PARÁBOLA UNIDAD IX IX.1 DEFINICIÓN DE PARÁBOLA

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1 PARÁBOLA UNIDAD IX IX.1 DEFINICIÓN DE PARÁBOLA La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo en el plano llamado foco de una recta también fija en el plano llamada directriz. El punto medio entre el foco la directriz se llama vértice. La distancia del vértice al foco o de del vértice a la directriz se le denota mediante la letra p. La siguiente figura muestra a una parábola que es paralela al eje que se abre a la derecha: d P(,) d 1 V (p,0) -p La distancia que eiste de cualquier punto (, ) P que pertenezca a la parábola al foco es: d 1 ( p) + ( 0) Por su parte, la distancia que eiste de cualquier punto (, ) directriz es: Ahora, por definición: d 1 d sustituendo queda: ahora, elevando al cuadrado se tiene: ( p) + ( + p ) d + p ( p) + ( 0) + p P que pertenezca a la parábola a la 1

2 desarrollando: p + p + + p + p eliminando términos queda: p + p o bien: p + p que es igual a: p ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la parábola con vértice en el origen. A la recta que pasa por el vértice el foco se le conoce como eje de la parábola ( EP ). Cabe señalar que en una parábola la ecentricidad siempre es uno porque la distancia que ha del vértice al foco es igual a la que ha del vértice a la directriz. Similarmente, si el eje de la parábola también es el eje, pero se abre para la izquierda entonces el F 0, p la directriz tiene ecuación p, gráficamente esto es: foco se ubica en ( ) P(,) d d 1 (-p,0) V p Haciendo un análisis similar al anterior se obtiene que su ecuación canónica es: p Se conoce como lado recto ( ) LR de cualquier parábola a la longitud de una recta perpendicular al EP que pasa por su foco que inclue a la parábola en ambos etremos.

3 Lado recto F ± ±, por lo tanto Sustituendo p en la ecuación se tiene: p( p) p p p cada ordenada tiene un longitud de p, eso significa que el lado recto se calcula como: LR p Por otra parte, si el eje de la parábola es el eje, se tienen dos casos: Si se abre hacia arriba se tiene que el foco se ubica en (, p) muestra en la figura: F 0 su directriz es: p, tal como se (0,p) d 1 P(,) V d -p Su ecuación ordinaria es: Si se abre hacia abajo con foco en F (, p) p 0 directriz en p, se tiene: 3

4 p d V (0,-p) d 1 P(,) Su ecuación ordinaria es: p Ejemplos. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz la longitud del lado recto de las siguientes parábolas: 1) 8 8 p 8 p. EP : eje. Signo (+), por lo que se abre hacia la derecha. F. La ecuación de la directriz es:. El lado recto es: LR () 8 u. El foco se ubica en (,0) ) 1 1 p 1 p 3. EP : eje. Signo (-), por lo que se abre hacia la izquierda. El foco se F. La ecuación de la directriz es: 3. El lado recto es: LR ( 3) 1 u. ubica en ( 3,0) 3) p 16 p. EP : eje. Signo (+), por lo que se abre hacia arriba. El foco se ubica en F. La ecuación de la directriz es:. El lado recto es: LR () 16 u. ( 0,) ) 7

5 7 p 7 p. EP : eje 7 F 0,. La ecuación de la directriz es: 5) Hallar la ecuación de la parábola cuo foco se ubica en ( 3,0). Signo (-), por lo que se abre hacia abajo. El foco se ubica en 7 7. El lado recto es: LR 7 u. F vértice en el origen. EP : eje. p 3 (3) 1. La ecuación de la directriz es: 3 signo es (+) se abre hacia la derecha. El lado recto es: LR (3) 1 u.. Como el 6) Hallar la ecuación de la parábola cua ecuación de su directriz es 9 vértice en el origen. EP : eje. p 9 ( 9) 36 F 0,9. Como el signo es. El foco se ubica en ( ) (-) se abre hacia abajo. El lado recto es: LR ( 9 ) 36 u. IX. TRASLACIÓN DE EJES COORDENADOS Si el vértice de la parábola con EP en se ubica en V ( h,k) si se abre a la derecha, entonces se ha desplazado h unidades con respecto al eje k unidades con respecto al eje. Esto se muestra en la siguiente figura: k V(h,k) (+p,k) h-p h La parábola sobre los ejes ' ' tendría como ecuación: p' ' pero de la figura se aprecia que: ' + h ' + k 5

6 o sea: ' h ' k por lo tanto si se sustitue en la ecuación con los ejes trasladados se tiene: ( k) p( h) que es la ecuación trasladada de la parábola con vértice en (,k) El vértice en este caso está en: V ( h,k) El foco se ubica en: F ( h + p,k ) h con EP : eje La ecuación de la directriz es: h p Similarmente, si el vértice de la parábola se ubica en (,k) se tiene ahora la siguiente traslación: h con EP : eje, pero si se abre a la izquierda, k (h-p,k) V(h,k) h+p h en este caso la ecuación de la parábola trasladada es: El vértice está en: V ( h,k) El foco se ubica en: F ( h p,k) La ecuación de la directriz es: h + p ( k) p( h) Cuando el eje de la parábola es el eje, también se tienen dos casos en traslación: Si se abre hacia arriba: 6

7 (h,k+p) k V(h,k) k-p h en este caso la ecuación de la parábola es: El vértice está en: V ( h,k) El foco se ubica en: F ( h,k + p) La ecuación de la directriz es: Si se abre hacia abajo: k p ( h) p( k) h+p k V(h,k) (h,k-p) h aquí, la ecuación de la parábola es: ( h) p( k) 7

8 El vértice está en: V ( h,k) El foco se ubica en: F ( h,k p) La ecuación de la directriz es: k + p Para los cuatro casos, la ecentricidad siempre es uno el lado recto de una parábola siempre se calcula igual. Ejemplos. En las siguientes parábolas hallar las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto, el eje de la parábola determinar para donde se abren: 1) ( 3) 1( ) h, k 3 V (, 3). p 1 1 p 3. EP : eje. El signo es (+), por lo que se abre hacia la derecha. F + 3, 3 F 5, 3. La ecuación de la directriz es: 3 1. El lado recto El foco está en: ( ) ( ) es: LR ( 3) 1 u. ) ( + 3) 8( + ) h, k 3 V (, 3). p 8 8 p. EP : eje. El signo es (-), por lo que se abre hacia la izquierda. F, 3 F 6, 3. La ecuación de la directriz es: +. El foco está en: ( ) ( ) El lado recto es: LR ( ) 8 u. 3) ( 5) 1( ) h 5, k V ( 5, ). p 1 1 p 3. EP : eje. El signo es (+), por lo que se abre hacia arriba. F 5, + 3 F 5, 5. La ecuación de la directriz es: 3 1. El lado El foco está en: ( ) ( ) recto es: LR ( 3) 1 u. ) ( + 3) 16( + 6) h 3, k 6 V ( 3, 6). p p. EP : eje. El signo es (-), por lo que se abre hacia abajo. F 3, 6 F 3, 10. La ecuación de la directriz es: 6 +. El El foco está en: ( ) ( ) lado recto es: LR ( ) 16 u. 8

9 IX.3 ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA Partiendo de la ecuación canónica trasladada de la parábola con ( k) p( h) si se desarrolla se tiene: k + k p ph acomodando términos: p k + k + ph 0 si se efectúan los siguientes cambios de variable: D p, E k, F k + ph la ecuación queda como: EP : eje : + D + E + F 0 que es la ecuación general de la parábola con EP : eje De forma similar si se toma como base para el análisis la ecuación trasladada con ( h) p( k), se obtendrá: EP : eje : + D + E + F 0 que es la ecuación general de la parábola con EP : eje. Nótese como el término no eiste en la primera ecuación como no aparece en la segunda. Esto se debe a que siempre el eje de la parábola es aquel que no posee el término cuadrático. Ejemplos. Obtener la ecuación general de la parábola en los siguientes casos: 1) Si tiene su vértice en V ( 3,) foco en F ( 7,) Como las ordenadas no cambian, el EP : eje, se abre a la derecha, entonces: ( k) p( h) ( ) ( )( 3) ( 3) p VF ) Si tiene su vértice en ( 1,5) V directriz 7. Al tener directriz arriba del vértice, EP : eje, se abre hacia abajo ( h) p( k) ( 1) ( )( 5) ( 5) p DV ) Si tiene su vértice en V (,3), pasa por el punto ( 5), tiene EP : eje : 9

10 Al tener EP : eje, se aplica la ecuación: ( h) p( k) ahora, sustituendo el punto (,) ( ) p ( 5 3) p( ) el vértice (,k) Aplicando de nuevo esta ecuación, se tiene: h para despejar p se tiene: 8p p ( ) ( ) ( ) ( ) IX. DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA A PARTIR DE SU ECUACIÓN GENERAL En la ecuación general de segundo grado: A + B + C + D + E + F 0 generalmente se describe a una parábola si alguno de los términos A o C son igual a cero (pero no simultáneamente). Si A 0, el EP es el eje, por su parte si C 0, el EP es el eje. Para conocer todas las características de una parábola a partir de su ecuación general se procede a factorizar una vez que se completan los trinomios cuadrados perfectos (TCP), a fin de obtener la ecuación ordinaria. Ejemplos. Dadas las siguientes ecuaciones de parábolas, encontrar todas sus características: 1) Acomodando convenientemente: completando el TCP: factorizando el TCP: ( ) 6( ) ecuación que comparada con: ( k) ( h) se tiene que: h, k V (, ). p p. EP : eje. El signo es (-), por lo que se abre hacia la izquierda El foco está en: F, F,. La ecuación de la directriz es: +. El lado 3 recto es: LR 6 u. 10

11 ) Acomodando convenientemente: completando el TCP: factorizando el TCP: ( 3) 6( 1) ecuación que comparada con: ( k) ( h), se tiene que: h 1, k 3 V ( 1, 3). p p. EP : eje. El signo es (+), por lo que se abre hacia la derecha El foco está en: F 1 +, 3 F, 3. La ecuación de la directriz es: 1. El lado 3 recto es: LR 6 u. 3) Acomodando convenientemente: completando el TCP: factorizando el TCP: ( 1) 8( ) ecuación que comparada con: ( h) ( k) se tiene que: h 1, k V ( 1, ). p 8 8 p. EP : eje. El signo es (+), por lo que se abre hacia arriba. F 1, + F 1, 6. La ecuación de la directriz es:. El lado recto El foco está en: ( ) ( ) es: LR ( ) 8 u. ) Dividiendo todo por tres acomodando para convenientemente: completando el TCP: factorizando el TCP: 11

12 16 3 ( + 1) ( ) ecuación que comparada con: ( h) ( k) h 1, k se tiene que: V ( 1, ). p p 3. EP : eje. El signo es (-), por lo que se abre hacia abajo. 10 El foco está en: F 1, F 1,. La ecuación de la directriz es: +. El lado recto es: LR u. 5) Acomodando para se tiene: completando el TCP: factorizando el TCP: ( 0) 5( ) ecuación que comparada con: ( k) ( h) ( 0) h, k 0 V,. derecha. El foco está en: recto es: LR 5 u se tiene que: p 5 5 p. EP : eje. El signo es (+), por lo que se abre hacia la 5 13 F +, 0 F, 0. La ecuación de la directriz es: El lado IX.5 CASO DEGENERADO DE LA PARÁBOLA Si en la ecuación general de la parábola + D + E + F 0, el término E es igual a cero, entonces la ecuación resultante + D + F 0 no describe a una parábola, sino a un par de rectas paralelas o coincidentes al eje que surgen de la solución de la ecuación de segundo grado. Gráficamente esto es: 1

13 1 Ejemplo. Determinar las características de la siguiente ecuación: Al faltar el término E, se trata de un caso degenerado de la parábola. Aplicando la fórmula general (aunque también puede resolverse por factorización): b ± b ac ( 7) ± ( 7) (1)(1) a (1) ; 3 7 ± ± 1 7 ± 1 Por su parte, si en la ecuación general de la parábola + D + E + F 0, el término D es igual a cero, entonces la ecuación resultante + E + F 0 no describe a una parábola, sino a un par de rectas paralelas o coincidentes al eje que surgen de la solución de la ecuación de segundo grado. Gráficamente esto es: 1 13

14 Ejemplo. Determinar las características de la siguiente ecuación: Al faltar el término D, se trata de un caso degenerado de la parábola. Aplicando la fórmula general: b ± b a ac ( 10) ± ( 10) () ; ()(1) 10 ± ± 10 ± IX.6 APLICACIONES La parábola posee diversas aplicaciones físicas mu interesantes, en la que destaca su propiedad de refleión: Si en un objeto de forma parabólica se hace incidir una señal (en general una onda electromagnética) que proviene de su foco se refleja en él siguiendo una línea paralela a su eje. En la realidad, estos objetos reciben el nombre de paraboloides, los cuales giran alrededor de sus ejes. De manera inversa, si en un objeto de forma parabólica se hace incidir una señal de forma paralela a su eje, se refleja de forma tal que se concentra en su foco. Considerando esta propiedad de refleión de la de la parábola, eisten muchas aplicaciones útiles, en las que sobresalen: En el diseño de espejos reductores o amplificadores. En las antenas que reciben señales vía satélite. En los reflectores lámparas. En telescopios (los raos paralelos provenientes de una estrella lejana que entran son enfocados hacia un solo punto). El diseño de faros buscadores (la fuente de luz se coloca en el foco). En bóvedas (es famosa la de los murmullos, en que se puede escuchar la voz con mucha nitidez en cualquier lugar independientemente de la amplitud posición de quien la origina) El sonido las ondas electromagnéticas obedecen las mismas lees de la refleión de la luz, por lo que se usan micrófonos parabólicos para recoger concentrar sonidos que provienen de diversos puntos. En el campo de la cinemática, la parábola también es aplicable a que cuando se lanza un proectil de forma no vertical al aire, describe una traectoria de tipo parabólico. A este concepto famoso en Física se le conoce como tiro parabólico de acuerdo con sus ecuaciones se puede conocer la velocidad a la que llega, la altura máima que alcanza el tiempo que tarda todo en su recorrido. En Ingeniería Civil en Arquitectura, también tiene aplicaciones la parábola, siendo las más conocidas: El cable de suspensión de un puente uniformemente cargado toma la forma de una parábola. En construcciones modernas, muchos techos son paraboloides El diseño parabólico de puentes de arco. En aerodinámica e hidrodinámica: las alas, quillas 1 timones. 1 Quilla es la pieza longitudinal que va de proa a popa, formando el canto o arista inferior del casco, que constitue el eje del barco la base del armazón. 1