Tutorial MT-m2. Matemática Tutorial Nivel Medio. Porcentajes y proporción compuesta

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1 M ate m ática Tutorial MT-m2 Matemática 2006 Tutorial Nivel Medio Porcentajes y proporción compuesta

2 Matemática 2006 Tutorial Porcentajes y Proporción compuesta Marco Teórico. Porcentajes: corresponde siempre a una proporción directa. Se representa como: a% = a 00 Explicaremos un método práctico para resolver problemas de porcentaje. Siempre lo que va a continuación de la palabra de corresponde al 00%. Por lo tanto, independiente al tipo de ejercicio, lo aplicamos utilizando proporción directa. Ejemplos: a) Calcular el 20% de 80. En este caso lo que va después de la palabra de es 80, por lo tanto, corresponde al 00% y 20% es porcentaje, el espacio libre corresponde a x. Aplicando proporción directa, donde nuestras variables son: cantidad y porcentaje. Cantidad % (Multiplicamos cruzado) x (Despejando x) El 20% de 80 es 6 Observación: a% de b = b% de a b) Qué porcentaje es 0 de 40? En este caso lo que va después de la palabra de es 40, por lo tanto, corresponde al 00% y 0 es cantidad, el espacio libre corresponde a x. Aplicando proporción directa, donde nuestras variables son: cantidad y porcentaje. Cantidad % (Multiplicamos cruzado) 0 x 2

3 (Despejando x) % El 7% de 40 es 0 c) De qué número,2 es el 40%? En este caso lo que va después de la palabra de es qué número, por lo tanto, x corresponde al 00%, 2 es cantidad y 40 es porcentaje. Matemática 2006 Aplicando proporción directa, donde nuestras variables son: cantidad y porcentaje. Cantidad % x 00 (Multiplicamos cruzado) (Despejando x) es el número en que 2 es el 40% 2. Porcentajes sucesivos: corresponden a: p% del q% de a Se resuelve transformando los porcentajes a fracción y la palabra de por multiplicación. Ejemplo: Calcular el 20% del 60% del 7% de (Simplificando y multiplicando fracciones) = El 20% del 60% del 7% de 2 es 4. Proporción compuesta: es aquella en que intervienen más de dos variables. Ejemplo: operarios producen en 7 días 400 unidades de un producto. Cuántas unidades del mismo producto pueden producir 4 operarios en 9 días?

4 Matemática 2006 Tutorial Nuestras variables son: operarios, días y unidades. Explicaremos un método muy útil para resolverlo. Siempre es conveniente dejar la incógnita al medio, que en este caso es unidades. Operarios Unidades Días (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incógnita, que en este caso es unidades) 4 x 9 (Operarios y unidades son directamente proporcionales, unidades y días son también directamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas) x 7 = (Despejando x) unidades pueden producir 4 operarios en 9 días 4. Modelo de ejercicio: explicaremos cómo enfrentar ejercicios del tipo: Pedro trabajando solo demora 4 horas en pintar una pieza, Juan trabajando solo demora 6 horas en pintar la misma pieza. Cuánto demorarán si lo hacen juntos? Haremos el análisis en base a hora: Pedro demora 4 horas, en hora hará del trabajo. 4 Juan demora 6 horas, en hora hará del trabajo. 6 Si trabajan juntos demoran x horas, en hora harán del trabajo. x 4 + = / 2x (Multiplicando por el mínimo común múltiplo entre los 6 x denominadores, 2x) 2x 4 + 2x 6 = 2x x (Simplificando y multiplicando) x (Reduciendo términos semejantes) 2 (Despejando x) 2 (Dividiendo) 2,4 Juntos demorarán 2,4 horas 4

5 Ejercicios. Calcular el, % del 7% de 60 A) 9 B) 0 C) D) 4 E) Ninguno de los valores anteriores Matemática En un curso de alumnos, faltaron a clases 4 de ellos. Qué porcentaje asistió? A) 0,40% B) 0,60% C) 40% D) 60% E) 7%. Marcela compró un pantalón con un 20% de descuento y pagó por él $ Cuál era el precio del pantalón antes del descuento? A) $ B) $.000 C) $ D) $ E) $ Un agente de seguros recibe $ de sueldo, más un % de comisión por las ventas. Cuánto debe vender para ganar $ ? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $ Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 0cm y 0cm. En qué porcentaje varía su área si los catetos aumentan en un 20%? A) Aumenta en un 20% B) Aumenta en un 0% C) Aumenta en un 44% D) Aumenta en un 60% E) Ninguno de ellos

6 Matemática 2006 Tutorial 6. Si el precio de un artículo con IVA incluido es $.700. Cuál es el precio del artículo sin IVA, considerando que el IVA es el 9%? A) $ B) $ 2.78 C) $ D) $ E) $ x es 40% más grande que z y z es 60% más pequeño que y. Cuál es la relación entre x e y? A) 7y B) 2y C) 2 4y D) 24 2y E) 2 4y 8. Un artículo cuesta $.000 y se quiere vender con un 2% de ganancia. En cuánto habría que venderlo? A) $.00 B) $.600 C) $.70 D) $.800 E) $ Una constructora estima que son necesarios 20 obreros para terminar una obra en 6 meses, trabajando 0 horas diarias. Cuántos obreros necesitarían para terminar la obra en 4 meses, trabajando 6 horas diarias? A) 8 obreros B) 8 obreros C) 22 obreros D) 0 obreros E) obreros 0. Si máquinas logran envasar 70 yoghurts en 24 minutos. En cuánto tiempo serán envasados 40 yoghurts por 6 máquinas? A) 40 minutos B) 48 minutos C) 0 minutos D) 8 minutos E) Ninguno de ellos 6

7 . 7 personas trabajando 8 horas diarias durante 0 días, repararon del total de una casa. 8 Cuántos días, en las mismas condiciones, faltan para terminar de reparar la casa? A) días B) 6 días C) 7 días D) 8 días E) 6 días 2. Con los datos del ejercicio anterior, si se duplica el número de personas y se disminuye a la mitad las horas diarias, cuánto tiempo demoran en reparar la casa? Matemática 2006 A) días B) 0 días C) 2 días D) 4 días E) 6 días. En una casa hay comida para alimentar adulto durante 8 semanas. Esta misma comida, alcanzaría para alimentar niño durante 24 semanas. Si se quiere alimentar al niño y al adulto al mismo tiempo, para cuántas semanas alcanza esta comida? A) 6 semanas B) 8 semanas C) 0 semanas D) 4 semanas E) semanas 4. Un hombre puede hacer un jardín en A días y otro hombre en B días. Si juntos lo pueden hacer en C días, la ecuación que expresa la cantidad de trabajo realizado por los 2 hombres en día es: A) C = B) C = A + B A + B C) C = A + B AB D) C = AB A + B E) C = AB 7

8 Matemática 2006 Tutorial. Un estanque de agua tiene llaves, la primera lo llena en 6 horas, la segunda lo llena en 4 horas y la tercera lo vacía en 2 horas. Cuántas horas demora en llenarse el estanque si se abren las llaves al mismo tiempo? A) 2 horas B) horas C) horas D) 8 horas E) 0 horas Respuestas Preg. Alternativa C 2 D B 4 E C 6 D 7 E 8 C 9 D 0 A B 2 E A 4 C B 8

9 Solucionario. La alternativa correcta es la letra C), % del 7% de 60 Solucionario Transformando cada porcentaje a fracción y la palabra de por multiplicación:, % = 7% = 4 60 = 4 Matemática 2006 El, % del 7% de 60 es 2. La alternativa correcta es la letra D) El total de alumnos que es corresponde al 00%, si faltaron 4 alumnos, entonces asistieron 2 alumnos. Aplicando proporción directa: Cantidad % 00 (Multiplicamos cruzado) 2 x 2 00 (Despejando x) El porcentaje de alumnos que asistió es el 60%. La alternativa correcta es la letra B) El precio sin descuento corresponde al 00% y el precio con descuento corresponde al 80% ( 00% - 20%). Aplicando proporción directa: Cantidad % x 00 (Multiplicamos cruzado)

10 Matemática 2006 Solucionario (Despejando x) El precio del pantalón sin descuento es $ La alternativa correcta es la letra E) Sea x: ventas Al sueldo se le suma la comisión que es el % de las ventas y se obtiene $ % de x (Transformando % a fracción y la palabra de 00 cambiándola por multiplicación) / 20 (Multiplicando por el mínimo común múltiplo, 20) (Simplificando y multiplicando) (Despejando x) (Dividiendo) Debe vender $ para ganar $ La alternativa correcta es la letra C) Área = 2 Area = 0 Aumentando 0 en un 20% : % de 0 (Transformando 20% a fracción y cambiando la palabra de por multiplicación) 0

11 El cateto 0 aumentado en un 20% es 2 Aumentando 0 en un 20% : % de 0 (Transformando 20% a fracción y cambiando la palabra de por multiplicación) Matemática El cateto 0 aumentado en un 20% es 6 Entonces obtenemos un nuevo triángulo de catetos 2 y 6 2 Área = Área = 26 Entonces el área inicial ( 0) es el 00% y el área resultante al aumentar los catetos en un 20% (26) es el x% Aplicando proporción directa: Cantidad % 0 00 (Multiplicamos cruzado) 26 x (Despejando x) La nueva área es el 44%, como el área inicial es el 00%, aumenta en un 44% (44-00)

12 Matemática 2006 Solucionario 6. La alternativa correcta es la letra D) El precio sin IVA corresponde al 00%, entonces, el precio con IVA corresponde al 9% (00% + 9% ), ya que: Precio con IVA = Precio sin IVA + IVA Aplicando proporción directa: 9% = 00% + 9% Cantidad % x 00 (Multiplicamos cruzado) (Despejando x) El precio sin IVA es $ La alternativa correcta es la letra E) x es 40% más grande que z : z + 40% de z z + 7z (Transformando 40% a fracción y cambiando la palabra de por multiplicación) 2 z (Sumando fracciones) (Reduciendo términos semejantes) z + 2 z z es 60% más pequeño que y : z = y - 60% de y (Transformando 60% a fracción y cambiando la palabra de por multiplicación) z = y - y (Sumando fracciones) z = y - y (Reduciendo términos semejantes) z = 2y 2

13 Entonces ) 7z 7 2y 8. La alternativa correcta es la letra C) y 2) z = 2y 4y 2 (Reemplazando z en ) ) 2 4y El precio del artículo corresponde al 00% y el precio con un 2% de ganancia al 2% (00% + 2% ) Aplicando proporción directa: Matemática 2006 Cantidad % (Multiplicamos cruzado) x (Despejando x) El precio con ganancia es $ La alternativa correcta es la letra D) Nuestras variables son: obreros, meses y horas. La incógnita es obreros, entonces, la ubicamos al centro. Meses Obreros Horas (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incógnita, que en este caso es obreros) 4 x 6 (Meses y obreros son inversamente proporcionales, obreros y horas son también inversamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas) 4 x 6 = (Despejando x) Se necesitan 0 obreros para terminar la obra en 4 meses trabajando 6 horas diarias.

14 Matemática 2006 Solucionario 0. La alternativa correcta es la letra A) Nuestras variables son: máquinas, minutos y yoghurts. La incógnita es minutos, entonces, la ubicamos al centro. Máquinas Minutos Yoghurts (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incógnita, que en este caso es minutos) 6 x 40 (Máquinas y minutos son inversamente proporcionales, minutos y yoghurts son directamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas) 6 x 70 = (Despejando x) En 40 minutos serán envasados 40 yoghurts por 6 máquinas.. La alternativa correcta es la letra B) Nuestras variables son: personas, días, horas y casa. Personas Días Horas Casa (Como se reparó 8 de la casa, entonces falta reparar 8 ) (No se consideran las variables: personas y horas, ya que 8 son constantes) 7 x 8 8 Entonces nuestras variables son: días y casa. Días Casa (Corresponde a una proporcionalidad directa) 0 8 (Multiplicamos cruzado) x (Despejando x) Faltan 6 días para terminar de reparar la casa. 4

15 2. La alternativa correcta es la letra E) Por el ejercicio anterior sabemos que se demoraron 6 días en reparar la casa, ya que, se habían demorado 0 días en reparar de la casa y faltaban 6 días para terminar de repararla. 8 Nuestras variables son: personas, días y horas. Las personas se duplican, entonces son 4 y las horas se disminuyen a la mitad, por lo tanto son 4. La incógnita es días, entonces, la ubicamos al centro. Personas Días Horas (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incógnita, que en este caso es días) 4 x 4 (Personas y días son inversamente proporcionales, días y horas son también inversamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas) 4 x 4 = (Despejando x) Se demoran 6 días en reparar la casa, 4 personas trabajando 4 horas diarias. Matemática La alternativa correcta es la letra A) Haremos el análisis en base a semana: Para un adulto hay 8 semanas de comida, en semana se comerá 8 Para un niño hay 24 semanas de comida, en semana se comerá 24 Si comen juntos hay x semanas de comida, en semana se comerán x = / 24x (Multiplicando por el mínimo común múltiplo entre los x denominadores, 24x) 24x x 24 = 24x x (Simplificando y multiplicando) x + 24 (Reduciendo términos semejantes) 4 24 (Despejando x) 24 4 (Dividiendo) 6 Alcanza para 6 semanas, si se quiere alimentar al niño y al adulto, al mismo tiempo.

16 Matemática 2006 Solucionario 4. La alternativa correcta es la letra C) Haremos el análisis en base a día: Un hombre hace un jardín en A días, en día hará A Otro hombre lo hace en B días, en día hará B del jardín. del jardín. Si trabajan juntos demoran C días, en día harán del jardín. C A + B = (No aparece así la respuesta) C (Sumando las fracciones) B + A AB = C La ecuación que representa la cantidad de trabajo realizado en día es C = A + B AB. La alternativa correcta es la letra B) Haremos el análisis en base a hora: La primera llave llena el estanque en 6 horas, en hora llenará 6 del estanque. La segunda llave llena el estanque en 4 horas, en hora llenará 4 La tercera llave vacía el estanque en 2 horas, en hora vaciará 2 del estanque. del estanque. Si se abren las llaves al mismo tiempo lo llenan en x horas, en hora llenarán x del estanque = x / 2x (Multiplicando por el mínimo común múltiplo entre los denominadores, 2x) 2x 6 + 2x 4-2x 2 = 2x x (Simplificando y multiplicando) 2x + x - 2 (Reduciendo términos semejantes) 4 2 (Despejando x) 2 4 (Dividiendo) Se demorarán horas en llenar el estanque, las llaves abiertas al mismo tiempo. 6