7 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

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1 7 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA EMPEZAR Utiliza la calculadora para hallar la medida en grados, minutos y segundos de cada uno de los ángulos que resultan al dividir un círculo en: a) 7 partes iguales b) partes iguales a) 0 7 b) 0 7 Clasifica los ángulos Ap y Bp de este triángulo y calcula la medida del ángulo Cp. El ángulo Ap es agudo, ya que es menor de 90. El ángulo Bp es obtuso, ya que es mayor de 90 y menor de 80. El ángulo Cp es: Cp , y es agudo. A 0 0''' B 0 7'0'' C En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide 0 centímetros. Calcula la medida de los catetos y de los ángulos agudos. Para obtener la medida de los catetos aplicamos el teorema de Pitágoras: 0 x x 00 x x 0 7,07 cm En un momento de la ascensión al Alpe d Huez, los ciclistas suben por un tramo de carretera que tiene una inclinación con la horizontal de 8. Calcula los ángulos complementario y suplementario de este ángulo. El ángulo complementario es: El ángulo suplementario es: Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo Ejercicio resuelto PARA PRACTICAR 7. a) Calcula los radianes que mide un ángulo de 0 grados. b) Calcula cuántos grados mide un ángulo de radianes. x a) 0 0 x 0 0 rad b) 0 n o 0 70 n o 7. Pasa a radianes los siguientes ángulos expresados en grados. a) 0 b) 90 c) d) 0 a) 0 0 rad b) 90 0 rad c) 0 rad 0 d) rad 0 7. Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes. a) b) c) d) a) b) 0 c) d)

2 7. Completa la siguiente tabla con las medidas de algunos ángulos en grados y radianes. Grados Radianes Para pasar de grados a radianes, se multiplica por y se divide entre 0: x. 0 Para pasar de radianes a grados, se multiplica por 0 y se divide entre : x 0. Grados Radianes 7. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos de la figura. a) B b) B cm cm A cm C A cm C a) Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa: BC cm. Las razones trigonométricas de los ángulos Bp y Cp son: sen Bp 0,8; cos Bp 0,; tg Bp,v sen Cp 0,; cos Cp 0,8; tg Cp 0,7 b) Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el cateto desconocido: AB cm. Las razones trigonométricas de los ángulos Bp y Cp son: sen Bp 0,9; cos Bp 0,8; tg Bp, sen Cp 0,8; cos Cp 0,9; tg Cp,v Ejercicio resuelto 7. Con ayuda de la calculadora, halla el valor de x en los siguientes casos. a) sen 0 x c) cos x 0,9 b) cos x d) tg x a) x 0 SEN 0,8 c) x 0,9 COS,8 b) x COS 0,7 d) x TAN 7.7 Utilizando la calculadora, halla el valor de las siguientes razones trigonométricas. a) sen 7 c) tg 0 e) tg b) cos d) cos 9 f) sen a) sen 7 0,9 c) tg 0 0, e) tg 0,09 b) cos 0, d) cos 9 0, f) sen 0,7

3 7.8 Con ayuda de la calculadora, halla la medida de: a) El ángulo cuyo seno vale 0,. b) El ángulo cuyo coseno vale 0,. a) Ap 0, SEN 0 b) Bp 0, COS 0 PARA APLICAR Problema resuelto 7.9 Calcula la altura aproximada de la antena. La razón trigonométrica que relaciona el ángulo con los catetos es la tangente: 7.0 cateto opuesto x tg 0,700 x 0 0,700,00 c ateto contiguo 0 La antena mide aproximadamente metros. Calcula la altura aproximada de los árboles de la figura. 0 m x a) b) h 0m h 8m a) tg h 8 h 8 tg 7, m b) sen h h 0 sen, m 0 7. Una ONG ha decidido construir un puente sobre un río para comunicar dos pueblos de las orillas. Calcula la longitud aproximada del puente con los datos de la figura. 0 m x Si llamamos x a la anchura del río, tenemos que: cos 0 x cos 0, m. 7. Con ayuda de la calculadora, halla el ángulo aproximado que forman los rayos solares con la superficie del suelo en el momento en que una estatua de metros de altura proyecta una sombra de metros. Representamos gráficamente la situación: La razón trigonométrica que relaciona el ángulo con los catetos es la tangente. tg 0, Así tenemos que: m 0, TAN,7 m α

4 7. La siguiente señal de tráfico significa que por cada 00 metros que se avanza en la horizontal se sube un desnivel de metros. Con ayuda de la calculadora, halla el ángulo que forma en ese momento la carretera con la horizontal. Representamos gráficamente la situación. La razón trigonométrica del ángulo Ap que relaciona los datos del enunciado es la tangente: tg Ap 0,. 00 Utilizando la calculadora hallamos el ángulo: Ap 0, TAN 7,07 7 Relaciones entre las razones trigonométricas Ejercicio resuelto 7. El seno de un ángulo agudo vale 0,. Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ángulo. Como es un ángulo agudo y sen 0,, por la primera relación fundamental: sen cos 0, cos cos 0,0 0,897 cos 0,897 0,97 Por la segunda relación fundamental: tg s en 0, 0,78 cos 0,97 PARA PRACTICAR 7. Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo sabiendo que su coseno tiene los siguientes valores. a) 0,7 b) 0, c) 0,88 d) 0,9 a) Por la relación fundamental el seno del ángulo valdrá,7) (0 0,99. Su tangente valdrá tg s en cos 0, ,8., 7 b) Por la relación fundamental el seno del ángulo valdrá,) (0. Su tangente valdrá tg s en cos. 0, c) Por la relación fundamental el seno del ángulo valdrá,88) (0 0,9. Su tangente valdrá tg s en 0, 9,7. cos 0, 88 d) Por la relación fundamental el seno del ángulo valdrá,9) (0 0,08. Su tangente valdrá tg s en 0, 08 0,. cos 0, 9 Ejercicio resuelto 7. El coseno de un ángulo agudo vale. Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo. Por la relación fundamental tenemos que: sen cos sen s co. Así: sen Por la segunda relación fundamental: 9 9 tg s en cos 7

5 7.7 Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo sabiendo que su seno tiene los siguientes valores. a) b) c) 7 Da los resultados en forma de expresiones radicales. a) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos d) Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno: tg. b) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos 9 7 Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno: tg s en. cos 7 7 c) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno: tg s en cos d) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno: tg s en cos Con ayuda de la calculadora, halla los valores de las expresiones A y B. A sen sen B sen ( ) Explica razonadamente si la siguiente fórmula es verdadera o falsa. sen sen () Obtenemos el valor de las expresiones: A sen sen B sen ( ) sen (90) Así, si tomamos como, tenemos que: A sen sen sen B sen ( ) sen ( ) Por lo que A B, lo que demuestra que la fórmula indicada es por lo general falsa. 7.9 Comprueba con ejemplos si las siguientes fórmulas son verdaderas o falsas. a) sen sen sen ( ) b) cos cos cos ( ) Ambas son falsas. Basta con considerar, por ejemplo, 0 y 0. En este caso 90 a) sen 0 sen 0 b) cos 0 cos 0 sen 90 0 cos 90 8

6 PARA APLICAR Problema resuelto 7.0 Demuestra la siguiente igualdad trigonométrica: tg co s Para demostrar una igualdad trigonométrica, se parte de uno de sus miembros y, aplicando las fórmulas y relaciones conocidas, se trata de llegar al otro miembro: tg s en cos sen cos cos cos 7. Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas. a) c) cos sen sen tg sen b) tg sen sen tg d) tg sen sen tg a) Se sustituye la tangente por s en, se eleva al cuadrado y se hace común denominador: cos tg cos sen sen cos sen sen b) En el primer término de la igualdad se sustituye la tangente por s en, se eleva al cuadrado y se hace común denominador, por último se saca factor común al sen : cos tg sen s en sen sen cos sen ( cos ) sen tg sen cos cos cos c) Se cambia el cos por sen y se opera: cos sen ( sen ) sen sen d) A partir del segundo término de la igualdad, se saca factor común al sen y se sustituye la tangente por s en, se eleva al cuadrado y se hace común denominador: cos sen sen tg sen ( tg ) sen s en cos sen cos sen cos sen cos tg 7. Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas. a) cos i se n tg i b) i cos i s en a) Se sustituye la tangente por s en y se divide: cos cos s en cos cos sen cos s en cos tg sen sen cos b) Se cambia el sen por cos, que es una diferencia de cuadrados, por lo que podemos factorizarlo en una suma por diferencia, y se simplifica: cos cos cos sen cos ( cos )( cos ) cos 9

7 Problema resuelto 7. La tangente de un ángulo agudo vale,7. Cuánto valen las otras razones? tg s en sen,7 cos cos Se sustituye en la primera relación fundamental. (,7 cos ) cos 7,9 cos cos 8,9 cos cos 8, 9 0, Se calcula el seno. sen,7 cos,7 0, 0,99 7. Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo sabiendo que su tangente tiene los siguientes valores. a), b), c) 0,87 a) El coseno del ángulo valdrá: cos 0,7. (,) Hallamos el seno: sen tg cos, 0,7 0,87. b) El coseno del ángulo valdrá: cos 0,. (,) Hallamos el seno: sen tg cos, 0, 0,988. c) El coseno del ángulo valdrá: cos 0,7. (0,87) Hallamos el seno: sen tg cos 0,87 0,7 0,. 7. La tangente de un ángulo agudo vale. Calcula el seno y el coseno de ese mismo ángulo y expresa los resultados mediante fracciones y radicales. El coseno del ángulo valdrá: cos El seno valdrá: sen tg cos. 9. Ampliación del concepto de ángulo PARA PRACTICAR 7. Señala a cuál de los cuatro cuadrantes de la circunferencia goniométrica pertenecen estos ángulos. a) Los ángulos agudos. b) Los mayores de 80 grados pero menores de 70. c) Los mayores que un ángulo recto pero menores que uno llano. d) Los mayores de 70 grados pero menores de 0. a) Al primer cuadrante c) Al segundo cuadrante b) Al tercer cuadrante d) Al cuarto cuadrante 0

8 Ejercicio resuelto 7.7 Dados los ángulos, y, halla los siguientes ángulos indicando el cuadrante al que pertenecen. a) b) c) d) 7 a) primer cuadrante c) 00 tercer cuadrante b) segundo cuadrante d) 7 9 cuarto cuadrante 7.8 Dados los ángulos, 77 y 8, halla los siguientes ángulos indicando el cuadrante al que pertenecen. a) b) c) 7 a) 77 8 Pertenece al primer cuadrante. b) Pertenece al segundo cuadrante. 7 c) Pertenece al tercer cuadrante. 7.9 Dados los ángulos rad y rad, calcula los siguientes ángulos indicando el cuadrante al que pertenecen. a) b) c) d) a) 7 Primer cuadrante c) 9 0 b) 0 8 Tercer cuadrante d) 00 Segundo cuadrante. Cuarto cuadrante. Ejercicio resuelto 7.0 Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de 0. A qué cuadrante pertenece cada uno? a) 000 b) 9 rad a) Dividimos 000 entre 0 y obtenemos 8 de cociente y 0 de resto. Así: º cuadrante b) Dividimos el ángulo entre y obtenemos de cociente y de resto. Así: 9.º cuadrante 7. Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de 0 grados, e indica el cuadrante al que pertenecen. a) 00 b) 89 c) 7 rad d) rad Dividimos el ángulo entre 0 o, y el cociente es el número de vueltas y el resto, el ángulo buscado. a) Pertenece al segundo cuadrante. b) Pertenece al tercer cuadrante. c) 7 Pertenece al segundo cuadrante. d) Pertenece al primer cuadrante.

9 7. Señala a qué cuadrante pertenecen los siguientes ángulos negativos. a) c) 00 e) 90 g) 80 b) 0 d) 0 f) h) 0 a).º cuadrante e) Pertenece al.º cuadrante. b). er cuadrante f) 0 9 Pertenece al. er cuadrante. c).º cuadrante g) Pertenece al.º cuadrante d). er cuadrante h) Pertenece al. er cuadrante. PARA APLICAR 7. Una noria está compuesta por 0 cestas. La figura muestra la posición inicial. Indica qué cesta se encontrará más cerca del suelo si la noria realiza los siguientes giros. a) 7 e) 8 b) 80 f) 900 c) g) d) h) a) H e) D b) A f) A c) C g) E d) E h) J 7. Calcula el ángulo que gira la aguja de las horas en un reloj durante los siguientes períodos de tiempo. a) Una hora c) Un día b) Medio día d) Una semana a) Como el reloj tiene horas, cada hora, la aguja recorrerá 0 0. b) Medio día son horas, por lo que la aguja da la vuelta completa, recorriendo 0. c) En un día da la vuelta dos veces, por lo que recorre d) Una semana son 7 días, por lo que recorrerá Un reloj marca las once y media del mediodía. a) Qué ángulo recorre el minutero para marcar la una y diez de la tarde? b) Qué hora es si el minutero ha recorrido un ángulo de 00 grados? c) Qué ángulo deberá recorrer el minutero si queremos retrasar el reloj tres cuartos de hora? a) El minutero da una vuelta entera (serían las doce y media) y un giro equivalente a 0 minutos, es decir, En total la aguja recorre b) 00 (0), con lo que el minutero ha girado vueltas, es decir, horas. Serán, por tanto, las dos y media de la madrugada. c) 70

10 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Ejercicio resuelto PARA PRACTICAR El seno de un ángulo del segundo cuadrante vale. Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ángulo. Al ser un ángulo del segundo cuadrante, tanto el coseno como la tangente serán negativos. Aplicamos las relaciones fundamentales: sen cos cos 9 9 ; tg s en cos Calcula el coseno y la tangente de un ángulo del que sabemos que: a) Pertenece al segundo cuadrante y seno 7. 7 b) Pertenece al cuarto cuadrante y seno. a) El coseno del ángulo será negativo por pertenecer al segundo cuadrante. Aplicando la relación fundamental sen cos, este valdrá Su tangente valdrá: tg s en cos 7. 7 b) El coseno del ángulo será positivo por pertenecer al cuarto cuadrante. Aplicando la relación fundamental sen cos, este valdrá Su tangente valdrá: tg s en 7. cos El coseno de un ángulo del tercer cuadrante vale 8. Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo. El seno del ángulo será negativo por pertenecer al tercer cuadrante. Aplicando la relación fundamental, este valdrá: sen Su tangente valdrá tg s en cos. 8 8 Responde a las siguientes preguntas de forma razonada. a) Puede el coseno de un ángulo valer? b) Puede el seno de un ángulo valer? c) Puede la tangente de un ángulo agudo valer 00? d) Si está en el segundo cuadrante, puede ser cos? Y sen? e) Puede tener tangente positiva un ángulo que no sea del primer cuadrante? a) No, el coseno de un ángulo en valor absoluto no puede valer más que. b) No, el seno de un ángulo en valor absoluto no puede valer más que. c) Sí, la tangente puede valer cualquier valor real. d) No, el coseno de un ángulo del segundo cuadrante es negativo. Sí, para 0, se cumple. e) Sí, los del tercer cuadrante.

11 a) Calcula el resto de las razones trigonométricas de los ángulos y pertenecientes al primer cuadrante si sabemos que: sen cos b) Con ayuda de la calculadora, averigua la medida de y. a) Todas las razones serán positivas al tratarse de ángulos del primer cuadrante. Se aplica la relación fundamental sen cos a cada uno de los ángulos: cos tg s en cos b) SEN 0 COS 0 La tangente de un ángulo del tercer cuadrante vale 7 7. Calcula el seno y el coseno de ese mismo ángulo. El coseno de ese ángulo es negativo por pertenecer al tercer cuadrante. Su valor lo calcularemos aplicando que: tg cos cos tg El seno del ángulo será sen tg cos Dibuja en la circunferencia goniométrica un ángulo del primer cuadrante tal que sen cos. De qué ángulo se trata? Halla el valor de sus razones trigonométricas. Y 90º α O x x tg α 0º X El ángulo es, y se corresponde con la bisectriz del primer cuadrante. Para calcular las razones trigonométricas se tiene en cuenta que al ser la circunferencia goniométrica, el radio mide, por lo que podemos calcular los catetos del triángulo formado a partir del teorema de Pitágoras: x x x sen cos tg s en cos PARA APLICAR 7. La carretera que rodea una gran ciudad tiene forma de circunferencia de 9 kilómetros de radio. Suponemos que el centro de la carretera coincide con el origen de coordenadas. Calcula las razones trigonométricas del ángulo que ha girado un coche que se ha desplazado del punto (9, 0) al (0, ). Si es el ángulo que ha girado, tenemos que sen y r, cos x 9 r 0 9 y tg s y en c os r y x. 0 x r 7. En la figura aparecen la circunferencia goniométrica y el seno de un ángulo del segundo cuadrante. Dibuja dicho ángulo, su coseno y su tangente. Indica el signo de cada una de sus razones trigonométricas. tg α sen α Y 90º 80º cos α O α X sen 0 cos 0 tg 0 80 sen α Y 90 O X

12 7. En la figura aparecen dos circunferencias goniométricas, una con el coseno de un ángulo del primer cuadrante y otra con la tangente de un ángulo del cuarto cuadrante. Dibuja, y el resto de sus razones trigonométricas e indica el signo de cada una. a) Y 90 b) Y 90 cos α 0 O X cos α 0 O X a) sen 0; cos 0; tg 0 b) sen 0; cos 0; tg 0 Y 90º Y α O cos α sen α tg α 0º X β cos β X O 0º sen β tg β 70º 7. Halla los valores de los ángulos que verifican la siguiente ecuación trigonométrica. sen cos Se sustituye el sen por cos, de forma que se obtiene una ecuación solo en función del coseno y que se puede resolver: sen cos ( cos ) cos cos 0 cos k 70 0 k donde k es un número natural. Razones trigonométricas de ángulos relacionados PARA PRACTICAR Ejercicio resuelto 7.7 Sin ayuda de la calculadora, indica los valores de las siguientes razones trigonométricas. a) sen 0 b) cos c) tg d) sen (0) Se relacionan con las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante de la siguiente forma. Si el ángulo pertenece al: Segundo cuadrante, el cálculo se apoya en el ángulo que le falta para 80. Tercer cuadrante, el cálculo se apoya en el ángulo que le sobra de 80. Cuarto cuadrante, el cálculo se apoya en el ángulo que le falta para 0. a) sen 0 sen (80 0) sen 0 b) cos cos ( 80) cos c) tg tg () tg d) cos (0) cos 0

13 7.8 Sin ayuda de la calculadora, indica los valores de las siguientes razones trigonométricas. a) sen 0 d) cos 0 g) tg 00 b) sen e) cos h) tg 0 c) sen 00 f) cos 0 i) tg 0 a) sen 0 sen (80 0) sen 0 b) sen sen (80 ) sen c) sen 00 sen (0 0) sen 0 d) cos 0 cos (80 0) cos 0 e) cos cos (80 ) cos f) cos 0 cos (80 0) cos 0 g) tg 00 s en 00 s en ( cos00 cos( 0) 0) sen 0 c tg 0 os 0 h) tg 0 tg s en cos sen tg cos i) tg 0 s en 0 sen 0 tg 0 cos0 cos Indica en cada caso qué ángulos menores de 0 grados cumplen las siguientes igualdades. a) sen x sen b) cos y cos c) tg z tg a) x debe pertenecer al segundo cuadrante para que el seno sea positivo, por lo que: x 80. b) x debe pertenecer al cuarto cuadrante para que el coseno sea positivo, por lo que: x 0. c) x debe pertenecer al tercer cuadrante para que la tangente sea positiva, por lo que: x Ejercicio resuelto 7.0 Indica la medida de todos los ángulos que verifiquen que cos. El coseno es un número positivo, por lo que el ángulo puede estar en el primer cuadrante o en el cuarto. cos 0 0 k, con k Z 00 0 k 7. Indica la medida de todos los ángulos que verifican que: a) sen d) sen b) cos e) tg c) cos 0 f) tg a) sen 0 0 k, k Z d) sen 0 0 k 0 0 k 00 0 k, k Z b) cos 0 k, k Z e) tg 0 k 90 0 k 70 0 k 0 0 k, k Z 0 0 k 0 k 0 k c) cos 0, k Z f) tg, k Z

14 7. Dibuja en la circunferencia goniométrica dos ángulos complementarios y escribe las relaciones entre sus razones trigonométricas. Y 90º sen α sen β β α O cos β 0º X sen cos (90 ) cos cos sen (90 ) sen tg s en cos( 90 ) cos cos s en ( 90 ) s en tg cos α 7. Comprueba que las razones trigonométricas de los ángulos complementarios 0 y 0 cumplen las relaciones que has obtenido en la actividad anterior. sen 0 cos 0 ; sen 0 cos 0 ; tg0 ; tg0 tg 0 PARA APLICAR 7. Fíjate en la representación de las razones trigonométricas en una circunferencia goniométrica para responder a las siguientes cuestiones. a) Cuál es el valor máximo que pueden alcanzar el seno y el coseno de un ángulo? Qué ángulos alcanzan dichos valores? b) Cuál es el valor mínimo que pueden alcanzar el seno y el coseno de un ángulo? Qué ángulos los alcanzan? c) Halla la tangente de los ángulos de 0, 90, 80 y 70 grados. a) y b) Tanto el seno como coseno están acotados por y. El seno alcanza el valor para el ángulo 90 y para el ángulo 70. El coseno alcanza el valor en el ángulo 0 y el valor en el ángulo 80. c) La tangente de un ángulo puede alcanzar cualquier valor real, es decir, puede ir desde hasta. tg 0 tg 80 0, tg 90, tg Calcula de dos maneras diferentes el producto de las tangentes de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo. C Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. Por tanto, se tiene que: tg Cp tg Bp tg Cp tg (90 Cp ) tg Cp. tg Cp Otra forma es considerar cada tangente: tg Cp tg Bp b c b c. B a c b A 7. El nuevo centro de salud va a construirse en un terreno con forma de trapecio isósceles. Halla la suma de los cosenos de los cuatro ángulos. Al ser el trapecio isósceles estará formado por dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales. Además, como la suma de sus ángulos tiene que valer 0, se tiene que 80, es decir, que son ángulos suplementarios. cos cos cos cos (80 ) cos cos 0 7

15 7.7 Sabiendo que sen (90 ) h y que es un ángulo del primer cuadrante, calcula en función de h el valor de tg (80 ). tg (80 ) tg s en cos( 90 ) h cos s en ( 90 ) h MATEMÁTICAS APLICADAS PARA APLICAR 7.8 Construye un medidor de ángulos y utilízalo para calcular las siguientes alturas. a) La del edificio donde vives. b) La de la torre de alguna iglesia de tu ciudad. c) La del árbol más alto cercano a tu casa. Para resolver esta actividad se procede del mismo modo que en el ejemplo resuelto en la teoría. Los resultados de cada alumno dependerán de los datos tomados en cada caso particular. ACTIVIDADES FINALES PARA PRACTICAR Y APLICAR 7.9 Los ángulos de un triángulo son proporcionales a, y. Calcula el valor de dichos ángulos expresando el resultado en grados y radianes. Sean x, x y x los ángulos del triángulo. Como su suma es 80 se tiene que x x x 80 x 0, es decir, que los ángulos medidos en grados son 0, 0 y 90. Su medida en radianes es, respectivamente,, y. 7.0 Calcula la medida de los lados desconocidos de los siguientes triángulos rectángulos. C b a B A 70 cm B C 0 cm b c A a) cos 70 a a c, cm b) sen 0 c sen 0,0 cm cos 70 tg 70 b b tg 70,7 cm cos 0 b b cos 0, cm 8

16 7. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos de la figura. Con ayuda de la calculadora, obtén la medida de dichos ángulos. B C 0 cm cm cm A cm C B A a) La hipotenusa mide 0 9 cm. Las razones trigonométricas pedidas serán: sen Cp cos Bp 0 0,89 9 Cp 0,89 SEN cos Cp sen Bp 0,7 9 Bp 0,7 SEN tg Bp,0; tg Cp 0 0,9 0 sen Bp cos Cp 0 ; cos Bp sen Cp ; 9 9 tg Bp 0. tg Cp b) El cateto desconocido lo calculamos utilizando el teorema de Pitágoras: c cm. Las razones trigonométricas pedidas serán: sen Bp cos Cp ; cos Bp sen Cp ; tg Bp tg Cp. Los ángulos desconocidos miden: Bp, y Cp,87 7. El seno de un ángulo agudo vale 8. Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ángulo. El coseno lo calcularemos aplicando la relación fundamental: cos 8. Su tangente valdrá La tangente de un ángulo agudo vale. Calcula el seno y el coseno de ese mismo ángulo. Da los resultados en forma de expresiones radicales. Aplicando la relación fundamental se obtiene: cos 0,98 El valor del seno se obtiene a partir de la definición de la tangente: sen tg cos 0,98 0,9. Este valor también lo podríamos haber obtenido utilizando la relación fundamental. 7. Responde a las siguientes preguntas de forma razonada. a) Hay algún ángulo en el segundo cuadrante cuyo coseno sea positivo? b) Hay algún ángulo del tercer cuadrante cuya tangente sea positiva? c) A qué cuadrante pertenecen los ángulos que tienen cosenos positivos y tangentes negativas? a) Ninguno. b) Todos. c) Los ángulos del cuarto cuadrante. 9

17 7. Calcula el resto de las razones trigonométricas de un ángulo del que sabemos que: a) Pertenece al segundo cuadrante y sen 8 7. b) Pertenece al tercer cuadrante y tg. a) El coseno del ángulo será negativo por ser del segundo cuadrante. Su coseno valdrá 8 7. La tangente valdrá. 7 8 b) Como el ángulo es del tercer cuadrante, tanto el seno como el coseno del ángulo serán negativos. El coseno lo calculamos mediante la fórmula: tg cos cos tg El seno: sen tg cos. 7. Expresa las razones trigonométricas de los siguientes ángulos en función de las de 0 grados. a) 80 b) 70 c) 90 d) 0 e) 0 a) sen 80 sen (90 0) cos 0; cos 80 cos (90 0) sen 0; tg80 tg (90 0) tg 0 b) sen 70 sen (80 0) sen 0; cos 70 cos 0; tg 70 tg 0 c) sen 90 sen (80 0) sen 0; cos 90 cos 0; tg 90 tg 0 d) sen (0) sen 0; cos (0) cos 0; tg(0) tg 0 e) sen 0 sen (0 0) sen 0; cos 0 cos 0; tg 0 tg Sin ayuda de la calculadora, indica los valores de las siguientes razones trigonométricas. a) sen 0 b) cos 00 c) tg 0 a) sen 0 sen (80 0) sen 0 b) cos 00 cos (0 0) cos 0 c) tg 0 tg (80 0) tg Indica la medida de todos los ángulos que verifican que: a) sen b) tg 0 c) cos a) sen 90 0 k, k Z b) tg 0 sen 0 0 k, k Z k c) cos 0 0 k, k Z 0 0 k 0

18 7.9 El coseno de un ángulo vale. Calcula el valor de las siguientes expresiones según el cuadrante al que pertenezca. a) sen tg b) sen tg Para que el coseno de un ángulo tome ese valor el ángulo debe pertenecer al primer o al cuarto cuadrante. Si el ángulo pertenece al primer cuadrante el seno valdrá, con lo que su tangente valdrá. a) 0 b) Si el ángulo pertenece al cuarto cuadrante el seno valdrá, con lo que su tangente valdrá. a) 0 b) 7.70 Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas. tg a) se n b) tg tg tg tg tg tg sen cos a) En el primer término de la igualdad, se cambia la tangente por seno entre coseno, se hace común denominador y se simplifica: tg sen cos se n co sen cos s s en sen cos sen cos se n sen cos sen cos b) Se multiplica cada sumando de dentro del paréntesis por las tangentes y se simplifica: tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg 7.7 Simplifica la siguiente expresión trigonométrica ( cos )( cos ) ( sen )( sen ). ( cos )( cos ) ( sen )( sen ) cos sen (cos sen ) 7.7 sen 7 cos 7 Sabiendo que tg 88 h, calcula en función de h el valor de. tg 8 Primero calculamos el resto de razones trigonométricas para el ángulo de 88, teniendo en cuenta que está en el tercer cuadrante. cos 88 t g 88 h y sen 88 tg 88 cos 88 h h Las relaciones entre el ángulo de 88 y los de 7 y 8 son: y , por lo que las razones trigonométricas son: sen 88 sen (80 8) sen 8 sen 7 sen (80 8) sen 88 cos 88 cos (80 8) cos 8 cos 7 cos (80 8) cos 8 cos 88 tg 88 tg (80 8) tg 8 tg 7 tg (80 8) tg 8 tg 88 sen 7 cos 7 tg 8 h h sen 88 cos 88 h h h tg 88 h h

19 7.7 En el momento del día en que los rayos solares tienen una inclinación de grados, la sombra que proyecta un edificio mide 0 metros. Calcula la altura del edificio. La altura será h 0 tg 0 m La Torre Eiffel tiene una altura de 00 metros. Calcula la longitud de su sombra cuando los rayos solares tienen una inclinación de 0 grados. La medida x de su sombra verifica que tg x 00 7, m x La señal de tráfico indica que los ciclistas suben una rampa del 8%. Cuál es el ángulo de inclinación de la carretera? El ángulo de inclinación de la carretera verifica que su seno es 8 tg 0,08, con lo que su ángulo es,7. 00 PARA REFORZAR 7.7 Indica de forma razonada a qué cuadrante pertenecen los siguientes ángulos. a) 00 b) 9 c) rad d) rad a).º cuadrante b).º cuadrante c). er cuadrante d). er cuadrante 7.77 Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de 0 grados. a) 00 b) 0 c) rad a) b) c) rad 0, rad 7.78 Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero negativo de vueltas más un ángulo negativo de valor absoluto menor de 0 grados. a) 00 b) 0 c) 000 a) b) c) Señala de forma razonada si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) El coseno de un ángulo del segundo cuadrante es negativo. b) Si un ángulo pertenece al tercer cuadrante o al cuarto, su tangente es positiva. c) Si el seno de un ángulo es positivo, entonces el ángulo pertenece al primer cuadrante. d) sen cos 7 e) tg 0 tg 90 f) cos cos () a) Verdadero. b) Falso, en el cuarto cuadrante la tangente es negativa. c) Falso, el ángulo puede estar también en el segundo cuadrante. d) Verdadero, son ángulos complementarios. e) Verdadero, son ángulos que difieren en 80 y 90 está en el tercer cuadrante, donde la tangente es positiva. f) Falso, al ser opuestos cos cos ().

20 7.80 Calcula la altura aproximada de la siguiente antena. 7 0 m La altura pedida será: 0 tg 7,89 m 7.8 Una cancha de baloncesto mide metros de ancho. Calcula el largo de la pista si la diagonal forma un ángulo de 8 grados con uno de los laterales. m Su anchura medirá: 8, m tg La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide centímetros, y uno de sus catetos,. Halla las razones trigonométricas de los ángulos del triángulo. cm B cm El cateto desconocido mide: b Las razones trigonométricas serán: sen Bp cos Cp 7 C b A cos Bp sen Cp tg Bp tg Cp 7.8 Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo sabiendo que su coseno vale 0,. El seno del ángulo valdrá,) (0 0,9 y la tangente 0,9,8. 0, 7.8 Calcula el seno y el coseno de un ángulo del tercer cuadrante del que sabemos que su tangente vale. El coseno de un ángulo del tercer cuadrante es negativo. Este valdrá cos tg El seno valdrá Sin ayuda de la calculadora, halla el valor de las razones trigonométricas de los ángulos de, y grados. sen sen (80 ) sen cos cos (80 ) cos sen sen (80 ) sen cos cos (80 ) cos tg tg (80 ) tg sen sen (0 ) sen cos cos (0 ) cos tg tg (80 ) tg tg tg (0 ) tg

21 PARA AMPLIAR 7.8 Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si el ángulo menor mide grados, halla la medida de los otros dos ángulos y expresa el resultado en grados y radianes. Si los ángulos están en progresión aritmética de diferencia d, estos se pueden expresar como, d, d. Como la suma tiene que valer 80 se tiene que d d 80 d 80 d con lo que los ángulos serán de, 0 y 7 grados Un reloj señala las doce en punto. Después de minutos, qué ángulo forman sus agujas? La aguja de los minutos ha girado La aguja de las horas ha girado 0,. 0 Por tanto, el ángulo que forman las agujas, medido en sentido positivo, es, (0) 7, Las entradas de un partido de baloncesto se imprimen en forma de paralelogramo tal y como muestra la figura. El ángulo agudo que forman dos de sus lados es tal que su tangente vale el doble que su seno. Calcula el área de las entradas. Calculemos el ángulo agudo del paralelogramo. Dicho ángulo verifica que: tg sen s en cos sen cos, con lo que 0. La altura h del paralelogramo será h sen 0, con lo que el área pedida será cm En cada caso, halla dos ángulos que verifiquen las siguientes igualdades. a) sen (x ) sen (x 90) b) tg x 0 tg (x 0) c) tg x sen x cos x a) sen (x ) sen (x 90) x x 90 x x x x 7 b) tg x 0 tg (x 0) x 0 x 0 x 0 80 x 0 x c) tg sen x cos x x sen x cos x sen x cos x co s x x x 7.90 Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica. cos x tg x cos x tg x cos x s en x cos cos x x ( sen x) sen x sen x sen x 0 Resolviendo esta ecuación de segundo grado, tomando como incógnita sen x tenemos que: sen x 9 sen x x 0; x 0 x 0 0 k x 0 0 k, k Z sen x solución no válida

22 7.9 La base de la carpa de un circo tiene forma de octógono regular de 0 metros de lado. Calcula su área. Consideramos uno de los 8 triángulos isósceles que resultan al unir el centro del octógono con los vértices. El ángulo desigual de cada uno de ellos mide 0 8. Como los triángulos son isósceles los ángulos de la base miden 7, cada uno. Hallamos la medida de la altura h de uno de los triángulos isósceles. h tg 7, h tg 7,, m La superficie de cada uno de los triángulos es: 0,, m. Como la base de la carpa está formada por 8 triángulos iguales, la superficie total será de: 8, m, m. PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 7.9 La torre inclinada En el centro de una gran ciudad se ha construido una moderna torre. Los arquitectos la han diseñado con una inclinación inicial de grados como muestra la figura. Sin embargo, debido a ciertos fallos en el proyecto, la inclinación aumenta con el paso del tiempo de forma que la vertical se separa del punto P 0 milímetros cada año. a) Calcula el tiempo que ha de pasar desde el año de la construcción para que la vertical sobrepase el centro de la base. b) Cuánto medirá el ángulo en ese momento? a) En principio, la separación de la vertical del punto P es de 0 sen 0 sen, m. Para que esta separación llegue a la mitad del lado de la base, debe aumentar en 7,,,7 m 70 mm. Por tanto, han de pasar más de 70 7 años para que la vertical sobrepase el centro de la base. 0 b) En el momento en que la vertical alcance el centro de la base, la inclinación será de: sen 7, 0, Animales en un cubo Juan tiene una caja de cartón con forma de cubo de 0 centímetros de lado. Dentro de ella ha metido una araña, una mosca y una libélula. Observa el dibujo para ver en qué esquina se ha situado cada animal. a) Calcula la distancia menor que deberán recorrer la araña y la libélula para llegar hasta donde se encuentra la mosca. b) Calcula la longitud del camino más corto que debe recorrer la hormiga por el exterior de la caja para llegar al vértice E. c) Describe el camino que debe seguir la hormiga en función del ángulo que forma con la arista CD. a) La araña debe recorrer la diagonal de la base para llegar a la mosca: d 0 0, cm. La libélula tendrá que recorrer la diagonal del cubo para llegar a la mosca: D, 0,9 cm. b) La hormiga deberá ir desde el vértice C a la mitad del lado DH, y de aquí al vértice E: l 0 7,08 cm. c) El ángulo que forma con la arista CD es: tg. 0 El camino que recorre es: l ,08 cm. Se obtiene el mismo resultado. cos cos ( )

23 AUTOEVALUACIÓN 7.A Expresa en radianes los siguientes ángulos. a) 8 b) 0 c) 0 a) 8 rad b) 0 7 rad c) 0 rad A Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes. a) rad b) rad c) 9 rad a) 0 b) 00 c) 7.A Con ayuda de la calculadora, halla la medida aproximada del ángulo de inclinación con que debe colocarse una escalera de metros para que alcance una altura de metros. La razón trigonométrica del ángulo alfa que relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa m m es el seno. sen 0,7 0,7 SEN 8 Debe colocarse formando 8 con la horizontal. α 7.A Calcula la medida de los ángulos y los lados desconocidos del triángulo rectángulo de la figura. C Cp 80 (90 ) b a tg b b tg,8 m A m B cos a a, m cos 7.A El coseno de un ángulo agudo vale 0,77. Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo. El seno del ángulo valdrá,77) (0 0, y la tangente 0, 0,8. 0, 77 7.A Dados los ángulos 0 y, indica el cuadrante al que pertenecen los siguientes ángulos. a) c) e) b) d) 7 f) a) 0 segundo cuadrante d) 7 cuarto cuadrante b) primer cuadrante e) cuarto cuadrante c) 00 tercer cuadrante f) 0 0 tercer cuadrante

24 7.A7 En cada caso, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo. a) cos 0, 70 0 b) tg c) sen a) El seno será negativo al pertenecer al cuarto cuadrante: sen,) (0 0,99, y la tangente será: tg 0,99 9,9. 0, b) El coseno de un ángulo del segundo cuadrante es negativo. Este valdrá cos tg. El seno valdrá. c) El coseno del ángulo será negativo por pertenecer al tercer cuadrante. Aplicando la relación fundamental este valdrá cos. Su tangente valdrá. 7.A8 Halla todos los ángulos cuyo coseno sea igual a. cos 0 k, k Z 0 k 7.A9 Expresa las razones trigonométricas de los siguientes ángulos en función de las del ángulo de grados. a) b) 0 c) a) sen sen (80 ) sen c) sen sen (0 ) sen cos cos (80 ) cos cos cos (0 ) cos tg tg (80 ) tg tg tg (0 ) tg b) sen 0 sen (80 ) sen cos 0 cos (80 ) cos tg 0 tg (80 ) tg ENTRETENIDO Los primos de Germain Hay muchos tipos de números: pares, capicúas, primos, triangulares pero sabías que también hay números de Germain? Para que un número n sea de Germain, tiene que ser primo y, además, el número n también debe ser primo. Cuáles de los siguientes números no son primos de Germain? Los números primos de Sophie Germain inferiores a 00, son:,,,,, 9,,, 8, 89,,, 7, 79, 9. Así entre los números propuestos, no son primos de Germain el 7, y ya que aunque son números primos, los números (n ):, 7 y son todos múltiplos de. 7