Funciones exponenciales y logarítmicas

Transcripción

1 6 Funciones eponenciales logarítmicas 6.1 Funciones de crecimiento decremento eponencial 6. La base natural e 6.3 Logaritmos funciones logarítmicas 6. Transformaciones de funciones eponenciales logarítmicas 6.5 Propiedades de los logaritmos 6.6 Resolver ecuaciones eponenciales logarítmicas 6.7 Representar con funciones eponenciales logarítmicas CONSULTAR la Gran Idea La salud de un astronauta (pág. 37) Cocinar (pág. 335) Estudio de grabación (pág. 330) Crecimiento de la lenteja de agua (pág. 301) Velocidad del viento en un tornado (pág. 315)

2 Mantener el dominio de las matemáticas Usar eponentes Ejemplo 1 Evalúa ( 3) 1. ( 3) 1 = ( 3) 1 ( 1 3) ( 1 3) ( 3) 1 Reescribe ( 1 = ( 1 9) ( 3) 1 ( 1 = ( 1 = 1 81 Evalúa la epresión. 7) ( 1 repetida. 3) Multiplica. 3) Multiplica ( ) 5 3. ( 5 6). ( 3 ) 3 Hallar el dominio rango de una función Multiplica. 3) como multiplicación Ejemplo Halla el dominio el rango de la función que se representa en la gráfica rango 3 dominio El dominio es 3 3. El rango es 1. Halla el dominio el rango de la función que se representa en la gráfica RAZONAMIENTO ABSTRACTO Considera las epresiones n ( ) n, donde n es un entero. Para qué valores de n es negativa cada epresión? Y positiva? Eplica tu razonamiento. Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com 93

3 Prácticas matemáticas Modelos eponenciales Concepto Esencial Los estudiantes que dominan las matemáticas saben cuándo es apropiado usar métodos generales métodos abreviados. Prueba de razones consecutivas para modelos eponenciales Considera una tabla de valores de la forma dada a 0 a 1 a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 Si las razones consecutivas de los valores son todas iguales a un valor común r, entonces se puede representar mediante una función eponencial. Si r > 1, el modelo representa un crecimiento eponencial. r = a n+1 an Razón común = a 0 r Modelo eponencial Monitoreo del progreso Determina si los datos se pueden representar mediante una función eponencial o lineal. Eplica tu razonamiento. Luego escribe el modelo apropiado halla si = Representar datos de la vida real La tabla muestra la cantidad A (en dólares) en una cuenta de ahorros a lo largo del tiempo. Escribe un modelo para la cantidad en la cuenta en función del tiempo t (en años). Luego usa un modelo para hallar la cantidad después de 10 años. Año, t Cantidad, A $1000 $100 $ $11.86 $ $ Comienza por determinar si las razones de las cantidades consecutivas son iguales = 1.0, = 1.0, , , Las razones de las cantidades consecutivas son iguales, entonces la cantidad A después de t años se puede modelar mediante A = 1000(1.0) t. Usando este modelo, la cantidad si t = 10 es A = 1000(1.0) 10 = $ Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

4 6.1 Funciones de crecimiento decremento eponencial Pregunta esencial Cuáles son algunas de las características de la gráfica de una función eponencial? Puedes usar una calculadora gráfica para evaluar una función eponencial. Por ejemplo, considera la función eponencial f () =. Valor de la función Tecleo en la calculadora gráfica Representación f ( 3.1) = INTRO f ( 3 ) = /3 ( 3 ) INTRO Identificar gráficas de funciones eponenciales Trabaja con un compañero. Une cada función eponencial con su gráfica. Usa una tabla de valores para dibujar la gráfica de la función, si es necesario. a. f () = b. f () = 3 c. f () = d. f () = ( 1 ) e. f () = ( 1 3 ) f. f () = ( 1 ) A. 6 B. 6 C. 6 D. 6 E. 6 F. 6 CONSTRUIR ARGUMENTOS VIABLES Para dominar las matemáticas, necesitas justificar tus conclusiones comunicarlas a otras personas. Características de gráficas de funciones eponenciales Trabaja con un compañero. Usa las gráficas en la eploración 1 para determinar el dominio, el rango la intersección con el eje de la gráfica de f () = b, donde b es un número real positivo distinto de 1. Eplica tu razonamiento. Comunicar tu respuesta 3. Cuáles son algunas de las características de la gráfica de una función eponencial?. En la Eploración, es posible que la gráfica de f () = b tenga una intersección con el eje? Eplica tu razonamiento. Sección 6.1 Funciones de crecimiento decremento eponencial 95

5 6.1 Lección Qué aprenderás Vocabulario Esencial función eponencial, pág. 96 función de crecimiento eponencial, pág. 96 factor de crecimiento, pág. 96 asíntota, pág. 96 función de decremento eponencial, pág. 96 factor de decremento, pág. 96 Anterior propiedades de los eponentes Hacer una gráfica de la función de crecimiento eponencial la función de decremento Usar modelos eponenciales para resolver problemas de la vida real. Funciones de crecimiento decremento eponencial Una función eponencial tiene la forma = ab, donde a 0 la base b es un número real positivo distinto de 1. Si a > 0 b > 1, entonces = ab es una función de crecimiento eponencial, b se denomina factor de crecimiento. El tipo más sencillo de función de crecimiento eponencial tiene la forma = b. Concepto Esencial Función madre para funciones de crecimiento eponencial La función f () = b, donde b > 1, es la función madre para la familia de funciones de crecimiento eponencial en base b. La gráfica muestra la forma general de una función de crecimiento eponencial. El eje es una asíntota de la gráfica. Una asíntota es la línea a la que la gráfica se aproima cada vez más cerca. (0, 1) f() = b (b > 1) La gráfica se eleva (1, b) desde la izquierda hacia la derecha, pasando por los puntos (0, 1) (1, b). El dominio de f () = b es todos los números reales. El rango es > 0. Si a > 0 0 < b < 1, entonces = ab es una función de decremento eponencial, b se denomina factor de decremento. Concepto Esencial Función madre para funciones de decremento eponencial La función f () = b, donde 0 < b < 1, es la función madre para la familia de las funciones de decremento eponencial en base b. La gráfica muestra la forma general de una función de decremento eponencial. La gráfica cae de izquierda a derecha, pasando por los puntos (0, 1) (1, b). f() = b (0 < b < 1) (0, 1) (1, b) El eje es una asíntota de la gráfica. El dominio de f () = b es todos los números reales. El rango es > Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

6 Hacer gráficas de funciones de crecimiento decremento eponencial Indica si cada función representa crecimiento eponencial o decremento eponencial. Luego haz una gráfica de la función. a. = b. = ( 1 ) a. Paso 1 Identifica el valor de la base. La base,, es maor que 1, entonces la función representa el crecimiento eponencial. Paso Haz una tabla de valores (3, 8) = Paso 3 Marca los puntos de la tabla. 1 (, ) ( 1, Paso Dibuja, de izquierda a derecha, una curva 1 (1, ) suave que comience justo sobre el eje, pase (, (0, 1) por los puntos marcados se desplace hacia arriba a la derecha. b. Paso 1 Identifica el valor de la base. La base, 1, es maor que 0 menor que 1, entonces la función representa el decremento eponencial. Paso Haz una tabla de valores. ( ( Paso 3 Marca los puntos de la tabla. Paso Dibuja, de derecha a izquierda, una curva suave que comience justo sobre el eje, pase por los puntos marcados se desplace hacia arriba a la izquierda. ( 3, 8) (, ) 8 6 ( 1, ) (0, 1) 1 = ( 1 (1, 1 (, ( ( ( Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Indica si la función representa crecimiento eponencial o decremento eponencial. Luego haz una gráfica de la función. 1. =. = ( 3 ) 3. f () = (0.5). f () = (1.5) Modelos eponenciales Algunas cantidades de la vida real aumentan o disminuen en un porcentaje fijo cada año (o algún otro periodo de tiempo). El monto de tal cantidad después de t años se puede representar mediante una de estas ecuaciones. Modelo de crecimiento eponencial = a(1 + r) t Modelo de decremento eponencial = a(1 r) t Observa que a es el monto inicial r es el porcentaje de aumento o disminución escrito como decimal. La cantidad 1 + r es el factor de crecimiento, 1 r es el factor de decremento. Sección 6.1 Funciones de crecimiento decremento eponencial 97

7 Resolver un problema de la vida real RAZONAR CUANTITATIVAMENTE El porcentaje de disminución, 15%, te indica cuánto valor pierde el carro cada año. El factor de decremento, 0.85, te indica qué fracción del valor del carro permanece cada año. El valor de un carro (en miles de dólares) se puede aproimar mediante el modelo = 5(0.85) t, donde t es el número de años desde que el carro era nuevo. a. Indica si el modelo representa el crecimiento eponencial o el decremento eponencial. b. Identifica el porcentaje de aumento o disminución anual en el valor del carro. c. Estima cuándo el valor del carro será de $8000. a. La base, 0.85, es maor que 0 menor que 1, entonces el modelo representa un decremento eponencial. b. Dado que t está dado en años el factor de decremento 0.85 = , el porcentaje de disminución es 0.15, o 15%. 30 c. Usa la función trazar en la calculadora gráfica para determinar que 8 si t = 7. Después de 7 años, = 5(0.85) el valor del carro será de aproimadamente $ X=7 Y= X X=1 Y Escribir un modelo eponencial En el año 000, la población mundial era de aproimadamente 6.09 mil millones. Durante los siguientes 13 años, la población mundial aumentó aproimadamente 1.18% cada año. a. Escribe un modelo de crecimiento eponencial que dé la población (en miles de millones) t años después del año 000. Estima la población mundial en 005. b. Estima el año en el que la población mundial fue de 7 mil millones. a. La cantidad inicial es a = 6.09 el aumento porcentual es r = Entonces, el modelo de crecimiento eponencial es = a(1 + r) t Escribe el modelo de crecimiento eponencial. = 6.09( ) t Sustitue 6.09 por a por r. = 6.09(1.0118) t. Simplifica. Usando este modelo, puedes estimar que la población mundial en 005 (t = 5) es = 6.09(1.0118) mil millones. b. Usa la función tabla de una calculadora gráfica para determinar que 7 si t = 1. Entonces, la población mundial era de aproimadamente 7 mil millones en 01. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 5. QUÉ PASA SI? En el Ejemplo, el valor del carro se puede aproimar mediante el modelo = 5(0.9) t. Identifica la disminución porcentual anual en el valor del carro. Estima cuándo el valor del carro será de $ QUÉ PASA SI? En el Ejemplo 3, presupón que la población mundial aumentó en 1.5% cada año. Escribe una ecuación para representar esta situación. Estima el año en el que la población mundial fue de 7 mil millones. 98 Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

8 Reescribir una función eponencial La cantidad (en gramos) de radioisótopo cromo 51 restante después de t días es = a(0.5) t/8, donde a es la cantidad inicial (en gramos). Qué porcentaje de cromo 51 decrementa cada día? = a(0.5) t/8 Escribe la función original. = a[(0.5) 1/8 ] t Propiedad de la potencia de una potencia a(0.9755) t Evalúa la potencia. = a(1 0.05) t Reescribe en forma = a(1 r) t. La tasa de decremento diaria es de aproimadamente 0.05, o.5%. El interés compuesto es el interés pagado sobre una inversión inicial, llamada principal, sobre el interés anteriormente ganado. El interés ganado se epresa a menudo como un porcentaje anual, pero generalmente el interés se compone más de una vez por año. Entonces, el modelo de crecimiento eponencial = a(1 + r) t debe modificarse para los problemas con interés compuesto. Concepto Esencial Interés compuesto Considera un principal inicial P depositado en una cuenta que paga interés a una tasa anual r (epresada como decimal), compuesta n veces por año. La cantidad A en la cuenta después de t años está dada por A = P ( 1 + r n ) nt. Hallar el balance de una cuenta Depositas $9000 en una cuenta que paga 1.6% de interés anual. Halla el balance después de 3 años si el interés se compone trimestralmente. Con el interés compuesto trimestralmente ( veces por año), el balance después de tres años es A = P ( 1 + r n ) nt = 9000 ( ) Escribe la fórmula de interés compuesto. P = 9000, r = 0.016, n =, t = 3 Usa una calculadora. El balance al final del periodo de tres años es $90.1. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 7. La cantidad (en gramos) del radioisótopo odo 13 restante después de t horas es de = a(0.5) t/13, donde a es la cantidad inicial (en gramos). Qué porcentaje de odo 13 decrementa cada hora? 8. QUÉ PASA SI? En el Ejemplo 5, halla el balance después de 3 años si el interés se compone diariamente. Sección 6.1 Funciones de crecimiento decremento eponencial 99

9 6.1 Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. VOCABULARIO En el modelo de crecimiento eponencial =.(1.5), identifica la cantidad inicial, el factor de crecimiento el aumento porcentual.. CUÁL NO CORRESPONDE? Qué característica de una función de decremento eponencial no corresponde al grupo de las otras tres? Eplica tu razonamiento. base de 0.8 factor de decremento de 0.8 tasa de decremento de 0% disminución de 80% Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 3 8, evalúa la epresión para (a) = (b) = En los Ejercicios 9 18, indica si la función representa crecimiento eponencial o decremento eponencial. Luego haz una gráfica de la función. (Consulta el Ejemplo 1). 9. = = = ( 1 6) 13. = ( 3) 1. = ( 8) 1 1. = ( 5) 15. = (1.) 16. = (0.75) 17. = (0.6) 18. = (1.8) ANALIZAR RELACIONES En los Ejercicios 19 0, usa la gráfica de f() = b para identificar el valor de la base b ( 1, 3 ( 6 (1, 3) (0, 1) 0. 1 ( 1, 5 ( 6 (1, 5) (0, 1) 1. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS El valor de una bicicleta de montaña (en dólares) se puede aproimar mediante el modelo = 00(0.75) t, donde t es el número de años desde que la bicicleta era nueva. (Consulta el Ejemplo ). a. Indica si el modelo representa crecimiento eponencial o decremento eponencial. b. Identifica el aumento o disminución porcentual anual en el valor de la bicicleta. c. Estima cuándo el valor de la bicicleta será de $50.. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La población P (en millares) de Austin, Teas, durante una década reciente, se puede aproimar mediante = 9.9(1.03) t, donde t es el número de años desde el inicio de la década. a. Indica si el modelo representa crecimiento eponencial o decremento eponencial. b. Identifica el aumento o disminución porcentual anual en la población. c. Estima cuándo la población fue de aproimadamente 590, REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS En 006, había aproimadamente 33 millones de suscriptores de telefonía celular en los Estados Unidos. Durante los años siguientes, el número de suscriptores de telefonía celular aumento aproimadamente en un 6% cada año. (Consulta el Ejemplo 3). a. Escribe un modelo de crecimiento eponencial dando el número de suscriptores de telefonía celular (en millones) t años después de 006. Estima el número de suscriptores de telefonía celular en 008. b. Estima el año en el que el número de suscriptores de telefonía celular fue de 78 millones. 300 Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

10 . REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Tomas una dosis de 35 miligramos de ibuprofeno. Durante cada hora siguiente, la cantidad de medicamento en tu torrente sanguíneo disminue en aproimadamente 9% cada hora. a. Escribe un modelo de decremento eponencial que dé la cantidad (en miligramos) de ibuprofeno en tu torrente sanguíneo t horas después de la dosis inicial. b. Estima cuánto tiempo demorarás en tener 100 miligramos de ibuprofeno en tu torrente sanguíneo. JUSTIFICAR LOS PASOS En los Ejercicios 5 6, justifica cada paso al reescribir la función eponencial. 5. = a(3) t/1 Escribe la función original. = a[(3) 1/1 ] t a(1.0816) t = a( ) t 6. = a(0.1) t/3 Escribe la función original. = a[(0.1) 1/3 ] t a(0.6) t = a( ) t 7. RESOLVER PROBLEMAS Cuando muere una planta o un animal, deja de adquirir carbono 1 de la atmósfera. La cantidad (en gramos) de carbono 1 en el cuerpo de un organismo después de t años es = a(0.5) t/5730, donde a es la cantidad inicial (en gramos). Qué porcentaje de carbono 1 se libera cada año? (Consulta el Ejemplo ). 8. RESOLVER PROBLEMAS El número de hojas de una lenteja de agua en un estanque después de t días es = a(130.5) t/16, donde a es el número inicial de hojas. En qué porcentaje crece la lenteja de agua por día? 33. = a( 3 ) t/10 3. = a( 5 ) t/ 35. = a() 8t 36. = a( 1 3 ) 3t 37. RESOLVER PROBLEMAS Depositas $5000 en una cuenta que paga.5% de interés anual. Halla el balance después de 5 años, si el interés se compone trimestralmente. (Consulta el Ejemplo 5). 38. SACAR CONCLUSIONES Depositas $00 en tres cuentas bancarias independientes, cada una de las cuales paga 3% de interés anual. Cuánto interés gana cada cuenta después de 6 años? Cuenta Capitalización 1 trimestral mensual 3 diario Balance después de 6 años 39. ANÁLISIS DE ERRORES Inviertes $500 en las acciones de una compañía. El valor de las acciones disminue % cada año. Describe corrige el error al escribir un modelo para el valor de las acciones después de t años. = ( cantidad inicial = 500(0.0) t t Factor )( decremento) 0. ANÁLISIS DE ERRORES Depositas $50 en una cuenta que paga 1.5% de interés anual. Describe corrige el error al hallar el balance después de 3 años, si el interés se compone trimestralmente. A = 50 ( ) 3 A = $ En los Ejercicios 1, usa la información dada para hallar la cantidad A en la cuenta que gana interés compuesto después de 6 años, si el principal es de $3500. En los Ejercicios 9 36, reescribe la función en la forma = a(1 + r) t o = a(1 r) t. Luego epresa la tasa de crecimiento o decremento. 9. = a() t/3 30. = a() t/6 31. = a(0.5) t/1 3. = a(0.5) t/9 1. r =.16%, compuesta trimestralmente.. r =.9%, compuesta mensualmente 3. r = 1.83%, compuesta diariamente. r = 1.6%, compuesta mensualmente Sección 6.1 Funciones de crecimiento decremento eponencial 301

11 ( 5. USAR LA ESTRUCTURA Un sitio web registró el número de referidos que recibió de los sitios web de los medios sociales durante un periodo de 10 años. Los resultados se pueden representar mediante = 500(1.50) t, donde t es el año 0 t 9. Interpreta los valores de a b en esta situación. Cuál es el porcentaje de aumento anual? Eplica. 6. CÓMO LO VES? Considera la gráfica de una función eponencial de la forma f () = ab. 50. RAZONAR Considera la función eponencial f () = ab. f ( + 1) a. Demuestra que = b. f () b. Usa la ecuación en la parte (a) para eplicar por qué no ha función eponencial de la forma f () = ab cua gráfica pase por los puntos en la tabla a continuación ( 1, ) (0, 1) (1, 1 (, ( RESOLVER PROBLEMAS El número E de huevos que produce una gallina Leghorn por año se puede representar mediante la ecuación E = 179.(0.89) w/5, donde w es la edad (en semanas) de las gallinas w. a. Determina si la gráfica de f representa crecimiento eponencial o decremento eponencial. b. Cuál es el dominio el rango de la función? Eplica. 7. ARGUMENTAR Tu amigo dice que la gráfica de f () = aumenta a maor velocidad que la gráfica de g () = si 0. Es correcto lo que dice tu amigo? Eplica tu razonamiento. 8 g 0 0 a. Identifica el factor de decremento el porcentaje de disminución. b. Haz una gráfica del modelo. c. Estima la producción de huevos de una gallina de.5 años de edad. d. Eplica cómo puedes reescribir la ecuación dada de manera que el tiempo se mida en años en lugar de semanas. 8. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO La función f () = b representa una función de decremento eponencial. Escribe una segunda función de decremento eponencial en términos de b. 9. RESOLVER PROBLEMAS La población p de una pequeña ciudad después de años se puede representar mediante la función p = 6850(1.03). Cuál es la tasa de cambio promedio en la población durante los primeros 6 años? Justifica tu respuesta. Mantener el dominio de las matemáticas Simplifica la epresión. (Manual de revisión de destrezas) PENSAMIENTO CRÍTICO Compras un nuevo sistema estereofónico por $1300 años después logras venderlo por $75. Presupón que el valor de reventa del sistema estereofónico decrementa eponencialmente con el tiempo. Escribe una ecuación que dé el valor de reventa V (en dólares) del sistema estereofónico como función del tiempo t (en años) desde que lo compraste. Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores ( ) ( 35 ) 3 30 Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

12 6. USAR HERRAMIENTAS ESTRATÉGICAMENTE Para dominar las matemáticas, necesitas usar herramientas tecnológicas para eplorar profundizar tu comprensión de los conceptos. La base natural e Pregunta esencial Qué es la base natural e? Hasta ahora, en tus estudios de matemáticas, has trabajado con números especiales como π e i. Otro número especial se denomina base natural se denota mediante e. La base natural e es irracional, entonces no puedes hallar su valor eacto. Aproimar la base natural e Trabaja con un compañero. Una manera de aproimar la base natural e es aproimar la suma Usa una hoja de cálculo o una calculadora gráfica para aproimar esta suma. Eplica los pasos que usaste. Cuántos lugares decimales usaste en tu aproimación? Aproimar la base natural e Trabaja con un compañero. Otra manera de aproimar la base natural e es considerar la epresión ( ). Al aumentar, el valor de esta epresión se acerca al valor de e. Copia completa la tabla. Luego usa los resultados en la tabla para aproimar e. Compara esta aproimación con la que obtuviste en la Eploración ( ) Hacer una gráfica de una función de base natural Trabaja con un compañero. Usa tu valor aproimado de e en la Eploración 1 o para completar la tabla. Luego dibuja la gráfica de la función eponencial de la base natural = e. Puedes usar una calculadora gráfica la tecla e para verificar tu gráfica. Cuáles son el dominio el rango de = e? Justifica tu respuesta = e Comunicar tu respuesta. Cuál es la base natural e? 5. Repite la Eploración 3 para la función eponencial de la base natural = e. Luego compara la gráfica de = e con la gráfica de = e. 6. La base natural e se usa en una amplia gama de aplicaciones en la vida real. Consulta en Internet u otra referencia para investigar algunas de las aplicaciones de e en la vida real. Sección 6. La base natural e 303

13 6. Lección Qué aprenderás Vocabulario Esencial base natural e, pág. 30 Anterior número irracional propiedades de los eponentes porcentaje de aumento porcentaje de disminución interés compuesto Definir usar la base natural e. Hacer una gráfica de las funciones de base natural. Resolver problemas de la vida real. La base natural e La historia de las matemáticas está marcada por el descubrimiento de números especiales, tales como π e i. Otro número especial se denota mediante la letra e. El número se denomina base natural e. La epresión ( ) se acerca a e al aumentar, tal como se muestra en la gráfica en la tabla. 3 1 = e 1 = ( ( ( ) Concepto Esencial La base natural e La base natural e es irracional. Se define de la siguiente manera: Al aproimarse a +, ( ) se aproima a e Simplificar epresiones de base natural Verifica Puedes usar una calculadora para verificar la equivalencia de las epresiones numéricas que incluen e. e^(3)*e^(6) e^(9) Simplifica cada epresión. a. e 3 e 6 b. 16e5 e c. (3e ) a. e 3 e 6 = e b. 16e5 e = e5 c. (3e ) = 3 (e ) = e 9 = e = 9e 8 = 9 e 8 Monitoreo del progreso Simplifica la epresión. Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 1. e 7 e. e8 8e 5 3. (10e 3 ) 3 30 Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

14 Hacer una gráfica de las funciones de base natural Concepto Esencial Funciones de base natural A una función de la forma = ae r se le denomina función eponencial de base natural. Cuando a > 0 r > 0, la función es una función de crecimiento eponencial. Cuando a > 0 r < 0, la función es una función de decremento eponencial. Se muestran las gráficas de las funciones básicas = e = e. 7 crecimiento 5 eponencial 3 (0, 1) = e (1,.718) 7 5 = e 3 (0, 1) decremento eponencial (1, 0.368) Hacer una gráfica de las funciones de base natural BUSCAR UNA ESTRUCTURA Puedes reescribir las funciones eponenciales de base natural para hallar porcentajes de tasas de cambio. En el Ejemplo (b), f () = e 0.5 = (e 0.5 ) (0.6065) = ( ). Entonces, el porcentaje de disminución es de aproimadamente 39.35%. Indica si cada función representa crecimiento eponencial o decremento eponencial. Luego grafica la función. a. = 3e b. f () = e 0.5 a. Dado que a = 3 es positiva b. Dado que a = 1 es positiva r = 1 es positiva, la función r = 0.5 es negativa, la función es una función de crecimiento es una función de decremento eponencial. Usa una tabla para eponencial. Usa una tabla para hacer la gráfica de la función. hacer la gráfica de la función ( 1, 1.10) 16 1 (, 0.1) (0, 3) 8 (1, 8.15) (,.7) (, 7.39) 6 (0, 1) (, 0.37) Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Indica si la función representa crecimiento eponencial o decremento eponencial. Luego, grafica la función.. = 1 e 5. = e 6. f () = e Sección 6. La base natural e 305

15 Resolver problemas de la vida real Has aprendido que el balance de una cuenta que gana interés compuesto está dado por A = P ( 1 + n) r nt. Al acercarse la frecuencia n de composición al infinito positivo, la fórmula del interés compuesto se aproima a la fórmula siguiente. Concepto Esencial Interés compuesto continuamente Cuando el interés se compone continuamente la cantidad A en una cuenta después de t años está dada por la fórmula A = Pe rt Donde P es el principal r es la tasa de interés anual epresada como decimal. Representar con matemáticas Balance (dólares) La cuenta de tu amigo A 1,000 10,000 8,000 6,000,000 (0, 000), HACER CONJETURAS t Año También puedes usar este razonamiento para llegar a la conclusión de que la cuenta de tu amigo tiene una tasa de interés anual maor que tu cuenta. Tu amigo tú tienen cada uno una cuenta que gana interés anual compuesto continuamente. El balance A (en dólares) de tu cuenta después de t años se puede representar mediante A = 500e 0.0t. La gráfica muestra el balance de la cuenta de tu amigo en el tiempo. Qué cuenta tiene un principal maor? Cuál de ellas tiene un maor balance después de 10 años? 1. Entiende el Problema Te dan una gráfica una ecuación que representa balances de cuenta. Te piden que identifiques la cuenta que tiene el maor principal la cuenta que tiene el maor balance después de 10 años.. Haz un Plan Usa la ecuación para hallar tu principal tu balance de cuenta después de 10 años. Luego compara estos valores con la gráfica de la cuenta de tu amigo. 3. Resuelve el Problema La ecuación A = 500e 0.0t es de la forma A = Pe rt, donde P = 500. Entonces, tu principal es $500. Tu balance A si t = 10 es A = 500e 0.0(10) = $ Dado que la gráfica pasa por (0, 000), el principal de tu amigo es $000. La gráfica muestra también que el balance es de aproimadamente $750 si t = 10. Entonces, tu cuenta tiene un maor principal, pero la cuenta de tu amigo tiene un maor balance después de 10 años.. Verifícalo Dado que la cuenta de tu amigo tiene un menor principal pero un maor balance después de 10 años, la tasa de cambio promedio de t = 0 hasta t = 10 debería ser maor para la cuenta de tu amigo que para tu cuenta. Tu cuenta: La cuenta de tu amigo: Monitoreo del progreso A(10) A(0) 10 0 A(10) A(0) = = = Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 7. Depositas $50 en una cuenta que gana 5% de interés anual compuesto continuamente. Compara el balance después de 10 años con la cuenta en el Ejemplo Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

16 6. Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. VOCABULARIO Qué es la base natural e?. ESCRIBIR Indica si la función f () = 1 3 e representa crecimiento eponencial o decremento eponencial. Eplica. Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 3 1, simplifica la epresión. (Consulta el Ejemplo 1). 3. e 3 e5. e e6 ANALIZAR ECUACIONES En los Ejercicios 3 6, une la función con su gráfica. Eplica tu razonamiento. 3. = e. = e 5. 11e 9 e e 7 3e 7. (5e 7 ) 8. (e ) e e e e 6 e8 1. e e e + 3 ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 13 1, describe corrige el error al simplificar la epresión (e 3 ) = e (3)() e 5 = e 6 = e 5 e = e 3 5. = e = 0.75e A. B. 8 8 ( 1, 7.39) 6 ( 1, 6.59) 1 (0, 1) C. 8 D (0, 0.75) (1,.0) (0, ) (1, 7.39) (0, 1) En los Ejercicios 15, indica si la función representa crecimiento eponencial o decremento eponencial. Luego haz una gráfica de la función. (Consulta el Ejemplo ). 15. = e = e 17. = e 18. = 3e 19. = 0.5e 0. = 0.5e 3 1. = 0.e 0.5. = 0.6e 0.5 USAR LA ESTRUCTURA En los Ejercicios 7 30, usa las propiedades de los eponentes para reescribir la función en la forma = a(1 + r) t o = a(1 r) t. Luego halla la tasa promedio de cambio. 7. = e 0.5t 8. = e 0.75t 9. = e 0.t 30. = 0.5e 0.8t USAR HERRAMIENTAS En los Ejercicios 31 3, usa la tabla de valores o una calculadora gráfica para hacer la gráfica de la función. Luego identifica el dominio el rango. 31. = e 3. = e = e = 3e 5 Sección 6. La base natural e 307

17 35. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Las cuentas de inversión para una casa educación ganan interés anual compuesto continuamente. El balance H (en dólares) de fondos para una casa después de t años, se representa por H = 3e 0.05t. La gráfica muestra el balance en el fondo educativo en el tiempo. Qué cuenta tiene el maor principal? Qué cuenta tiene un maor balance después de 10 años? (Consulta el Ejemplo 3). H 10,000 Cuenta de educación 38. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Eplica por qué A = P ( 1 + r n ) nt se aproima a A = Pe rt cuando n se aproima al infinito positivo. 39. ESCRIBIR Se puede escribir la base natural e como la razón de dos enteros? Eplica. 0. ARGUMENTAR Tu amigo evalúa f () = e si = 1000 llega a la conclusión de que la gráfica de = f () tiene una intersección con el eje en (1000, 0). Es correcto lo que dice tu amigo? Eplica tu razonamiento. Balance (dólares) 8,000 6,000,000, (0, 856) t Año 36. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS El tritio el sodio decrementan con el tiempo. En una muestra de tritio, la cantidad (en miligramos) restante después de t años, está dada por = 10e 0.056t. La gráfica muestra la cantidad de sodio en una muestra en el tiempo. Qué muestra comenzó con una cantidad maor? Cuál tiene una cantidad maor después de 10 años? 1. SACAR CONCLUSIONES Inviertes $500 en una cuenta para ahorrar para la universidad. La cuenta 1 paga 6% de interés anual compuesto trimestralmente. La cuenta paga % de interés anual compuesto continuamente. Qué cuenta deberías elegir para obtener la maor cantidad de dinero en 10 años? Justifica tu respuesta.. CÓMO LO VES? Usa la gráfica para completar cada enunciado. a. f () se aproima a cuando se acerca a +. f b. f () se aproima a como se aproima a. Cantidad (miligramos) Decremento del sodio t Año 37. FINAL ABIERTO Halla valores de a, b, r, q tales que f () = ae r g() = be q sean funciones de decremento eponencial, pero f () represente g() crecimiento eponencial. 3. RESOLVER PROBLEMAS El crecimiento de bacterias de Mcobacterium tuberculosis se puede representar mediante la función N(t) = ae 0.166t, donde N es el número de células después de t horas a es el número de células si t = 0. a. A la 1:00 p.m., ha 30 bacterias M. tuberculosis en una muestra. Escribe una función que dé el número de bacterias después de la 1:00 p.m. b. Usa una calculadora gráfica para hacer la gráfica de la función en la parte (a). c. Describe cómo hallar el número de células en la muestra a las 3:5 p.m. Mantener el dominio de las matemáticas Escribe el número en notación científica. (Manual de revisión de destrezas) ,000, Halla el inverso de la función. Luego haz una gráfica de la función su inverso. (Sección 5.6) 8. = = 1, = = 3 Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores 308 Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

18 6.3 Logaritmos funciones logarítmicas Pregunta esencial Cuáles son algunas de las características de la gráfica de una función logarítmica? Toda función eponencial de la forma f () = b, donde b es un número real positivo distinto de 1, tiene una función inversa que puedes denotar mediante g() = log b. Esta función inversa se denomina función logarítmica en base b. Reescribir ecuaciones eponenciales Trabaja con un compañero. Halla el valor de en cada ecuación eponencial. Eplica tu razonamiento. Luego usa el valor de para reescribir la ecuación eponencial en su forma logarítmica equivalente, = log b. a. = 8 b. 3 = 9 c. = d. 5 = 1 e. 5 = 1 5 f. 8 = Hacer gráficas de funciones eponenciales logarítmicas Trabaja con un compañero. Completa cada tabla para la función eponencial dada. Usa los resultados para completar la tabla para la función logarítmica dada. Eplica tu razonamiento. Luego dibuja las gráficas para f g en el mismo plano de coordenadas. a f () = g () = log b f () = 10 CONSTRUIR ARGUMENTOS VIABLES Para dominar las matemáticas, necesitas justificar tus conclusiones comunicarlas a otros. g () = log Características de las gráficas de funciones logarítmicas Trabaja con un compañero. Usa las gráficas que dibujaste en la Eploración para determinar el dominio, el rango, la intersección con el eje la asíntota de la gráfica de g() = log b, donde b es un número real positivo distinto de 1. Eplica tu razonamiento. Comunicar tu respuesta. Cuáles son algunas de las características de la gráfica de una función logarítmica? 5. Cómo puedes usar la gráfica de una función eponencial para obtener la gráfica de una función logarítmica? Sección 6.3 Logaritmos funciones logarítmicas 309

19 6.3 Lección Qué aprenderás Vocabulario Esencial logaritmo de en base b, pág. 310 logaritmo común, pág. 311 logaritmo natural, pág. 311 Anterior funciones inversas Definir evaluar logaritmos Usar las propiedades inversas de las funciones logarítmicas eponenciales. Hacer gráficas de funciones logarítmicas. Logaritmos Sabes que = 3 = 8. Sin embargo, para qué valor de, = 6? Los matemáticos definen este valor de con un logaritmo escriben = log 6. La definición de un logaritmo se puede generalizar de la siguiente manera. Concepto Esencial Definición de logaritmo en base b Imagina que b son números reales positivos con b 1. El logaritmo de en base b se denota mediante log b se define como log b = si solo si b =. La epresión log b se lee como logaritmo base b de. Esta definición te indica que las ecuaciones log b = b = son equivalentes. La primera está en forma logarítmica la segunda está en forma eponencial. Reescribir ecuaciones logarítmicas Reescribe cada ecuación en forma eponencial. a. log 16 = b. log 1 = 0 c. log 1 1 = 1 d. log 1/ = 1 Forma logarítmica Forma eponencial a. log 16 = = 16 b. log 1 = 0 0 = 1 c. log 1 1 = = 1 d. log 1/ = 1 ( 1 ) 1 = Reescribir ecuaciones eponenciales Reescribe cada ecuación en forma logarítmica a. 5 = 5 b = 0.1 c. 8 /3 = d. 6 3 = 1 16 Forma eponencial Forma logarítmica a. 5 = 5 log 5 5 = b = 0.1 log = 1 c. 8 /3 = log 8 = 3 d. 6 3 = 1 16 log = Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

20 Las partes (b) (c) del Ejemplo 1 ejemplifican dos valores de logaritmos especiales que deberías aprender a reconocer. Imagina que b es un número real positivo tal que b 1. Logaritmo de 1 Logaritmo de b en base b log b 1 = 0 dado que b 0 = 1. log b b = 1 dado que b 1 = b. Evaluar epresiones logarítmicas Evalúa cada logaritmo. a. log 6 b. log 5 0. c. log 1/5 15 d. log 36 6 Para audarte a hallar el valor de log b, pregúntate qué potencia de b te da. a. Qué potencia de te da 6? 3 = 6, entonces log 6 = 3. b. Qué potencia de 5 te da 0.? 5 1 = 0., entonces log 5 0. = 1. c. Qué potencia de 1 5 te da 15? ( 1 5 ) 3 = 15, entonces log 1/5 15 = 3. d. Qué potencia de 36 te da 6? 36 1/ = 6, entonces log 36 6 = 1. Un logaritmo común es un logaritmo en base 10. Se denota mediante log 10 o simplemente mediante log. Un logaritmo natural es un logaritmo en base e. Se puede denotar mediante log e pero generalmente se denota mediante ln. Logaritmo común log 10 = log Logaritmo natural log e = ln Evaluar logaritmos comunes naturales Evalúa (a) log 8 (b) ln 0.3 usando una calculadora. Redondea tu respuesta a tres lugares decimales. Verifica 10^(0.903) e^(-1.0) La maoría de calculadoras tienen teclas para evaluar logaritmos comunes naturales. a. log b. ln Verifica tus respuestas reescribiendo cada logaritmo en forma eponencial evaluando. log(8) ln(0.3) Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Reescribe la ecuación en forma eponencial. 1. log 3 81 =. log 7 7 = 1 3. log 1 1 = 0. log 1/ 3 = 5 Reescribe la ecuación en forma logarítmica = = = /8 = Evalúa el logaritmo. Si es necesario, usa una calculadora redondea tu respuesta a tres lugares decimales. 9. log log log 1 1. ln 0.75 Sección 6.3 Logaritmos funciones logarítmicas 311

21 Usar las propiedades inversas Por la definición de un logaritmo, se deduce que la función logarítmica g() = log b es el inverso de la función eponencial f () = b. Esto significa que g( f ()) = log b b = f (g()) = b log b =. En otras palabras, las funciones eponenciales las funciones logarítmicas se cancelan entre sí. Simplifica (a) 10 log (b) log 5 5. Usar las propiedades inversas a. 10 log = b logb = b. log 5 5 = log 5 (5 ) Epresa 5 como potencia de base 5. = log 5 5 Propiedad de la potencia de una potencia = log b b = Hallar las funciones inversas Halla el inverso de cada función. a. f () = 6 b. = ln( + 3) a. Basándose en la definición de logaritmo, el inverso de f () = 6 es g() = log 6. b. = ln( + 3) Escribe la función original. = ln( + 3) Intercambia por. e = + 3 e 3 = Escribe en forma eponencial. Resta 3 de cada lado. El inverso de = ln( + 3) es = e 3. Verifica a. f (g()) = 6 log 6 = b. g( f ()) = log 6 6 = 6 = ln( + 3) 6 = e 3 Las gráficas parecen ser refleiones una de otra en la línea =. Monitoreo del progreso Simplifica la epresión. Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 31 Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas log 8 1. log log eln Halla el inverso de =. 18. Halla el inverso de = ln( 5).

22 Hacer gráficas de funciones logarítmicas Puedes usar la relación inversa entre las funciones eponenciales las funciones logarítmicas para hacer la gráfica de las funciones logarítmicas. Concepto Esencial Gráficas madre de funciones logarítmicas La gráfica de f () = log b se muestra a continuación para b > 1 para 0 < b < 1. Dado que f () = log b g() = b son funciones inversas, la gráfica de f () = log b es la refleión de la gráfica g() = b en la línea =. Haz una gráfica de f () = log b Haz una gráfica de f () = log b para b > 1. para 0 < b < 1. g() = b (0, 1) (1, 0) g() = b (0, 1) (1, 0) f() = log b f() = log b Observa que el eje es una asíntota vertical de la gráfica de f () = log b. El dominio de f () = log b es > 0, el rango es todos los números reales. Haz una gráfica de f () = log 3. Hacer una gráfica de una función logarítmica Paso 1 Halla el inverso de f. Basándote en la definición de logaritmo, el inverso de f () = log 3 es g() = 3. Paso Haz una tabla de valores para g() = g() Paso 3 Marca los puntos de la tabla conéctalos con una curva suave. Paso Dado que f () = log 3 g() = 3 son funciones inversas, la gráfica de f se obtiene al reflejar la gráfica de g en la línea =. Para hacer esto, invierte las coordenadas de los puntos en g marca estos puntos nuevos en la gráfica de f g() = f() = log 3 Monitoreo del progreso Haz una gráfica de la función. Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 19. = log 0. f () = log 5 1. = log 1/ Sección 6.3 Logaritmos funciones logarítmicas 313

23 6.3 Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. COMPLETAR LA ORACIÓN Un logaritmo en base 10 se llama logaritmo.. COMPLETAR LA ORACIÓN La epresión log 3 9 se lee como. 3. ESCRIBIR Describe la relación entre = 7 = log 7.. DISTINTAS PALABRAS, LA MISMA PREGUNTA Cuál es diferente? Halla ambas respuestas. Qué potencia de te da 16? Cuál es el logaritmo en base de 16? Evalúa. Evalúa log 16. Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 5 10, reescribe la ecuación en forma eponencial. (Consulta el Ejemplo 1). 5. log 3 9 = 6. log = 1 7. log 6 1 = 0 8. log 7 33 = 3 9. log 1/ 16 = 10. log = 1 En los Ejercicios 11 16, reescribe la ecuación en forma logarítmica. (Consulta el Ejemplo ) = = = = /3 = / = 7 En los Ejercicios 17, evalúa el logaritmo. (Consulta el Ejemplo 3). 17. log log log log 1/ 1 En los Ejercicios 7 3, evalúa el logaritmo usando una calculadora. Redondea tu respuesta a tres lugares decimales. (Consulta el Ejemplo ). 7. log 6 8. ln 1 9. ln log ln log REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Los paracaidistas usan un instrumento llamado altímetro para hacer seguimiento de su altitud al caer. El altímetro determina la altitud midiendo la presión del aire. La altitud h (en metros) sobre el nivel del mar está relacionada con la presión P (en pascales) por la función que se muestra en el diagrama. Cuál es la altitud sobre el nivel del mar cuando la presión del aire es 57,000 pascales? P h = 8005 ln 101,300 h = 738 m P = 0,000 Pa 1. log log log 0.5. log h = 355 m P = 65,000 Pa h =? P = 57,000 Pa Dibujo no hecho a escala 5. SENTIDO NUMÉRICO Ordena los logaritmos de menor valor a maor valor. log 5 3 log 6 38 log 7 8 log ESCRIBIR Eplica por qué las epresiones log ( 1) log 1 1 son indefinidas. 3. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS El valor ph de una sustancia mide qué tan ácida o alcalina es la sustancia. Está dado mediante la fórmula ph = log[h + ], donde H + es la concentración de iones de hidrógeno (en moles por litro). Halla el ph de cada sustancia. a. bicarbonato de sodio: [H + ] = 10 8 moles por litro b. vinagre: [H + ] = 10 3 moles por litro 31 Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

24 En los Ejercicios 35 0, simplifica la epresión. (Consulta el Ejemplo 5) log log e ln log log ln e ANÁLISIS DE ERRORES Describe corrige el error al reescribir 3 = 1 en forma logarítmica. 6 log ( 3) = 1 6. ANÁLISIS DE ERRORES Describe corrige el error al simplificar la epresión log 6. log 6 = log (16 ) = log ( ) = log + = + En los Ejercicios 3 5, halla el inverso de la función. (Consulta el Ejemplo 6). 3. = 0.3. = = log 6. = log 1/5 7. = ln( 1) 8. = ln 9. = e = e 51. = = 13 + log 53. RESOLVER PROBLEMAS La velocidad del viento s (en millas por hora) cerca del centro de un tornado se puede representar mediante s = 93 log d + 65, donde d es la distancia (en millas) que recorre el tornado. a. En 195, un tornado recorrió 0 millas a través de tres estados. Estima la velocidad del viento cerca del centro del tornado. b. Halla el inverso de la función dada. Describe lo que representa el inverso. 5. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La magnitud de energía M de un terremoto se puede representar mediante M = log E 9.9, donde E es la cantidad 3 de energía liberada (en ergios). Placa tectónica del Pacífico línea de falla Isla japonesa Honshu Placa tectónica euroasiática a. En 011, un fuerte terremoto en Japón causado por el deslizamiento de dos placas tectónicas a lo largo de una falla, liberó ergios. Cuál fue la magnitud de energía del terremoto? b. Halla el inverso de la función dada. Describe lo que representa el inverso. En los Ejercicios 55 60, haz una gráfica de la función. (Consulta el Ejemplo 7). 55. = log 56. = log = log 1/3 58. = log 1/ 59. = log = log 3 ( + ) USAR HERRAMIENTAS En los Ejercicios 61 6, usa una calculadora gráfica para hacer la gráfica de la función. Determina el dominio, el rango la asíntota de la función. 61. = log( + ) 6. = ln 63. = ln( ) 6. = 3 log 65. ARGUMENTAR Tu amigo dice que toda función logarítmica pasará por el punto (1, 0). Es correcto lo que dice tu amigo? Eplica tu razonamiento. 66. ANALIZAR RELACIONES Clasifica las funciones en orden desde la menor tasa de cambio promedio hasta la maor tasa de cambio promedio sobre el intervalo a. = log 6 b. = log 3/5 c. 8 f d. 8 8 g Sección 6.3 Logaritmos funciones logarítmicas 315

25 67. RESOLVER PROBLEMAS Los biólogos han hallado que la longitud (en pulgadas) de un caimán su peso w (en libras) están relacionados mediante la función = 7.1 ln w RESOLVER PROBLEMAS Un estudio en Florida halló que el número s de especies de peces en un estanque o lago se puede modelar mediante la función s = log A + 3.8(log A) donde A es el área (en metros cuadrados) del estanque o lago. a. Usa una calculadora gráfica para hacer la gráfica de la función. b. Usa tu gráfica para estimar el peso de un caimán de 10 pies de longitud. c. Usa la función cero para hallar la intersección con el eje de la gráfica de una función. Este valor tiene sentido en el conteto de la situación? Eplica. 68. CÓMO LO VES? La figura muestra las gráficas de las dos funciones f g. f 6 a. Compara el comportamiento final de la función logarítmica g con el de la función eponencial f. b. Determina si las funciones son funciones inversas. Eplica. c. Cuál es la base de cada función? Eplica. g a. Usa una calculadora gráfica para hacer la gráfica de la función en el dominio 00 A 35,000. b. Usa tu gráfica para estimar el número de especies en un lago con un área de 30,000 metros cuadrados. c. Usa tu gráfica para estimar el área de un lago que contiene seis especies de peces. d. Describe lo que pasa con el número de especies de peces cuando el área de un estanque o lago aumenta. Eplica por qué tiene sentido tu respuesta. 70. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Escribe una función logarítmica que tenga un valor de salida de. Luego dibuja la gráfica de tu función. 71. PENSAMIENTO CRÍTICO Evalúa cada logaritmo. (Consejo: para cada log b, reescribe b como potencias de la misma base.) a. log 15 5 b. log 8 3 c. log 7 81 d. log 18 Mantener el dominio de las matemáticas Imagina que f () = 3. Escribe una regla para g que represente la transformación indicada en la gráfica de f. (Sección 5.3) 7. g() = f () 73. g() = f ( 1 ) 7. g() = f ( ) g() = f ( + ) Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores Identifica la familia de funciones a la que pertenece f. Compara la gráfica de f con la gráfica de su función madre. (Sección 1.1) f f f 316 Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas

26 6. Transformaciones de funciones eponenciales logarítmicas Pregunta esencial Cómo puedes transformar las gráficas de las funciones eponenciales las funciones logarítmicas? Identificar transformaciones Trabaja con un compañero. Cada gráfica que se muestra es una transformación de la función madre f () = e o f () = ln. Une cada función con su gráfica. Eplica tu razonamiento. Luego describe la transformación de f representada por g. a. g() = e + 3 b. g() = e c. g() = e 1 d. g() = ln( + ) e. g() = + ln f. g() = + ln( ) A. B. C. D. E. F. RAZONAR CUANTITATIVAMENTE Para dominar las matemáticas, necesitas ver si las cantidades sus relaciones en las situaciones de los problemas tienen sentido. Características de las gráficas Trabaja con un compañero. Determina el dominio, el rango la asíntota de cada función en la Eploración 1. Justifica tus respuestas. Comunicar tu respuesta 3. Cómo puedes transformar las gráficas de las funciones eponenciales las funciones logarítmicas?. Halla el inverso de cada función en la función en la Eploración 1. Luego verifica tu respuesta usando una calculadora gráfica para hacer la gráfica de cada función su inverso en la misma ventana de visualización. Sección 6. Transformaciones de funciones eponenciales logarítmicas 317

27 6. Lección Qué aprenderás Vocabulario Esencial Anterior función eponencial función logarítmica transformaciones Transformar gráficas de funciones eponenciales. Transformar gráficas de funciones logarítmicas. Escribir transformaciones de gráficas de funciones eponenciales funciones logarítmicas. Transformar gráficas de funciones eponenciales Puedes transformar gráficas de funciones logarítmicas funciones eponenciales de la misma manera en la que transformaste gráficas de funciones en capítulos anteriores. A continuación se muestran ejemplos de transformaciones de la gráfica de f () =. Concepto Esencial Transformaciones Notación f() Ejemplos Traslación horizontal La gráfica se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha. Traslación vertical La gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo. Refleión La gráfica se invierte en el eje o en el eje. Alargamiento o encogimiento horizontal La gráfica se alarga desde o se encoge hacia el eje. Alargamiento o encogimiento vertical La gráfica se alarga desde o se encoge hacia el eje. Describe la transformación de f () = ( 1 Luego haz una gráfica de cada función. f( h) f() + k f( ) f() f(a) a f() Trasladar una función eponencial ) g() = 3 g() = + g() = + 5 g() = 1 g() = g() = g() = g() = / g() = 3( ) representada mediante g() = ( 1 3 unidades hacia la derecha unidades hacia la izquierda 5 unidades hacia arriba 1 unidad hacia abajo en el eje en el eje se encoge por un factor de 1 se alarga por un factor de se alarga por un factor de 3 g() = 1 ( ) se encoge por un factor de 1 ). CONSEJO DE ESTUDIO Observa en la gráfica que la traslación vertical también desplazó la asíntota unidades hacia abajo, entonces el rango de g es >. ) Observa que la función es de la forma g() = ( 1 + k. Reescribe la función para identificar k. g() = ( 1 g f + ( ) ) Dado que k =, la gráfica de g es una traslación unidades hacia debajo de la gráfica de f. k Capítulo 6 Funciones eponenciales logarítmicas