2 x 3y 5 y. Luego el. 5 4x y 5 4x 5 x Así el segundo punto será: (5/4, 0). Por tanto, el sistema quedaría graficado así: 2x 3y 5

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1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, PROBLEMAS DE APLICACIÓN, NUMEROS COMPLEJOS Y ECUACION CUADRATICA. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un conjunto de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de ecuaciones lineales. La solución de este sistema es el conjunto de las parejas ordenadas de números, que satisfacen las ecuaciones del sistema. METODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Eisten diferentes tipos de métodos para solucionar un sistema de ecuaciones lineales, tanto gráfico como algebraico, dentro de los cuales estudiaremos: 1. Método gráfico.. Método de eliminación. 3. Método de sustitución. Método de igualación. 5. Regla de Cramer. Veamos como se trabaja cada uno de ellos: 1. MÉTODO GRÁFICO Consiste en graficar en un mismo plano cartesiano las dos ecuaciones del sistema, dando como solución el punto de intersección de estas. NOTA: En caso de que las rectas sean paralelas; es decir, no se corten en ningún punto, se dice que el sistema no tiene solución, y si las rectas coinciden, se dice que el sistema tiene soluciones infinitas. Por ejemplo: Si y = 0 entonces: y 3 3. Luego el segundo punto será: (3, 0) Si = 0 entonces: primer punto será: (0, 5/3) Si y = 0 entonces segundo punto será: (5/, 0). 5 3y 5 y. Luego el y 5 Por tanto, el sistema quedaría graficado así: Y la solución sería el punto (, -1). Ejemplo : Resuelve gráficamente: Sol: y y5. Luego el Si = 0, entonces: y y Así, el primer punto sería: (0, -) Si y = 0, entonces: el segundo punto sería: (1/, 0). 1 y Así Ahora, si = 0, entonces y 5 y 5 Así el primer punto será: (0, -5) Si y = 0, entonces: 5 y 5 5 Así el segundo punto será: (5/, 0). Por tanto, el sistema quedaría graficado así: Resolver gráficamente lineales: el sistema de ecuaciones y3 3y5 Sol: primero encontremos dos puntos de la 1ra recta para poder graficarla en el plano; después se hace de la misma manera para la otra recta. Veamos: Si = 0 entonces y 3 y 3. Luego el primer punto es: (0, 3). Como las rectas son paralelas, se dice que el sistema no tiene solución. Ejemplo 3: soluciona gráficamente el siguiente sistema:

2 6y3 81 y6 Sol: Si = 0, entonces: 1 6y 36y 3 y Así, el primer punto sería: (0, -1/) Si y = 0, entonces: el segundo punto sería: (3/, 0). Ahora, si = 0, entonces: 3 6 y 3 3 Así 1 8 1y 6 1y 6 y Así el primer punto será: (0, -1/) 3. y57 y3. MÉTODO DE ELIMINACIÓN El método consiste en eliminar una de las variables o y para obtener una ecuación con una sola variable. Esto se logra mediante las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, para que una de las variables quede con igual coeficiente numérico y signo contrario. Veamos con un ejemplo: Resolver por el método de eliminación el siguiente sistema: y3 3y5 Si y = 0, entonces: y Así el segundo punto será: (3/, 0). Por tanto, el sistema quedaría graficado así: Primero que todo multiplicamos la Ec 1 por y la Ec por -1, para así obtener variables con igual coeficiente pero de signo distinto. Luego: Ec1 : + y = 6 Ec -1: - 3y = -5 -y = 1 Y = -1 Luego se remplaza el valor de Y = -1, en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores (la 1 o la ) así: X + (-1) = 3 X = = X = En este caso, como las rectas coinciden, podemos decir que el sistema posee infinitas soluciones. ACTIVIDAD Nº 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método gráfico. Ejemplo : Soluciona el siguiente sistema: 3 y 1 3y Ec1 3: 9 + 1y = -3 Ec -: -8 1y = y1 y 5y6 10y y5 y9 3y 6 3 y 5 X = -11 Luego remplazo el valor de X = -11 en Ec así: (-11) 3y = -3y = + Y = -8 Veamos ahora las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas de la vida cotidiana.

3 Por ejemplo: PROBLEMAS DE APLICACIÓN P1: La suma de dos números es 8 y 1/3 de su diferencia es ; hallar los números. SOL: primero se lleva el problema al lenguaje matemático, es decir, se plantean el sistema de ecuaciones lineales definiendo de antemano las variables que van a intervenir, así: Sean: X el número mayor Y el número menor. Por tanto el sistema quedaría así: y8 1 ( y ) 3 Reorganizando las dos ecuaciones tenemos lo siguiente: y8 y 1 obtenemos: y 8 y 9 X 7 Utilizando el método de eliminación Luego remplazando el valor de X en Ec1 tenemos: 7 + Y = 8 Y = 35 LA18 L5A0 Aplicamos el método de eliminación: Ec1 5: 10L + 10A = 90 Ec : 8L 10A = 0 18L = 90 L = 5 Ahora remplazamos a L = 5 en Ec: (5) = 5A A = Finalmente el cuarto tiene 5m de largo y m de ancho. P3: Una persona tiene 5 veces la edad de su hijo. En 5 años más tendrá sólo el triple. Qué edad tiene el hijo actualmente? Sol: La persona tiene 5 veces la edad de su hijo: P = 5H Dentro de 5 años tendrá solo el triple: P + 5 = 3(H +5) Por tanto se obtiene el siguiente sistema: P5H 0 P 3H 10 LUEGO: Ec1-1: -P + 5H = 0 Ec 1: P 3H = 10 H = 10 H = 5 Finalmente el hijo tiene 5 años. P: Hace 7 años la edad de A era el doble de la edad de B y dentro de 9 años será los 6/5 de la edad de B. Halla las edades actuales. Por tanto los números buscados son: 7 y 35 P: El perímetro de un cuarto rectangular es 18m, y veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones del cuarto. Sean: L = largo gel cuarto A = ancho del cuarto. Luego: L A El perímetro: L + A = 18 veces el largo es 5 veces el ancho: L = 5A Por tanto se obtiene el siguiente sistema: Hace 7 años: A 7 = (B 7) Dentro de 9 años: A + 9 = 6/5(B + 9) Por lo que obtenemos el siguiente sistema: AB 7 5A6B9 Aplicamos el método de eliminación: Ec1-5: -5A + 10B = 35 Ec 1: 5A 6B = 9 B = B = 11 Luego, remplazo B = 11 en Ec1: A (11) = -7 A = -7 + A = 15 Finalmente las edades actuales son: 15 años para A y 11 años para B

4 P5: Hace años Martha tenía 7/10 de la edad de Jorge, y dentro de 6 años será los /5 de la edad de Jorge. Qué edad tiene cada uno? Sol: sean: M la edad de Martha y J la edad de Jorge. Y = -1 Ahora, X = 3 (-1) X = Como vemos el resultado es el mismo que cuando se soluciono este mismo sistema por los métodos gráfico y de eliminación. Hace años: M = 7/10(J ) Dentro de 6 años: M + 6 = /5(J + 6) De lo anterior se obtiene el siguiente sistema: 10 M 7J 1 5M J 6 Aplicando el método de eliminación tenemos: Ec1-1: -10M + 7J = -1 Ec : 10M 8J = -1 -J = - J = Remplazo J = en Ec1: 10M 7()= 1 10M = M = 180 M = 18 Finalmente, Martha tiene 18 años y Jorge tiene años. ACTIVIDAD Nº P1: la edad actual de Alberto es los 9/5 de la edad de su hermana y dentro de años la edad de su hermana será los 3/5 de la suya. Halla las edades actuales. P: Dos ángulos suplementarios son tales que la medida del primero equivale al doble del segundo aumentada en 30º, cuál es la medida de cada ángulo? 3. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Este método consiste en despejar el valor de una variable cualquiera en función de la otra, en una de las ecuaciones dadas originalmente. Luego, se sustituye en la otra ecuación. Veamos un ejemplo: Ejemplo 1: solucionar el siguiente sistema y3 3y5 Despejamos a X en la Ec1 así: X = 3 Y. ahora sustituimos a X en la Ec así: (3 Y) + 3Y = 5 6 Y + 3Y = 5 6 +Y = 5 Ejemplo : soluciona el sistema: 5y0 56y1 Despejamos a Y en la Ec1 así: Sustituimos en la Ec: ( 0) 5( 51) Ahora remplazo a X=-50 en Y así: ( 50) 0 0 y y y 5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN P1: Hace 10 años la edad de Juan era el doble de la edad de Teresa; dentro de 10 años la edad de Teresa será 3/ de la edad de Juan. Halla las edades actuales. Sol: sean: J la edad de Juan y T la edad de Teresa Hace 10 años: J 10 = (T 10) Dentro de 10 años: T + 10 = ¾(J+10) De lo anterior obtenemos el siguiente sistema: T J 10 T 3J 10 Aplicamos el método de sustitución. Despejamos J en Ec1 así: J = T 10 Sustituimos en la Ec: T 3(T 10) = -10 T 6T + 30 = -10

5 Luego: J = (0) 10 J = 30 -T = T = -0/- T = 0 Por tanto, la edad actual de Juan es 30 años y la de Teresa es 0 años. P: la edad de Carlos ecede en 13 años a la edad de María, y el duplo de la edad de María ecede en 9 años a la edad de Carlos. Halla ambas edades. Sol: C = M + 13 M = C + 9 Sustituimos a C en la Ec así: M = (M + 13) + 9 M = M + M = Remplazo M en: C = M + 13 C = + 13 C = 55 Por tanto, la edad de María es años y la edad de Carlos 55 años. P3: Dos ángulos complementarios son tales que la medida del primero es el doble del segundo, Cuál es la medida de cada ángulo? Sol: sean: A el ángulo menor y B el ángulo mayor Ángulos complementarios: A + B = 90 A = B Sustituimos A en Ec1 así: A + B = 90 B + B = 90 3B = 90 B = 30 Luego, A = (30) A = 60 P: A cierta función de cine asistieron 700 personas entre niños y adultos. Cada adulto pagó $00 y cada niño $150. Si la recaudación por entradas fue de $ , cuántos adultos y cuantos niños asistieron al cine? 50A = A A Por tanto: N = N = 00 Finalmente, al cine ingresaron 00 niños y 300 adultos. P5: La suma de dos números es 190 y 9 1. Hallar los números. de su diferencia es Sol: sean X el número mayor y Y el número menor Luego el sistema sería: y190 1 ( y ) 9 Despejo X en Ec1 así: X = 190 Y. Sustituimos en Ec: y y 9 1(190 y) y y17 y 86 Luego: X = X = 10 Por tanto los números son: 10 y 86 ACTIVIDAD Nº3 Resuelve los siguientes problemas de aplicación utilizando el método de sustitución. 1. Un cuarto de la suma de dos números es 5 y un tercio de su diferencia es. Hallar los números.. Los 10 3 de la suma de dos números eceden en Sol: sean: N los niños y A los adultos. Total de personas: N + A = 700 Total del recaudo: 150N + 00A = Despejamos N en Ec1 así: N = 700 A Sustituimos en Ec así: 150(700 A) + 00A = A + 00A = A = a 39 y los 5 6 de su diferencia son 1 menos que 6. Hallar los números. 3. Dos números están en la relación de 5 a 6. si el menor se aumenta en y el mayor se disminuye en 6 la relación es de 9 a 8. Hallar los números.. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es y el residuo 3, y si 3

6 veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 1 y el residuo 9. Hallar los números. 5. Dividir 5 en dos partes tales que los 7 de la parte mayor equivalgan a los 3 de la menor. Igualamos: (9 ) MÉTODO DE IGUALACIÓN Este método consiste en despejar en ambas ecuaciones la misma variable e igualar sus valores, para así obtener una ecuación en una sola variable. Por ejemplo: resolver 8y0 3y13 Despejamos a X en cada ecuación: En la Ec1 tenemos: En la Ec tenemos: 0 y 8 13 y 3 Igualamos ambos resultados así: 0 y 13y 3(0 y) 8(13 y) y 10 16y 6y 16y y 16 y y 11 Remplazo Y en el despeje de la Ec así: Ejemplo : soluciona el siguiente sistema utilizando el método de igualación. 5y5 y9 Despejamos Y en ambas ecuaciones: 5 En la Ec1 tenemos: y 5 En la Ec tenemos: y9 Luego y 9 9 y Veamos la solución del siguiente problema: La edad de Mónica multiplicada por 3/7 y aumentada en los 3/8 de la edad de Beatriz suman 15 años; y los /3 de la edad de Mónica se disminuye en ¾ de la edad de Beatriz equivale a años. Halla ambas edades. SOL: el problema anterior nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones lineales. 3 3 M B 15 M 1B M B 8M 9B 3 Despejamos M de cada ecuación: M 80 1B y Igualamos: 9B M B 9B B B 168B 16B B B B Luego la edad de Mónica será: 9(16) 168 M 1 8 8

7 Por tanto las edades de Mónica y Beatriz son: 1 y 16 años respectivamente. ACTIVIDAD Nº Resuelve por el método de igualación los siguientes ejercicios: 6y y y 0. 3y 6 5 3y y 3 5. REGLA DE CRAMER Antes de comenzar a solucionar sistemas de ecuaciones lineales aplicando la regla de Cramer, es importante conocer el concepto de Determinante. Veamos: DETERMINANTES Consideremos el sistema a1 b1y c1 a b y c siendo a 1, b 1, c 1, a, b y c, números reales. El desarrollo de este sistema por medio de la regla de Cramer es el siguiente: PASO1: Hallar el determinante del sistema, esto es, la solución de la matriz formada por los coeficientes de las variables en las dos ecuaciones: a1 b1 a b a1 b a b1 PASO: Se halla el valor de X calculando el siguiente cociente: X c c a a b 1 1 b b 1 1 b c1 b c b1 a1 b a b1 NOTA: Para hallar el valor de X, se debe remplazar, en la matriz del numerador, los coeficientes de X por los términos independientes de las ecuaciones. Sean a, b, c y d números reales cualesquiera. Una matriz cuadrada de orden es una estructura que se representa por: a c A b d El determinante de la matriz A se define como: a c Det A (a d ) (b c) b d Por ejemplo: Hallar el determinante de la matriz: 3 7 A Det A ( 3 5) ( 7) 15 ( 1) Una de las aplicaciones de los determinantes es la solución de sistemas de ecuaciones. El procedimiento utilizado se le conoce con el nombre de REGLA DE CRAMER. REGLA DE CRAMER. PASO3: Se halla el valor de Y calculando el siguiente cociente: a1 c1 a c a c a c Y a b a b a1 b a b1 Por ejemplo: calcular la solución del siguiente sistema: Veamos la solución: Hallamos el valor de X: 5y 3 3 y ( 5) ( 15) Luego: X =

8 Ahora hallemos el valor de Y así: y Luego, Y = Ejemplo : Resuelve el siguiente sistema: 5 11y 9 3 y 8 Solución: Hallemos el valor de X: ( ) 8 15 ( ) Hallamos ahora el valor de Y así: y ( 18) ACTIVIDAD Nº5 Aplica la regla de Cramer y resuelve los siguientes ejercicios: y 10 3 y y 9 8 3y 3 1 y y y 11 3y 16 7 y 5 3 y y 18 3 y 3 NOTA IMPORTANTE: Además de los ejercicios propuestos en esta guía taller, también deben repasar los ejercicios vistos en clase para la evaluación. Ustedes saben que este fue el periodo más complicado y donde los temas fueron mas etensos ok.

9 0 NÚMEROS IMAGINARIOS i 1 Solucionar la ecuación: X + = 0 Veamos: 0 En el conjunto de los números Reales no hay valores que satisfagan esta ecuación, pero se puede seguir el proceso así: i 1 i i i i i 1 i i i 1 La pregunta sería ahora, cómo calcular una potencia de i que sea mayor que? Veamos un ejemplo: Calcular: i 5 =? Para resolverlo, basta dividir el eponente de la potencia dada por, determinar el residuo y compararlo con los eponentes básicos. Por ejemplo: En este proceso, es la raíz cuadrada de. Ahora 1 es llamada UNIDAD IMAGINARIA y se representa con la letra i. Luego la solución de la ecuación dada es: i Por tanto: Los números que se representan de la forma bi reciben el nombre de CANTIDADES IMAGINARIAS PURAS. En la epresión bi, b representa el valor de la cantidad imaginaria, mientras que i es la unidad imaginaria cuyo valor es 1. Cabe resaltar que con estas cantidades imaginarias se pueden hacer operaciones como se hace en los monomios algebraicos. Por ejemplo: Sumar: i 3( )i ( 7)i 5i 6i 1i 3i Ejemplo : consulta como sería: 16 5 =?? POTENCIAS DE i Antes de estudiar los números complejos y sus operaciones es necesario conocer los valores de las potencias de i. Por ejemplo: 5 6 y sobra 1. Por lo tanto: 5 1 i i i EJERCICIOS Calcula el valor eacto de las siguientes potencias de i: 1. i. i 3. i. i 5. i Ahora bien los números reales y los números imaginarios son subconjuntos de otro conjunto llamado NÚMEROS COMPLEJOS, el cual denotaremos con la letra C. NÚMEROS COMPLEJOS Toda cantidad que se pueda epresar de la forma a + bi se denomina número complejo, a y b son valores reales; a recibe el nombre de parte real, mientras que bi es la parte imaginaria. En otras palabras, un número complejo es aquel que está compuesto por una parte real y una parte imaginaria. Son ejemplos de números complejos: 3 + i; -6-3i; i, etc Ahora bien, todo número complejo tiene un conjugado, así como todo real tiene un número opuesto.

10 Luego se define como epresión CONJUGADA a un número complejo que se diferencia de otro, únicamente, en el signo de la parte imaginaria. Por ejemplo: El complejo: 7 + 3i, tiene como conjugada: 7 3i -3-5i, tiene como conjugada: i Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: llevar a la forma a + bi el complejo: i Ej. : (-7 + i) + ( - 3i) = (-7 + ) + (i 3i) = -3 i Ej. 3: halla la suma de 7 36 con 3 5 Sol. Como vemos, primero hay que transformar los complejos a la forma a + bi i i 15i Adicionamos las cantidades: (-7 + 6i) + (- - 15i) = i 15i = -9 9i Lleva a la forma a + bi: EJERCICIOS OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS A continuación analizaremos la forma de desarrollar operaciones entre complejos, además de eaminar las propiedades que se cumplen en ellas. 1. ADICIÓN Para sumar números complejos se utiliza la reducción de términos semejantes; es decir, para sumar números complejos se suman algebraicamente las partes reales entre si y de igual forma las partes imaginarias. Por ejemplo: Sumar: (5 + 7i) + (-3 + i) = 5 + (-3) + 7i + i = + 8i EJERCICIOS Efectúa las siguientes operaciones: a. 6 3i 5 i 7 3i b i c. 7 3i 7 3i 7 3i d e. 8i i f. i 9 7 g. 3 7i 6i 8. SUSTRACCIÓN Para hallar la diferencia entre dos números complejos basta cambiar el signo del sustraendo y reducir entre sí tanto las partes reales como las partes imaginarias. Por ejemplo: Restar 5 7i de + i Sol: Determinamos cual es el sustraendo y cuál es el minuendo. Minuendo: + i Sustraendo: 5 7i. Luego la operación se plantea así:

11 i 5 7i i 5 7i Ejemplo : De 7 3i restar su conjugada. Sol: 5 i 7i 1 8i (7 3i) (7 + 3i) = 7 3i 7 3i = 7 7 3i 3i = 0 6i NOTA: todo número complejo tiene un conjugado que es igual a él, pero con signo contrario en la parte imaginaria. Restar: a. i de 5 i EJERCICIOS b. 3 i de 6 3i c. 3 i de 6i d. 11 i de 3 i e. 5 de 7 i f. De 6 i resta 3 i g. De 11 i resta 1 i h. De 6 resta 6i Para realizar la operación aplicamos la propiedad distributiva. 3 i 5 i 15 1i 10i 8i 15 i 8i 15 i i 8 3 i Ejemplo : multiplicar: 3 5 Antes de proceder a realizar la multiplicación es necesario llevar los números complejos a la forma a + bi. 3 3i Luego: 5 5 i Por tanto, multiplicaremos: 3i 5 i 0 i 5 3i 6i i i i EJERCICIOS 3. MULTIPLICACIÓN Para multiplicar números complejos: a. Se desarrolla la operación como si fueran binomios algebraicos. b. Se reemplazan las potencias de i por sus valores respectivos. c. Se reducen términos semejantes. Por ejemplo: Desarrollar la siguiente operación: 3 i 5 i Efectúa los siguientes productos a. 1 7i 1 7i b. 3i 6i c. 3i 5 i d. 5 i 7 i e. 11 3i i f. 5 i 1 i

12 i i 3 7 g. EJERCICIOS. DIVISIÓN Para dividir cantidades complejas se procede de la siguiente manera: a. Se epresa la operación en forma fraccionaria. b. Se multiplican ambos elementos de la fracción por la epresión conjugada del denominador. c. Se desarrollan los productos indicados, presentando el resultado en forma discriminada, es decir, diferenciando la parte real de la parte imaginaria. Veamos un ejemplo: Calcular el cociente: 3i 1 3i Sol: a. 3i 1 3i b. c. 3i 1 3i 1 3i 1 3i 3i 1 3i 3i 1 3i 6i 3i 9i 1 3i 1 3i 1 9i 6i 3i i i Desarrolla las operaciones indicadas. a. 8 5i i b. 6 9i 7i c. 9i 1 i d. 7 10i 3i e. 1 i i f. 11 5i 6i g. 7 5i 7 5i Ejemplo. Solución: Dividir: 7 5i i 7 5i i 1 7i 10i 5i i i i 1 3i i 19 3 i 5 5 5

13 SOLUCIÓN DE ECUACIONES ECUACIONES CUADRATICAS CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN Las funciones cuadráticas que se estudiaron anteriormente, tales como: podemos transformarlas en: f f f ( ) ( ) 6 ( ) 9 0 Esta nueva forma se le llama ecuación asociada a la función polinómica dada o, comúnmente, ecuación cuadrática o de segundo grado. Se sabe que f ( ) 6 es equivalente a: y 6 Por ser y f (), es decir, Y es la imagen de X mediante la función f, por tanto, cuando: 6 0 y 0 Este proceso se llama raíces de la función cuadrática, es decir, cuando hacemos y 0se determinan los puntos (si los hay), en los cuales la gráfica de la función corta al eje. Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una igualdad de la forma a b c 0, donde a, b yc y a 0 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS Eisten diversas formas de solucionar ecuaciones cuadráticas. En nuestro caso, estudiaremos dos de ellas, tales como: 1. Por factorización. Por formula general. Veamos en qué consiste cada una de ellas. Veamos el procedimiento para resolver una ecuación cuadrática por factorización. Por ejemplo. Resolver por factorización: 3 0 Veamos paso a paso el proceso de solución: ( 3) ( ) 88 0 (11)( 8) 0 (11)( ) 0 5. (11)( ) Multiplicamos y dividimos por el coeficiente del término X Efectuando el producto dejando indicado el del segundo término Descomponiendo el trinomio en dos factores. Es decir, buscar dos números que multiplicados den 88 y que sumados o restados den 3. Etrayendo el factor común en el numerador Simplificando los presentes en el numerador y denominador Igualando cada factor a cero Despejando la variable X en cada factor. Desarrollando para X en cada factor. Luego el conjunto de valores que satisface la ecuación dada es: 11 S, EJEMPLO : resolver por factorización 51 0

14 SOL: Procedemos de igual manera que en el ejemplo 1 0 ( 7)( 3) 0 ( 51) anterior 5( ) 0 (8)(3) 0 ( )(3) 0 ( )( 3) Luego, el conjunto solución de la ecuación es:: 3 S, EJEMPLO 3: Resolver por factorización: 90 0 Sol. Como podemos ver en este caso el término de X no tiene un coeficiente diferente de uno (1), por lo tanto, para factorizarlo no es necesario realizar todos los pasos como en los dos ejemplos anteriores, sino que se realiza de una manera más sencilla. Veamos: Se comprueba que el coeficiente de X sea 1. ( 5)( ) 0 Descomponiendo el trinomio en dos factores. Es decir, buscar dos números que multiplicados den 0 y que sumados o restados den Igualando cada factor a cero. 5 Despejando la Luego, el conjunto solución será: S 5, EJEMPLO : Resolver por factorización: variable X en cada factor. 1 0 Luego el conjunto solución es: S 7, 3 Resolver por factorización ACTIVIDAD SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FÓRMULA GENERAL Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general es necesario dar a conocer dicha fórmula la cual será muy útil al momento de solucionar las ecuaciones sin necesidad de factorizar. Veamos: Para toda ecuación cuadrática de la forma: a b c 0se cumple que: b b ac a Donde los valores que intervienen (a, b y c) son los coeficientes de la ecuación cuadrática que se va a solucionar.

15 EJEMPLO 1. Utilizando la fórmula general, resolver: Solución: Identificamos los coeficientes o valores conocidos que intervienen en la fórmula con el signo algebraico que intervienen en la ecuación, así: a = 3; b = y c = -1. Escribimos la fórmula: b b ac a Remplazamos los valores en dicha fórmula así. (3) (3)( 1) S, 1 3 Luego el conjunto solución es: EJEMPLO : Resolver: 1 0 Aquí a = ; b = - y c = 1 VEAMOS LA SOLUCIÓN: () ( ) ( ) ()(1) Luego el conjunto solución es: EJEMPLO : Resolver: Aquí a = 1; b = -6 y c = 11 Veamos la solución: (1) ( 6) ( 6) (1)(11) i 6 i 1 3 i 6 i 3 i S, Luego el conjunto solución es: S 3 i,3 i

16 ACTIVIDAD Resuelve aplicando la fórmula general para la solución de ecuaciones cuadráticas: