TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES Y y TERNAS PITAGÓRICAS

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1 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES Y TERNAS PITAGÓRICAS Eisten dos triángulos rectángulos especiales que suelen aparecer en matemáticas: el triángulo --90 el triángulo Todos los triángulos --90 todos los triángulos --90 son semejantes entre sí por ~ AA. Por lo tanto, los lados de estos tipos de triángulos son proporcionales. Los lados de los siguientes triángulos siguen estos patrones (para comprender generar estos patrones, puede ser útil pensar en un triángulo --90 como medio triángulo equilátero, en un triángulo --90 como medio cuadrado). a 2a a m m m 2 Otra herramienta útil cuando se trabaja con triángulos rectángulos es reconocer cuándo las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos son Ternas pitagóricas. Las longitudes, 4, forman una Terna pitagórica porque las tres son números enteros satisfacen el Teorema de Pitágoras. Los lados de todos los triángulos semejantes al triángulo : 4 : tendrán longitudes con la misma razón que conforman Ternas pitagóricas (6 : 8 : 10, 9 : : 1, etc.). Otra Terna pitagórica común es : : 1. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Usa los patrones de triángulos para calcular las longitudes de los lados no etiquetados de los triángulos de abajo. a. b. c d. e. f CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

2 Punto (a): Este es un triángulo El patrón nos dice que la hipotenusa mide el doble que el cateto menor. Ya que el cateto menor mide 6, la hipotenusa mide. La longitud del cateto maor es igual al cateto menor por, o sea el cateto maor tiene una longitud de 6. (Nota: también puedes usar el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud del último lado una vez que conoces las de los otros dos). 6 6 Punto (b): Este es otro triángulo --90, pero esta vez conocemos la longitud de la hipotenusa. El patrón nos dice que la longitud del cateto menor es la mitad de la hipotenusa: 7. Igual que antes, multiplicamos la longitud del cateto menor por para obtener la longitud del cateto maor: Punto (c): Este es un triángulo --90 (puedes verificar que la medida del ángulo faltante es recordando que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180 ). Los catetos de un triángulo --90 miden lo mismo (es isósceles) así que la longitud del cateto faltante es. Para hallar la longitud de la hipotenusa, debemos multiplicar la longitud de los catetos por 2. Por lo tanto, la hipotenusa mide 2. 2 Punto (d): Este es otro triángulo Esta vez conocemos la longitud del cateto maor. Para hallar la longitud del cateto menor debemos dividir la longitud del cateto maor por. Por lo tanto, la longitud del cateto menor es 8. Para calcular la longitud de la hipotenusa, ha que duplicar la longitud del cateto menor, se obtiene la hipotenusa que mide. 8 8 Punto (e): Este es un triángulo --90 conocemos la longitud de su hipotenusa. Para hallar la longitud de los catetos (que miden lo mismo), dividiremos la longitud de la hipotenusa por 2. Por lo tanto, cada cateto tiene una longitud de Punto (f): Este es otro triángulo 4º-4º-90º conocemos la longitud de su hipotenusa. En el punto (e), donde conocíamos la longitud de la hipotenusa, dividimos por 2 para hallar las longitudes de los catetos, esta vez haremos lo mismo Nota: multiplicar por es lo que llamamos racionalizar el denominador. Se trata de una 2 técnica que permite eliminar el radical del denominador. El recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección describe este proceso. Guía para padres con práctica adicional 201 CPM Educational Program. All rights reserved. 7

3 Ejemplo 2 Usa lo que sabes sobre las Ternas pitagóricas los triángulos semejantes para completar las longitudes faltantes en los triángulos dados a continuación. a. b. c Eisten algunas Ternas pitagóricas comunes que los alumnos deberían reconocer; : 4 :, : : 1, 8 : 1 : 17, 7 : 24 : 2 son las más comunes. Si olvidas una terna determinada o no logras reconocerla, siempre puedes hallar la longitud del lado desconocido usando el Teorema de Pitágoras cuando conoces las longitudes de dos lados. Punto (a): Este triángulo es semejante al triángulo : 4 :. La longitud de la hipotenusa es 00. Punto (b): Las longitudes de ambos catetos son múltiplos de 4. Sabiendo esto, puedes reescribir la longitud como 48 4(), 20 (4)(). Se tratar de un múltiplo de un triángulo : : 1. La longitud de la hipotenusa es 4(1) 2. Punto (c): No dejes que el decimal te complique. De hecho, a que estamos trabajando con Ternas pitagóricas sus múltiplos, podemos multiplicar ambos lados por dos para crear un triángulo semejante. Esto hace desaparecer el decimal crea un triángulo semejante con un cateto de 24 unidades una hipotenusa de 2 unidades. Ahora podemos reconocer la terna 7 : 24 : 2. Ya que los lados del triángulo miden la mitad que los lados de un triángulo 7 : 24 : 2, la longitud del cateto correspondiente a 7 unidades es CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

4 Problemas Identifica las relaciones especiales entre triángulos luego halla los valores de,, o ambas Respuestas 1. 8, , , , Guía para padres con práctica adicional 201 CPM Educational Program. All rights reserved. 77

5 EXPONENTES FRACCIONARIOS Un eponente fraccionario es equivalente a una epresión con raíces o radicales. Cuando 0 n 0, m/n ( m ) 1/n n m o m/n ( 1/n ) m n ( ) m. Los eponentes fraccionarios también se pueden usar para resolver ecuaciones con eponentes. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Reescribe cada epresión en forma radical simplifícala de ser posible. a. /4 b. ( 8) 2/ Solución: a. /4 o /4 b. ( 8) 2/ o ( 8) 2/ ( 1/4 ) 4 ( ) (2) 2 ( ) 1/4 (1, 048, 76) 1/4 4 1, 048, 76 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 8) 1/ 8 ( 2) 2 4 (( 8) 2 ) 1/ ( 64 ) 1/ 64 4 Ejemplo 2 Simplifica cada epresión. Las respuestas no deben contener paréntesis ni eponentes negativos. a. (144 ) 1/2 b / Uso de las Propiedades de las potencias: ( a. (144 ) 1/2 144 )1/ b / / 1/ CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

6 Problemas Reescribe cada epresión de al menos tres formas equivalentes distintas simplifícalas. 1. (64) 2/ 2. 1/2. ( 27) 1/ Simplifica las epresiones a continuación. La epresión final no debería contener eponentes negativos ni paréntesis. 4. ( ) 2. (6 1/2 4 )( ) / 7. (a 8 b ) / /2 ( /4 7 ) 0 9. a 2/ b /4 c 7/8 a 1/ b 1/4 c 1/8 Respuestas Se incluen ejemplos de respuestas posibles a los problemas 1. Ha otras respuestas posibles , (64 2 ) 1, ( 64 ) 2, 2. 1 () 1/2, 1, 1, 1 4. (( ) ) 1, 1 27, 27, a 6 b ac /4 b Guía para padres con práctica adicional 201 CPM Educational Program. All rights reserved. 79