9. Ecuaciones, parte III

Transcripción

1 Matemáticas I, 202-I El concepto de información Ya hemos visto ejemplos de ecuaciones con una única solución y otras que admiten dos soluciones. Ahora veremos unos ejemplos más extraños. Ejemplo. Resuelve la ecuación x + = x. Para ello restamos x: x + = x = 0 x Ups - algo pasó! Perdimos la incógnita x por completo. Ya no aparece en la ecuación. Cómo debemos entonces resolver esta ecuación? La respuesta es más fácil de lo que parece: la ecuación = 0 es falso siempre, para cualquier valor de x. La consecuencia es que la ecuación original no tiene ninguna solución. Como resolver una ecuación significa encontrar todas las soluciones, está ecuación es fácil de resolver: no tiene ninguna solución. Falso sería responder esto no se puede. Ejemplo 2. Resuelve la ecuación x 2 + x = x(x + ). Primero multiplicamos el lado izquierdo y luego restamos lo que se encuentra del lado derecho para tener todo de un lado: x 2 + x = x(x + ) x 2 + x = x 2 + x x 2 x = x 0 = 0 Multiplicar x También perdimos la incógnita, pero ahora la ecuación es verdadera. No importa el valor de la incógnita x. La consecuencia: cualquier número x es solución de la ecuación x 2 + x = x(x + ). Los dos ejemplos anteriores son extremos: una de ellas no tiene ninguna solución, la otra tiene todos los números como solución. Si pensamos que la ecuación expresa una información acerca de la incógnita, la primera expresa 9-

2 Matemáticas I, 202-I la imposibilidad, mientras la segunda expresa ninguna información ya que no restringe el valor de la incógnita. A cambio (x 2)(x + 3) = 0 expresa la información x = 2 ó x = 3. Cuando transformamos las ecuaciones hay que ser cuidadoso con esta información para que en la medida de lo posible no se altere. Desafortunadamente no siempre es posible resolver una ecuación sin alterar la información contenida en ella. En lo que sigue estudiamos dos problemas. Soluciones adicionales Si multiplicamos una ecuación con un término que contiene la incógnita entonces es posible que se obtienen soluciones adicionales (que a veces se llaman extrañas), esto son soluciones que no eran soluciones de la ecuación original. Ejemplo 3. La ecuación x 3 = 0 (9.) tiene una única solución: x = 3. Pero si (por alguna razón) se multiplica (9.) por el término x 2 entonces se obtiene (x 2)(x 3) = 0. Esta ecuación tiene dos soluciones: x = 2 y x = 3 pero sólo la segunda es solución de la ecuación original (9.). La primera es solución de x 2 = 0. Este ejemplo es ilustrativo y al mismo tiempo algo engañoso: engañoso porque nadie multiplicaría la ecuación (9.) con x 2 para resolverla. Es ilustrativo porque muestra que la solución adicional es justo la que se obtiene al igualar a cero el término con el que se multiplicó. Esto no es algo especial del ejemplo. Si tenemos alguna ecuación, del estilo A = B, donde A y B son dos términos en la incógnita x y la multiplicamos con x 2 entonces obtenemos (x 2)A = (x 2)B. 9-2

3 Matemáticas I, 202-I Esta ecuación podemos factorizar: (x 2)A = (x 2)B (x 2)B (x 2)A (x 2)B = 0 Factorizar x 2 (x 2)(A B) = 0 Separar x 2 = 0 ó A B = 0 Resolver x = 2 ó A = B Es decir x 2 = 0 o se tienen las soluciones de la ecuación original A = B. Veamos ahora otros ejemplos. Ejemplo 4. Resuelve la ecuación x x 3 = 2 x 2 9. Es importante observar primero que (x + 3)(x 3) = x 2 9. Así que, si multiplicamos ambos lados por (x + 3)(x 3) entonces podemos resolver la ecuación: x x 3 = 2 x 2 9 (x + 3)(x 3) (x 3) + (x + 3) = 2 Sumar 2x = 2 2 x = Para estar seguro de que x = es solución de la ecuación original se sustituye. El lado izquierdo da mientras el lado derecho da = = 4 2 = = 2 8 = 4. Como ambos valores coinciden se tiene que x = es en efecto solución de la ecuación original. Ejemplo 5. Resuelve la ecuación x x 3 = 6 x

4 Matemáticas I, 202-I Se observa que este ejemplo es casi igual al anterior excepto que el numerador del lado derecho es 6 y no 2. Se procede de manera similar: x x 3 = 6 x 2 9 (x + 3)(x 3) (x 3) + (x + 3) = 6 Sumar Ahora la sustitución da 2x = 6 2 x = = 0. Pero la división entre cero no se permite en matemáticas. Por ello x = 3 no es una solución de la ecuación anterior sino una adicional que se añadió al multiplicar por x 3. También al elevar al cuadrado se pueden obtener nuevas soluciones como muetsra el siguiente ejemplo. Ejemplo 6. La ecuación x + 2 = 5 tiene solamente una solución: x = 3. Pero si elevamos al cuadrado ambos lados obtenemos (x + 2) 2 = 25 Multiplicar x(x + 2) + 2(x + 2) = 25 x 2 + 2x + 2x + 4 = 25 x 2 + 4x + 4 = 25 x 2 + 4x 2 = 0 Multiplicar Sumar 25 Factorizar (x + 7)(x 3) = 0 Separar x + 7 = 0 ó x 3 = 0 Resolver x = 7 ó x = 3 Es decir, la ecuación después de elevar al cuadrado tiene una solución adicional: x =

5 Matemáticas I, 202-I Pérdida de soluciones Para resolver la ecuación x 2 = x uno podría estar intentado a dividir ambois lados entre x: x 2 = x x x = Pero al dividir entre un término que contiene la incógnita se puede perder una solución. En este caso se perdió la solución x = 0. La manera correcta de resolver la ecuación es usar la factorización: x 2 = x x 2 x = 0 x(x ) = 0 x Factorizar x Separar x = 0 ó x = 0 Resolver x = 0 ó x = Recuerda: evita dividir entre un término que contiene la incógnita y mejor usa la factorización. Otro error se comete cuando se saca la raíz cuadrada sin considerar ambos signos posibles. Ejemplo 7. La ecuación x 2 = 9 tiene dos soluciones: x = 3 y x = 3 ya que ( 3) 2 = ( 3) ( 3) = 9. Pero si sacamos la raíz cuadrada obtenemos x 2 = 9 x = 3 Se perdió la solución x = 3. Este error se corrige al sacar la raíz con ambos signos posibles: x 2 = 9 x = ±3 ± Es suficiente introducir el signo en uno de los dos lados ya que x = ±3 equivale a x = 3. Recuerda: No se pierde ninguna solución al sacar la raíz cuadrada si se consideranambos signos. 9-5

6 Matemáticas I, 202-I Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones: (a) (T + )(T ) = T 2 (b) + x = x x 3x ( x) (c) = 4 + x 4 (d) (z ) (z + ) [z ( z)] = 0 2 Resuelve las siguientes ecuaciones: (a) (b) (c) (d) x x 2 = 2 x a 7 5 a + 7 = 0 t 4 t t 4 = 4 z z + 3 = z 3 3 Resuelve las siguientes ecuaciones (a) z 2 4 = 0 (b) x 2 + = 0 (c) (x 2 26) 2 = 00 (d) t 4 3t = 0 (e) (x 2 )(x 2 2)(x 2 3)(x 2 4) = 0 4 Resuelve las siguientes ecuaciones (a) 2t 2 3 = t 2 + (b) e 2 4 = 3e (c) x 2 4 = 2 x (d) (u 3)(u + 3) = 4u