Parábola: Gráfica y elementos de una parábola

Transcripción

1 Parábola: Gráfica y elementos de una parábola Tinoco, G. (03. Parábola: Gráfica y elementos de una parábola. [Manuscrito no publicado]. México: UAEM. Espacio de Formación Multimodal

2 Parábola con centro fuera del origen Parábola vertical Si el vértice de la parábola no es el origen del sistema de coordenadas, sino un punto V( h, k ) y el eje es paralelo al eje y, dado que llamamos p al parámetro, las coordenadas del foco son F( h, k+ p). Para poder derivar la ecuación de esta parábola se puede considerar que su vértice se encuentra en el punto O( x', y '), origen de un sistema adicional de coordenadas. Respecto a dicho sistema de coordenadas, la ecuación de la parábola vertical es: ( x' ) = 4 p( y' ) Si en esta ecuación se sustituyen las variables de acuerdo a las fórmulas de la traslación, x' = x h y' = y k se obtiene la forma estándar de la ecuación de una parábola vertical con vértice en el punto V( h, k ). ( x h) = 4p( y k) El signo del parámetro p determina si la parábola abre hacia abajo o hacia arriba. En las figuras se muestran las coordenadas del foco y de los extremos del lado recto, en ambos casos; así como las ecuaciones de la directriz y del eje. En cada caso se debe hacer la traslación de acuerdo a las coordenadas del vértice. "

3 Parábola horizontal $% &' ()*+,& -.& &' "# *&) /+0+%3)'4 ') 5+06) &*37%,)0,& ') &(.)(8% &* *6')0 ) '),& ') 9)07:+') ;&03()'4 *69'&6&%3& *& )9'() ') 30)*')(8%,& &<&* ) ') &(.)(8% =) (+%+(,),& ') 9)07:+')/+0+%3)'(+%;>03(&&%&'+0?&%@ ( y k) 4p( x h) = $*3)&*')$%&'(#)*+,-(&,&')&(.)(8%,&.%)9)07:+')/+0+%3)'(+%;>03(&&% V( h, k )@ $'*?%+,&'9)076&30+ p,&3&06%)*')9)07:+')):0&/)()'),&0&(/)+/)()')-.&0,)@ $%')*5?.0)**&6.&*30)%')*(++0,&%),)*,&'5+(+=,&'+*&A30&6+*,&''),+0&(3+4&%)6:+* ()*+*B)*C(+6+')*&(.)(+%&*,&'),0&(30=,&'&<&@D)6:>%&%&*3+*()*+**&,&:&/)(&0') 30)*')(8%,&)(.&0,+)')*(++0,&%),)*,&';>03(&@ Forma estándar de la ecuación de una parábola E)0),&3&06%)0')&(.)(8%,&.%)9)07:+')*&0&-.&0&(+%+(&0').:()(8%,&*.;>03(&4)*C (+6+4&';)'+0,&'9)076&30+ + ;&03()'@ F+% &*3+*,)3+* *& 9.&,&,&3&06%)0 ') 5+06) &*37%,)0,& ') &(.)(8%,& (.)'-.&0 9)07:+')@."'/0%GH&3&06%)0')&(.)(8%,&')9)07:+');&03()'-.& 3&%& *. ;>03(& &% &' 9.%3+ V ( 3, ) = (.=+ 9)076&30+&*G 3 p = Se sustituyen los datos en la forma estándar de la ecuación de la parábola vertical. #

4 ( x h) = 4 p( y k) " 3 # $ % & ' ( x ( 3) ) = 4 y ( ) ( x+ 3) = 6( y ) ( ) Ejemplo: Determinar la ecuación de la parábola horizontal que tiene su vértice en el punto 7 V (, ) y cuyo parámetro es: p = 4 Se sustituyen los datos en la forma estándar de la ecuación de la parábola horizontal. ( y k) = 4 p( x h) " 7 # $ % & 4 ' ( y ( ) ) = 4 x ( ) ( y ) = 7( x ) ( ) Nota: La tarea de determinar la forma estándar de la ecuación de una parábola se puede practicar en la aplicación "Ecuación de la parábola ()" del capítulo "Parábola", disponible en la dirección: Gráfica y elementos de una parábola A partir de la forma estándar de la ecuación se pueden determinar todos los elementos de una parábola. Ejemplo: Determinar todos los elementos de la parábola cuya ecuación es: ( y 3) ( x ) + = +. La ecuación corresponde a una parábola horizontal e indica que: x h= x+ entonces h =, y h = y k = y+ 3 entonces k = 3, y k = 3 por lo tanto, el vértice es: V (, 3) También indica que 4 p =, entonces, I

5 p = = 4 8 ( ) El foco es el punto: F, 3 " 5 $ # + # %, o sea:, 3 & 8 ' F $ # # " 8 % & ' El eje es una recta horizontal que pasa por el vértice y el foco, y su ecuación es: y = 3 7 La directriz es una recta vertical y su ecuación es: x =, o sea: x = 8 8 El lado recto mide: " Lr = 4# $ = = % 8 & Nota: La tarea de determinar los elementos de una parábola se puede practicar en la aplicación "Gráfica y elementos de una parábola ()" del capítulo "Parábola", disponible en la dirección: Forma general de la ecuación Si en la forma estándar de la ecuación de una parábola vertical se desarrolla y simplifica; se obtiene: ( x h) = 4 p( y k) + = x hx h 4py 4pk = 0 x hx py h pk Esta ecuación de la forma variable y. Ax Dx Ey F = 0 no tiene término cuadrático para la Esta ecuación se conoce como la forma general de la ecuación de la parábola vertical V h k. En ella, A 0, C = 0. con vértice en el punto (, ) Si en la forma estándar de la ecuación de una parábola horizontal se desarrolla y simplifica; se obtiene: ( y k) = 4 p( x h) + = 4 4 y ky k px pk = 0 y px ky k pk Esta ecuación de la forma variable x. Cy Dx Ey F = 0 no tiene término cuadrático para la J

6 Esta ecuación se conoce como la forma general de la ecuación de la parábola horizontal V h k. En ella, A= 0, C 0. con vértice en el punto (, ) La forma estándar de la ecuación de una parábola se puede convertir a su forma general. Ejemplos: Parábola horizontal Parábola vertical ( y+ 3) = ( x+ ) = + y y x y + y+ = x+ 8 ( x 4) = ( y ) x x y = = 0 x x y x x y = 0 y x+ y+ = 6 0 Nota: El procedimiento para convertir la ecuación de una parábola de la forma estándar a su forma general se puede estudiar en la aplicación "Formas de la ecuación de la parábola ()" del capítulo "Parábola", disponible en la dirección de internet: K