LECTURA N 9: PRODUCTOS NOTABLES

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1 LECTURA N 9: PRODUCTOS NOTABLES Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J. (006). Productos Notables. Artículo no publicado (pp.1-8). Tinaquillo, Estado Cojedes. Al iniciar nuestra aventura por el conocimiento de las matemáticas, lo primero a lo que hacemos referencia es al número como clase, según lo plantean algunos, o como conjunto, según otros. La cuestión es que el hombre, en su inmensa necesidad de organizarse en sociedad, poco a poco, fue implementando un lenguaje simbólico que le sirvió de instrumento en las actividades cotidianas, tanto para comunicarse como para demarcar establecer normas de convivencia. o, se da cuenta que el medio natural le ofrece una serie de herramientas para tal organización; comienza a utilizar las piedras como mecanismo de conteo; luego, descubre que puede hacer marcas en los árboles, en el suelo, en las paredes de las cavernas así llega, sin saber, a la intuición de número. El estudio de los números, o mejor dicho la fase de estructuración de los números su aplicación en otras ramas de la matemática, como la geometría, la aritmética el álgebra, no ha sido fácil. Desde mucho antes de Cristo, con Pitágoras de Samos, pasando por Euclides, Al- Jwārizmī, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros; todos ellos le dieron forma sentido a todo ese conocimiento vago que desde tiempos remotos, babilonios egipcios aplicaban en su cotidianidad. Por ejemplo, en la aritmética, que es la parte de la matemática que trata del arte o habilidad para contar, sólo se utilizan números o cantidades conocidas que mediante operaciones de adición, multiplicación potenciación, de acuerdo con ciertas propiedades a eistentes, es posible realizar todos los cálculos habidos por haber. En el álgebra, rama de la matemática que permite generalizar las aplicaciones aritméticas, mediante el uso de cantidades desconocidas representadas por letras, también se valen de las operaciones de adición, multiplicación potenciación para tales aplicaciones. Y en la geometría (del griego geō que significa 'tierra' metrein 'medir'), rama de las matemáticas que se encarga de las relaciones métricas del espacio sus propiedades, en su forma más elemental no tan elemental; utilizan el álgebra la aritmética para formalizar sistematizar sus aplicaciones. Dentro de todas estas operaciones elementales, como la adición, la multiplicación, la potenciación, entre otras, aplicables en todas las ramas de las matemáticas anteriormente mencionadas, a través de propiedades de composición bien definidas, se derivan procedimientos que permiten simplificar con maor facilidad las operaciones indicadas. Procedimientos como el producto notable la factorización son herramientas mu prácticas para la agilización en la búsqueda de un resultado concreto. Cuando se realiza un producto notable se está aplicando una multiplicación, pero se hace de una forma directa reduciendo la operación a un mínimo de pasos posibles, por ejemplo en aritmética no es mu frecuente encontrarse con un producto notable, pero se puede ejemplificar un ejercicio para hacer sencillas demostraciones, de la siguiente manera: 80

2 (5 + ) = 5 + (5 ) + = Si se realiza la multiplicación aplicando la propiedad distributiva, que es el proceso normal, el procedimiento se hace más largo; observa: (5 + ) = (5 + ) (5 + ) = = Ahora bien, si trabajamos dentro del álgebra, el mismo producto notable puede aplicarse de la siguiente manera: + 5) = ( + 5). ( + ) = ( ). ( ) + ( ).(5) + (5).( ) + ( 5)(. 5) ( 5 ( + 5) = () + 5) + (5) = Al llevar este mismo procedimiento al campo de la geometría le daríamos el siguiente enfoque: Suponga un terreno de forma cuadrada, donde cada lado mide 4, calcula el área del terreno: Para hallar el área de un cuadrado se multiplica lo que mide de ancho por lo que mide de largo; así: 4 ( 4) 4) = ( 4) = + ) 4) + ( 4) = , es el área del terreno El producto notable es aquella multiplicación que se efectúa con epresiones algebraicas de forma directa, aplicando una fórmula o procedimiento, de acuerdo a una situación específica. Veamos algunos casos específicos de productos notables. EL CUADRADO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS Ejemplo 1: Supóngase que tenemos una región de forma cuadrada, cuas dimensiones son las siguientes: de largo de ancho mide " + 7" unidades. Necesitamos conocer el área del cuadrado. Sabemos que para calcular el área de un cuadrado, sólo tenemos que multiplicar lo que mide de ancho por lo que Entonces; aplicamos la fórmula: Área = ( + 7 ) + 7) = ( + 7) mide de largo, Es decir: Área del Cuadrado = Largo Ancho Área = (Lado) Ancho Largo Por Le de Potenciación: a a = a 81

3 Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedaría: (X + 7). (X + 7) = X + X X + 7 = X + (7.X) + 7 Luego: Área = ( + 7) Desarrollamos esta potencia de la siguiente manera: Doble ( ) = + ( ) ( 7 ) ( 7 ) El resultado es un polinomio de tres términos: EL primer término al cuadrado, más el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado Simplificando el resultado, tenemos que: ( + 7) = De esta manera obtenemos el área de la región cuadrada: Área = Ejemplo : Vamos a desarrollar el Producto Notable: ( 5 + ) 5 + ) = ( 5 ) + ( 5 ) + ( ) ( Simplificando queda: ( 5 + ) = Cuadrado del 1 er El Doble del producto: del 1 er término por el do término Cuadrado del do 0- ( + 7) 1- (X/ + 4/9) - ( a/5 + 5) - ( + ) 4- ( + z) 5- (X a+1 + 1) 6- (a b + ac) 7- ( + ) 8- En un club se desea crear una cancha para la práctica individual de tenis se dispone de una pared cuadrada de lado. Los especialistas en ese deporte solicitan que sea más grande, por lo que se le añadieron m a cada lado. Cuál es el área de la nueva pared? CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de dos términos; sólo que para desarrollar este caso ha que tomar en cuenta el signo de los términos. 8

4 Ejemplo : Doble ( ) = + ( ) ( ) + ( ) Simplificando: ( ) = El cuadrado de una diferencia es igual a: El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo 9- (X - 5) 0- (X/ - 1/5) 1- (a/ - ) - (X - ) - (X a-1-1) 4- ( - ) 5- Si a + b = 1 a. b = 6 cuánto vale (a b)? 6- Calcula los productos: a) ( a) b) ( + a) Qué relación eiste entre ellos? Por qué? 7- Se necesita revestir un piso con cerámica, el cual tiene forma cuadrada de lado, pero la cantidad de cerámica sólo cubre una superficie también cuadrada que tiene ¾ de metro menos por cada lado del área total. Cuántos m de cerámica se compraron? 8- Qué diferencia observas en estos ejercicios? : a) ( a) b) - a Después de resolverlos, qué apreciación tienes al respecto? EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Ejemplo 4: Tenemos una región de forma rectangular cuas dimensiones a conocemos: Se necesita conocer el área de la región. 5 Sabemos que el área de un rectángulo se calcula multiplicando lo que mide de largo por el ancho. + 7 Entonces: Área = ( + 7) 5) Largo Ancho 8

5 Desarrollamos este producto de la siguiente manera: [ 7 + ( 5 )] + 7 ( ) ( + 7 ) ( 5 ) = + 5 Común s no comunes común Suma de términos no comunes Producto de términos no comunes El resultado de este producto notable es un trinomio: El término común al cuadrado más el producto del término común con la suma algebraica de los términos no comunes más el producto de los términos no comunes. Simplificando el resultado, queda: ( + 7) 5) = + ) + ( 5) = + 5 Trinomio De esta manera se obtiene el área de la región rectangular: Área = + 5 Ejemplo 5: Desarrolla el producto: ( 9) + ) ( 9 ) ( + ) = ( ) + ( ) ( 9 + ) + ( 9 ) Común s no comunes Simplificando cada término: ( ) = ( ) ) = 9 ( ) ( 9 + ) = () ( 7) = 1 ( 9) = 18 Luego: ( 9) + ) = El producto de los términos no comunes Producto del término común con la suma de los no comunes El cuadrado del término común ( + 6). ( ) 40- (a + 1/5). (a + /) 41- ( /5). ( + 4) 4- ( - 7). ( +) 4- Si se cumple que ( + a). ( + b) = entonces cuánto vale a + b? 44- Para qué valores de la se cumple que el producto de: a) ( + ) por

6 b) ( - 1) es igual a cero? 45- Si a un cuadrado cua área mide se le suma a un lado 9 cm. en el otro se le resta cm, cuál será el área de la nueva figura? b 46- Calcula el área del siguiente rectángulo: a LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA: Ejemplo 6: Se conocen las dimensiones de una región rectangular: Largo = + 6 Ancho = 6 Tenemos que calcular el área respectiva: 6 Para hallar el área de un rectángulo aplicamos la Fórmula: Área = Largo Ancho. o Área = base Altura + 6 Entonces, Área = ( + 6) 6) Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma: + ( 6 ) ( 6 ) = ( ) Suma Diferencia El resultado de este producto notable es un binomio: El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término 1 er al cuadrado ( 6 ) do al cuadrado Simplificando el resultado: 6 Luego: El área de la región rectangular es: ( /5). ( + /5).48- ( + 6). ( 6) 49- (a + 1/5). (a 1/5) 50- (/ + /7). (/ /7) 51- ( - 7). ( +7) 5- Si a un cuadrado cua área mide se le suma a un lado 5 m en el otro se le resta 5 m cuál será el área de la figura que se originó? a 5- Calcula el área de la figura sombreada: EL CUBO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS: Ejemplo 7: Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo, conociendo sus dimensiones: a 85

7 Largo = + 5, Ancho = + 5 Alto = + 5 Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la fórmula: Volumen = Largo Ancho Alto Como las tres medidas son iguales entonces Volumen = (Lado) Entonces: Volumen = ( + 5 ) + 5) + 5) Por Le de Potenciación: ( + 5 ) + 5) + 5) = ( + 5) Luego: Volumen = ( + 5) Para desarrollar esta potencia procedemos así: ( + 5) = ( + 5). ( + 5) esto por le de potenciación como a sabemos calcular el cuadrado de una suma, tenemos que: ( + 5) = ( ). ( + 5) ( + 5) = esto por multiplicación de polinomios ( + 5) = esto por agrupación de términos semejantes ( + 5) = El resultado de este producto notable es un polinomio: El cubo del primer término, más el triple del producto del primer término al cuadrado, por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Triple + ( 5 ) = ( ) + ( ) 5 + ( ) ( 5 ) + ( 5 ) Luego; simplificando cada término: ) =, ( ( ) 5) = 15 5 ( ) = = 15, ( ) 5) = 5 = 75 86

8 De esta manera tenemos que: ( + 5) = Ejemplo 8: Desarrollar el producto notable: ( + 1) Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos: El cubo del primer término () El triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término El triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo. () El cubo del segundo término 1 Sumando estos términos + 1) = ( ) + ( ) ( 1) + ( ) ( 1) ( 1) ( + Simplificando cada término del resultado ( ) = ( ) ) ) = 8 ) 1) = 4 1 ) 1) = = 1 1 (1) = 1 = 6 = = 1 Luego, el polinomio se reduce a: ( + 1) = ( + ) 55- (X/ + 4/5) 56- ( / + ) 57- ( + 5) 58- ( + z) 59- (a b + ac) 60- ( + ) 61- Si el volumen de un cubo es 7 cm Cuál será el nuevo volumen si se aumenta su arista en unidades? 87

9 EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS. Se desarrolla aplicando el mismo procedimiento de el cubo de la suma de dos términos, sólo que en este caso se debe tomar en cuenta el signo de los términos. Veamos esto en un ejemplo: Ejemplo 9: Desarrolla el producto notable: ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) Simplificando cada término en el resultado: * ( ) = * ( ) ) = 6 * ) ) = 4) = 1 * ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 Luego simplificando cada término, el polinomio resultante es: ( ) = En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer término, menos el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término (X 1/) 6- (X/ - 1/5) 64- (a/ - ) 65- (X - 5) 66- ( - z) 67- ( - ) 68- Compara los siguientes cubos a) ( - p) b) (p - ) Son iguales? Por qué? 69- Las cajas para embalaje de mercancía de una empresa tienen forma cúbica con volumen de 15 cm, con la finalidad de disminuir costos, la empresa decide reducir el tamaño del envase restando unidades (con < 5) a la arista del cubo original. Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo envase? 70- Si a = b + cuánto vale (a b)? 71- Simplifica las siguientes operaciones: a) ( + 1) ( 4 + 1) 4 1) = c) + 1) ( 6) = b) [( 7 + ) 7 11) 4 9) ]= 7- Halla la suma de: el doble del cuadrado de la diferencia entre X, con el triple del producto de la suma de X 1 por su diferencia.