Tema 4. Geometría analítica

Transcripción

1 Tema 4. Geometría analítica Este documento tiene como propósito que conozcas la parábola y las reglas que la regulan. Para facilitar la comprensión del tema, se incluyen algunos ejemplos. Subtema 4.3 La párabola Definición de parábola Una parábola es el conjunto de puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta llamada directriz. Figura 1. Parabola y recta directriz Las ecuaciones de las parábolas verticals u horizontales en su forma normal son las siguientes. Parábola vertical: Parábola horizontal: 1

2 Si, la parábola abre hacia arriba o hacia adelante si se trata de parábolas verticales u horizontales respectivamente. Por el contrario si las parábolas abren hacia abajo o hacia atrás. Las formas canónicas siguientes contienen información sobre la distancia focal p. Parábola vertical con vértice en el origen. Parábola vertical con vértice. Parábola horizontal con vértice en el origen. Parábola horizontal vertical con vértice. Vértice de una parábola El vértice de una parábola es su extremo o punto de retorno y puede obtenerse como h = b 2a k = f(h) es el valor de y cuando x = h. EJEMPLO 1 Obtención del vértice de una parábola. Obtenga el vértice de las siguientes parábolas y trace su gráfica. a) b) 2

3 a) Aplicando las fórmulas para el vértice se obtiene: h = b 2a = 4 2(1) = 2 k = 2 2 4(2) + 1 = 3 El vértice está en cuadrático es positivo:. La gráfica abre hacia arriba porque el coeficiente del término b) h = b 2a = 2 2(1) = 1 k = 1 2 2(1) 1 = 2 El vértice es. Ahora la gráfica es horizontal y abre hacia la derecha porque es positivo: EJEMPLO 2. Obtención de la distancia focal 3

4 La distancia focal es. La gráfica correspondiente es la siguiente. EJEMPLO 3. Obtención de distancia focal. La distancia focal es, pero es nagativa por lo que la parábola abre hacia abajo. La gráfica correspondiente es la siguiente. EJEMPLO 4. Parábola en el origen y abriendo hacia la derecha 4

5 La distancia focal es. La gráfica correspondiente es la siguiente. EJEMPLO 5. Parábola en el origen y abriendo hacia la izquierda La distancia focal es. Pero, es negativa por lo que abre hacia la izquierda. La gráfica correspondiente es la siguiente. 5

6 EJEMPLO 6. Parábola afuera de origen La distancia focal es. Pero, es positiva por lo que abre hacia la arirba. La gráfica correspondiente es la siguiente. EJEMPLO 7. Obtención de las coordenadas del vértice. Determine la distancia focal, las coordenadas del vértice y trace la gráfica de la ecuación 6

7 Se debe hacer un acomodo algebraico para reconocer al vértice y a la distancia focal. Ecuación inicial. Se multiplica toda la ecuación por. Se completó en cuadrado en. Se restó en ambos lados. Se factorizó el lado izquierdo. Al comparar con se observa que La gráfica correspondiente es la siguiente: EJEMPLO 8. Aplicación. Foco de un espejo parabólico Un espejo parabólico tiene una profundidad de 16 cm en el centro y el diámetro en su parte 7

8 superior (sección circular) es 48 cm. Obtener la distancia focal. Visto de perfil, el espejo es una parábola. Al seleccionar un sistema de coordenadas se puede trazar la parábola con vértice en el orígen, como se muestra en la figura En esta situación la ecuación de la parábola es. Para determinar obsérvese que el punto pertenece a la parábola y, por lo tanto, se puede sustituir en la ecuación. La distancia focal es. 8