ÍNDICE ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7

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1 SEMANA 7 SEMANA 7

2 ÍNDICE FUNCIONES (PARTE II)... 3 APRENDIZAJES ESPERADOS... 3 INTRODUCCIÓN... 3 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES... 4 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES... 4 FUNCIONES PARES E IMPARES... 6 DEFINICIÓN... 8 FUNCIONES CUADRÁTICAS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS... 8 GRÁFICA DE FUNCIONES CUADRÁTICAS... 9 FORMA ESTÁNDAR DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA... 9 VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA ÁLGEBRA DE FUNCIONES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES FUNCIONES INVERTIBLES LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES INVERSAS CÓMO HALLAR LA FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN QUE ES UNO A UNO COMENTARIO FINAL REFERENCIAS

3 FUNCIONES (PARTE II) APRENDIZAJES ESPERADOS Siguiendo con el tema de las funciones, esta semana se aprenderá a reconocer y aplicar algunas propiedades de las funciones como, por ejemplo, a saber cuándo una función es invertible. A veces, es conveniente pensar en que las funciones son un proceso y es interesante saber cuándo ese proceso es reversible, en esos casos se dirá que la función es invertible. INTRODUCCIÓN Las funciones se usan con frecuencia para modelar cantidades cambiantes. Esta semana se aprenderá cómo determinar si una función es creciente o decreciente, uno a uno, sobreyectiva, invertible, entre otras propiedades. También se dará un pequeño vistazo a los máximos y mínimos de funciones cuadráticas. Cómo determinar máximos y mínimos no cuadráticas de funciones más complejas se aprenderá para el curso de Cálculo. 3

4 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Es muy útil saber dónde sube una gráfica de una función o dónde baja. La gráfica mostrada en la siguiente figura sube del punto al punto y luego baja de a. Entonces, se dirá que la función es creciente cuando su gráfica sube y decreciente cuando la gráfica baja. Formalmente, se define: La función se dice creciente en el intervalo si siempre que en La función se dice decreciente en el intervalo si siempre que en 4

5 es creciente es decreciente Por ejemplo, considere la función cuya gráfica se muestra a continuación: Fuente: Material elaborado para este curso: Costa, T Es creciente desde 0 hasta el punto y es decreciente desde hasta. Ejemplo de uso de una gráfica para hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) Trace la gráfica de la función. b) Halle el dominio y el rango de la función. c) Encuentre los intervalos en los que crece y en cuáles decrece. 5

6 La función está bien definida en todos los reales, por lo que su dominio es. Por otro lado, al estar la variable al cuadrado los valores que toma la función son todos mayores o iguales que cero, de hecho se tiene que y, por lo tanto,, entonces el recorrido es. Finalmente, de la gráfica es claro que la función baja para los reales negativos y sube para los reales positivos, por lo que es decreciente en y es creciente en. FUNCIONES PARES E IMPARES Si una función satisface para todo número en su dominio, entonces se llama una función par. Por ejemplo, la función es par porque: La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje Y. Esto significa que si se ha trazado la gráfica de para, entonces se puede obtener la gráfica completa simplemente reflejando esta porción en el eje Y. 6

7 Gráfica para Gráfica completa Fuente: Material elaborado para este curso: Costa, T Por otro lado, si la función satisface para todo número en el dominio entonces se llama función impar. Por ejemplo, la función es impar porque: La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Si se ha trazado la gráfica de para, entonces se puede obtener la gráfica completa: Gráfica para Gráfica completa 7

8 DEFINICIÓN Sea una función, entonces: a) es par si para todo se cumple que b) es impar si para todo se cumple que La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y. Por otro lado, las funciones impares son simétricas respecto del origen. Ejemplo. Determine cuál de las siguientes funciones es par o impar o ninguna de las dos. a) b) c) a) la función es impar: b) es una función par, porque. c) Esta función no es par ni impar, ya que: y por lo que para no se cumple ninguna de las dos pariedades. FUNCIONES CUADRÁTICAS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS En valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. Para una función que representa la ganancia en un negocio, se estaría interesado en el valor máximo; para una función que representa la cantidad de material de un proceso de manufactura, se estaría interesado en el valor mínimo. En esta parte del curso se 8

9 aprenderá cómo determinar los valores máximos y mínimos en el caso de funciones cuadráticas. GRÁFICA DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Una función cuadrática es una función de la forma: Donde y son números reales y. En particular, si se toma y, se obtiene la función cuadrática cuya gráfica es: Que ya se había visto antes en este curso. FORMA ESTÁNDAR DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática se puede expresar de la forma estándar: Donde y. La gráfica de es una parábola con vértice en ; la parábola se abre hacia arriba si o hacia abajo si. 9

10 Ejemplo de una función cuadrática estándar: Sea a) Exprese en forma estándar. b) Bosqueje la gráfica de. a) Puesto que el coeficiente de es la gráfica se abre hacia arriba y, además, no es 1, por lo que se debe factorizar este coeficiente a partir de los términos relacionados con antes de completar el cuadrado. Para comprender mejor el desarrollo anterior recuerde que una función cuadrática se puede escribir de la forma. Donde y Entonces, la forma estándar es además que el vértice de la parábola es. de donde se puede rescatar b) De lo anterior, se puede realizar la siguiente gráfica: 10

11 VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Sea una función cuadrática con forma estándar. El valor máximo o mínimo de ocurre con a) Si entonces el valor mínimo de es. b) Si entonces el valor máximo de es. 11

12 tiene un mínimo en el punto tiene un máximo en el punto Ejemplo de valor mínimo de una función: Considere la función cuadrática a) Exprese en forma estándar. b) Bosqueje la gráfica de. c) Halle el valor mínimo de. a) Para expresar la función cuadrática en la forma estándar se completa el cuadrado: b) La gráfica es una parábola que tiene el vértice en y se abre hacia arriba, como se muestra a continuación: c) Puesto que el coeficiente de es positivo, tiene valor mínimo. El valor mínimo es. Ejemplo de valor máximo de una función cuadrática: 12

13 Considere la función cuadrática : a) Exprese en forma estándar. b) Bosqueje la gráfica de. c) Halle el valor mínimo de. a) Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el cuadrado. b) Con lo anterior es posible graficar la función, obteniendo: c) Puesto que el coeficiente de es negativo, tiene un valor máximo, que es ÁLGEBRA DE FUNCIONES Dos funciones y se pueden combinar para formar nuevas funciones, de una manera similar a la manera en que se suma, resta, multiplica y divide números reales. Por ejemplo, se define: La nueva función se llama suma de las funciones y ; su valor en es. Por supuesto, la suma del lado derecho solo tiene sentido si y están definidos, es decir pertenece al dominio de y también al dominio de. Así, si el dominio de es y el dominio de es, entonces el dominio de será, de manera similar se pueden definir las otras operaciones con funciones como se muestra en la siguiente tabla: 13

14 Sean dos funciones con dominios Funciones Dominio Ejemplo de combinación de funciones y sus dominios: Sean y. a) Determine el dominio de las funciones y. b) Calcule. c) Puede evaluar a) Para determinar el dominio de las funciones y es necesario primero determinar el dominio de las funciones y por separado. El dominio de la función es y el dominio de la función es, entonces el dominio de la función es y para determinar el dominio de la función es necesario quitar del conjunto los valores de la variable donde el denominador se anula, es decir, todos los valores donde, es decir, por lo tanto el dominio de la división de con es. b) Para calcular es necesario primero conocer los valores de, entonces se tiene que: c) No es posible evaluar para pues la función no está definida para valores positivos de. 14

15 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ahora, se considerará una forma muy importante de combinar dos funciones para obtener una nueva función. Supóngase que y, se puede definir la función: La función está compuesta de las funciones y de una manera muy interesante: dado un número, se aplica primero la función y, luego, se aplica la función al resultado obtenido. En el caso del ejemplo, la función es resolver raíz cuadrada y la función es elevar al cuadrado y sumar 1, entonces en la función se eleva al cuadrado después sumar 1 y al resultado sacarle la raíz cuadrada. En general, dadas dos funciones cualquiera y, para obtener la composición de ellas dos, la que se llamará se calcula primero el valor y a dicho resultado se le aplica la función, obteniendo, es decir compuesta con. Definición: Dadas dos funciones y, la función compuesta (se denomina también la composición de con ) y está determinada por: El dominio de es el conjunto de todas las en el dominio de tal que pertenece al dominio de. Ejemplo: Determine la composición de funciones. Sea y. a) Encuentre las funciones y. b) Calcule y. a) Recuerde que para construir la función compuesta se debe determinar: tiene que:, entonces se Por otro lado, para determinar: De la parte a) se tiene que: Y. De lo anterior, se puede concluir que, en general, y son funciones distintas. 15

16 FUNCIONES INVERTIBLES Una composición interesante es cuando y son iguales y, además, se cumple que para todo valor de : En este caso se dirá que g son funciones inversas. Función uno a uno: una función con dominio se dice uno a uno si no hay dos elementos de, distintos, que tengan la misma imagen, es decir: siempre que Una forma equivalente de escribir la condición de una función uno a uno es esta: Si, entonces Si una recta horizontal cruza la gráfica de en más de un punto, entonces se puede observar que hay números tales que como se muestra en la siguiente figura: Se debe notar que los puntos y tiene la misma altura y tienen distintas preimágenes (o valores de ). 16

17 Ejemplo 1: Es la función uno a uno? La función no es uno a uno pues y. Ejemplo 2: La función es uno a uno, de hecho se cumple que si, entonces, restando 3 a ambos lados se tiene que y, luego, dividiendo por 2 resulta que, por lo tanto, la función es uno a uno. LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN Las funciones uno a uno son importantes, porque son precisamente las funciones que poseen inversas de acuerdo con lo siguiente: Definición: sea una función uno a uno con dominio y rango. Entonces su función inversa tiene dominio y rango y está definida por: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES INVERSAS Sea una función uno a uno con dominio y rango. La función inversa satisface las siguientes propiedades de cancelación: a) para todo valor de b) para todo valor de. Por otro lado, cualquier función que y son inversas entre sí. que satisface estas ecuaciones es la inversa de. Y se dirá Ejemplo: Verificar que dos funciones son inversas. Muestre que y son inversas entre sí. Observe que el dominio y recorrido de ambas funciones es. Y se cumple que: 17

18 a) b) Por l o tanto, se cumple que ambas funciones son una la inversa de la otra. CÓMO HALLAR LA FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN QUE ES UNO A UNO 1) Escriba. 2) Resuelva la ecuación en términos de, dicho de otra manera, despeje en función de. 3) Intercambie e. La ecuación resultante es Ejemplo 1: Encuentre la inversa de la función. Siguiendo los pasos antes indicados se debe primero escribir se despeja la en función de :. Como segundo paso Finalmente, se cambia por, y se escribe que:. Ejemplo 2: Encuentre la inversa de la función. Primero hay que notar que el dominio de la función es el conjunto de valores de que satisface es decir y el rango es. Asimismo, la función es uno a uno, de hecho: Entonces, si, entonces, lo que implica que. Por lo que la función inversa es. 18

19 COMENTARIO FINAL En el estudio de las funciones, es interesante conocer cuando un proceso es uno a uno, es decir, cuando cada valor en el dominio se relaciona únicamente con un valor en el rango o recorrido, es por eso que el estudio de funciones se hace interesante. Se puede destacar que cada vez que una función es estrictamente creciente, entonces esta es uno a uno y, por lo tanto, restringiendo el conjunto de llegada al rango es posible determinar su inversa. Esta y muchas de las propiedades vistas en esta semana son usadas a diario por todos, es por esto último, además, que es relevante conocerlas y manejarlas con propiedad. REFERENCIAS Baldor, A. (2004). Álgebra. México D. F.: Publicaciones Cultural S. A. Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson. Purcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Prentice-Hall Hispanoamericana. 19