UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II SECCIONES CONICAS Se llaman secciones cónicas a un grupo de cuatro figuras que se obtienen a partir de relaciones cuadráticas. Estas son: el círculo, la elipse, la hipérbola y la parabola. Se les llama asi porque cada una de las figuras puede obtenerse cortando un cono a diferentes ángulos. El Círculo Un círculo es la figura formada por todos los puntos de un plano equidistantes de un punto interior llamado centro. La distancia del centro del círculo a cualquiera de los puntos del círculo se denomina radio del círculo. La ecuación de un círculo con centro en el origen (0,0) y radio r, es La gráfica de 2 9 es el círculo con centro en el origen y radio 3. Solo necesitamos un compás para dibujarlo. Si el centro del círculo es un punto (h, k), la ecuación del círculo con radio r es La gráfica de es el círculo de radio 5 con centro en (2,1). Algunas veces la ecuación de un círculo aparece representada como o en cuyo caso habrá que dividir todos los terminos de la ecuación entre A antes de identificar el radio. Ejemplos: Graficar Dividimos todos los terminus entre 7 y obtenemos 2 4, que es la ecuación del círculo con centro en el origen y radio

2 Graficar Dividimos todos los terminos entre 8 y obtenemos que es la ecuación del círculo con centro (1,3) y radio 3. EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Identificar el centro y radio de cada círculo representado en las siguientes ecuaciones. Graficarlo

3 La Elipse Una elipse es una figura semejante a un óvalo. Está formada por todos los puntos de un plano, tales que la suma de sus distancias a otros dos puntos fijos en el interior de la elipse es constante. Esos puntos fijos se llaman focos de la elipse: F 1 y F 2 y el punto medio del segmento F 1F 2 se llama centro de la elipse. Los puntos A y A se denominan vertices y los puntos B y B se llaman co-vértices de la elipse. El segmento que une a A y A se llama eje mayor de la elipse y el segmento que une a B y B se llama su eje menor. Si una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor es horizontal, tal como la que se muestra a la izquierda de la imagen que sigue, su ecuación es Si una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor es vertical, tal como la que se muestra a la derecha de la imagen que sigue, su ecuación es En ambos casos, a > b porque a es la distancia del centro a los vertices y b es la distancia del centro a los co-vértices. Los focos de las elipses se encuentran sobre el eje mayor, a c unidades del centro de la misma, donde 135

4 La manera práctica de graficar una elipse con centro en (0,0) es la siguiente: a. Identificar a y b. a y b son las raíces cuadradas de los divisores; a es la mayor. b. Determinar si la elipse tiene eje mayor horizontal o vertical (el mayor divisor está bajo x 2 o bajo y 2 ). c. Ubicar los vertices de la elipse a a unidades del centro sobre el eje mayor. d. Ubicar los co-vertices de la elipse a b unidades del centro sobre el eje menor. e. Se dibuja, lo mejor posible, el óvalo que pasa por estos cuatro puntos. No existe ningún instrumento para dibujar elipses en papel. Ejemplos: (1) Graficar Esta es una elipse con eje mayor horizontal, a = 4 y b = 2. Se ubican los vertices sobre el eje x, a 4 unidades del origen; y los co-vértices sobre el eje y, a 2 unidades del origen. Co-vértice Vértice Vértice Co-vértice Se dibuja la elipse: Los focos de la elipse se encuentran sobre el eje mayor, a unidades del centro: Foco Foco 136

5 (2) Graficar Esta es una elipse con eje mayor vertical, a = 5 y b = 3. Se ubican los vertices y co-vértices Se dibuja la elipse: Vértice Co-vértice Co-vértice Vértice Los focos de la elipse se encuentran sobre el eje mayor, a unidades del centro: Foco Foco... Cuando las elipses tienen sus centros en (h,k) en lugar de en el origen, sus ecuaciones cambian a 137

6 La manera práctica de graficar una elipse con centro en (h, k) es la siguiente: a. Identificar el centro de la elipse: (h, k) b. Dibujar las líneas x = h y y = k, punteadas. Estas lineas son los dos ejes de la elipse. c. Identificar a y b ( a y b son las raíces cuadradas de los divisores; a es la mayor). d. Determinar si la elipse tiene eje mayor horizontal o vertical (el mayor divisor está bajo el término con x o bajo el término con y). e. Ubicar los vertices de la elipse a a unidades del centro sobre el eje mayor. f. Ubicar los co-vertices de la elipse a b unidades del centro sobre el eje menor. g. Se dibuja, lo mejor posible, el óvalo que pasa por estos cuatro puntos. Ejemplos: (1) Graficar El centro de la elipse es (2,-1); se dibujan los ejes. a = 5 y b = 3 y la elipse tiene eje mayor horizontal. Ubicamos los vertices en la línea punteada horizontal, a 5 unidades del centro; ubicamos los co-vertices en la línea punteada vertical, a 3 unidades del centro: Recuerde que el centro no es (0,0) sino que (2, -1) así que los vertices están en (2-5, -1) y (2+5, -1) y los co-vértices están en (2, -1-3) y (2, -1+3) 138

7 Se dibuja la elipse que pasa por los vertices y co-vértices ya colocados. (2) Graficar El centro de la elipse es (-2, 5); se dibujan los ejes. a = 6 y b = 3 y la elipse tiene eje mayor vertical. Ubicamos los vertices en la línea punteada vertical, a 6 unidades del centro; ubicamos los co-vertices en la línea punteada horizontal, a 3 unidades del centro: 139

8 Se dibuja la elipse que pasa por los vertices y co-vértices ya colocados. Una vez más tenemos que enfatizar que los vertices se colocan sobre el eje punteado vertical, a 6 unidades por encima y por debajo del centro (-2,5), es decir, en los puntos (-2, 5+6) y (-2, 5-6); y los co-vértices se colocan sobre el eje punteado horizontal, a 3 unidades a la izquierda y derecha del centro (-2,5), es decir, en los puntos (-2-3, 5) y (-2+3, 5). Los focos tamben se ubican sobre el eje mayor, a c unidades del centro. Algunas veces la ecuación de la elipse puede lucir como o como en cuyo caso habrá que dividir todos los términos entre C, antes de poder identificar si el eje es horizontal o vertical y los valores de a y b. Ejemplos: (1) Graficar Note que los signos de todos los terminos son iguales, pero los coeficientes de x 2 y y 2 son diferentes. Estos dos hechos nos dicen que esta es la ecuación de una elipse (si fuera un círculo, los coeficientes serían iguales). Dividimos todos los términos entre 100 y simplificamos las fracciones 1 1 Que ya puede reconocerse como la ecuación de una elipse vertical con centro en (0,0), a=5 y b=2. (2) Graficar Los signos de todos los terminos son iguales, pero los coeficientes de (x +1) 2 y (y-2) 2 son diferentes. Esta es la ecuación de una elipse con centro en (-1, 2) 140

9 Dividimos todos los términos entre 225 y simplificamos las fracciones Que ya puede reconocerse como la ecuación de una elipse horizontal con centro en (-6,4), a=5 y b=3. 1 EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Para cada una de las elipses representadas en las ecuaciones siguientes: Identificar el centro de la elipse Determinar si el eje mayor es horizontal o vertical Calcular a, b y c Ubicar en el plano cartesiano el centro, vertices, co-vertices y focos de la elipse. Escribir las coordenadas de los vértices, co-vértices y focos de la elipse. Graficar la elipse la escala de los ejes debe ser no mayor de 2 unidades por marca

10 La Hipérbola Una hipérbola es una figura con dos ramas simétricas con respecto a un eje horizontal y a un eje vertical. Luce así (la figura continua): Hipérbola Horizontal Hipérbola Vertical Los elementos clave de una hipérbola son: La ecuación de la hipérbola con centro en (0,0) y eje transversal horizontal es: 1 La ecuación de la hipérbola con centro en (0,0) y eje transversal vertical es: 1 En esta ecuación, a puede ser mayor o menor que b y 142

11 Los elementos clave de la hipérbola se relacionan con estos valores de la manera siguiente: La manera práctica de graficar una hipérbola con centro en (0,0) es la siguiente: a. Identificar a y b. b. Determinar si la hipérbola tiene eje transversal horizontal o vertical (el primer término de la ecuación tiene x 2 o y 2 ). c. Ubicar los vértices de la hipérbola a a unidades del centro sobre el eje transversal. d. Ubicar los puntos que quedan a b unidades del centro sobre el eje conjugado (éstos puntos no tienen nombre). e. Dibujar el rectángulo cuyos lados pasan por los cuatro puntos anteriores. f. Dibujar las lineas que pasan por las diagonales de éste rectángulo. Estas son las asíntotas de la hipérbola. g. Dibujar la hipérbola pasando por el vértice y aproximándose a las asíntotas sin cruzarlas. Ejemplos: (1) 1 9 y 4, de modo que 3 y 2 La hiperbola tiene eje transversal horizontal Ubicar los vértices: 143

12 Ubicar los puntos a b unidades del centro Dibujar el rectángulo Dibujar las lineas que contienen las diagonales del rectángulo: Dibujar la hipérbola: Si se desea ubicar los focos de la hipérbola, estos se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro. Los focos son: (-3.6, 0) y (3.6, 0) (2) 1 9 y 16, de modo que 3 y 4 La hiperbola tiene eje transversal horizontal Ubicar los vértices: 144

13 Ubicar los puntos a b unidades del centro Dibujar el rectángulo Dibujar las lineas que contienen las diagonales del rectángulo: Graficar la hipérbola: Si se desea ubicar los focos de la hipérbola, estos se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro. Los focos son: (-5, 0) y (5, 0) 145

14 (3) 1 9 y 4, de modo que 3 y 2 Eje transversal vertical Ubicar los vértices: Ubicar puntos a b unidades del centro Dibujar el rectángulo Dibujar las asintotas Dibujar la hipérbola: Si se desea ubicar los focos de la hipérbola, estos se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro Los focos son (0, -3.6) y (0, 3.6) 146

15 (4) 1 Si se desea ubicar los focos de la hipérbola, estos se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro Los focos son (0, -5) y (0, 5)

16 Cuando el centro de la hipérbola no está en el origen sino en un punto cualquiera (h, k), las ecuaciones de las hipérbolas lucen: 1 ó 1 Según sea su eje transversal sea horizontal o vertical. Al igual que en el caso de las elipses con centro (h,k) primero hay que ubicar el centro y los ejes de la hipérbola para, a partir de allí, ubicar los otros elementos. La manera práctica de graficar una hipérbola con centro en (h, k) es la siguiente: a. Identificar y ubicar en el plano cartesiano el centro de la hipérbola: (h,k) b. Dibujar las líneas x = h y y = k, punteadas. Estas lineas son los dos ejes de la hipérbola. c. Identificar a y b ( a y b son las raíces cuadradas de los divisores). d. Determinar si la hipérbola tiene eje mayor horizontal o vertical (el primer término de la ecuación tiene x ó y). e. Ubicar los vértices de la hipérbola a a unidades del centro sobre el eje transversal. f. Ubicar los puntos que quedan a b unidades del centro sobre el eje conjugado (estos puntos no tienen nombre). g. Dibujar el rectángulo cuyos lados pasan por los cuatro puntos anteriores. h. Dibujar las lineas que pasan por las diagonales de éste rectángulo. Estas son las asíntotas de la hipérbola. i. Dibujar la hipérbola pasando por el vértice y aproximándose a las asíntotas sin cruzarlas. Ejemplos: (1) Graficar 1 Centro de la hipérbola: (3,-5) Eje transversal horizontal (porque el minuendo es el término con x) 16 y 49 entonces a = 4 y b = 7 Ubicar el centro y dibujar los ejes: Ubicar los vértices a 4 unidades del centro sobre el eje horizontal: 148

17 Dibujar los puntos a 7 unidades del centro sobre el eje vertical Dibujar el rectángulo Dibujar las asíntotas: Dibujar la hipérbola Si se desea ubicar los focos de la hipérbola, estos se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro Los focos son (-5.1, -5) y (11.1, -5) 149

18 (2) Graficar: 1 Centro de la hipérbola: (-3, 8) Eje transversal vertical (porque el minuendo es el término con y) 16 y 4 entonces a = 4 y b = 2 Ubicar el centro y dibujar los ejes: Ubicar los vértices a 4 unidades del centro sobre el eje vertical: Dibujar los puntos a 7 unidades del Dibujar el rectángulo Dibujar las asíntotas: centro sobre el eje vertical Los focos de la hipérbola se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro Los focos son (-3, 3.5) y (-3, 12.5) 150

19 Dibujar la hipérbola Ubicar los focos: EJERCICIOS DE PRACTICA: Para cada una de las hipérbolas representadas en las ecuaciones siguientes: Identificar el centro de la hipérbola Determinar si el eje transversal es horizontal o vertical Calcular a, b y c Ubicar en el plano cartesiano el centro y vertices de la hipérbola. Escribir las coordenadas de los vertices. Graficar la hipérbola la escala de los ejes debe ser no mayor de 2 unidades por marca. Ubicar los focos de la elipse y escribir sus coordenadas

20 La Parábola Hemos estudiado anteriormente que la gráfica de una función cuadrática es una parábola cuyo vértice queda sobre el eje de simetría. Todos los puntos en una parábola cumplen la propiedad de que están a la misma distancia de un punto llamado foco y de una linea llamada directriz. No se suelen ubicar cuando se grafica una función cuadratica. Las parábolas que representan funciones cuadráticas siempre tienen ejes de simetría verticales y se pueden abrir hacia arriba o hacia abajo. Se dice que son cóncavas hacia arriba o cóncavas hacia abajo. Las parábolas, como cónicas, pueden tener ejes de simetría horizontales y abrirse hacia la derecha o hacia la izquierda. Estas no representan funciones porque no pasan la prueba de la linea vertical. Se dice que son cóncavas hacia la derecha o cóncavas hacia la izquierda. La forma estandar de la ecuación de una parábola con vértice en (0,0) es 4 y 4 para las parábolas con eje de simetría vertical y horizontal, respectivamente. Si p > 0, la parábola abre para arriba/la derecha; si p < 0, la parábola abre para abajo/la izquierda. Note que la parabola es la única cónica en la que una de las dos variables NO aparece elevada al cuadrado. 152

21 El foco de la parabola se encuentra sobre el eje de simetría, anidado en la misma, a p unidades del vértice. La directriz de la parabola es perpendicular al eje de simetría y se encuentra en el lado opuesto, a p unidades del vértice. x 2 = 4py Para graficar una parabola con eje de simetría vertical, se despeja y ( ) y se grafica como una función cuadrática normal, hacienda una tabla de valores de tres puntos, centrada en el vértice. Para graficar una parabola con eje de simetría horizontal, se puede girar el papel 90 o y graficarla como la anterior o hacer una tabla de valores con y como la variable independiente y x como la variable dependiente. Ejemplos: (1) Graficar 4 Despejar y: Vértice: (0,0) x y (2) Graficar 2 Despejar y: Vértice: (0,0) x y

22 (3) Graficar 12 Despejar x: Vértice: (0,0) y x (4) Graficar 20 Despejar x: Vértice: (0,0) y x Las ecuaciones de parabolas cuyo vértice está en (h,k) tienen la forma. 4 y 4 La manera más práctica de graficar estas parabolas es usando el procedimiento de traslación de ejes. Se ubica el vértice y se grafican, punteadas, las lineas x = h y y = k. Usando estos ejes en lugar de los ejes x e y, podemos graficar estas parabolas como si fueran solo 4 y 4 Ejemplos: (1) Graficar Vértice: (-7, 3) Ejes: x = -7 y = 3 Ecuación transformada:

23 2 12 Despejar y: 2 x y Note que los puntos resaltados están a seis unidades del vértice, moviéndonos horizontalmente y a tres unidades hacia arriba, tal como lo indica la tabla anterior. 4py = 12y 4p = 12 p = 3 Foco: (-7, 3+3) = (-7, 6) Directriz: y = 3 3 = 0 (el eje x) (2) Graficar 4 32 Vértice: (-2, 4) Ejes: x = -2 y = 4 Ecuación transformada: 2 3 Despejar x: 2 y x px = 3x 4p = 3 p = ¾ Foco: (-2 + 3/4, 4) = (-1.25, 4) Directriz: x = -2 ¾ =

24 EJERCICIOS DE PRACTICA: Para cada una de las parábolas representadas en las ecuaciones siguientes: Identificar su vértice y eje de simetría. Determinar si el eje de simetría es horizontal o vertical Calcular p y determinar las coordenadas del foco de la parabola. Determinar la ecuación de la directriz. Crear una tabla de valores centrada en el vértice. Graficar la parábola la escala de los ejes debe ser 1-2 unidades por marca, no más ni menos EJERCICIOS COMBINADOS: Para cada una de las ecuaciones que se presentan a continuación: Identificar la cónica que representa Determinar si el eje principal (eje mayor, eje transverso o eje de simetría) es vertical u horizontal. Determinar el centro y/o los vértices de la figura. Hacer un bosquejo de la forma general de la gráfica (sin medidas, solo cómo luciría) /

25 b Ecuación General de Segundo Grado La ecuación de cualquier sección cónica puede escribirse de la forma 0 que se conoce como la ecuación general de segundo grado en x e y. El término Bxy solo aparece cuando la gráfica tiene ejes inclinados, por lo tanto no lo consideraremos aquí y trataremos unicamente con ecuaciones de la forma 0 Si A = C, la ecuación representa un círculo. Si A C, pero tienen el mismo signo, la ecuación representa una elipse. Si A y C tienen signos opuestos, la ecuación representa una hipérbola. Finalmente, si falta uno de los dos terminos al cuadrado (A = 0 ó C = 0), la ecuación representa una parabola. Para ubicar los elementos principales de la sección cónica y para graficarla, se utiliza el procedimiento de completación de cuadrados para convertir la ecuación general a la forma estándar. Ejemplo: es la ecuación de una elipse porque A = 2 y C = ahora reconocemos que: (a) tiene centro en (1,0) (b) su eje mayor es vertical (c) sus vertices están en (1, 6 ) y (1, - 6 ) (d) sus co-vértices están en (1-3, 0) y (1+ 3, 0) 157

26 es la ecuación de una hipérbola porque A = 4 y C = ahora reconocemos que (a) tiene centro en (-4,-8) (b) su eje transversal es horizontal (c) sus vértices están en (-7,8) y (-1,8) EJERCICIOS DE PRÁCTICA