A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo: Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones:

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1 MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Juan Jesús Pascual TRIGONOMETRÍA A. Introducción teórica A. Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. A.. Valores del seno, coseno tangente para ciertos ángulos significativos (en grados radianes). A.. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica. A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas. A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno del coseno. B. Ejercicios resueltos B.. Razones trigonométricas. B.. Ecuaciones trigonométricas. B.. Problemas. A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA A. Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo: Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones: La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante cotangente. Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Veamos las epresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α β del triángulo rectángulo aquí representado: a) Para el ángulo α: función seno función coseno función tangente senα = a cosα = b tgα = a c c b función cosecante función secante función cotangente c c b cos ec α = = secα = = cotgα = = senα a cos α b tgα a /

2 Ejercicios de trigonometría resueltos b) Para el ángulo β: función seno función coseno función tangente senβ = b cosβ = a tgβ = b c c a función cosecante función secante función cotangente c c a cosecβ = = secβ = = cotgβ = = senβ b cosβ a tgβ b A.. Valores del seno, coseno tangente para ciertos ángulos significativos (en grados radianes) ángulo sen cos tg ángulo sen cos tg π 0º 0 rad º rad π π 0º rad 90 rad 0 6 π 45º rad 80º π rad A.. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la unidad. Para una circunferencia goniométrica es posible dar un sentido mu intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo. /

3 Ejercicios de trigonometría resueltos A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas a) Relaciones fundamentales: El seno, el coseno la tangente de un ángulo están relacionados mediante la siguiente igualdad: sen θ = tg θ cosθ Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pitágoras: senθ+ cos θ= b) Relaciones del ángulo suma diferencia: sen ( α ± β ) = senα cosβ ± senβ cos α ( ) cos α ± β = cosα cosβ senα senβ tg tgα ± tgβ α ± β = tgα tgβ ( ) c) Relaciones del ángulo doble Es un caso particular del anterior en el que α β son iguales. sen ( α ) = senα cos α ( ) cos α = cos α sen α tgα tg ( α ) = tg α d) Relaciones del ángulo mitad α cos α sen = α + cosα cos = /

4 Ejercicios de trigonometría resueltos α cos α tg = + cos α A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno del coseno Sea el siguiente triángulo. No hace falta que sea rectángulo! Se verifican las siguientes dos epresiones, conocidas como teorema del seno teorema del coseno. A c b B a C a b c a) Teorema del seno: = = sena senb senc b) Teorema del coseno: a = b + c bc cosa B. EJERCICIOS RESUELTOS B.. Cálculo de razones trigonométricas. Sabiendo que senα= 0, 86 calcula las demás razones trigonométricas directas e inversas Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno la tangente, las inversas la cosecante, la secante la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan: senα= 0, 86 4/

5 Ejercicios de trigonometría resueltos El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental sen θ + cos θ = : senθ+ cos θ= cos θ= senθ cosθ= senθ Sustituendo datos: cosθ= senθ cosθ= 0, 86 cosθ= La tangente buscada se deduce de la fórmula fundamental sen θ = tg θ. Sólo ha que sustituir en ella los valores conocidos: cosθ senθ 0, 86 = tg θ tg θ= tg θ=,7 cosθ 0, 5 La cosecante es la inversa del seno. cos ecα= sen α= =, 6 0,86 La secante es la inversa del coseno. secα= cos α= = La cotangente es la inversa de la tangente. cotgα= tg α= = 0,58,7. Calcula las relaciones trigonométricas directas de α β Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno la tangente. Para el ángulo α : 40 senα = senα = 0, 8, 50 0 cosα = cos α = 0, tgα = tgα =, 0 Observa que se cumple que sen α + cos α = 5/

6 Ejercicios de trigonometría resueltos Para el ángulo β : 0 senβ = senβ = 0, cosβ = cosβ = 0, tgβ = tgβ = 0, Observa que también se cumple que ser de otra manera. sen β + cos β =, como no podía. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 5º El ángulo 5º está en el º cuadrante. Será equivalente a un ángulo de 45º para el que sen45 es positivo cos45 es negativo, tal como se indica en la figura. sen 45 45º - cos 45 5º - 560º Como el ángulo es maor que 60º lo tratamos del siguiente modo: vuelta 60º + 00º El ángulo que tenemos que manejar es -00º. Ello es equivalente a un ángulo de 0º en el segundo cuadrante, en donde sen0 es positivo cos0 es negativo 6/

7 Ejercicios de trigonometría resueltos sen 0 0º - cos 45-00º 4. Sabiendo que cosα= que α está en el 4º cuadrante, halla las demás razones trigonométricas. Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo senα es negativo. El senα lo deducimos usando la relación fundamental de la trigonometría: senα+ cos α= Así: senα+ cos α= senα+ sen = α= = 4 El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata: senα tgα= = = ; cosα secα= = ; cosα cotgα= = ; tgα co secα= = senα 5. Sabiendo que tgα= que α está en el º cuadrante, halla las demás razones trigonométricas. Si α está en el º cuadrante entonces cosα es negativo senα es positivo. - Utilizamos la relación tgα+ = para hallar senα : senα 4 tgα+ = sen + = = α= senα senα senα 7/

8 Ejercicios de trigonometría resueltos senα - Hallamos cosα a partir de tgα= cosα : senα cosα= = =. tgα - Las obtención de las razones trigonométricas inversas es inmediata: secα= = ; cosα co secα= = ; senα cotgα= = tgα 6. Si α está en el tercer cuadrante razones trigonométricas: senα=, determina las siguientes sen( 80º α ) Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo, como bien indica el enunciado. Pero, en general, senα= sen( 80 α ), así que sen( 80 α ) = sen( 80º+α ) Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo. Además: senα= sen( 80 α ), así que sen( 80 α ) = cos( 80º α ) Como α está en el tercer cuadrante cosα es negativo. Además: cosα= cos( 80 α ). Deduzcamos cosα : Usamos la relación fundamental de la trigonometría: senα+ cos α= senα+ cos α= cos cos + α= α= = 4 4 8/

9 Ejercicios de trigonometría resueltos Entonces, cos( 80 α ) = 4 cos( 80º+α ) Se cumple que cosα= cos( 80+α ). Entonces: = cos( 80+α) cos( 80+α ) = 4 4 tg( 80º α ) sen( 80º α) tg( 80º α ) = = = cos( 80º α) 4 tg( 80º+α ) sen( 80º +α) tg( 80º +α ) = = = cos( 80º +α) 4 B.. Demostración de igualdades trigonométricas: 7. sen α+ = cos α tg α+ sec α Vamos a tratar de manipular el lado izquierdo de la igualdad, para sen α convertirlo en cos α. Teniendo en cuenta que tg α= cos α que sec α=, podemos escribir: cos α sen α+ sen α+ = tg α+ sec α sen α + cos α cos α 9/

10 Ejercicios de trigonometría resueltos Operamos esa epresión con el fin de simplificarla: sen α+ sen α+ cos α( sen α+ ) = = sen α sen α+ + sen α+ cos α cos α cos α = cos α Como acabamos de ver, la igualdad se cumple. 8. tg sen α α= sen α Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: A = tgα= senα cos α Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: senα En B= vamos a reescribir el denominador de una forma sen α más conveniente: Teniendo en cuenta que senα= cos α. Entonces: senα+ cos α= se deduce que senα senα B= = senα cos α Observamos que A=B, luego la identidad es verdadera. sen( α) 9. tg( α ) cot g( α ) = cos( ) sen( ) α + α + cot g ( α ) sec( α) cos ec( α) Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: 0/

11 Ejercicios de trigonometría resueltos sen( α) sen( α) A= tg( α ) cot g( α ) = tg( α ) = + cotg ( α) tg( α) + tg ( α) sen( α) sen( α) sen( α) = = = = cos ( α) sen ( α ) + cos ( α) + sen ( α) sen ( α) sen ( α) = sen ( α ) Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: B= cos( ) sen( ) α + α = sec( α) cos ec( α) = cos( α ) + sen( α) cos( α ) sen( α ) = = cos ( α ) sen ( α ) = sen ( α ) sen ( α ) = sen ( α ) Observamos que A=B, luego la identidad es cierta. 0. sec α 4 = senα cos α+ cos α Manipulamos primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: A sec α = = cos α Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: ( ) B sen cos cos sen cos cos cos 4 = α α+ α= α+ α α= α Observamos que A=B, luego la identidad es cierta cosecα = cotgα+ cotgα Manipulamos el miembro de la izquierda, que llamaremos A: /

12 Ejercicios de trigonometría resueltos ( )( ) 4 A= cos ecα = cos ecα cos ecα+ Recordamos que cosecα= + cot gα. Entonces: ( cos ec )( cos ec ) ( cot g )( cot g ) α α+ = + α + α+ = ( ) = cot gα cot gα+ = cot g α+ cot gα. 4 Hemos llegado a obtener el lado B de la epresión dada, luego se ha demostrado que la igualdad es cierta. tg. sen α= α + tg α Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante manipulaciones adecuadas llegaremos al miembro de la derecha: sen sen cos sen α cos α α= α α= cos α= cos α tg α cos α= tg α = tg α = tg α = = senα+ cos α senα cos α + cos α cos α cos α cos α tg α =. Queda así demostrado. + tg α. sen + = cos tg + sec Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante B.. Ecuaciones trigonométricas 4. Resuelve: sen = /

13 Ejercicios de trigonometría resueltos π = 60º = π = 80º 60º = 0º = = sen 5. Resuelve: cos = π π = 45º = 45º = 80º 4 = cos π 7 π = = = = 6. tg = 60º 45º 5º 5º 80º 4 π π 0º 0º = = = 80º 6 = 0º + 80º = 0º = 7 = tg π 7. Resuelve la ecuación cos = sen en el intervalo [ 0, π ] Ha que recordar que cos = cos sen. Así: cos = sen cos sen = sen Por otro lado, ha que tener en cuenta que ello: cos sen = sen sen sen = sen cos + sen =. Por ± ( ) 4 ( ) sen + sen = 0 sen= = sen = = sen = Finalmente estudiamos cada uno de estos dos casos: /

14 Ejercicios de trigonometría resueltos π Si sen =, entonces: = Si π 5π sen =, entonces: = = Resuelve la ecuación = 6sen en el intervalo [ 0, π ] sen cos Ha que recordar que sen = sen cos. Así: sen cos = 6sen sen cos cos = 6sen sen cos = 6sen Por otro lado, ha que tener en cuenta que ello: cos + sen =. Por ( ) ( ) sen sen 6 sen = sen sen sen sen = sen = 0 sen ( 4 sen ) 0 sen 4 = sen = =± Finalmente estudiamos cada uno de estos tres casos: Si sen = 0, entonces: = 0 π 5π Si sen =, entonces: = = 6 6 7π π Si sen =, entonces: 4= 5= Resuelve: cos cos 6= sen5+ sen Vamos a utilizar las siguientes relaciones: A+ B A B cosa cos B= sen sen A+ B A B sena senb= sen cos Entonces: 4/

15 Ejercicios de trigonometría resueltos cos cos 6= sen sen 5+ 5 sen5 sen= sen cos Sustituimos lo obtenido en la ecuación dada pasamos todo a un miembro sen( 4) sen( ) = sen( 4) cos( ) Si tenemos en cuenta que sen( a) = sen( a) sacamos factor común, entonces: sen( 4) = 0 sen( 4) sen( ) cos( ) 0 = sen( ) cos( ) = 0 - Resolvemos la primera ecuación de las dos: π 4= 0+ kπ = k ( ) sen 4 = 0 π π 4=π+ kπ = + k 4 - Resolvemos la segunda ecuación: sen( ) cos( ) = 0 sen( ) cos( ) cos( ) = 0 sen( ) cos( ) = 0 π = + kπ cos( ) 0 = π = + kπ π = + kπ 6 sen( ) = 0 sen( ) = 5π = + k π La solución es entonces la unión de todas estas soluciones. 0. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [ 0, π ] sen + sen = + =π 5/

16 Ejercicios de trigonometría resueltos Despejamos en la segunda ecuación llevaremos su valor a la primera ecuación: π + =π =, por lo que: π sen + sen = sen + sen = Ahora, para poder simplificar esta epresión usamos la fórmula del seno de la diferencia de dos ángulos: sen π π π sen cos cos sen cos = =, es decir: sen π + sen = cos + sen= Intentamos epresar el coseno en función del seno, elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación: ( ) cos + sen = cos + sen + sen cos = + sen cos = sen cos = 0 Pero sen cos = sen, por lo que sen cos = 0 sen = 0 Las soluciones para sen = 0 están dadas por: = 0 =π, esto es: = 0 ; entonces: = 0 π = π = = 0 π π =. Teniendo en cuenta que =,. Calcula las soluciones del siguiente sistema, en el intervalo [ 0, π ]. sen = sen π = 6/

17 Ejercicios de trigonometría resueltos Despejamos en la segunda ecuación llevaremos su valor a la primera ecuación: π π = = +, por lo que: π sen = sen sen + = sen Usamos la fórmula del seno de la suma de dos ángulos en el miembro izquierdo de la ecuación: sen π π π + = sen cos + cos sen= cos + sen Entonces la fórmula a resolver es: cos + sen= sen cos = sen = tg π = 60º = tg = 4 π = 80º + 60º =. Calcula las soluciones del siguiente sistema. 4 sen cos = cos = Dividimos las dos ecuaciones del sistema: 4 sen cos = 4 sen cos sen cos = = cos = cos cos Recordamos que sen cos = sen sustituimos en la ecuación: sen cos sen = = tg = cos cos 7/

18 Ejercicios de trigonometría resueltos Despejamos : π π = + kπ = + kπ 6 B.4. Problemas. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 0 m se ve bajo un ángulo de 0º. La altura,, del árbol la deducimos de la relación siguiente: tg0 = = 0 tg0 = 5,77 m 0 4. Calcula e : b Aplicamos la relación tgθ = a los a dos triángulos rectángulos, obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones: 40 m 0º 47º tg47= Operando: tg0= 40+ tg47= tg47= tg47= ( 40+ ) tg0 ( 40+ ) tg0= ( 40+ ) tg0= 8/

19 Ejercicios de trigonometría resueltos,07=,09+ 0,58 0, 49=,09,09 = = 47, m. 0, 49 Calculemos finalmente el valor de : tg47= 47,,07= = 50, 4 m 5. Calcula 60º 0º 00 m Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica. tg0= 00 + tg60= 00 60º 0º 00 m 00 m Resolvemos el sistema: 57,7 = 57,7 = 7, 7, = = 5, 5 m + 6. Calcula el valor de (las longitudes están epresadas en m) Aplicamos el teorema del coseno: a = b + c b c cosa 40º Entonces: 0 9/

20 Ejercicios de trigonometría resueltos = cos 40 = cos 40 = 6, 5 m 7. Calcula el valor de los lados e, aplicando el Teorema del seno: a b c = = sena senb senc z= m Sustituimos los valores dados en la epresión del teorema del seno: 40º 80º a b c = = sena senb senc sen40 = =,96 m sen80 sen60 = =,64 m sen80 8. Halla la altura de la montaña 45º B C 4000 m h 0º A Rehacemos el dibujo de él etraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas perteneciente a un triángulo rectángulo (el CBB el ACC 0/

21 Ejercicios de trigonometría resueltos C 45º 45º B B 4000 h 4000 m Triángulo CBB : 4000 h tg45 = h C 0º A Triángulo ACC : h tg0 = Resolvamos éste sistema: 4000 h 4000 h tg45 = = = 4000 h 4000 h = h h h = h tg0 = = 4000 h = m 464 m + 9. Halla la altura de las Torres Petronas, también las distancias, z. C z D 60º 75º A 45º 678 m B /

22 Ejercicios de trigonometría resueltos Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo ABC. De él deduciremos las distancias, z A C 60º z 75º 45º B z 678 = = sen45 sen75 sen = sen45 sen60 z 678 = sen75 sen = = 678 m z = sen75 z sen75 m = Ahora nos fijamos en el triángulo ACD. De él obtendremos la altura de las torres,. A 600 m = 678 sen60= 678 = 45 m D 60º C /