POLINOMIOS

Transcripción

1 Capítulo 8 POLINOMIOS El capítulo eplora funciones polinómicas en maor profundidad. Los alumnos aprenderán cómo bosquejar funciones polinómicas sin su herramienta de graficación utilizando la forma factorizada del polinomio. Además, aprenderán el proceso inverso, es decir, cómo hallar la ecuación polinómica a partir del gráfico. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.., 8.., Ejemplo Indica si cada una de las siguientes epresiones es o no un polinomio. Si no lo es, eplica por qué no. Si lo es, indica el grado del polinomio. a b π c d. ( 3 + )( 4 4) Un polinomio es una epresión que puede escribirse como la suma o diferencia de términos. Los términos están en la forma a n, donde a es cualquier número se denomina coeficiente de, n, el eponente, debe ser un número entero. La epresión del punto (a) es un polinomio. Un coeficiente que es una fracción ( 3 ) es aceptable. El grado del polinomio está dado por el eponente más grande de la variable, que en este caso sería cuatro. La epresión del punto (b) también es un polinomio, su grado es 0. La epresión del punto (c) no es un polinomio por dos motivos. En primer lugar, no se permite porque los eponentes de la variable no pueden ser negativos. En segundo lugar, por 7. La variable no puede ser una potencia en un polinomio. Aunque la epresión del punto (d) no es la suma ni la diferencia de términos, puede escribirse como la suma o diferencia de términos multiplicando la epresión simplificando. Hacer esto da como resultado , que es un polinomio de grado 8. Ejemplo Sin usar tu herramienta de graficación, realiza un dibujo de cada uno de los siguientes polinomios usando la orientación, las raíces el grado. a. f () = ( + )( 3)( 4) b. = ( 6) ( + ) c. p() = ( + ) ( 4) d. f () = ( + ) 3 ( ) Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 9

2 A través de investigaciones, los alumnos aprenden diferentes cosas sobre los gráficos de las funciones polinómicas. Las raíces del polinomio son los puntos de corte con el eje, que se encuentran fácilmente cuando el polinomio está en forma factorizada, como es el caso de todos los polinomios anteriores. Hazte esta pregunta: qué valores de harán que esta epresión sea igual a 0? La respuesta te dará las raíces. En el punto (a), las raíces de este polinomio de tercer grado son =, 3, 4. En el punto (b), las raíces de este polinomio de tercer grado son 6. El grado de un polinomio te indica el número máimo de raíces posibles, como este polinomio de tercer grado solo tiene dos raíces, seguramente te preguntes dónde está la tercera raíz. La epresión = 6 se denomina una raíz doble, dado que está elevada al cuadrado, por lo tanto, es equivalente a ( 6)( 6). El gráfico solo tocará el eje en = 6, rebotará. El polinomio de quinto grado del punto (c) tiene tres raíces, 0,, 4, tanto como 4 son raíces dobles. El polinomio de quinto grado del punto (d) tiene dos raíces, ; es una raíz doble, es una raíz triple. La raíz triple aplana el gráfico al nivel del eje. Con las raíces, podemos dibujar los gráficos de cada uno de estos polinomios. a. b c. d. 0 4 Verifica que las raíces se ajusten a los gráficos. Además, el gráfico del punto (d) era el único cua orientación estaba volteada. Normalmente, un polinomio con un grado impar comienza de forma negativa (a medida que nos movemos a la izquierda del gráfico) finaliza de forma positiva (a medida que nos movemos hacia la derecha). Como el polinomio del punto (d) tiene un coeficiente principal negativo, su gráfico hace lo opuesto CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra

3 Capítulo 8 Ejemplo 3 Escribe la ecuación eacta del gráfico que se muestra a la derecha. A partir del gráfico podemos escribir una ecuación general basada en la orientación las raíces del polinomio. Dado que los puntos de corte con el eje son 3, 3, 8, sabemos que ( + 3), ( 3), ( 8) son factores. Además, puesto que el gráfico toca el eje en 3 rebota, ( + 3) es una raíz doble, de modo que podemos escribir esta función como f () = a( + 3) ( 3)( 8). Necesitamos determinar el valor de a para tener la ecuación eacta. ( 3, 0) (3, 0) (0, ) (8, 0) Teniendo en cuenta el hecho de que el gráfico atraviesa el punto (0, ), podemos escribir: = a(0 + 3) (0 3)(0 8) = a(9)( 3)( 8) = 6a a = 6 = 08 Por lo tanto, la ecuación eacta es f () = 08 ( + 3) ( 3)( 8). Problemas Indica si cada una de las siguientes epresiones es o no una función polinómica. Si lo es, indica el grado. Si no lo es, eplica por qué no π ( + )(6 + ) Dibuja el gráfico de cada uno de los siguientes polinomios. 4. = ( + 5)( ) ( 7) 5. = ( + 3)( + )( + 5) 6. f () = ( + 8)( + ) 7. = ( + 4)( )( 4) Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 93

4 A continuación figuran los gráficos completos de algunas funciones polinómicas. Sobre la base de la forma la ubicación del gráfico, describe todas las raíces de la función polinómica, su grado orientación. Asegúrate de incluir información, como por ejemplo si la raíz es o no doble o triple Usando los siguientes gráficos la información dada, escribe la ecuación específica para cada función polinómica.. Punto de corte con. Punto de corte con 3. Punto de corte con el eje : (0, ) el eje : (0, 5) el eje : (0, 3) Respuestas. Sí, grado 7.. No. No puedes tener en el denominador. 3. No. Cuando lo multiplicas, aún tienes en el denominador. 4. Las raíces son = 5,, 7, = es una raíz doble. Recuerda que una raíz doble muestra donde el gráfico es tangente. Este gráfico tiene orientación positiva CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra

5 Capítulo 8 5. Las raíces son = 3 = 5, que es una raíz doble. El término + no produce ninguna raíz real dado que esta epresión no puede ser igual a cero. La orientación es negativa. El gráfico cruza el eje en = Este gráfico tiene una orientación negativa las raíces son = 8,, 0. Asegúrate de incluir a = 0 como raíz. 7. nos da dos raíces. Dado que se factoriza como ( + )( ), las cinco raíces son: = 4,, 0,, 4. El gráfico tiene orientación positiva. 8. Un polinomio de tercer grado (cúbico) con una raíz en = 0, una raíz doble en = 4. Tiene orientación positiva. 9. Un polinomio de cuarto grado con raíces reales en = 5 3, una raíz doble en = 5. Tiene orientación negativa. 0. Un polinomio de quinto grado con cinco raíces reales: = 5,,, 4, 6. Tiene orientación positiva.. = ( + 3)( )( 4). = 0.( + 5)( + )( 3)( 5) 3. = ( + 3) ( )( 4) Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 95

6 NÚMEROS COMPLEJOS Se les da a los alumnos una introducción al sistema de números complejos. Los números complejos surgen naturalmente cuando se intenta resolver algunas ecuaciones tales como + = 0. Hasta ahora, los alumnos pensaban que ese tipo de ecuaciones no tenían solución. Los alumnos ven cómo la solución a esta ecuación se relaciona con su gráfico, sus raíces cómo los números imaginarios complejos también surgen en otras ecuaciones polinómicas. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.., 8.., Ejemplo Resuelve la ecuación siguiente utilizando la Fórmula cuadrática. Eplica qué te indica la solución sobre el gráfico de la función = 0 Como repaso rápido, podemos decirte que la Fórmula cuadrática indica: Si a + b + c = 0 entonces = b± b 4ac a. Aquí, a =, b = 0, c = 53. Por lo tanto, = ( 0)± ( 0) 4()(53) () = = 0± ± 4 4 Ahora tenemos una epresión con un número negativo debajo del radical. Hasta ahora, los alumnos sostenían que esta ecuación no tenía solución. De hecho, no tiene una solución real, pero sí una solución compleja. Definimos i = como un número imaginario. Cuando combinamos un número imaginario con un número real, lo denominamos número complejo. Los números complejos se escriben en la forma a + bi. Usando i, podemos simplificar la respuesta anterior. = 0± = 4 4 0± = 0±i 6 4 ( ) = 0±i 6 4 = 0±i CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra

7 Capítulo 8 Dado que esta ecuación no tiene soluciones reales, si quisiéramos graficar = veríamos una parábola que no cruza el eje. Si completáramos el cuadrado lo pasáramos a forma de graficación, obtendríamos = ( 5) + 3. El vértice de esta parábola se encuentra en (5, 3), dado que se abre hacia arriba, nunca se cruzará con el eje. Verifica esto con tu herramienta de graficación. Entonces, pues, el gráfico de la función = no tiene puntos de corte con el eje, pero sí tiene dos raíces complejas, = 0±i 6. Recuerda que dijimos que el grado de una función polinómica nos indica el máimo número de raíces. De hecho, el grado nos indica el número eacto de raíces; algunas (o todas) pueden ser complejas. Ejemplo Simplifica cada una de las siguientes epresiones. a b. (3 + 4i) + ( 6i) c. (4i)( 5i) d. (8 3i)(8 + 3i) Recuerda que i =. Por lo tanto, la epresión en (a) puede escribirse como = = 3 + 4i. Esta es la forma más simple; no podemos combinar partes reales e imaginarias del número complejo. Sin embargo, como ocurre en el punto (b), podemos combinar partes reales con partes reales partes imaginarias con partes imaginarias: (3 + 4i) + ( 6i) = i. En el punto (c), podemos utilizar la propiedad conmutativa para reorganizar esta epresión: (4i)( 5i) = (4 5)(i i) = 0i. No obstante, recuerda que i =, de modo que i = ( ) =. Por ello, 0i = 0( ) = 0. Finalmente, en el punto (d), multiplicaremos utilizando métodos que hemos usado previamente para multiplicar binomios. Puedes usar la propiedad distributiva o los rectángulos genéricos para calcular este producto. (8 3i)(8 + 3i) = 8(8) + 8(3i) 3i(8) 3i(3i) = i 4i + 9 = i 64 4i 3i 4i 9 Las dos epresiones del punto (d) son similares. De hecho, son iguales salvo por el signo del medio. Estas dos epresiones se denominan conjugados complejos, son útiles cuando se trabaja con números complejos. Como puedes ver, multiplicar un número complejo por su conjugado da como resultado un número real! Esto va a suceder siempre. Además, cuando una función con coeficientes reales tiene una raíz compleja, siempre tiene también al conjugado como raíz. Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 97

8 Ejemplo 3 Dibuja un gráfico de la función polinómica p() de forma tal que p() = 0 solo tenga cuatro soluciones reales. Cambia el gráfico de modo que tenga dos soluciones reales dos soluciones complejas. Si p() = 0 tiene solo cuatro soluciones reales, entonces p() tendrá cuatro raíces reales. Será un polinomio de cuarto grado que cruce el eje en eactamente cuatro lugares diferentes. A la derecha se muestra el gráfico Para que el gráfico tenga solo dos raíces reales dos raíces complejas, debemos cambiarlo para que una de las caídas no llegue al eje. A la derecha se muestra un ejemplo Problemas 5 Simplifica las siguientes epresiones.. (6 + 4i) ( i). 8i 6 3. ( 3)(4i)(7i) 4. (5 7i)( + 3i) 5. (3 + i)(3 i) 6. ( 3 5i)( 3 + 5i) A continuación se encuentran los gráficos completos de algunas funciones polinómicas. Sobre la base de la forma la ubicación del gráfico, describe todas las raíces de la función polinómica. Asegúrate de incluir información, como por ejemplo si las raíces son dobles o triples, reales o complejas, etc Escribe la ecuación específica para la función polinómica que atraviesa el punto (0, 5) que tiene las raíces = 5, = = 3i CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra

9 Capítulo 8 Respuestas i. 4i i Un polinomio de tercer grado con orientación negativa una raíz real en = 5 dos raíces complejas. 8. Un polinomio de quinto grado con orientación negativa una raíz real en = 4 cuatro raíces complejas. 9. = 8 ( 3 0)( + 9) Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 99

10 FACTORIZACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS Los alumnos aprenden a dividir polinomios como método para factorizar polinomios de grados superiores a dos. A través de la división con dos teoremas, los alumnos pueden reescribir polinomios en una forma más apropiada para su graficación. También pueden hallar fácilmente las raíces de los polinomios, tanto reales como complejas. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.3., 8.3., Ejemplo Divide por +. Los alumnos han aprendido a multiplicar polinomios utilizando diversos métodos, uno de los cuales utiliza rectángulos genéricos. El rectángulo genérico es un método que también funciona para la división de polinomios. Para hallar el producto de dos polinomios, los alumnos dibujan un rectángulo anotan las dimensiones con los dos polinomios. El área del rectángulo es el producto de los dos polinomios. Para la división, comenzamos con el área una dimensión del rectángulo, usamos el modelo para hallar la otra dimensión. Para repasar, considera el producto ( + )( + 3 7). Usamos las dos epresiones como las dimensiones de un rectángulo calculamos el área de cada parte más pequeña del rectángulo. En este caso, el rectángulo superior izquierdo tiene un área de 3. El siguiente rectángulo a la derecha tiene un área de 3. Continuamos calculando el área de cada rectángulo más pequeño, sumamos todo para hallar el área total. El área total representa el producto Aquí, el área total es , o una vez simplificada. Ahora realizaremos el proceso inverso para nuestro ejemplo. Confeccionaremos un rectángulo que tenga un ancho de + un área de Tenemos que movernos lentamente, sin embargo, a que no sabemos qué longitud tendrá. Agregaremos información a la figura gradualmente, ajustándola a medida que avancemos. El rectángulo superior izquierdo tiene un área equivalente al término con la 3 potencia más alta: 3. Ahora trabajaremos hacia atrás: si el área del rectángulo es 3 el lado tiene una longitud de, cuál debe ser la longitud del otro lado? Sería. Si completamos esta información encima del pequeño rectángulo superior izquierdo, podemos usarla para calcular el área del rectángulo inferior izquierdo CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra

11 Capítulo 8 El área total es , pero hasta el momento solo tenemos 3. Necesitaremos sumar 3 más al área total (más algunos términos adicionales, pero recuerda que estamos dando un paso por vez). Una vez que completamos el área restante, podemos descifrar la longitud del lado superior. Recuerda que parte del lado izquierdo tiene una longitud de. Esto significa que parte del lado superior debe tener una longitud de 3. Usa este nuevo dato para calcular el área del rectángulo que se encuentra a la derecha del rectángulo 3, luego el pequeño rectángulo debajo de ese resultado. Nuestra área total tiene un total de 7, pero solo tenemos 3 hasta el momento. Esto significa que necesitamos sumar 0 más. Coloca esta porción de área en el rectángulo a la derecha de 3. Con esta nueva porción de área agregada, podemos calcular la longitud de la parte superior usarla para calcular el área del rectángulo debajo de 0. Observa que nuestro término constante en el área total es de 0, que es también lo que tiene nuestro rectángulo. Por lo tanto, podemos escribir = + 3 0, o = ( + )( + 3 0). Ahora que uno de los términos es cuadrático, los alumnos pueden factorizarlo. En consecuencia, = ( + )( + 5)( ) Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 0

12 Ejemplo Factoriza el polinomio halla todas sus raíces. P() = Los alumnos aprenden el Teorema del cero entero, que establece que los ceros o raíces de este polinomio deben ser factores del término constante. Esto significa que las raíces reales posibles de este polinomio son ±, ±, ±3, ±4, ±6, ±8, ±, ±6, ±4, o ±48. En este caso ha 0 posibles raíces que verificar! Podemos verificarlas de diferentes maneras. Un método consiste en dividir el polinomio por la epresión binómica correspondiente (por ejemplo, si es una raíz, dividimos el polinomio por ( + ) para ver si es un factor). Otro método consiste en reemplazar cada cero del polinomio para ver cuál de ellos, si fuera el caso, hace que el polinomio sea igual a cero. Aún tenemos que hacer la división por la epresión correspondiente una vez que tengamos la raíz, pero esto implica que, a la larga, haa que dividir menos. Al reemplazar P(), obtenemos: P() = () 4 + () 4() 48 = = 60 P() = () 4 + () 4() 48 = = 56 P( ) = ( ) 4 + ( ) 4( ) 48 = = 3 P( ) = ( ) 4 + ( ) 4( ) 48 = = 0 Podríamos seguir, pero a hallamos una raíz, =. Por ese motivo, + es un factor del polinomio. Ahora podemos dividir el polinomio por este factor para hallar los demás factores Este otro factor, sin embargo, es de grado tres, aún demasiado alto para utilizar métodos más fáciles de factorización. Por ello, debemos emplear nuevamente el Teorema del cero entero hallar otro cero en la lista ±, ±, ±3, ±4, ±6, ±8, ±, ±4. Podemos comenzar donde dejamos, pero ahora usaremos Q() = , un polinomio más simple de evaluar CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra

13 Capítulo 8 Q(3) = (3) 3 (3) + 5(3) 4 = = 0 Es ciertamente útil hallar una raíz tan rápidamente. Dado que = 3 es una raíz, 3 es un factor. Así, pues, podemos volver a dividir = 0 Ahora tenemos P() = = ( + )( 3)( + + 8). Por fin! El último polinomio es cuadrático (grado ) de modo que podemos factorizarlo o usar la Fórmula cuadrática. Si intentas factorizar, no tendrás éito a que este polinomio cuadrático no se factoriza con enteros. Por lo tanto, debemos utilizar la Fórmula cuadrática para hallar las raíces como se muestra a la derecha. = ± 4()(8) () = = = ± 3 ± 3 ±i 3 En conclusión, el polinomio original se factoriza así: Problemas P() = = ( + )( 3) +i 3 ( ) i 3 ( ). Divide por 3.. Divide por. 3. Divide por. Factoriza los polinomios manteniendo los factores reales. 4. f () = g() = Halla todas las raíces para cada uno de los siguientes polinomios. 6. P() = Q() = Respuestas f () = ( + 4)( 7 + 9) 5. g() = ( + )( 4)( + ) 6. =, 3, i, i 7. = 6, 4 + i, 4 i Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 03

14 PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT. (5 + 6) =? a. ( 5) + ( 6) b c. d. 6 e Si 6 7 =, cuál es el valor de (6 7)? a. 4 b. 3 c. d. 40 e El promedio (la media aritmética) de tres números es 5. Si dos números son 5 30, cuál es el tercer número? a. 35 b. 30 c. 5 d. 0 e Los habitantes del país Turpa utilizan distintas unidades de medida. Cada curd mide 7 garlongs de largo cada garlong consiste en 5 bleebs. Cuántos curds completos ha en 50 bleebs? a. 05 b. 5 c. 5 d. 4 e. 5. Si = =, cuál es el valor de +? 6. Cinco enteros consecutivos suman 5. Cuál es el maor de estos números consecutivos? 7. Para todos los enteros positivos m n, definimos a m n como el resto de número entero cuando se divide m por n. Si k = 3, a qué equivale k? 8. En Tartas R Us, se corta cada tarta en pociones como se muestra en la imagen de la derecha. Cada porción de tarta tiene un ángulo central de 30. Las tartas se venden por porción. Si el peso de cada tarta está uniformemente distribuido es de 08 gramos, cuánto pesa cada porción en gramos? En la imagen de la derecha, cuál es el área de la región sombreada si esa región es un cuadrado? 0. Cuál es el seto término de la progresión que comienza con 43, 7,,? Respuestas. C. A 3. D 4. D g CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra