USO DE LA PROPIEDAD DE PRODUCTO CERO 5.1.3

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1 USO DE LA PROPIEDAD DE PRODUCTO CERO El gráfico de una función cuadrática, una parábola, es una curva simétrica. Su punto más alto o más bajo recibe el nombre de vértice. El gráfico de una parábola puede crearse usando una ecuación en forma y a + b + c. En lecciones anteriores, los alumnos graficaron parábolas sustituyendo valores de y calculando y. Este puede ser un proceso tedioso. Otro método de graficar una parábola es hallar primero los puntos de corte con el eje y luego hallar el vértice y/o el punto de corte con el eje y. Para hallar los puntos de corte con el eje, sustituye y por 0 y resuelve la ecuación cuadrática 0 a + b + c. Un método para resolver una ecuación cuadrática consiste en factorizar y usar la Propiedad de producto cero. Este método se basa en dos ideas: (1) Cuando un producto es igual a cero, al menos uno de los factores debe ser cero. () Algunas epresiones cuadráticas pueden ser factorizadas como el producto de dos binomios simples. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Halla los puntos de corte con el eje de la parábola y Luego, halla el punto de corte con el eje y y diagrama la parábola. Primero, sustituye y por 0: Luego factoriza la epresión cuadrática. ( + )( + ) 0 Iguala cada factor a 0. ( + ) 0 o ( + ) 0 Resuelve ambas ecuaciones para calcular. o Halla el punto de corte con el eje y sustituyendo por 0. y (0) + (0) El gráfico es un parábola con puntos de corte con el eje en (, 0) y (, 0), y un punto de corte con el eje y en (0, 8). Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 1

2 Ejemplo Usa los puntos de corte con el eje y el vértice para diagramar el gráfico de y. Sustituye y por Factoriza la epresión cuadrática. ( 3)( 5) 0 Iguala cada factor a 0. ( 3) 0 o ( 5) 0 Resuelve ambas ecuaciones para calcular. 3 o 5 3 o 5 Para hallar el vértice, calcula el promedio de los puntos de corte con el eje y usa ese valor de para calcular el valor correspondiente de y. El promedio de los puntos de corte con el eje es Sustituir esto en la ecuación original arroja como resultado: (1.75) + 7(1.75) Entonces, el vértice se encuentra en (1.75, 1.15). Usa el vértice y los puntos de corte con el eje en ( 3, 0) y (5, 0) para diagramar el gráfico de la parábola. Ejemplo 3 Diagrama el gráfico de y. Sustituye y por Factoriza la epresión cuadrática. (3 1)(3 1) 0 Calcula. Observa que los factores son iguales, (3 1) 0 así que solo habrá una solución Sustituye por 0 en la ecuación original para hallar que el punto de corte con el eje y es (0, 1). El gráfico es una parábola con un único punto de corte con el eje en ( 1, 0) y un punto de corte con el eje y 3 en (0, 1). y 015 CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

3 Problemas Usa la Propiedad de producto cero para hallar los puntos de corte con el eje de los gráficos de las siguientes funciones cuadráticas: 1. y + 0. y y 3 7. y y + 5. y y y y Halla los puntos de corte con los ejes e y de los gráficos de las siguientes funciones cuadráticas y diagrama sus gráficos. 13. y y y 7 1. y y 1 5 Respuestas 1. ( 5, 0) y (, 0). (, 0) y ( 3, 0) 3. (, 0) y (3, 0) 3. ( 5 3, 0) y (, 0) 5. ( 3, 0) y ( 1, 0). (, 0) y (, 0) 10. ( 3, 0) y ( 5 3, 0) 11. ( 3, 0) 1. ( 1, 0) y ( 3, 0) 13. Ptos. de corte con el y 1. Ptos. de corte con el eje ( 1, 0), ( 3, 0) eje (, 0), (1, 0) Pto. de corte con el Pto. de corte con el eje y: (0, 3) eje y: (0, ) y y 15. Ptos. de corte con el 1. Ptos. de corte con el eje ( 0.5, 0), (, 0) eje (, 0), 3, 0 Pto. de corte con el Pto. de corte con el eje y: (0, ) eje y: (0, 8) 17. Ptos. de corte con el eje : ( 5, 0 5 ),, 0 Pto. de corte con el eje y: (0, 5) ( ) y ( ) y Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 3

4 RESOLVER COMPLETANDO EL CUADRADO Una ecuación cuadrática de forma (a p) q se encuentra en forma de cuadrado perfecto. Una ecuación en forma de cuadrado perfecto tiene dos soluciones, como 5, porque (5) 5 y ( 5) 5. Sin embargo, los alumnos suelen olvidar considerar ambas soluciones, porque el radical solo se refiere a la raíz cuadrada principal o positiva. Así, el hecho de que es usado en el proceso de resolución. Ejemplo 1 Ejemplo ( 3) 5 ( 3) 5 ( 3) o 3 5 ( 3) o 3 ± o 3 5 El proceso de reescribir una ecuación cuadrática en forma estándar, a + b + c 0, en forma de cuadrado perfecto recibe el nombre de completar cuadrados (o el cuadrado). Este proceso se ilustra en los ejemplos de esta sección. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 5... Ejemplo 1 Resuelve El lado izquierdo ya es un trinomio cuadrado perfecto, como demuestran los azulejos algebraicos. Factoriza el lado izquierdo para escribirlo como un cuadrado perfecto. Luego resuelve la ecuación en forma de cuadrado perfecto. Simplifica ( + )( + ) 5 ( + ) 5 ( + ) o o CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

5 Ejemplo Resuelve Primero, reescribe la ecuación de forma que el término constante se encuentre del otro lado del signo de igualdad. Crea un cuadrado parcial con azulejos algebraicos para el lado izquierdo de la ecuación. Luego decide cuántos azulejos de unidad se necesitan para completar el cuadrado. En este ejemplo se necesitan 1 azulejos de unidad, así que suma 1 azulejos de unidad para completar el cuadrado Para mantener la ecuación equilibrada, suma 1 a ambos lados. Factoriza el lado izquierdo para escribirlo como un cuadrado perfecto y resuelve la ecuación. Ejemplo 3 Resuelve Reescribe la ecuación con el término constante del otro lado. Debemos convertir + 5 en un cuadrado perfecto. Imagina que creas un cuadrado para + 5 usando azulejos algebraicos. Los cinco azulejos deben ser divididos en partes iguales, así que los lados del cuadrado serán +.5 y +.5. Debería haber (.5).5 azulejos en la esquina superior izquierda para completar el cuadrado. Suma.5, o 5, a cada lado de la ecuación. Factoriza el lado izquierdo para escribirlo como un cuadrado perfecto y resuelve la ecuación ( + ) + + o+.5 + ± 1.55 o ? ( + 5 ) ( + 5 ) ± 17 0.,.5 Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 5

6 Problemas Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado: 1. ( + ) 3. y y y + 5y Respuestas 1. ± 3. 8 o 3. 1 o 3. ± ± 7. 5 o ± o 9. no tiene soluciones reales o ± o ± 1 1± ± CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

7 USO DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA 5.. Cuando una ecuación cuadrática no puede ser factorizada, se necesita otro método para calcular. Siempre puedes resolver una ecuación cuadrática completando cuadrados, pero eso puede ser desafiante cuando los coeficientes son altos. La Fórmula cuadrática se puede usar para resolver cualquier ecuación cuadrática, sin importar su complejidad. Las soluciones a cualquier ecuación cuadrática a + b + c 0 son: b ± b ac a El símbolo ± se lee como más o menos e indica que debes resolver la fórmula dos veces, una con + y una con para obtener los dos valores de. Para usar la fórmula, la ecuación cuadrática debe estar escrita en forma estándar: a + b + c 0. Esto es necesario para identificar correctamente los valores de a, b, y c. Una vez que la ecuación se encuentra en forma estándar e igualada a 0, a es el coeficiente del término, b es el coeficiente del término y c es el término constante. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Resuelve Identifica a, b, y c. Presta atención a los signos. a, b 5, c 3 Escribe la Fórmula cuadrática. Sustituye a, b, y c en la fórmula y realiza los cálculos iniciales. b± b ac a ( 5)± ( 5) ()( 3) () Simplifica el. 5± 5 ( ) 5± 9 Calcula ambos valores de o Las soluciones son 3 o 1. Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 7

8 Ejemplo Resuelve Identifica a, b, y c. a 3, b 5, c 1 Escribe la Fórmula cuadrática. Sustituye a, b, y c en la fórmula y realiza los cálculos iniciales. b± b ac a (5)± (5) (3)(1) (3) Simplifica el. 5± 5 1 5± 13 Las soluciones son o 1.3. Ejemplo 3 Resuelve Identifica a, b, y c. a 5, b 0, c Escribe la Fórmula cuadrática. Sustituye a, b, y c en la fórmula y realiza los cálculos iniciales. b± b ac a ( 0)± ( 0) (5)() (5) Simplifica el. 0± ± Esta ecuación cuadrática tiene una sola solución: CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

9 Ejemplo Resuelve Reescribe la ecuación en forma estándar. Identifica a, b, y c. Escribe la Fórmula cuadrática. Sustituye a, b, y c en la fórmula y realiza los cálculos iniciales a 1, b, c 10 b± b ac a ()± () (1)(10) (1) Simplifica el. ± 1 0 ± No eiste ningún número real que pueda ser elevado al cuadrado para obtener ; por lo tanto, esta ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. Problemas Resuelve las siguientes ecuaciones usando la Fórmula cuadrática: ( 3 + 5) (5 + 5)( 5) 7 Identifica el error en la resolución de cada una de las siguientes ecuaciones. Luego escribe la solución correcta al problema. 13. Resuelve: a 3, b, c 1 ± (3)(1) (3) ± 3 1 ± 1± 1. Resuelve: a, b 7, c 5 7± 7 ( )(5) ( ) 7± 9 0 7± o.5 Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 9

10 Respuestas 1. o 1 1± o 1.30 o ± 19 1± o o 0.9 ± 0 ± 10 1± 17 5± o o o 0.70 ± 1 1± 31 7± no tiene soluciones reales o o La fórmula comienza con b ; se omitió el signo negativo. 1± 1. En el radical, ac debería ser igual a ± CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

11 NÚMEROS COMPLEJOS 5.. Los números complejos surgen al intentar resolver algunas ecuaciones como + 1 0, que no tienen soluciones reales, pero sí tienen una solución compleja. El número imaginario i es definido como 1, así que i 1. Al multiplicar i por un número real, el resultado es otro número imaginario, como i, 3i, y i. Cuando se suma un número imaginario a una real, el resultado es un número complejo. Los números complejos se escriben en forma a + bi, donde a y b son números reales. Para más información, consulta los Apuntes históricos y el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 5... Ejemplo 1 Usa la definición de i para simplificar las siguientes epresiones: a b. (3 + i) + ( i) c. (i)( 5i) d. (8 3i)(8 + 3i) Al simplificar, recuerda que i 1 e i 1. Punto (a): i. Esta es la forma más simple: las partes real e imaginaria de los números complejos no se pueden combinar. Punto (b): Combina términos semejantes: (3 + i) + ( i) 1 i. Punto (c): Usa la Propiedad conmutativa para reorganizar la epresión: (i)( 5i) ()( 5)(i)( i) 0i 0( 1) 0. Punto (d): Usa la Propiedad distributiva o un modelo de área para calcular este producto. (8 3i)(8 + 3i) 8(8) + 8(3i) 3i(8) 3i(3i) + i i 9(i ) i 8 3i i i 9 Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 71

12 Ejemplo Resuelve la ecuación de abajo usando la Fórmula cuadrática. Eplica qué te dice la solución sobre el gráfico de la función relacionada En este ejemplo, a, b 0, y c 53. Solución: ( 0)± ( 0) ()(53) () 0± 00 0± 0± 0± 1 0±i ( ) 10±i 10±i 5 ± i Ya que la ecuación tiene soluciones complejas, esto significa que el gráfico de la función relacionada y no atraviesa el eje. Verifica esto con tu herramienta de graficación. Problemas Simplifica las siguientes epresiones: 1. ( + i) ( i). 8i 1 3. ( 3)(i)(7i). (5 7i)( + 3i) 5. (3 + i)(3 i). ( 5i)( + 5i) (8i) 9. (i 3) 10. (3 + i) + (7 i) 11. (5i)(i) 1. ( + 9i)(1 i) Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

13 Respuestas i. i i i i i 11. 0i i 13. 5± 5 (3)() 5±i 3 (3) 1. 1± i ±3i 1 ± 3 i 1±i 31 1 ± 31 5±i 7 i ± 7 1 i Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 73

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