LA ECUACIÓN DE UN CÍRCULO

Transcripción

1 Capítulo 10 L ECUCIÓN DE UN CÍRCUL Los alumnos han calculado las circunferencias áreas de círculos, de partes de los círculos, han usado las propiedades de los círculos en problemas de aplicación de probabilidad. En esta sección, se ubica al círculo en un gráfico de coordenadas de modo que los alumnos puedan encontrar la ecuación de un círculo. Para más información, consulta el recuadro de puntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Cuál es la ecuación del círculo con centro en el origen con un radio de 5 unidades? La clave para encontrar la ecuación de este círculo es el eorema de Pitágoras. Ello significa que tendremos que crear un triángulo rectángulo dentro del círculo. Primero, dibuja el círculo en una hoja cuadriculada. Las coordenadas de cualquier punto en el círculo pueden ser representadas como (, ). Como los etremos del radio son (0, 0) (, ), podemos representar la longitud del cateto vertical como la longitud del cateto horizontal como. i llamamos al radio r, entonces usando el eorema de Pitágoras podemos escribir = r 2. Como sabemos que el radio es 5, podemos escribir la ecuación de este círculo como = 5 2, o = 25. (, ) Ejemplo 2 Grafica el círculo ( 4) 2 + ( + 2) 2 = 49. Este es un círculo con un radio de 7 unidades. Este, sin embargo, no está centrado en el origen. La ecuación general de un círculo es ( h) 2 + ( k) 2 = r 2. El centro del círculo está representado por (h, k), por lo tanto, en este ejemplo el centro es (4, 2). Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. ll rights reserved.

2 Ejemplo 3 Cuál es el centro el radio del círculo = 0? Esta ecuación no está en la forma de graficación, ( h) 2 + ( k) 2 = r 2, por lo tanto, es necesario utilizar el método de completar cuadrados. Para hacer un cuadrado perfecto para, tenemos que añadir 9 unidades a ambos lados de la ecuación, para hacer un cuadrado perfecto para, tenemos que agregar 1 unidad a ambos lados de la ecuación (o añadir un total de 10 a ambos lados de la ecuación). Finalmente, factoriza los trinomios cuadrados perfectos para reescribir la ecuación en forma de graficación. El centro es (3, 1), el radio es = 0 ( ) + ( ) 5 = 10 ( 3) 2 + ( +1) 2 = 15 Problemas 1. Cuál es la ecuación del círculo centrado en (0, 0) con un radio de 25? 2. Cuál es la ecuación del círculo centrado en el origen con un radio de 7.5? 3. Cuál es la ecuación del círculo centrado en (5, 3) con un radio de 9? Grafica los siguientes círculos. 4. ( + 1) 2 + ( + 5) 2 = ( 6) 2 = ( 3) = 64 Completa el cuadrado para convertir la ecuación de cada círculo a la forma de graficación. Identifica el centro el radio de cada círculo = = = = CPM Educational Program. ll rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

3 Capítulo 10 Respuestas = = ( 5) 2 + ( + 3) 2 = ( + 3) 2 + ( 2) 2 = 4; ( 3, 2), r = 2 8. ( + 5) 2 + ( 4) 2 = 10; ( 5, 4), r = ( 1) 2 + ( + 2) 2 = 16; (1, 2), r = ( )2 + 2 = 81 4 ; ( 9 2, 0), r = 9 2 Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. ll rights reserved.

4 MÁ CERC DE CÍRCUL En esta sección los alumnos desarrollarán herramientas para círculos, que los audarán a hallar las longitudes de cuerdas las medidas de ángulos en círculos. l igual que con muchos temas estudiados en este curso, los triángulos son útiles para resolver muchos problemas de este tipo. Para más información, consulta los recuadros de puntes de matemáticas de las Lecciones , , , Ejemplo 1 En el círculo de la derecha ha dos cuerdas, B CD. Determina el centro del círculo denomínalo P. B Las cuerdas de un círculo (segmentos con etremos sobre el círculo) son segmentos útiles. En particular, el diámetro es una cuerda especial que pasa por el centro. La mediatriz de una cuerda también pasa por el centro del círculo. Por lo tanto, para localizar el centro hallaremos la mediatriz de cada cuerda. Estas se intersecan en el centro. D C Eisten muchos modos de hallar la mediatriz de un segmento. Una manera rápida es plegar la hoja de modo de reunir los etremos de la cuerda. El pliegue será perpendicular a la cuerda la bisecará. tro método es utilizar una construcción con un compás un escalímetro. En ambos casos, el punto P del diagrama es el centro del círculo. D P B C 2015 CPM Educational Program. ll rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

5 Capítulo 10 Ejemplo 2 En a la derecha, utiliza la información provista para calcular los valores de,, z. Las partes conectadas de un círculo se denominan arcos, cualquier par de puntos en un círculo lo divide en dos arcos. El arco más grande se denomina arco maor, el más pequeño se denomina arco menor. La longitud de un arco puede calcularse como una fracción de la circunferencia. Los arcos también poseen una medida basada en la medida del ángulo central correspondiente. En el diagrama de la derecha, JE es un ángulo central pues su vértice está en el centro,. La medida de un arco es igual a la medida de su ángulo central. Dado que JE = 100, m JE = 100º, o = 100º. J 100 z E Un ángulo cuo vértice se ubica sobre el círculo se denomina ángulo inscrito. Los ángulos z son ambos ángulos inscritos. Los ángulos inscritos miden la mitad de sus arcos interceptados. En este caso, JE es el arco interceptado de z. Por lo tanto, = z = 1 2 (100º) = 50º. Ejemplo 3 En la figura de la derecha, es el centro del círculo. X tangentes a, m BX = 120º. Halla la m BX. B son B Una recta tangente a una circunferencia la interseca en un único punto. demás, un radio trazado hacia el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. Entonces, B B X X. Una forma de resolver este problema es agregar un segmento al diagrama. gregando se generarán dos triángulos congruentes por HC (B X porque ambos son radios, ). Dado que las partes correspondientes de triángulos congruentes son también congruentes, m BX = 120, sabemos que m B = m X = 60º. Ya que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180, 60º + 90º + m B = 180º. Por lo tanto, m B = m X = 30º m BX = 60. B X X Una solución alternativa es observar que los dos ángulos rectángulos en los puntos B X, adicionados a BX, suman 300. Dado que sabemos que los ángulos de un cuadrilátero suman 360, m BX = º = 60º. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. ll rights reserved.

6 Ejemplo 4 En el círculo de la derecha, DV = 9 unidades, V = 12 unidades, V = 4 unidades. Calcula la longitud de IV. V D I En el diagrama de arriba, si dibujáramos I D formaríamos dos triángulos semejantes (consulta el recuadro de puntes de matemáticas de la Lección ). Los lados de triángulos semejantes son proporcionales, por lo que podemos escribir la proporción de la derecha. ustitue las longitudes que conocemos luego resuelve la ecuación. Problemas Determina cada medida en P si m PX = 28º, m ZPY = 38º, Z XV son diámetros. V DV = IV V V DV = V IV 12 9 = IV 4 9IV = 48 IV 5.3 unidades 1. myz 2. mx 3. m VPZ 4. mvx V P X 5. m XPY 6. mxy 7. mxy 8. mzx En cada una de las siguientes figuras, es el centro del círculo. Calcula el valor de justifica tu respuesta º 146º 49º Z Y 62º º 150º 18º 100º º 55º 12º 91º 35º 29º 101º 2015 CPM Educational Program. ll rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

7 Capítulo 10 En, m = 86º me = 62º. Calcula: 21. m E 22. m E 23. m E K E 24. m En, m E = 36º m = 42º. Calcula: 25. m E 26. m 27. me K E 28. m KE 29. En el diagrama de la derecha, md = 92, md = 103, mi = 41 es tangente a. Determina m KD m V. V I K D 30. En el diagrama de la derecha, mek = 43, E K, es tangente a. Determina m E m E. E 43º K Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. ll rights reserved.

8 Respuestas 1. 38º 2. 28º 3. 28º º º º º º 9. 68º º º º º º º º º º º º (62 ) = (86 ) = º 43º = 137º º 137º 31º = 12º º 36º 42º = 102º 26. m E = 180º 102º = 78º, 2(78º) = 156º 27. 2(36º) = 72º º 36º 78º = 66º 29. m D = 1 2 (92 ), m ID = 1 2 (41 ), 180º 46º 20.5º = 113.5º, m V = 180º 46º = 134º 30. m EK = 1 2 (43 ) = 21.5, m EK = 43º, de modo que 317 queda para el otro ángulo en. m E = m K para EK, 360º 21.5º 317º = 21.5º = m E + m K, entonces m E = 1 2 (21.5º) = 10.75º. m E = 90º, m E = 10.75º, por lo que m E = 79.25º CPM Educational Program. ll rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II