Tutorial MT-b7. Matemática Tutorial Nivel Básico. Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones

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1 M ate m ática Tutorial MT-b Matemática 006 Tutorial Nivel Básico Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones

2 Matemática 006 Tutorial Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Marco Teórico 1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita: Son aquellas en que el mayor eponente de la incógnita es 1 y por lo tanto tiene 1 solución. 1.1 Ecuaciones lineales: Como ejemplo de ellas, resolveremos los siguientes ejercicios. Determine el valor de : a) b + a = a + b (Dejamos la incógnita a un solo lado) b a = b a (Factorizando por ) (b a) = b a (Despejando ) b a = b a = 1 b) = (Reduciendo términos semejantes) = (Dejamos la incógnita a un solo lado) 4 4 = = 0 Este es un caso especial, en que la incógnita se anula. Debemos analizar el resultado: i) si es una igualdad, eisten infinitas soluciones ii) si no es una igualdad, no eiste solución En esta ecuación llegamos a una igualdad Tiene infinitas soluciones. 1. Ecuaciones fraccionarias: son aquellas que tienen fracciones. Un método muy útil para resolverlas es eliminando los denominadores y dejarla lineal. Como ejemplo de ellas, resolveremos el siguiente ejercicio. CEPECH Preuniversitario, Edición 00

3 Determine el valor de : a) + 1 = (Simplificando las fracciones) = / 10 (Hay que determinar el mínimo común múltiplo 10 entre los denominadores, que es 10 y multiplicarlo por cada término de la ecuación) = (Simplificando y multiplicando) 10 (Recordar el orden de las operaciones) + 1 = = 0 (Dejamos la incógnita a un solo lado) 6 = 0 (Reduciendo términos semejantes) = (Despejando ) Matemática 006 =. Sistemas de ecuaciones: Ahora revisaremos uno de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones más utilizados:.1 Eliminación por reducción: Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y a continuación, sumarlas o restarlas de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron. Ejemplo: Se tienen canguros y koalas. Si hay cabezas y 10 patas. Cuántos canguros y koalas hay? c : canguros k : koalas Como hay cabezas c + k = Además hay 10 patas, los canguros tienen patas, por lo tanto, la cantidad de patas de canguro es c, los koalas tienen 4 patas, entonces, la cantidad de patas de koalas es 4 k Como hay 10 patas c + 4k = 10, entonces: 1) c + k = / (Para eliminar c, debemos multiplicar la primera ecuación ) c + 4k = 10 por ) CEPECH Preuniversitario, Edición 00

4 Matemática 006 Tutorial c k = 110 (Sumando ambas ecuaciones) c + 4k = 10 k = 60 (Despejando k) k = 60 k = 0 Reemplazamos k en la primera o segunda ecuación, en este caso lo haremos en la primera. c + k = (Reemplazando k) c + 0 = (Despejando c) c = 0 c = Hay canguros y 0 koalas Ejercicios 1. Si ( 1) + ( + 1) = + 8, entonces = A) 8 B) C) 9 D) 9 E) 4 CEPECH Preuniversitario, Edición 00

5 . Si A) B) C) D) E) + 14 = 4 14, entonces = Matemática 006. Si 4 + = + 4, entonces = A) 6 B) C) D) E) 8 4. Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: Si le doy la cuarta parte de mis chocolates a mi prima y le doy a mi hermano más de los que le dí a mi prima, me quedo con? A) B) C) + = 4 + = + 8 = D) + = 4 E) + 8 = CEPECH Preuniversitario, Edición 00

6 Matemática 006 Tutorial. Si A) B) C) D) E) = 1, entonces = 6. Si de un préstamo de $ m se paga $ es el valor de cada cuota? A) $ 1 m m al contado y el resto en 8 cuotas iguales, cuál B) $ 1 m C) $ 14 D) $ 8 m m E) Ninguno de los valores anteriores. Al sumar A) 0 y con p se obtiene y +, entonces, cuál el el valor de p? B) C) D) E) y(y + ) y(y + ) y(y + ) y(y + ) 6 CEPECH Preuniversitario, Edición 00

7 8. Si m c = p + d, entonces = A) B) C) (d + c) m + p d c p m d c m p Matemática 006 D) d + c m p E) d + c m(m + p) 9. + y = 8 = + y = 1 y = y A) B) C) D) E) 10. = y = + y = 4 A) B) 4 C) 4 D) E) Ninguno de los valores anteriores CEPECH Preuniversitario, Edición 00

8 Matemática 006 Tutorial y = y = + y = A) 0 B) 1 C) D) 4 E) 8 1. La suma de números es 46 y su diferencia es 10. Cuáles son los números? A) 8 y 18 B) 8 y 18 C) 18 y 8 D) 8 y 18 E) Ninguno de los valores anteriores 1. En el sistema py = 1 q + 6y = 14 Qué valores deben tener p y q para que la solución del sistema sea el par (, )? p A) 0 B) 0 q 6 6 C) 1 8 D) 1 8 E) CEPECH Preuniversitario, Edición 00

9 14) + y = 4 = 9 + 6y = 1 y = y A) 0 B) 1 1 C) 1 Matemática 006 D) El sistema tiene infinitas soluciones E) El sistema no tiene solución 1. En una granja hay patos y corderos. Si se cuentan, las cabezas son 0 y las patas 94. Cuántos patos y corderos hay respectivamente? A) 1 y 1 B) 14 y 16 C) 16 y 14 D) 1 y 1 E) Ninguno de los valores anteriores Respuestas Preg. Alternativa 1 E D B 4 C D 6 A C 8 D 9 A 10 B 11 C 1 D 1 E 14 D 1 A CEPECH Preuniversitario, Edición 00 9

10 Matemática 006 Solucionario Solucionario 1. La alternativa correcta es la letra E) ( 1) + ( + 1) = + 8 (Distribuyendo) + + = + 8 (Reduciendo términos semejantes) + 1 = + 8 (Dejamos la incógnita a un solo lado) = 8 1 (Reduciendo términos semejantes) = (Despejando ) =. La alternativa correcta es la letra D) + 14 = 4 / 14 (Multiplicamos por el mínimo común múltiplo, 14) = 14 4 (Simplificando y multiplicando) + = 4 (Multiplicando) 6 + = 8 (Dejamos la incógnita a un solo lado) = 8 6 (Reduciendo términos semejantes) = (Despejando ) =. La alternativa correcta es la letra B) 4 + = + 4 / (Multiplicamos por el mínimo común múltiplo, ) 4 + = + 4 (Simplificando y multiplicando) 4 + = + 4 (Dejamos la incógnita a un solo lado) 4 = 4 (Reduciendo términos semejantes) = 4. La alternativa correcta es la letra C) : total de chocolates : cuarta parte de los chocolates 4 + : cuarta parte más 4 : resto de los chocolates 10 CEPECH Preuniversitario, Edición 00

11 Si sumamos los chocolates que se le dieron a la prima, los que se le dieron al hermano y los que quedaron, obtenemos el total de chocolates = (Sumando fracciones) = + 8 = La ecuación que permite resolver el problema es + 8 = Matemática 006. La alternativa correcta es la letra D) = 1 / 18 (Multiplicamos por el mínimo común múltiplo, 18) = = 18 = 18 (Despejando ) 18 = 6. La alternativa correcta es la letra A) (Simplificando y multiplicando) Si le restamos al préstamo lo que se pagó al contado, obtenemos el saldo. m m = (Sacando mínimo común múltiplo) m m = (Multiplicando) 1m m = (Reduciendo términos semejantes) 14m : Saldo El saldo lo dividimos por 8 14m 8 (Aplicando división de fracciones) 14m 1 8 m 1 4 (Multiplicando fracciones) m 1 El valor de cada cuota será $ m 1 CEPECH Preuniversitario, Edición 00 11

12 Matemática 006 Solucionario. La alternativa correcta es la letra C) Nota : El mínimo común múltiplo entre epresiones algebraicas corresponde a todos los factores con su mayor eponente. y + p = (Despejando p) y + p = y + y y (y + ) p = y (y + ) y y p = y (y + ) p = y (y + ) (Sacando mínimo común múltiplo, y(y+)) (Distribuyendo) (Reduciendo términos semejantes) 8. La alternativa correcta es la letra D) m c = p + d (Dejamos a un solo lado) m p = d + c / (Multiplicando por el mínimo común múltiplo, ) m p = d + c (Simplificando y multiplicando) m p = d + c (Factorizando por ) (m p) = d + c (Despejando ) d + c = m p 9. La alternativa correcta es la letra A) 1) + y = 8 / (Para eliminar, debemos multiplicar la primera ) + y = 1 / ecuación por y la segunda ecuación por ) 6 4y = 16 (Sumando ambas ecuaciones) 6 + 1y = 9 11y = (Despejando y) y = 11 y = (Reemplazando y en la segunda ecuación) 1 CEPECH Preuniversitario, Edición 00

13 + y = 1 + = 1 (Multiplicando) + = 1 (Despejando ) = 1 = 4 = 4 = Matemática 006 = y = 10. La alternativa correcta es la letra B) 1) = y (Utilizamos el método de sustitución, como nos piden, ) + y = 4 reemplazaremos y en la segunda ecuación) = y + y = 4 + = 4 (Reduciendo términos semejantes) = 4 (Despejando ) = La alternativa correcta es la letra C) Como no nos piden ó y, sino que y, entonces, se resuelve de la siguiente forma: 1) + y = ) + y = (Multiplicando la primera ecuación por el mínimo común múltiplo entre los denominadores, y) + y = / y y + y y = y (Simplificando y multiplicando) y + = y (Factorizando por ) ( + y) = y (Reemplazando + y, que sabemos que es ) = y (Multiplicando) 4 = y (Despejando y) 4 = y = y y = CEPECH Preuniversitario, Edición 00 1

14 Matemática 006 Solucionario 1. La alternativa correcta es la letra D) Sean los números e y 1) + y = 46 (Sumando ambas ecuaciones) ) y = 10 = 6 (Despejando ) 6 = = 8 Reemplazando en la primera ecuación + y = y = 46 (Despejando y) y = 46 8 y = 18 Los números son 8 y La alternativa correcta es la letra E) 1) py = 1 ) q + 6y = 14 Sabemos que (, ) equivale a =, y = Reemplazando e y en la primera ecuación py = 1 p = 1 (Multiplicando) 10 + p = 1 (Despejando p) p = 1 10 p = p = p = 1 14 CEPECH Preuniversitario, Edición 00

15 Reemplazando e y en la segunda ecuación q + 6y = 14 q + 6 = 14 (Multiplicando) q 0 = 14 (Despejando q) q = q = 16 q = q = 8 16 Matemática 006 p = 1, q = La alternativa correcta es la letra D) 1) + y = 4 / (Multiplicamos la primera ecuación por ) ) 9 + 6y = 1 9 6y = 1 (Sumando ambas ecuaciones) 9 + 6y = 1 0 = 0 Sabemos que cuando las incógnitas se eliminan, debemos analizar el resultado. En este caso, llegamos a una igualdad El sistema tiene infinitas soluciones. 1. La alternativa correcta es la letra A) p : patos c : corderos Hay 0 cabezas p + c = 0 Hay 94 patas, como los patos tienen patas, entonces, el total de patas de patos es p y los corderos tienen 4 patas, entonces, el total de patas de corderos es 4 c p + 4c = 94 1) p + c = 0 / (Multiplicando la primera ecuación por ) ) p + 4c = 94 p c = 60 (Sumando ambas ecuaciones) p + 4c = 94 c = 4 (Despejando c) CEPECH Preuniversitario, Edición 00 1

16 Matemática 006 Solucionario c = 4 c = 1 Reemplazando c en la primera ecuación: p + c = 0 p + 1 = 0 (Despejando p) p = 0 1 p = 1 Hay 1 patos y 1 corderos 16 CEPECH Preuniversitario, Edición 00