfica de qué función no corresponde con las otras tres? Eplica. f() = f() = f() = 3( )( + ) f() = 3( + 1) 7 Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 3 1, haz una gráfica de la función. Rotula el vértice el eje de simetría. (Consulta el Ejemplo 1). 3. f() = ( 3). h() = ( + ) 5. g() = ( + 3) = ( 7) 1 7. = ( ) + 8. g() = ( + 1) 3 9. f() = ( 1) 5 1. h() = ( + ) + 6 RAZONAR En los Ejercicios 19, usa el eje de simetría para marcar la refleión de cada punto completar la parábola (, 3) 1 (1, ) (, 1) =. = 3 ( 1, 1) 6 (, ) ( 3, 3) 11. = 1 ( + ) = 1 ( 3) f() =.( 1) 1. g() =.75 5 ANALIZAR RELACIONES En los Ejercicios 15 18, usa el eje de simetría para unir la ecuación con su gráfica. 15. = ( 3) = ( + ) 17. = 1 ( + 1) = ( ) 1 A. C. 6 = = 3 B. D. = = En los Ejercicios 1 3, haz una gráfica de la función. Indica el vértice el eje de simetría. (Consulta el Ejemplo ). 1. = = = f() = g() = 1 6. f() = g() = f() = = = ESCRIBIR Dos funciones cuadráticas tienen gráficas con vértices (, ) (, 3). Eplica por qué no puedes usar los ejes de simetría para distinguir entre ambas funciones. 3. ESCRIBIR Una función cuadrática es ascendente hacia la izquierda de = descendente hacia la derecha de =. El vértice será el punto más alto o más bajo en la gráfica de la parábola? Eplica. Sección. Características de las funciones cuadráticas 61

19 ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 33 3, describe corrige el error cometido al analizar la gráfica de = La coordenada del vértice es = b a = () = 3. En los Ejercicios 39 8, halla el valor mínimo o máimo de la función. Describe el dominio el rango de la función dónde la función es ascendente descendente. (Consulta el Ejemplo 3). 39. = 6 1. = =. g() = La intersección con el eje de la gráfica es el valor de c, que es f() = g() = h() = 1 6. h() = REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS En los Ejercicios 35 36, es la distancia horizontal (en pies) es la distancia vertical (en pies). Halla e interpreta las coordenadas del vértice. 35. La traectoria de una pelota de básquetbol lanzada en un ángulo de 5 se puede representar mediante = La traectoria de un lanzamiento de bala en un ángulo de 35 se puede representar mediante = = f() = RESOLVER PROBLEMAS La traectoria de un clavadista se representa mediante la función f() = , donde f() es la altura del clavadista (en metros) sobre el agua es la distancia horizontal (en metros) desde el etremo del trampolín. a. Cuál es la altura del trampolín? b. Cuál es la altura máima del clavadista? c. Describe dónde el clavadista va en ascendente dónde va en descendente ANALIZAR ECUACIONES La gráfica de qué función tiene el mismo eje de simetría que la gráfica de = + +? A = + + B = C = + D = USAR LA ESTRUCTURA Qué función representa la parábola más amplia? Eplica tu razonamiento. A = ( + 3) B = 5 C =.5( 1) + 1 D = RESOLVER PROBLEMAS El torque de motor (en pies pulgadas) de un modelo de carro está dado por = , donde es la velocidad del motor (en miles de revoluciones por minuto). a. Halla la velocidad de motor que maimice el torque. Cuál es el torque máimo? b. Eplica qué pasa con el torque del motor al aumentar la velocidad del motor. CONEXIONES MATEMÁTICAS En los Ejercicios 51 5, escribe una ecuación para el área de la figura. Luego determina la máima área posible de la figura w b w 6 b 6 Capítulo Funciones cuadráticas

20 En los Ejercicios 53 6, haz una gráfica de la función. Indica la intersección (o intersecciones) con el eje, el vértice el eje de simetría. (Consulta el Ejemplo ). 53. = ( + 3)( 3) 5. = ( + 1)( 3) 55. = 3( + )( + 6) 56. f() = ( 5)( 1) 57. g() = ( + 6) 58. = ( + 7) 59. f() = ( 3) 6. = ( 7) USAR HERRAMIENTAS En los Ejercicios 61 6, identifica las intersecciones con el eje de la función describe dónde la gráfica es ascendente descendente. Usa una calculadora gráfica para verificar tu respuesta. 61. f() = 1 ( )( + 6) 6. = 3 ( + 1)( 3) 63. g() = ( )( ) 6. h() = 5( + 5)( + 1) 65. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Un jugador de fútbol patea la pelota en dirección del arco contrario. La altura de la pelota aumenta hasta que alcanza una altura máima de 8 ardas, alejada ardas del jugador. Una segunda patada está representada en = (..8). Cuál patada hace que la pelota avance más antes de tocar el suelo? Cuál patada hace que alcance más altura? (Consulta el Ejemplo 5). 66. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Aunque un campo de fútbol parece ser plano, algunos en realidad tiene la forma de una parábola para que la lluvia escurra hacia ambos lados. El corte transversal de un campo se puede representar mediante =.3( 16), donde se miden en pies. Cuál es el ancho del campo? Cuál es la altura máima de la superficie del campo? 68. FINAL ABIERTO Escribe dos funciones cuadráticas diferentes en forma de intersección cuas gráficas tengan el eje de simetría = RESOLVER PROBLEMAS Una tienda de música en línea vende aproimadamente canciones cada día cuando cobra $1 por canción. Por cada aumento de $.5, se venden aproimadamente 8 canciones menos por día. Usa el modelo verbal la función cuadrática para determinar cuánto debe cobrar por canción la tienda para maimizar los ingresos diarios. Ingresos (dólares) = Precio (dólares/canción) R() = (1 +.5) Ventas (canciones) ( 8) 7. RESOLVER PROBLEMAS Una tienda de artículos electrónicos vende 7 cámaras digitales por mes, a un precio de $3 cada una. Por cada $ menos en el precio, se venden aproimadamente 5 cámaras más. Usa el modelo verbal la función cuadrática para determinar cuánto debería cobrar por cámara la tienda para maimizar los ingresos mensuales. Ingresos (dólares) = Precio (dólares/cámara) R() = (3 ) Ventas (cámaras) (7 + 5) 71. SACAR CONCLUSIONES Compara las gráficas de las tres funciones cuadráticas. Qué observas? Reescribe las funciones f g en forma estándar para justificar tu respuesta. f() = ( + 3)( + 1) g() = ( + ) 1 h() = USAR LA ESTRUCTURA Escribe la función cuadrática f() = + 1 en forma de intersección. Haz una gráfica de la función. Indica las intersecciones con el eje, la intersección con el eje, el vértice el eje de simetría. superficie del campo de fútbol Dibujo no hecho a escala 73. RESOLVER PROBLEMAS Un ratón saltador de las maderas salta a lo largo de una traectoria parabólica dada por = , donde es la distancia horizontal (en pies) recorrida por el ratón es la altura correspondiente (en pies). Puede el ratón saltar una cerca de 3 pies de altura? Justifica tu respuesta. 67. RAZONAR Los puntos (, 3) (, ) corresponden a la gráfica de una función cuadrática. Determina si puedes usar estos puntos para hallar el eje de simetría. Si no es así, eplica. Si puedes usarlos, escribe la ecuación del eje de simetría. Dibujo no hecho a escala Sección. Características de las funciones cuadráticas 63

21 7. CÓMO LO VES? Considera la gráfica de la función f() = a( p)( q). 77. ARGUMENTAR El punto (1, 5) corresponde a la gráfica de una función cuadrática con eje de simetría = 1. Tu amigo dice que el vértice podría ser el punto (, 5) Lo que dice tu amigo es correcto? Eplica. 78. PENSAMIENTO CRÍTICO Halla la intersección del eje en términos de a, p, q para la función cuadrática f() = a( p)( q). a. Qué representa f ( p + q ) en la gráfica? b. Si a <, De qué manera cambia tu respuesta en la parte (a)? Eplica. 75. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS El puente Gateshead Millennium cruza el río Tne. El arco del puente se puede representar mediante una parábola. El arco alcanza una altura máima de 5 metros en un punto aproimadamente a 63 metros cruzando el río. Haz una gráfica de la curva del arco. Cuál es el dominio el rango? Qué representan en esta situación? 79. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Un grano de palomitas de maíz contiene agua que se epande cuando el grano se calienta, lo que ocasiona que reviente. Las ecuaciones a continuación representan el volumen al reventar (en centímetros cúbicos por gramo) de palomitas de maíz con contenido de humedad (como porcentaje del peso de las palomitas de maíz). Cuando las palomitas revientan con aire caliente: =.761( 5.5)(.6) Cuando las palomitas revientan con aceite caliente: =.65( 5.35)( 1.8) 76. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Tienes 1 pies de valla para cercar un jardín rectangular. Dibuja tres diseños posibles para el jardín. De estos, Cuál tiene el área más grande? Haz una conjetura acerca de las dimensiones del jardín rectangular con la maor área posible. Eplica tu razonamiento. Mantener el dominio de las matemáticas a. Cuando revienta con aire caliente, qué contenido de humedad maimiza el volumen al reventar? Cuál es el volumen máimo? b. Cuando revienta con aceite caliente, qué contenido de humedad maimiza el volumen al reventar? Cuál es el volumen máimo? c. Usa una calculadora gráfica para hacer una gráfica de ambas funciones en el mismo plano de coordenadas. Cuál es el dominio el rango de cada función en esta situación? Eplica. 8. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Se escribe una función en forma de intersección con a >. Qué sucede con el vértice de la gráfica cuando a aumenta? Y cuando a se acerca a? Resuelve la ecuación. Verifica las respuestas etrañas. (Manual de revisión de destrezas) = 8. = = = + Resuelve la proporción. (Manual de revisión de destrezas) Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores = = = = 6 Capítulo Funciones cuadráticas

22 .1. Qué aprendiste? Vocabulario Esencial función cuadrática, pág. 8 forma estándar, pág. 56 parábola, pág. 8 valor mínimo, pág. 58 vértice de una parábola, pág. 5 valor máimo, pág. 58 forma en vértice, pág. 5 forma de intersección, pág. 59 eje de simetría, pág. 56 Conceptos Esenciales Sección.1 Traslaciones horizontales, pág. 8 Refleiones en el eje, pág. 9 Traslaciones verticales, pág. 8 Ajustes reducciones horizontales, pág. 9 Refleiones en el eje, pág. 9 Ajustes reducciones verticales, pág. 9 Sección. Propiedades de la gráfica de f() = a + b + c, Propiedades de la gráfica de f() = a( p)( q), pág. 57 pág. 59 Valores máimos mínimos, pág. 58 Prácticas matemáticas 1. Por qué la altura que hallaste en el Ejercicio de la página 53 tiene sentido en el conteto de la situación?. Cómo puedes comunicar en forma efectiva qué métodos prefieres a otras personas en el Ejercicio 7 de la página 5? 3. Cómo puedes usar la tecnología para profundizar tu comprensión de los conceptos del Ejercicio 79 en la página 6? Destrezas de estudio Usar las caracter sticas del libro de teto para prepararse para pruebas e a ` menes Lee comprende el vocabulario principal el contenido de los recuadros de Conceptos Principales. Revisa los Ejemplos las preguntas de Monitoreo de Progreso. Usa las guías de BigIdeasMath.com para obtener auda adicional. Revisa las tareas asignadas resueltas anteriormente. ` 65

23 .1. Prueba Describe la transformación de f() = representada en g. (Sección.1) 1. f g. 6 g f 3. g f Escribe una regla para g e identifica el vértice. (Sección.1). Imagina que g es una traslación unidades hacia arriba seguida de una refleión en el eje un ajuste vertical por un factor de 6 de la gráfica de f() =. 5. Imagina que g es una traslación 1 unidad hacia la izquierda 6 unidades hacia abajo, seguida de una reducción vertical por un factor de 1 de la gráfica de f() = 3( + ). 6. Imagina que g es una reducción horizontal por un factor de 1, seguida de una traslación 1 unidad hacia arriba 3 unidades hacia la derecha de la gráfica de f() = ( + 1) 11. Haz una gráfica de la función. Rotula el vértice el eje de simetría. (Sección.) 7. f() = ( 1) 5 8. h() = f() = 7 8 Halla las intersecciones con el eje de la gráfica de la función. Luego describe dónde la función es ascendente descendente. (Sección.) 1. g() = 3( + )( + ) 11. g() = 1 ( 5)( + 1) 1. f() =.( 6) 13. Un saltamontes puede saltar distancias increíbles, hasta veces su longitud. La altura (en pulgadas) del salto sobre el suelo de un saltamontes de 1 pulgada de largo está dada por h() = 1 +, donde es la distancia horizontal (en pulgadas) del salto. Cuando el saltamontes salta desde una roca, aterriza en el suelo pulgadas más allá. Escribe una función que represente la nueva traectoria del salto. (Sección.1) (, ) (, ) Dibujo no hecho a escala 1. Un pasajero en un bote salvavidas encallado, dispara al aire una bengala de emergencia. La altura (en pies) de la bengala sobre el agua está dada por f(t) = 16t(t 8), donde t es el tiempo (en segundos) desde que se disparó la bengala. El pasajero dispara una segunda bengala, cua traectoria está representada en la gráfica. Qué bengala llega más alto? Cuál queda en el aire por más tiempo? Justifica tu respuesta. (Sección.) (3.5, 196) (, ) (7, ) 66 Capítulo Funciones cuadráticas

24 .3 Foco de una parábola Pregunta esencial Qué es el foco de una parábola? Analizar antenas parabólicas Trabaja con un compañero. Raos verticales entran en una antena parabólica cuo corte transversal es una parábola. Cuando los raos impactan en la parábola, se reflejan en el mismo ángulo en el que entraron. (Ver Rao 1 en la figura). a. Dibuja los raos reflejados de manera que intersequen el eje. b. Qué tienen en común los raos reflejados? c. La ubicación óptima para el receptor de la antena parabólica está en un punto llamado el foco de la parábola. Determina la ubicación del foco. Eplica por qué esto tiene sentido en esta situación. Rao Rao Rao CONSTRUIR ARGUMENTOS VIABLES Para dominar las matemáticas, necesitas hacer conjeturas construir progresiones lógicas de enunciados para eplorar si tus conjeturas son verdaderas. ángulo de entrada ángulo de salida 1 1 = 1 1 Analizar reflectores Trabaja con un compañero. Salen haces de luz del foco de un reflector, ubicado en el foco de la parábola. Cuando los haces impactan en la parábola, estos se reflejan en el mismo ángulo en el que impactaron. (Ver el Haz 1 en la figura.) Dibuja los haces reflejados. Qué tienen en común? Considerarías que este es el resultado óptimo? Eplica. ángulo de salida haz de luz 1 = 1 foco ángulo de entrada haz de luz 1 haz 1 de luz Comunicar tu respuesta 3. Qué es el foco de una parábola?. Describe algunas de las propiedades del foco de una parábola. Sección.3 Foco de una parábola 67

25 .3 Lección Vocabulario Esencial foco, pág. 68 directriz, pág. 68 Anterior perpendicular fórmula de distancia congruente CONSEJO DE ESTUDIO La distancia de un punto a una recta se define como la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta. Qué aprenderás Eplorar el foco la directriz de una parábola. Escribir ecuaciones de parábolas. Resolver problemas de la vida real. Eplorar el foco la directriz Anteriormente, aprendiste que la gráfica de una función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. Una parábola también se puede definir como el conjunto de todos los puntos (, ) en un plano que son equidistantes de un punto fijo llamado foco una recta fija llamada directriz. El foco está en el interior de la parábola corresponde al eje de simetria. El vértice está a medio camino entre el foco la directriz. eje de simetría Usar la fórmula de distancia para escribir una ecuación Usa la Fórmula de distancia para escribir una ecuación de la parábola con foco F(, ) directriz =. SOLUCIÓN Observa los segmentos de recta dibujados desde el punto F hasta el punto P desde el punto P hasta el punto D. Según la definición de una parábola, estos segmentos de recta deben ser congruentes. La directriz es perpendicular al eje de simetria. F(, ) = D(, ) P(, ) PD = PF Definición de parábola ( 1 ) + ( 1 ) = ( ) + ( ) Fórmula de distancia ( ) + ( ( )) = ( ) + ( ) Sustitue por 1, 1,. ( + ) = + ( ) Simplifica. ( + ) = + ( ) Eleva cada lado al cuadrado. + + = = Desarrolla. Combina los términos semejantes. = 1 8 Divide cada lado entre 8. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 1. Usa la Fórmula de distancia para escribir una ecuación de la parábola con foco F(, 3) directriz = 3. = 3 D(, 3) F(, 3) P(, ) 68 Capítulo Funciones cuadráticas

26 BUSCAR UNA ESTRUCTURA Observa que = 1 p es de la forma = a. Entonces, cambiar el valor de p verticalmente ajusta o reduce la parábola. Puedes derivar la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo con vértice (, ), foco (, p) directriz = p usando el procedimiento del Ejemplo 1. F(, p) = p ( ) + ( ( p)) = ( ) + ( p) ( + p) = + ( p) + p + p = + p + p p = = 1 p El foco la directriz corresponden a p del vértice. Las parábolas también se pueden abrir hacia la izquierda o hacia la derecha, en cuo caso la ecuación tiene la forma = 1 p cuando el vértice es (, ). Concepto Esencial Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en el origen Eje vertical de simetría ( = ) Ecuación: = 1 p Foco: (, p) Directriz: = p D(, p) P(, ) Eje horizontal de simetría ( = ) foco: (, p) directriz: = p vértice: (, ) foco: directriz: (, p) = p p > p < vértice: (, ) CONSEJO DE ESTUDIO Ecuación: = 1 p Foco: (p, ) Directriz: = p directriz: = p foco: (p, ) vértice: (, ) foco: (p, ) vértice: (, ) directriz: = p Observa que las parábolas que se abren a la izquierda p > p < o a la derecha no representan funciones. Hacer una gráfica de una ecuación de una parábola Identifica el foco, la directriz el eje de simetría de =. Haz una gráfica de la ecuación. ( 1, ) = 1 SOLUCIÓN Paso 1 Reescribe la ecuación en forma estándar. = Escribe la ecuación original. = 1 Divide cada lado entre. Paso Identifica el foco, la directriz el eje de simetría. La ecuación tiene la forma = 1 p, donde p = 1. El foco es (p, ), o ( 1, ). La directriz es = p, o = 1. Dado que está elevada al cuadrado, el eje de simetría es el eje. Paso 3 Usa una tabla de valores para hacer una gráfica de la ecuación. Observa que es más fácil sustituir los valores del eje resolver el eje. Los valores opuestos ±1.5 ± 1 ±3.5 ± del eje tienen como resultado el mismo valor del eje. Sección.3 Foco de una parábola 69

27 directriz vértice Escribir ecuaciones de parábolas Escribir una ecuación de una parábola Escribe una ecuación de la parábola que se muestra. SOLUCIÓN Dado que el vértice está en el origen el eje de simetría es vertical, la ecuación tiene la forma = 1 p. La directriz es = p = 3, entonces p = 3. Sustitue 3 por p para escribir una ecuación de la parábola. 1 = ( 3) = 1 1 Entonces, una ecuación de la parábola es = 1 1. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Identifica el foco, la directriz el eje de simetría de la parábola. Luego, haz una gráfica de la ecuación.. =.5 3. =. = 6 Escribe una ecuación de la parábola con vértice en (, ) la directriz o foco dados. 5. directriz: = 3 6. foco: (, ) 7. foco: (, 3 ) El vértice de una parábola no siempre está en el origen. Como sucedió en transformaciones anteriores, añadir un valor a la entrada o salida de una función traslada su gráfica. CONSEJO DE ESTUDIO La forma estándar de un eje de simetría vertical se parece a la forma de vértice. Para recordar la forma estándar de un eje de simetría vertical, conmuta, h k. Concepto Esencial Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en (h, k) Eje de simetría vertical ( = h) Ecuación: = 1 p ( = h = h h) + k (h, k + p) Foco: (h, k + p) Directriz: = k p Eje de simetría horizontal ( = k) Ecuación: = 1 p ( k) + h Foco: (h + p, k) Directriz: = h p = k p = k (h, k) = k p (h, k) (h, k + p) p > p < = h p (h, k) (h + p, k) = k (h + p, k) (h, k) = h p p > p < 7 Capítulo Funciones cuadráticas

28 Escribir una ecuación de una parábola trasladada 8 vértice foco 1 16 Escribe una ecuación de la parábola que se muestra. SOLUCIÓN Dado que el vértice no está en el origen que el eje de simetría es horizontal, la ecuación tiene la forma = 1 p ( k) + h. El vértice (h, k) es (6, ) el foco (h + p, k) es (1, ), entonces h = 6, k = p =. Sustitue estos valores para escribir una ecuación de la parábola. 1 = () ( ) + 6 = 1 16 ( ) + 6 Entonces, una ecuación de la parábola es = 1 16 ( ) + 6. motor Resolver problemas de la vida real Los reflectores parabólicos tienen cortes transversales que son parábolas. El sonido entrante, la luz o cualquier otra energía que llega a un reflector parabólico en paralelo al eje de simetría es dirigida al foco Foco Diagrama 1 Foco Diagrama (Diagrama 1). En forma similar, la energía que se emite desde el foco de un reflector parabólico luego impacta al reflector es dirigida en paralelo al eje de simetría (Diagrama ). Resolver un problema de la vida real Una antena parabólica que genera electricidad usa un reflector parabólico para concentrar la luz del sol en un motor de alta frecuencia ubicado en el foco del reflector. La luz del sol calienta helio a 65ºC para encender el motor. Escribe una ecuación que represente el corte transversal de la antena parabólica que se muestra con su vértice en (,). Cuál es la profundidad de la antena parabólica? 8.5 m.5 m SOLUCIÓN Dado que el vértice está en el origen el eje de simetría es vertical, la ecuación tiene la forma = 1 p. El motor está en el foco, que está.5 metros sobre el vértice. Entonces, p =.5. Sustitue.5 por p para escribir la ecuación. = 1 (.5) = 1 18 La profundidad de la antena parabólica es el valor del eje en el borde eterior de la antena. La antena se etiende 8.5 =.5 metros a ambos lados del vértice (, ), entonces halla si =.5. = 1 18 (.5) 1 La profundidad de la antena es de aproimadamente 1 metro. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 8. Escribe una ecuación de una parábola con vértice ( 1, ) foco ( 1, ). 9. Una antena de microondas parabólica tiene 16 pies de diámetro. Escribe una ecuación que represente el corte transversal de la antena con su vértice en (, ) su foco a 1 pies a la derecha del vértice. Cuál es la profundidad de la antena? Sección.3 Foco de una parábola 71

29 .3 Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. COMPLETAR LA ORACIÓN Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistantes de un punto fijo llamado una recta fija llamada.. ESCRIBIR Eplica cómo hallar las coordenadas del foco de una parábola de vértice (, ) directriz = 5. Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 3 1, usa la fórmula de distancia para escribir una ecuación de la parábola. (Consulta el Ejemplo 1). 3.. F(, 1) P(, ) = 1 D(, 1) 5. foco: (, ) 6. directriz: = 7 directriz: = foco: (, 7) 7. vértice: (, ) 8. vértice: (, ) directriz: = 6 foco: (, 5) 9. vértice: (, ) 1. vértice: (, ) foco: (, 1) directriz: = ANALIZAR RELACIONES Cuál de las características dadas describe las parábolas que se abren hacia abajo? Eplica tu razonamiento. A foco: (, 6) B foco: (, ) directriz: = 6 directriz: = C foco: (, 6) D foco: (, 1) directriz: = 6 directriz: = 1 1. RAZONAR Cuál de las siguientes son posibles coordenadas del punto P en la gráfica que se muestra? Eplica. = F(, ) F(, 9) A ( 6, 1) B ( 3, 1 ) C (, 7 Capítulo Funciones cuadráticas ) 9 ) 18 D ( 1, 1 36 ) E (6, 1) F (, 1 V(, ) D(, ) P(, ) P(, ) En los Ejercicios 13, identifica el foco, la directriz el eje de simetría de la parábola. Haz una gráfica de la ecuación. (Consulta el Ejemplo ). 13. = = = = = = =. 8 = ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 1, describe corrige el error cometido al hacer la gráfica de la parábola = 8 (, 1.5).5 + = =.5 = 1.5 (.5, ) 3. ANALIZAR ECUACIONES El corte transversal (con unidades en pulgadas) de una antena parabólica se puede representar mediante la ecuación = Cuán lejos está el receptor del vértice del corte transversal? Eplica.

30 . ANALIZAR ECUACIONES El corte transversal (con unidades en pulgadas) de un reflector parabólico se puede representar mediante la ecuación = 1. Cuán lejos está la bombilla del vértice del corte transversal? Eplica. En los Ejercicios 37, escribe una ecuación de la parábola que se muestra. (Consulta el Ejemplo ) foco 1 vértice 8 vértice foco foco 1 6 vértice En los Ejercicios 5 8, escribe una ecuación de la parábola que se muestra. (Consulta el Ejemplo 3) vértice = 8 vértice directriz 5 = directriz En los Ejercicios 9 36, escribe una ecuación de la parábola con las características dadas. 9. foco: (3, ) 3. foco: ( 3, ) directriz: = 3 directriz: = directriz: = 1 3. directriz: = 8 3 vértice: (, ) vértice: (, ) 33. foco: (, foco: (, 5 ) directriz: = 5 3 directriz: = foco: (, 6 7 ) 36. foco: ( 5, ) vértice: (, ) vértice: (, ) = directriz 3 = vértice directriz vértice vértice 1 1 foco 1 1 En los Ejercicios 1 6, identifica el vértice, el foco, la directriz el eje de simetría de la parábola. Describe las transformaciones de la gráfica de la ecuación estándar con vértice (, ). 1. = 1 8 ( 3) +. = 1 ( + ) = 1 16 ( 3) + 1. = ( + 3) 5 5. = 3( + ) + 6. = ( + 5) 1 7. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Los científicos que estudian la ecolocalización de los delfines simulan, usando modelos de computadora, la proección de los chasquidos que emiten los delfines nariz de botella. Los modelos originan los chasquidos en el foco de un reflector parabólico. La parábola en la gráfica muestra el corte transversal del reflector con una longitud de foco de 1.3 pulgadas un ancho de apertura de 8 pulgadas. Escribe una ecuación para representar el corte transversal del reflector. Cuál es la profundidad del reflector? (Consulta el Ejemplo 5). F longitud de foco apertura Sección.3 Foco de una parábola 73

31 8. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La energía solar se puede concentrar usando artesas largas que tiene un corte transversal parabólico como se muestra en la figura. Escribe una ecuación para representar el corte transversal de la artesa. Cuáles son el dominio el rango en esta situación? Qué representan? 51. PENSAMIENTO CRÍTICO La distancia del punto P a la directriz es unidades. Escribe una ecuación de la parábola. 5.8 m P(, 1) V(, ) 1.7 m 9. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Al aumentar p, Cómo cambia el ancho de la gráfica de la ecuación = 1 p? Eplica tu razonamiento. 5. CÓMO LO VES? La gráfica muestra la traectoria de una pelota de vóleibol servida desde una altura inicial de 6 pies al pasar sobre una red. 5. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Dos parábolas tienen el mismo foco (a, b) una longitud focal de unidades. Escribe una ecuación de cada parábola. Identifica la directriz de cada parábola. 53. RAZONAMIENTO REPETIDO Usa la fórmula de distancia para derivar la ecuación de una parábola que se abre hacia la derecha con vértice (, ), foco (p, ) directriz = p. = p A F(p, ) B D( p, ) P(, ) C a. Rotula el vértice, foco un punto en la directriz. b. Un saque de antebrazos sigue la misma traectoria parabólica pero golpea desde una altura de 3 pies. Cómo afecta esto al foco? Y a la directriz? 5. RESOLVER PROBLEMAS El latus rectum de una parábola es el segmento de recta que es paralelo a la directriz, pasa por el foco tiene etremos que corresponden a la parábola. Halla la longitud del latus rectum de la parábola que se muestra. A latus rectum F(, ) B V(, ) = Mantener el dominio de las matemáticas Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores Escribe una ecuación de la recta que pasa por los puntos. (Sección 1.3) 55. (1, ), (, 1) 56. ( 3, 1), (, 6) 57. (3, 1), ( 5, 5) 58. (, 1), (, 1) Usa una calculadora gráfica para encontrar una ecuación para la recta que mejor se ajuste. (Sección 1.3) Capítulo Funciones cuadráticas

32 . Representar con funciones cuadráticas Pregunta esencial Cómo puedes usar una función cuadrática para representar una situación de la vida real? Representar con una función cuadrática Trabaja con un compañero. La gráfica muestra una función cuadrática de la forma P(t) = at + bt + c que aproima las utilidades anuales de una empresa, donde P(t) es la utilidad en el año t. a. Es el valor de a positivo, negativo o cero? Eplica. b. Escribe una epresión en términos de a b que represente el año t cuando la empresa obtuvo las utilidades más bajas. Utilidad anual (dólares) P P(t) = at + bt + c Año t c. La empresa tuvo las mismas utilidades anuales en 1. Estima el año en el que la empresa obtuvo las ganancias más bajas. d. Presupón que el modelo todavía es válido ho en día. Actualmente, las utilidades anuales están aumentando, disminuendo o son constantes? Eplica. Representar con una calculadora gráfica Trabaja con un compañero. La tabla a continuación muestra las alturas h (en pies) en tiempo t (en segundos) de una llave inglesa que ha caído desde un edificio en construcción. Tiempo, t 1 3 Altura, h REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Para dominar las matemáticas necesitas interpretar en forma rutinaria tus resultados en el conteto de la situación. a. Usa una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos, como se muestra a la derecha. Eplica por qué los datos parecen ajustarse a un modelo cuadrático. b. Usa la función regresión cuadrática para hallar una representación cuadrática para los datos. c. Haz una gráfica de la función cuadrática en la misma pantalla que el diagrama de dispersión para verificar que se ajusta a los datos. d. Cuándo llega la llave al suelo? Eplica. Comunicar tu respuesta 5 3. Cómo puedes usar una función cuadrática para representar una situación de la vida real?. Usa el internet o alguna otra referencia para hallar ejemplos de situaciones de la vida real que se puedan representar mediante funciones cuadráticas. Sección. Representar con funciones cuadráticas 75

33 . Lección Vocabulario Esencial Anterior tasa promedio de cambio sistema de tres ecuaciones lineales Qué aprenderás Escribir ecuaciones de funciones cuadráticas usando vértices, puntos e intersecciones con el eje. Escribir ecuaciones cuadráticas para representar conjuntos de datos. Escribir ecuaciones cuadráticas Concepto Esencial Escribir ecuaciones cuadráticas Dado un punto el vértice (h, k) Usa la forma de vértice: = a( h) + k Dado un punto las intersecciones Usa la forma de intersección: del eje, p q = a( p)( q) Dados tres puntos Escribe resuelve un sistema de tres ecuaciones en tres variables. Escribir una ecuación usando un vértice un punto Altura (pies) 3 1 Cañón humano (,15) (5, 35) 6 8 Distancia horizontal (pies) El gráfico muestra la traectoria parabólica de un artista lanzado desde un cañón, donde es la altura (en pies) es la distancia horizontal recorrida (en pies). Escribe una ecuación de la parábola. El artista aterriza a 9 pies netos del cañón. Cuál es la altura de la red? SOLUCIÓN En la gráfica, puedes ver que el vértice (h, k) es (5, 35) la parábola pasa por el punto (, 15). Usa el vértice el punto para resolver a en forma de vértice. = a( h) + k Forma en vértice 15 = a( 5) + 35 Sustitue por h, k,. = 5a Simplifica..8 = a Divide cada lado entre 5. Dado que a =.8, h = 5, k = 35, el traecto se puede representar por la ecuación =.8( 5) + 35, donde 9. Halla la altura si = 9. =.8(9 5) + 35 Sustitue 9 por. =.8(16) + 35 Simplifica. =. Simplifica. Entonces, la altura de la red es de aproimadamente pies. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 1. QUÉ PASA SI? El vértice de la parábola es (5, 37.5). Cuál es la altura de la red?. Escribe una ecuación de la parábola que pase por el punto ( 1, ) tenga un vértice (, 9). 76 Capítulo Funciones cuadráticas

34 Escribir una ecuación usando un punto e intersecciones con el eje Temperatura ( C) Pronóstico de temperatura (, 9.6) 1 (, ) (, ) RECUERDA Horas después de la medianoche La tasa de cambio promedio de una función f de 1 a es la pendiente de la recta que conecta ( 1, f( 1 )) (, f( )): f( ) f( 1 ). 1 Un meteorólogo crea una parábola para predecir la temperatura mañana, donde es el número de horas después de la medianoche es la temperatura (en grados Celsius). a. Escribe una función f que represente la temperatura en el tiempo. Cuál es la temperatura más fría? b. Cuál es la tasa de cambio promedio de temperatura durante el intervalo en el que la temperatura desciende? Y en el que la temperatura asciende? Compara las tasas de cambio promedio. SOLUCIÓN a. Las intersecciones con el eje son la parábola pasa por (, 9.6). Usa las intersecciones con el eje el punto para resolver a en forma de intersección. = a( p)( q) Forma de intersección 9.6 = a( )( ) Sustitue por p, q,. 9.6 = 96a Simplifica..1 = a Divide cada lado entre 96. Dado que a =.1, p =, q =, la temperatura en el tiempo se puede representar mediante f() =.1( )( ), donde. La temperatura más fría es el valor mínimo. Entonces, halla f() si = + = 1. f(1) =.1(1 )(1 ) Sustitue 1 por. = 1 Simplifica. Entonces, la temperatura más fría es 1 C a 1 horas después de la medianoche, o a las p.m. b. La parábola se abre hacia arriba el eje de simetría es = 1. Entonces, la función es descendente sobre el intervalo < < 1 ascendente sobre el intervalo 1 < <. Tasa de cambio promedio Tasa de cambio promedio sobre < < 1: sobre 1 < < : f(1) f() = = 1. 1 (, 9.6) 1 f() f(1) 1 = ( 1) = (, ) 1 (1, 1) Dado que 1. > 1 ; la tasa promedio a la que la temperatura desciende desde la medianoche hasta las p.m. es maor que la tasa promedio a la que aumenta desde las p.m. hasta la medianoche. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 3. QUÉ PASA SI? La intersección con el eje es.8. Cómo cambia esto tus respuestas en las partes (a) (b)?. Escribe una ecuación de la parábola que pase por el punto (, 5) tenga como intersecciones con el eje. Sección. Representar con funciones cuadráticas 77

35 Escribir ecuaciones para representar datos Cuando los datos tienen entradas igualmente espaciadas, puedes analizar patrones en las diferencias de las salidas para determinar qué tipo de función se puede usar para representar los datos. Los datos lineales tienen primeras diferencias constantes. Los datos cuadráticos tienen segundas diferencias constantes. La primera la segunda diferencias de f() = se muestran a continuación. Valores igualmente espaciados f() primeras diferencias: segundas diferencias: Escribir una función cuadrática usando tres puntos Tiempo, t Altura, h 1 6,9 15 9,5 3,6 5 31,65 3 3,1 35 3,5 31, La NASA puede crear un entorno de ingravidez al volar un avión en traectorias parabólicas. La tabla muestra alturas h (en pies) de un avión t segundos luego de iniciar la traectoria de vuelo. Luego de aproimadamente.8 segundos, los pasajeros comienzan a eperimentar un entorno de ingravidez. Escribe evalúa una función para aproimar la altura en la que esto ocurre. SOLUCIÓN Paso 1 Los valores de entrada están espaciados equitativamente. Entonces, analiza las diferencias en los valores de salida para determinar qué tipo de función puedes utilizar para representar los datos. h(1) h(15) h() h(5) h(3) h(35) h() 6,9 9,5 3,6 31,65 3,1 3,5 31, 78 Capítulo Funciones cuadráticas Dado que las segundas diferencias son constantes, puedes representar los datos con una función cuadrática. Paso Escribe una función cuadrática de la forma h(t) = at + bt + c que represente los datos. Usa cualquiera de los tres puntos (t, h) de la tabla para escribir un sistema de ecuaciones. Usa (1, 6,9): 1a + 1b + c = 6,9 Ecuación 1 Usa (, 3,6): a + b + c = 3,6 Ecuación Usa (3, 3,1): 9a + 3b + c = 3,1 Ecuación 3 Usa el método de eliminación para resolver el sistema. Resta la Ecuación 1 de la Ecuación. 3a + 1b = 37 Nueva Ecuación 1 Resta la Ecuación 1 de la Ecuación 3. 8a + b = 5 Nueva Ecuación a = Resta veces la nueva Ecuación 1 de la nueva Ecuación. a = 11 Resuelve para hallar a. b = 7 Sustitue en la nueva Ecuación 1 para hallar b. c = 1, Sustitue en la nueva Ecuación 1 para hallar c. Los datos se pueden representar mediante la función h(t) = 11t + 7t + 1,. Paso 3 Evalúa la función si t =.8. h(.8) = 11(.8) + 7(.8) + 1, = 3,8.96 Los pasajeros comienzan a eperimentar un entorno de ingravidez a aproimadamente 3,8 pies.

36 Los datos de la vida real que muestran una relación cuadrática normalmente no tienen segundas diferencias constantes porque los datos no son eactamente cuadráticos. Las relaciones que son aproimadamente cuadráticas tienen segundas diferencias que están relativamente cerca en valor. Muchas herramientas tecnológicas tienen una función de regresión cuadrática que puedes usar para hallar la función cuadrática que represente mejor un conjunto de datos. Usar la regresión cuadrática Millas por hora, Millas por galón, La tabla muestra eficiencias de combustible de un vehículo a diferentes velocidades. Escribe una función que modele los datos. Usa el modelo para aproimar la velocidad de manejo óptima. SOLUCIÓN Dado que los valores del eje no están espaciados equitativamente, no puedes analizar las diferencias en las salidas. Usa una calculadora gráfica para hallar una función que represente los datos. Paso 1 Ingresa los datos en una calculadora gráfica usando dos listas crea un diagrama de dispersión. Los datos muestran una relación cuadrática. 35 Paso Usa la función de regresión cuadrática. Un modelo cuadrático que representa los datos es = RegCuad =a +b+c a= b= c= R = CONSEJO DE ESTUDIO El coeficiente de determinación R muestra cuán bien se ajusta una ecuación a un conjunto de datos. Mientras más cerca está R de 1, mejor es el ajuste. Paso 3 Haz una gráfica de la ecuación de regresión con el diagrama de dispersión. En este conteto, la velocidad de manejo óptima es la velocidad en la cual el millaje por galón se maimiza. Usando la función máimo, puedes ver que el millaje máimo por galón es de aproimadamente 6. millas por galón al manejar a aproimadamente 8.9 millas por hora. Entonces, la velocidad de manejo óptima es de aproimadamente 9 millas por hora. Monitoreo del progreso Máimo X= Y= Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 5. Escribe una ecuación de la parábola que pase por los puntos ( 1, ), (, 1), (, 7). 6. La tabla muestra las utilidades estimadas (en dólares) de un concierto cuando el cobro es de dólares por boleto. Escribe evalúa la función para determinar cuál debería ser el cobro por boleto para maimizar las utilidades. Precio del boleto, Utilidad, La tabla muestra los resultados de un eperimento que pone a prueba los pesos máimos (en toneladas) que aguanta el hielo de pulgadas de grosor. Escribe una función que modele los datos. Cuánto peso puede aguantar el hielo de pulgadas de grosor? Grosor del hielo, Peso máimo, Sección. Representar con funciones cuadráticas 79

37 . Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. ESCRIBIR Eplica cuándo es apropiado usar un modelo de una función cuadrática para un conjunto de datos.. DISTINTAS PALABRAS, LA MISMA PREGUNTA Cuál es diferente? Halla ambas respuestas. Cuál es la tasa de cambio promedio sobre? Cuál es la distancia de f() a f()? f Cuál es la pendiente del segmento de recta? f() f() Qué es? Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 3 8, escribe una ecuación de la parábola en forma de vértice. (Consulta el Ejemplo 1). 3. (, 6) 8 ( 1, 3) pasa por (13, 8) tiene vértice en (3, ) (8, 3) 8 (, 1) 15. ESCRIBIR Eplica cuándo usar la forma de intersección cuándo usar la forma de vértice al escribir una ecuación de una parábola. 16. ANALIZAR ECUACIONES Cuál de las siguientes ecuaciones representa la parábola? ( 1, ) (, ) 6. pasa por ( 7, 15) tiene vértice en ( 5, 9) 7. pasa por (, ) tiene vértice en ( 6, 1) (.5,.5) 8. pasa por (6, 35) tiene vértice en ( 1, 1) En los Ejercicios 9 1, escribe una ecuación de la parábola en forma de intersección. (Consulta el Ejemplo ). 9. (3, ) (, ) 8 (, ) 1. ( 1, ) (, ) (1, ) A = ( )( + 1) B = ( +.5).5 C = (.5).5 D = ( + )( 1) En los Ejercicios 17, escribe una ecuación de la parábola en forma de vértice o en forma de intersección Las intersecciones con el eje de 1 6; pasa por (1, ) 1. Las intersecciones con el eje de 9 1; pasa por (, 18) 13. Las intersecciones con el eje de 16 ; pasa por ( 18, 7) 1. Las intersecciones con el eje de 7 3; pasa por (,.5) 8 Capítulo Funciones cuadráticas Altura (pies) Luz de bengala 16 8 (3, 15) (1, 86) 6 Tiempo (segundos) Altura (pies) Nuevo juego 16 8 (, 18) (1, 16) Tiempo (segundos)

38 19. Salto humano. Altura (pies) (3,.5) (, ) (, ) Distancia (pies) 1. ANÁLISIS DE ERRORES Describe corrige el error cometido al escribir una ecuación de la parábola. ( 1, ) (3, ) (, ) = a( p)( q) = a(3 1)(3 + ) a = 5 = ( 1)( + ) 5. CONEXIONES MATEMÁTICAS El área de un rectángulo se representa por la gráfica donde es el área (en metros cuadrados) es el ancho (en metros). Escribe una ecuación de la parábola. Halla las dimensiones el área correspondiente de un posible rectángulo. Qué dimensiones resultan para el área máima? Área (metros cuadrados) Rectángulos 1 8 (1, 6) (, ) (7, ) 8 Ancho (metros) 3. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Toda cuerda tiene una carga de trabajo segura. No se debería usar una cuerda para elevar un peso maor al de su carga de trabajo segura. La tabla muestra las cargas de trabajo seguras S (en libras) de cuerdas con circunferencia C (en pulgadas). Escribe una ecuación para la carga de trabajo segura de una cuerda que tiene una circunferencia de 1 pulgadas. (Consulta el Ejemplo 3). Circunferencia, C 1 3 Carga de trabajo segura, S Altura (pies) Salto de rana 1..5 (3, 1) ( 1, 5 9 ). Distancia (pies) REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Se lanza una pelota de béisbol al aire. La tabla muestra las alturas (en pies) de la pelota de béisbol después de segundos. Escribe una ecuación de la traectoria de la pelota de béisbol. Halla la altura de la pelota después de 5 segundos. Tiempo, 6 Altura de la pelota de béisbol, COMPARAR MÉTODOS Usas un sistema de tres variables para hallar la ecuación de una parábola que pasa por los puntos ( 8, ), (, ) (1, ). Tu amigo usa la forma de intersección para hallar la ecuación. El método de quién es más fácil? Justifica tu respuesta. 6. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La tabla muestra las distancias a las que un motociclista está de su hogar después de horas. Tiempo (horas), 1 3 Distancia (millas), a. Determina qué tipo de función puedes usar para representar los datos. Eplica tu razonamiento. b. Escribe evalúa una función para determinar la distancia a la que el motociclista está de su hogar después de seis horas. 7. USAR HERRAMIENTAS La tabla muestra las alturas h (en pies) de una esponja t segundos después de ser lanzada por un limpiador de ventanas desde lo alto de un rascacielos. (Consulta el Ejemplo ). Tiempo, t Altura, h a. Usa una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión. Cuál representa mejor los datos, una recta o una parábola? Eplica. b. Usa la función de regresión de tu calculadora para hallar el modelo que se ajuste mejor a los datos. c. Usa el modelo en la parte (b) para predecir cuándo la esponja llegará al suelo. d. Identificar e interpretar el dominio el rango en esta situación. 8. ARGUMENTAR Tu amigo dice que las funciones con las mismas intersecciones con el eje tienen las mismas ecuaciones, el mismo vértice el mismo eje de simetría. Es correcto lo que dice tu amigo? Eplica tu razonamiento. Sección. Representar con funciones cuadráticas 81

39 En los Ejercicios 9 3, analiza las diferencias en las salidas para determinar si los datos son lineales, cuadráticos o ninguno. Eplica. Si son lineales o cuadráticos, escribe una ecuación que se ajuste a los datos Disminución de precio (dólares), Ingresos (cada $1), Tiempo (horas), 1 3 Altura (pies), 6 8 Tiempo (horas), Población (centenas), Tiempo (días), 1 3 Altura (pies), RESOLVER PROBLEMAS La gráfica muestra el número de estudiantes ausentes de la escuela debido a la gripe cada día. 3. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Describe una situación de la vida real que se pueda representar mediante una ecuación cuadrática. Justifica tu respuesta. 35. RESOLVER PROBLEMAS La tabla muestra las alturas de un esquiador acuático de competencia segundos después de saltar desde una rampa. Escribe una función que represente la altura del esquiador acuático en el tiempo. Cuándo está el esquiador acuático a 5 pies sobre el agua? Cuánto tiempo está el esquiador en el aire? Tiempo (segundos), Altura (pies), CÓMO LO VES? Usa la gráfica para determinar si la tasa de cambio promedio sobre cada intervalo es positiva, negativa o cero. 8 6 Epidemia de gripe Número de estudiantes (, 1) (6, 19) Días a. Interpreta el significado del vértice en esta situación. b. Escribe una ecuación de la parábola para predecir el número de estudiantes ausentes en el día 1. c. Compara las tasas de cambio promedio en los estudiantes con gripe desde el día hasta el día 6 desde el día 6 hasta el día a. b. 5 c. d. 37. RAZONAMIENTO REPETIDO La tabla muestra el número de fichas en cada figura. Verifica que los datos muestren una relación cuadrática. Predice el número de fichas en la duodécima figura. Figura 1 Figura Figura 3 Figura Figura 1 3 Número de fichas Mantener el dominio de las matemáticas Factoriza el trinomio. (Manual de revisión de destrezas) Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores Capítulo Funciones cuadráticas

40 .3. Qué aprendiste? Vocabulario Esencial foco, pág. 68 directriz, pág. 68 Conceptos Esenciales Sección.3 Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en el origen, pág. 69 Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en (h, k), pág. 7 Sección. Escribir ecuaciones cuadráticas, pág. 76 Escribir ecuaciones cuadráticas para representar datos, pág. 78 Prácticas matemáticas 1. Eplica el método de solución que utilizaste para resolver el Ejercicio 7 de la página 73.. Eplica cómo usaste las definiciones para derivar la ecuación en el Ejercicio 53 de la página Eplica el método abreviado que hallaste para escribir la ecuación en el Ejercicio 5 de la página 81.. Describe cómo pudiste construir un argumento viable en el Ejercicio 8 de la página 81. Tarea de desempeño Reconstruccion de un accidente El conductor de un carro iba a alta velocidad cuando frenó? Qué revelan las huellas de patinazo en la escena de un accidente acerca de los momentos anteriores a la colisión? Para eplorar las respuestas a estas preguntas más, visita BigIdeasMath.com ` 83

41 Repaso del capítulo Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com.1 Transformaciones de funciones cuadráticas (págs. 7 5) Imagina que la gráfica de g es una traslación 1 unidad hacia la izquierda unidades hacia arriba de la gráfica de f() = + 1. Escribe una regla para g. g() = f( ( 1)) + Resta 1 de la entrada. Suma a la salida. = ( + 1) Reemplaza con + 1 en f(). = + + Simplifica. La función transformada es g() = + +. Describe la transformación de f() = representada por g. Luego haz una gráfica de cada función. 1. g() = ( + ). g() = ( 7) + 3. g() = 3( + ) 1 Escribe una regla para g.. Imagina que la gráfica de g es una reducción horizontal por un factor de, seguida de una 3 traslación 5 unidades hacia la izquierda unidades hacia debajo de la gráfica de f() =. 5. Imagina que la gráfica de g es una traslación unidades hacia la izquierda 3 unidades hacia arriba, seguida por una refleión en el eje de la gráfica de f() =.. Características de las funciones cuadráticas (págs. 55 6) Haz una gráfica de f() = Rotula el vértice el eje de simetría. Paso 1 Identifica los coeficientes a =, b = 8, c = 1. Dado que a >, la parábola se abre hacia arriba. Paso Halla el vértice. Primero calcula la coordenada. = b a = 8 () = Luego halla la coordenada del vértice. f() = () 8() + 1 = 7 Entonces, el vértice es (, 7). Marca este punto. Paso 3 Dibuja el eje de simetría =. Paso Identifica la intersección con el eje c, que es 1. Marca el punto (, 1) su refleión en el eje de simetría, (, 1). Paso 5 Evalúa la función para otro valor de, tal como = 1. f(1) = (1) 8(1) + 1 = 5 Marca el punto (1, 5) su refleión en el eje de simetría, (3, 5). Paso 6 Dibuja una parábola por los puntos trazados. 6 = (, 7) 6 Haz una gráfica de la función. Indica el vértice el eje de simetría. Halla el valor mínimo o máimo de f. Describe dónde la función es ascendente descendente. 6. f() = 3( 1) 7. g() = h() = ( 3)( + 7) 8 Capítulo Funciones cuadráticas

42 .3 Foco de una parábola (págs. 67 7) a. Identifica el foco, la directriz el eje de simetría de 8 =. Haz una gráfica de la ecuación. Paso 1 Reescribe la ecuación en forma estándar 8 = Escribe la ecuación original. = 1 8 Divide cada lado entre 8. Paso Identifica el foco, la directriz el eje de simetría. La ecuación tiene la forma = 1 p, donde p =. El foco es (p, ), o (, ). La directriz es = p, o =. Dado que está elevada al cuadrado, el eje de simetría es el eje. Paso 3 Usa una tabla de valores para hacer una gráfica de la ecuación. Observa que es más fácil sustituir los valores del eje resolver. ± ± ±6.5.5 = 8 (, ) 8 b. Escribe una ecuación de la parábola que se muestra. Dado que el vértice no está en el origen el eje de simetría es vertical, la ecuación tiene la forma = 1 p ( h) + k. El vértice (h, k) es (, 3) el foco (h, k + p) es (, ), entonces h =, k = 3, p = 1. Sustituir estos valores para escribir una ecuación de la parábola. 8 6 foco vértice 1 = (1) ( ) + 3 = 1 ( ) Una ecuación de la parábola es = 1 ( ) Puedes hacer una cocina solar de salchichas dando forma de parábola a un cartón recubierto de papel platina pasando alambre por el foco de cada etremo. Para la figura que se muestra, qué tan lejos del fondo deberá ubicarse el alambre? 1 pulg 1. Haz una gráfica de la ecuación 36 =. Identifica el foco, la directriz el eje de simetría. Escribe una ecuación de la parábola con las características as dadas. 11. vértice: (, ) 1. foco: o: (, ) directriz: = vértice: (, 6) pulg Capítulo Repaso del capítulo 85

43 . Representar con funciones cuadráticas (págs. 75 8) La gráfica muestra la traectoria parabólica de un motociclista acrobático que salta de una rampa, donde es la altura (en pies) es la distancia horizontal recorrida (en pies). Escribe una ecuación de la parábola. El motociclista aterriza en otra rampa a 16 pies de la primera rampa. Cuál es la altura de la segunda rampa? Altura (pies) (, ) (8, 3) Distancia horizontal (pies) Paso 1 Primero escribe una ecuación de la parábola. A partir de la gráfica, puedes ver que el vértice (h, k) es (8, 3) la parábola pasa por el punto (, ). Usa el vértice el punto para resolver a en forma de vértice. = a( h) + k Forma en vértice = a( 8) + 3 Sustitue por h, k,,. 1 = 6a Simplifica. 1 = a Divide cada lado entre 6. 6 Dado que a = 1, h = 8, k = 3, la traectoria se puede representar mediante 6 = 1 6 ( 8) + 3, donde 16. Paso Luego halla la altura de la segunda rampa. = 1 6 (16 8) + 3 Sustitue 16 por. = Simplifica. Entonces, la altura de la segunda rampa es de pies. Escribe una ecuación para la parábola con las características dadas. 13. pasa por (1, 1) tiene vértice (1, ) 1. pasa por (, 3) tiene intersecciones con el eje de pasa por (, 7), (1, 1) (, 7) 16. La tabla muestra las alturas de un objeto que se dejó caer después de segundos. Verifica que los datos muestren una relación cuadrática. Escribe una función que represente los datos. Cuánto tiempo está el objeto en el aire? Tiempo (segundos), Altura (pies), Capítulo Funciones cuadráticas