FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Transcripción

1 Capítulo 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Este capítulo amplía los conocimientos de trigonometría de los alumnos. Los alumnos a han estudiado la trigonometría de triángulos rectángulos utilizando el seno, el coseno la tangente en sus calculadoras para hallar longitudes desconocidas de lados de triángulos. Ahora los alumnos eplorarán estos mismos términos trigonométricos como funciones. Se les presentará el círculo de unidad e investigarán cómo hallar funciones trigonométricas dentro del círculo de unidad. Asimismo, aprenderán una nueva forma de medir ángulos utilizando la medida radián. Para más información, consulta los recuadros cuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 7.., 7..5, 7..6, Ejemplo Mientras Daring Davis hace la fila para subirse a la enorme rueda, observa que esta rueda no es como otras a las que ha subido. En primer lugar, los pasajeros no ascienden a esta rueda desde el punto más bajo de la rueda sino al nivel del eje horizontal de la atracción, al que llegan tras subir varios escalones. Además, si Davis considera el punto de ascenso como la altura cero de ese eje, la altura máima por encima del punto de ascenso a la que una persona puede llegar es de 5 pies, la altura mínima por debajo del punto de ascenso es de 5 pies. Usa esta información para crear un gráfico que muestre cómo la altura de un pasajero sobre la rueda depende del número de grados de rotación desde el punto de ascenso a atracción. Punto de ascenso A medida que la rueda gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se incrementa la altura de un pasajero por encima del eje horizontal alcanza un máimo de 5 pies por encima del eje después de 90 de rotación. Luego, la altura del pasajero disminue respecto del eje horizontal, alcanza los cero pies después de 80 de rotación, continúa disminuendo respecto de ese eje. Se llega a la altura mínima de 5 pies cuando el pasajero ha rotado 70. Al rotar 360, el pasajero vuelve al punto inicial el viaje continúa Para crear este gráfico, calculamos la altura del pasajero en diversos puntos a lo largo de la rotación. Estas alturas se muestran usando los segmentos de recta grises dibujados desde la ubicación del pasajero sobre la rueda de forma perpendicular al eje horizontal de la atracción. Nota: algunos de estos valores se pueden completar fácilmente. A 0, la altura por encima del eje es de cero pies. A 90, la altura es de 5 pies. Rotación, grados Altura, pies Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 77

2 Para completar el resto de la tabla, calculamos las alturas utilizando la trigonometría de triángulos rectángulos. Demostraremos tres de estos valores (30, 35, 5 ), dejaremos que verifiques el resto. Para cada uno de estos cálculos debes concentrarte en la porción de la imagen que forma un triángulo rectángulo. Para el punto de 30, observamos el triángulo rectángulo con una hipotenusa de 5 pies. (El radio del círculo es de 5 pies porque es tanto la altura máima como la altura mínima que alcanza el pasajero). En este triángulo rectángulo, podemos usar la función seno: 5 pies 30 h En el punto de 35, usamos el triángulo rectángulo de la parte eterior de la curva. Dado que los ángulos son suplementarios, el ángulo que usamos mide 45. h 5 pies A 5 (5 = ), el triángulo que usamos queda trazado por debajo del eje horizontal. Utilizaremos el ángulo de 45 que está dentro del triángulo rectángulo, de forma que h 7.68, usando cálculos previos cambiando el signo para indicar que el pasajero se encuentra por debajo del punto de inicio. Ahora podemos completar todos los valores de la tabla. h pies Rotación, grados Altura, pies Traza estos puntos conéctalos con una curva suave. Tu gráfico debería verse como el de la derecha. Nota: esta curva muestra dos revoluciones de la rueda. Esta curva continúa, repitiendo el ciclo para cada revolución de la rueda. También representa una función seno particular: = 5 sen CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections, Álgebra

3 Capítulo 7 Ejemplo Sobre un círculo de unidad, representa luego calcula cos 60, cos 50, cos 35. Luego grafica = cos. Las funciones trigonométricas (funciones trig ) surgen naturalmente en círculos como vimos en el primer ejemplo. El círculo más simple es un círculo de unidad, es decir, un círculo con un radio de unidad, es este círculo el que a menudo usamos con las funciones trigonométricas. En el círculo de unidad de la derecha se marcaron diversos puntos. El punto P corresponde a una rotación de 60, el punto Q corresponde a 50, el punto R a R (0, ) 35. Medimos rotaciones desde el punto (, 0) en sentido contrario a P las agujas del reloj para determinar el ángulo. Si creamos triángulos Q rectángulos en cada uno de estos puntos, podemos usar la trigonometría de triángulos rectángulos que aprendimos en 45 geometría para determinar las longitudes de los catetos del triángulo. En el ejemplo anterior, se halló la altura del triángulo usando el seno. Aquí el coseno nos dará la longitud del otro cateto del R triángulo. 60 cos 60 Para comprender totalmente por qué a la longitud del cateto horizontal la nombramos coseno, analiza el siguiente triángulo. En el primer triángulo, si marcamos el cateto corto con, escribiríamos: 30 cos 30 (, 0) Q 30 (0, ) cos P (, 0) 60 Por lo tanto, la longitud del cateto horizontal del primer triángulo es cos 60. Nota: El segundo triángulo que representa 50 se encuentra en el segundo cuadrante donde los valores de son negativos. Por lo tanto, cos 50 = cos 30. Verifica esto con tu calculadora. θ P Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 79

4 Es importante destacar qué significa esto. Sobre un círculo de unidad, podemos hallar un punto P rotando q grados. Si creamos un triángulo rectángulo trazando su altura desde el punto P hasta el eje, la longitud de esta altura siempre es q. La longitud del cateto horizontal es siempre cos q. Además, esto significa que las coordenadas del punto P son (cos q, sen q). Esto es lo magnífico de usar el círculo de unidad: las coordenadas de cualquier punto del círculo se encuentran tomando el seno coseno del ángulo. El gráfico de la derecha muestra la curva de coseno para dos rotaciones alrededor del círculo de unidad Ejemplo 3 Sobre un círculo de unidad, halla los puntos correspondientes a los siguientes radianes. Luego convierte cada ángulo dado en radianes a grados. a. 6 b. c. 5 4 d. 5 3 Un radián mide aproimadamente 57, aunque esa no es la forma de recordar cómo convertir los grados en radianes. En lugar de ello, piensa en el círculo de unidad recuerda que una rotación sería igual que recorrer una circunferencia alrededor del círculo de unidad. La circunferencia del círculo de unidad es C = r = () =. Por lo tanto, una rotación alrededor del círculo, 360, es lo mismo que recorrer radianes alrededor del círculo. Los radianes no solo se aplican a círculos de unidad. Un círculo con cualquier tamaño de radio también tiene radianes en una rotación de 360. Podemos ubicar estos puntos alrededor del círculo de unidad en lugares apropiados sin convertirlos. En primer lugar, recuerda que la medida de radianes está en el mismo punto que una rotación de 360. En consecuencia, la mitad de eso, 80, corresponde a radianes. La mitad de eso, 90, es radianes. Siguiendo un razonamiento similar, 70 corresponde a 3 radianes. Usar lo que sabemos sobre fracciones nos permite colocar las otras medidas de radianes alrededor del círculo. Por ejemplo, 6 es un seto de la distancia hasta CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections, Álgebra

5 Capítulo 7 A veces queremos poder convertir medidas de radianes a grados viceversa. Para hacerlo, podemos usar una razón de radianes grados. Para convertir 6 radianes a grados creamos una razón resolvemos. Usaremos como una forma más simple de Por lo tanto, 6 radianes equivale a 30. Análogamente, podemos convertir los ángulos precedentes a grados: 80 = /6 = 80 6 = 30 = 30 ( ) 80 = / = 80 ( ) = 65 = = 5 /4 = 80 ( 5 4 ) = 5 = 5 80 = 5 /3 = 80 ( 5 3 ) = 300 = 300 Ejemplo 4 Grafica T (θ) = tanθ. Eplica qué sucede en los puntos θ =, 3, 5, 7 esto?,.... Por qué sucede Como con los gráficos de S(θ ) = sen θ C(θ) = cosθ, T (θ) = tanθ se repite, es decir, es cíclico. El gráfico no tiene, sin embargo, las colinas los valles familiares que muestran las otras dos funciones trigonométricas. El gráfico de la derecha muestra en parte el gráfico de una ecuación cúbica como f () = 3. No obstante, esto no es una ecuación cúbica, lo cual resulta evidente por el hecho de que tiene asíntotas se repite. En θ =, el gráfico se aproima a una asíntota vertical. Esto también ocurre en θ =, como el gráfico es cíclico, pasa repetidamente en θ = 3, 5, 7,. De hecho, pasa en todos los valores de θ de la forma (k ) para todos los valores enteros de k (valores impares). La verdadera pregunta es: por qué se produce una asíntota en estos puntos? Recuerda que tan θ = senθ cosθ. En cada punto en el que cos θ = 0, esta función es indefinida (no podemos tener cero en el denominador). De modo que en cada punto en el que cos θ = 0, la función T (θ) = tanθ también resulta indefinida. Si eaminamos el gráfico de C(θ ) = cos θ, podemos ver que este gráfico es cero (cruza el eje ) en el mismo tipo de puntos que antes: (k ) para todos los valores enteros de k. Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 8

6 Problemas Grafica cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas.. = sen. = cos 3. = tan Halla cada uno de los siguientes valores sin usar calculadora, pero usando lo que sabes sobre trigonometría de triángulos rectángulos, círculos de unidad, triángulos rectángulos especiales. 4. cos (80 ) 5. sen (360 ) 6. tan (45 ) 7. cos ( 90 ) 8. sen (50 ) 9. tan (40 ) Convierte cada una de las medidas de ángulos a radianes. 70 a radianes. 35 a radianes 3. 5 radianes a grados radianes a grados radianes a grados Respuestas radianes. 7 8 radianes. 7 4 radianes CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections, Álgebra

7 Capítulo 7 TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Los alumnos aplican a las funciones trigonométricas sus conocimientos de transformación de gráficos madre. Generarán ecuaciones generales para la familia de funciones seno, coseno, tangente, aprenderán sobre una nueva propiedad específica de las funciones cíclicas denominada período. El recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 7..4 ilustra las diferentes transformaciones de estas funciones. Ejemplo Para cada una de las siguientes ecuaciones, indica la amplitud, el número de ciclos en, el desplazamiento horizontal, el desplazamiento vertical del gráfico. Luego grafica cada una en ejes separados. = 3 cos ( 3 ) = sen ( + ) + 4 La forma general de una función seno es = a sen[b( h)] + k. Algunas de las transformaciones de las funciones trigonométricas son las estándares que los alumnos aprendieron en el Capítulo. La a determinará la orientación, en este caso, a sea si está en la forma estándar o si el gráfico ha sido reflejado a través del eje. En las funciones trigonométricas, a también representa la amplitud de la función: la mitad de la distancia que la función se estira desde el punto máimo el punto mínimo de forma vertical. Como antes, h es el desplazamiento horizontal k es el desplazamiento vertical. Esto solo deja a b, lo que nos habla del período de la función. Los gráficos de = sen θ e = cos θ tienen un período de cada uno, lo que significa que un ciclo (antes de repetirse) tiene una longitud de. Sin embargo, b afecta esta longitud dado que b indica el número de ciclos que se producen en la longitud. La primera función, entonces, tiene una amplitud de 3, dado que es positiva, no se refleja a través del eje. El gráfico está desplazado horizontalmente hacia la derecha 3 unidades, hacia abajo (verticalmente) unidades. El antes del paréntesis nos indica que realiza dos ciclos en unidades. Si el gráfico realiza dos ciclos en unidades, la longitud del período es de unidades. A la derecha se muestra el gráfico de esta función. La segunda función tiene una amplitud de, pero se refleja a través del eje. Está desplazada hacia la izquierda unidades, hacia arriba unidad. Aquí vemos que dentro de un espacio de, solo aparece un cuarto de ciclo. Esto significa que el período es cuatro veces más largo que lo normal, es decir, 8. El gráfico se muestra a la derecha. = 3 cos ( 3 ) = sen 4 ( + ) + Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 83

8 Ejemplo Para el desfile del 4 de Julio, Vicki decoró su triciclo con serpentinas globos. Ató un globo en el borde eterno de una de sus ruedas traseras. El globo comienza su recorrido al nivel del suelo. A medida que ella pedalea en su triciclo, el globo sube baja en altura de forma sinusoidal (es decir, como una curva seno). El diámetro de su rueda es de 0 pulgadas. a. Realiza un gráfico que muestre la altura del globo por encima del suelo cuando Vicki monta su triciclo. b. Cuál es el período de este gráfico? c. Escribe la ecuación de esta función. d. Usa tu ecuación para predecir la altura del globo luego de que Vicki recorre 4 pulgadas. Este problema es similar al del ejemplo de la atracción al comienzo de este capítulo. El globo sube baja de la misma forma en que una curva coseno sube baja. A la derecha se muestra un dibujo simple. El globo comienza a la altura del suelo a medida que la rueda del triciclo gira, el globo sube hasta la parte superior de la rueda luego baja. Si consideramos que el suelo representa el eje, el globo estará en su punto más alto cuando esté en la parte superior de la rueda, que es una distancia equivalente a la altura o el diámetro de una rueda, 0 pulgadas. Así que ahora sabemos que la distancia desde el punto más alto hasta el punto más bajo es de 0. La amplitud es la mitad de esta distancia, es decir, 5. Para determinar el período, necesitamos pensar en el problema. El globo comienza a nivel del suelo, se eleva cuando la rueda gira baja nuevamente al suelo. Qué sucede cuando el globo regresa al suelo? La rueda ha realizado una revolución completa. Cuánto ha recorrido entonces la rueda? Ha recorrido la distancia de una circunferencia. La circunferencia de un círculo con un diámetro de 0 pulgadas es de 0 pulgadas. Por lo tanto, el período de este gráfico es de 0. Para obtener la ecuación para este gráfico, necesitamos tomar algunas decisiones. Los gráficos de seno coseno son similares. De hecho, uno es igual al otro desplazado 90 (o radianes). En este punto, necesitamos decidir si queremos utilizar el seno o el coseno para modelar estos datos. Cualquiera de los dos funcionará pero las respuestas se verán diferentes. Dado que el gráfico comienza en el punto más bajo no en el medio, sería recomendable usar el coseno. (Sí, el coseno comienza en el punto más alto pero podemos multiplicarlo por un número negativo para dar vuelta el gráfico comenzar en el punto más bajo). También sabemos que la amplitud es de 5 que no ha desplazamiento horizontal. Toda esta información puede escribirse en la ecuación como = 5 cos [b] + k. Podemos determinar k recordando que consideramos al eje como el suelo. Esto significa que el gráfico se desplaza hacia arriba 5 unidades. Para determinar el número de ciclos en (es decir, b), recuerda que hallamos que el período de este gráfico es de 0. Por lo tanto, 0 = de la curva aparece dentro del espacio de. Finalmente, uniendo 5 toda la información podemos escribir = 5 cos [ 5 ] + 5, como se muestra en el siguiente gráfico CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections, Álgebra

9 Capítulo 7 = 5 cos Nota: si decidiste utilizar la función seno para estos datos, te habrás dado cuenta de que el gráfico está desplazado hacia la derecha 0 unidades. Una ecuación con la que se obtiene este 4 gráfico es = 5 sen 5 ( 0 4 ) + 5. Otras ecuaciones también funcionan, de modo que si no obtienes la misma ecuación que se muestra aquí, grafica la tua compáralas. Para hallar la altura del globo luego de que Vicki recorre 4 pulgadas, reemplazamos la de la ecuación por 4. Si no obtienes esta respuesta, asegúrate de que tu calculadora esté configurada para usar radianes. = 5 cos cos(8.4) pulgadas Problemas Eamina cada uno de los siguientes gráficos. Para cada uno, realiza el gráfico de un ciclo, luego indica la amplitud el período Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 85

10 Para cada una de las siguientes ecuaciones, indica la amplitud el período. 5. = cos(3) = sen 6 7. f () = 3sen(4) 8. = sen f () = cos + 0. f () = 5 cos( ) 4 A continuación se presentan los gráficos de = sen e = cos. = sen Utilízalos para graficar cada una de las siguientes ecuaciones funciones a mano. Usa tu calculadora gráfica para verificar tus respuestas.. = sen( + ). f () = sen(3) 3. f () = cos ( 4 ( 4 )) 4. = 3 cos ( + 4 ) f () = 7 sen ( 4 ) 3 6. Una rueda de agua de madera se encuentra al lado de un viejo molino de piedra. La rueda de agua realiza 0 revoluciones por minuto, se sumerge pies por debajo de la superficie del agua, en su punto más alto se encuentra a 8 pies por encima del agua. Un caracol se adhiere al borde de la rueda cuando esta llega a su punto más bajo gira con la rueda una otra vez. A medida que transcurre el tiempo, el caracol asciende desciende; de hecho, la altura del caracol por encima de la superficie del agua va variando sinusoidalmente. Utiliza esta información para escribir la ecuación particular con la que se obtiene la altura del caracol según pasa el tiempo. 7. Para mantener entretenida a la beba Cristina, su madre a menudo la coloca en un brincolín Johnn Jump Up, un asiento en el etremo de un fuerte resorte que se coloca en el marco de una puerta. Cuando Mamá coloca a Cristina en el brincolín, observa que el asiento baja hasta 8 pulgadas por encima del piso. Un segundo medio después (.5 segundos), el asiento llega a su punto más alto, 0 pulgadas, por encima del piso. A medida que pasa el tiempo, el asiento continúa rebotando. Usa esta información para escribir la ecuación particular con la que se obtiene la altura del brincolín Johnn Jump Up de la beba Cristina a medida que pasa el tiempo. (Nota: puedes comenzar el gráfico en el punto más bajo que alcanza el asiento) CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections, Álgebra

11 Capítulo 7 Respuestas. La amplitud es de, el período es de.. La amplitud es de 0.5, el período es de. 3. El gráfico a muestra un ciclo. La amplitud es de 3 el período es de La amplitud es de.5, el período es de Amplitud:, período: Amplitud:, período:. 7. Amplitud: 3, período:. 8. Amplitud:, período: Amplitud:, período:. 0. Amplitud: 5, período:... 3 Sorprendido? El negativo lo da vuelta, pero el + lo desplaza nuevamente vuelve a verse como era originalmente! Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 87

12 = 0 cos( 0 ) + 8, ha otras posibles ecuaciones que también funcionan. 7. = 6 cos( 3 ) funciona si hacemos que el gráfico sea simétrico respecto del eje. El eje no tiene que representar el suelo. Si haces que el eje represente el suelo, tu ecuación podría verse como = 6 cos( 3 ) CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections, Álgebra

13 Capítulo 7 PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT. Si un pentaminuto es lo mismo que cinco minutos de tiempo, cuántos pentaminutos equivalen a cuatro horas de tiempo? a. 00 b. 40 c. 60 d. 48 e. 0. Si a = b = 4, cuál es el valor de 4a 3b? a. 60 b. 36 c. 6 d. 9 e El promedio (la media aritmética) de 4 s es igual al promedio de 3, 8 s. A qué es igual s? a. 3 b. 5.5 c. 9 d. 0 e. No eiste s. 4. En la figura de la derecha, AB = CD. A qué es igual k? C( 3, 6) a. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. A( 8, 4) B(, 4) 5. El término inicial de una progresión es de 36. Cada término posterior es equivalente a la mitad del término anterior si dicho término es par. Si el término anterior es impar, el término siguiente es la mitad de ese término, más un medio. Cuál es el seto término de esta progresión? D( 3, k) a. b..5 c. d. 3.5 e En un spa, se le ofrecen al cliente cinco tipos diferentes de masajes ocho tipos distintos de tratamientos para pies. Cuántas combinaciones diferentes eisten que incluan un masaje un tratamiento para pies? a. 3 b. 3 c. 6 d. 8 e. 40 Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved. 89

14 7. Una caja rectangular mide cm de largo, 0 cm de ancho, 5 cm de alto. Si se pueden almacenar eactamente 60 cajas rectangulares idénticas pero más pequeñas perfectamente en el interior de la caja grande, cuál de las siguientes podrían ser las dimensiones, en cm, de estas cajas más pequeñas? a. 5 por 6 por b. 4 por 5 por 6 c. 3 por 5 por 6 d. 3 por 4 por 6 e. por 5 por 6 8. Cuando Harr regresó su libro a la biblioteca, Madam Pince le dijo que debía pagar una multa de $6.45. Esto incluía $3.00 por el préstamo de tres semanas, más una multa de $0.5 diaria por cada día de retraso en la devolución del libro. Cuántos días adicionales tuvo Harr el libro? 9. Cuál es la pendiente de la recta que atraviesa los puntos (0, ) ( 0, )? 0. A la derecha se encuentra el gráfico completo de la función f(). f() = 3 para cuántos valores positivos de? Respuestas. D. A 3. D 4. C 5. C 6. E 7. E 8. 3 días CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections, Álgebra