Universidad Nacional de Ingeniería UNI FACULTAD DE ELECTROTECNIA Y COMPUTACION

Transcripción

1 Universidad Nacional de Ingeniería UNI FACULTAD DE ELECTROTECNIA Y COMPUTACION Técnico Superior en Computación MATEMATICA Funciones: Rango, dominio y Graficas Tutor: Lic. Alberto Silva Elaborado Por: Bernardo Enoc Arce Juarez 04 de Junio de 2011

2 Investigar: que es factorización y productos notables. Factorización: En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b). La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra. Productos Notables: Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Factor común: El resultado de multiplicar un binomio a + b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva: c a + b = ca + ab Cuadrado de un binomio: Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir: a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 a b 2 = a 2 2ab + b 2 Producto de dos binomios con un término común: Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes. x + a x + b = a 2 + a + b x + b 2

3 Producto de dos binomios conjugados: Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados. a + b a b = a 2 b 2 Polinomio al cuadrado: Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos. a + b + c 2 = a 2 + b 2 + c ab + ac + bc Binomio al cubo o cubo de un binomio: Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. a + b 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. a b 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios. I si f x = x 2 1, encuentre: 1) f 1 = = 1 1 = 0 2) f k = k 2 1 3) f 1 x = 1 x = 1 = 1 x 2 x 2 x 2 4) f(3x) = 3x 2 1 5) F pi = pi 2 1 = = =

4 II) Si x = 1 y+1, determine 1. 0 = = 1 1 = 1 2. x = 1 x+1 = 1 1 x 3. 1 = 1 x 2 1 = 1 x x 2 = x 2 1+x 2 x π = 1 2π+1 = = III Encuentre el dominio de las siguientes funciones 1. f x = 4 x 2 x 2 x 6 Primero encontremos las raíces de x 2 x 6. x 2 x 6 = x 3 x + 2 por tanto las raíces son x 1 = 3 y x 2 = 2 Por tanto: El dominio son los números reales excepto los valores que hacen cero a x 2 x 6 esto valores son x 1 = 3 y x 2 = 2. Dom f x = R 3, 2 2. g u = 2u + 3 Dominio de son todos los números reales Dom g u = R 3. (t) = 1 t+2 El dominio son todos los números reales excepto el valor que me hace cero el denominador t + 2, t + 2 = 0 entonces t = 2 Para que el denominador de 1 t+2 sea cero t tiene que ser igual a 2 Dom t = R 2 4. i x = x 2 3x Como no hay valores prohibidos entonces el dominio son los números reales. Dom i x = R

5 IV Dada las siguientes funciones realice lo siguiente: a) Clasifique cada una de ellas b) Encuentre su dominio y recorrido c) Determine si es par, impar o ninguna de las dos d) Grafique. Tipo Función Tipo Dominio Recorrido Ningu Par Impar na f x = 4 Constante Dom f x = R -4 X g x = 2x + 1 Lineal Dom f x = R Rnd f x = R X h x = x ó x 3 Radical Dom x = R Dom x = R 0 X s x = x x 2 Polinómica Dom s x = R ± 1 Rec s x = 0.5,0.5 X + 1 Valor u x = x + 3 Dom u x = R Rec u x = 0, X Absoluto u x = x Cuadrática Dom u x = R Rec u x = 1, X Raíz T x = x 1 Dom u x = 1, Dom T x = R Cuadrada + 0 X u x = x Lineal Dom u x = R Rec u x = R X Raíz v x = x Dom u x = R Dom u x = 2, + X Cuadrada. Función par: Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si: x/x A x A f x = f x Función par: Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si x/x A x A f x = f x

6 GRAFICAS de la funciones anteriores 1. f x = 4 función constante f x = c 2. g x = 2x + 1 función lineal de f x = ax + b la forma

7 3. h x = x ó x 3 función radical 4. s x = x función polinomica x 2 +1

8 5. u x = x + 3 función valor absoluto 6. u x = x función cuadrática de f x = ax 2 + bx + c la forma

9 7. T x = x 1 función raíz Cuadrada 8. u x = x función lineal de f x = ax + b la forma

10 9. v x = x función raíz cuadrada la forma Investigue las siguientes funciones: Función lineal: Una función lineal es una función de la forma f x = ax + b. Donde su dominio son los números reales y su imagen o recorrido son también lo números reales. Función cuadrática: Una función lineal es una función de la forma f x = ax 2 + bx + c. Donde a, b y c y c son constantes y a 0 su dominio son los números reales su grafica es una parábola que se abre hacia arriba si el signo del coeficiente a es positivo y se abre hacia abajo si el signo del coeficiente a es negativo. Tiene un vértice que esta dado por el par ordenado Función cubica: Función racional: b 2a, f b 2a.