Hipérbola: Elementos y ecuación de la hipérbola

Transcripción

1 Hipérbola: Elementos y ecuación de la hipérbola Tinoco, G. (2013). Hipérbola: Elementos y ecuación de la hipérbola. [Manuscrito no publicado]. México: UAEM. Espacio de Formación Multimodal

2 Hipérbola En general, la hipérbola es una curva plana, abierta y simétrica. Su simetría es axial respecto a dos ejes perpendiculares entre sí y central respecto a un punto llamado centro de la hipérbola. En un principio los griegos de la antigüedad la estudiaron como sección de un cono cortado por un plano. Pero también se puede definir como lugar geométrico, esto es, un conjunto de puntos que satisfacen una condición geométrica. Considerada como lugar geométrico la hipérbola se puede definir de dos formas, una definición llamada bifocal y otra llamada monofocal, sin embargo, en este curso nos limitaremos a derivar la ecuación a partir de la definición bifocal. Definición geométrica Reciben el nombre de cónicas las curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano. Si el plano secante corta todas las generatrices (las dos ramas de la superficie cónica) y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curva abierta de dos ramas, que recibe el nombre de hipérbola. Nota: Ver aplicación interactiva "Secciones cónicas" del capítulo "Ecuación general de 2 grado" disponible en la dirección: Lugar geométrico La hipérbola puede definirse como: el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Dicha constante resulta ser la longitud del eje transverso de la hipérbola. PF PF ' = k k > 1 k = AA' Nota: Ver aplicación interactiva "Cónicas (lugar geométrico 2)" del capítulo "Ecuación general de 2 grado" disponible en la dirección: "

3 Elementos de la hipérbola El punto C es el centro y los puntos F y F ' son los focos de la hipérbola. C es el punto medio entre los focos. La recta que pasa por los focos y la perpendicular que pasa por el centro son los ejes de simetría de la curva y se llaman eje focal y eje secundario respectivamente. Cuando el eje focal es paralelo al eje x del plano cartesiano se dice que la hipérbola es horizontal (Ver figura en la siguiente página). Los puntos donde el eje focal corta la curva se denominan vértices. Los puntos A y A ' son los vértices de la hipérbola. Los puntos B y B ' son los extremos del eje conjugado. es 2a. es 2b. AA ' se llama eje transverso y su longitud BB ' se llama eje conjugado y su longitud es 2c. FF ' se llama distancia focal y su longitud La distancia del centro a los vértices A o A ' se llama semieje transverso y su longitud es a. La distancia del centro a los puntos B o B ' se llama semieje conjugado, su longitud es b. La distancia del centro a los focos F o F ' se llama semidistancia focal y su longitud es c. Las rectas m y n se llaman asíntotas de la hipérbola. Son rectas a las cuales se acerca la curva en el infinito pero nunca llega a interceptar. El círculo con centro en C y radio c lo llamaremos círculo focal. La cuerda que pasa por un foco ( F o F ')y es perpendicular al eje focal se llama lado recto. Cuando el eje focal es paralelo al eje y del plano cartesiano, se dice que la hipérbola es vertical. Para este caso de dicha hipérbola vertical los elementos son los mismos que para la hipérbola horizontal, solo cambia la orientación de ellos. #

4 Ecuación de la hipérbola Hipérbola horizontal %&'&(&)*+*,&'-+&./+*0*0)1.0*2-'-3104.&5*67'81+&)1. )-.,'1-.-+1'*9-.:(1) ;- x <=-&)4-'21&+& 2-(*.*)*>.)131+49&'9-137,'*)1?0*+&0)11'2-.&2&02- F c,0, F' c,0?6&'&@ ,1 +10(1)1001. ( ) ( ) 2&21 P( x, y )6-',-.-A)&&+&5*67'81+&2-8-0&,*0(&)-' +&)1.2*)*>.B (, ) (, ') d PF d PF = k C.+&)4&+ k -04.&)1.0,&.,-3&:1'@4-"< D40,*,4: &(>'34+&2-2*0,&.)*&-.,' ,10B ( ) ( ) x c + y x+ c + y = k C0,&-E6'-0*> *36+*(*)&'?6&'& )-0&'*1 )1.0*2-'&'+&0*94*-.,-(*94'&B C. -+,'*/.94+1 '-),/.94+1 ABC? -+ )&,-,1 a *-;-,'&.0F-'01<C+1,'1)&,-, *-;-)1.;49&21 b : ,'&'@4-+&5*61,-.40& c -0*94&+&+& 0-3*2*0,&.)*& (1)&+< G&+ ) & -+*60-? 0* 0-040,*,4:- k = 2a -.+&-)4&)*>.&.,-'*1':0-0*36+*(*)&0-++-9&&+& 0*94*-.,--)4&)*>.B x y a a c + = 1 2 C0,& -0 4.& -)4&)*>. )13H. 6&'& +& -+*60- : +& 5*67'81+&? 0-'/-+*60-)4&.21 a> c?-5*67'81+&)4&.21a< c< I+&6+*)&'-+G-1'-3&2-%*,/91'&0-. ABC 2-+&(*94'& 2 &.,-'*1' 0-18,*-.-B c = a + b < D* ;& 2 b = c a : 040,*,4:- -0,& -E6'-0*>. -. +& -)4&)*>. )13H. 2- +& -+*60- : +& 5*67'81+& 0-18,*-.- +& (1'3& -0,/.2&' 2- +& -)4&)*>. 2- +& 5*67'81+& 51'*A1.,&+ )1. )-.,'1-.-+1'*9-.B $

5 x a y = b 1 Hipérbola vertical Si la hipérbola tiene centro en el origen y sus focos están sobre el eje y, dichos focos son los puntos: F( 0, c), F' ( 0, c). Si nuevamente se denomina 2a a la diferencia de las distancias de un punto P( x, y ) de la hipérbola a los focos, y se hace un análisis semejante al caso de la hipérbola horizontal, o simplemente se intercambian los papeles de las variables, se llega a la siguiente ecuación: y a x b = 1 2 En donde, al igual que en el caso anterior b = c a. Esta ecuación se conoce como la forma estándar de la ecuación de una hipérbola vertical centrada en el origen. Los vértices son, en este caso A' ( 0, a), A( 0, a). Esto significa que, el eje transverso es vertical y el eje conjugado es horizontal. Nota: En la ecuación en forma estándar, cuando la 2 hipérbola es horizontal el coeficiente de x es positivo, cuando la hipérbola es vertical este coeficiente es negativo. Aún cuando la propiedad conmutativa permita cambiar el orden de los términos de una ecuación, se prefiere anotar siempre en primer lugar el término positivo y en segundo el negativo. J