COLEGIO TIRSO DE MOLINA DEPARTAMENTO DE DIBUJO TÉCNICO CURSO DIBUJO TÉCNICO II

Transcripción

1 DIBUJO TÉCNICO II TEMA 2: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Media proporcional Teoremas del Cateto y la Altura Figuras equivalentes Figuras semejantes y sus diferencias con las homotéticas Razón de semejanza MEDIA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS Un segmento es media proporcional de otros dos a y b, cuando se verfica que: 1

2 GRÁFICAMENTE 1º PROCEDIMIENTO Datos: Segmentos a y b. AB(a)= 20 mm CD(b) = 40 mm 1. Sobre una recta se trasladan los segmentos dados 2. Mediatriz del segmento a+b 3. Arco desde el centro E, hasta el extremo del segmento. 4. Perpendicular por B, extremo del 1º segmento, hasta cortar el arco. 5. Obtenemos x, que es la media proporcional entre los dos segmentos dados. Esto es una aplicación directa del TEOREMA DE LA ALTURA. La construcción gráfica es la misma: En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa 2

3 2º PROCEDIMIENTO Es muy similar al anterior pero restándose los segmentos. Datos: Segmentos a y b. AB(a) = 20 mm CD(b) = 60 mm 1. Sobre una recta llevamos los segmentos desde el mismo punto 2. Mediatriz del mayor. 3. Desde el punto medio E trazamos un arco con radio hasta el extremo del segmento. 4. Perpendicular por B, extremo del segmento pequeño, hasta cortar el arco. 5. Ese punto de intersección P, lo unimos con el extremo A del segmento. 6. CP es el segmento buscado, que es media proporcional entre los dados. Esto es una aplicación directa del TEOREMA DEL CATETO. En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección ortogonal de dicho cateto sobre ella 3

4 EJERCICIO 1: Dibuja un triángulo rectángulo de hipotenusa 10 cm. y catetos 8 y 6 cm. Traza la altura sobre la hipotenusa y comprueba que se cumple el teorema de la Altura. 4

5 EJERCICIO 2: Construir el segmento medio proporcional de los segmentos AB = 7 cm. y BC = 5 cm. Utilizar los dos procedimientos: teorema de la Altura y teorema del Cateto. 5

6 Una aplicación del teorema del Cateto El teorema del cateto, nos permite construir un cuadrado de la misma área que un rectángulo dado ABCD: Sea ABCD un rectángulo dado, de lados AB (lado mayor) y AD (lado menor): 1. Se traza un segmento AB igual al lado mayor del rectángulo. 2. Se traza una semicircunferencia que tenga al segmento AB por diámetro. 3. Se lleva sobre AB un segmento AD' de la misma longitud que el lado menor del rectángulo (AD'=AD) 4. Por D' se traza la perpendicular a AB, hasta que corte a la semicircunferencia en el punto P. El segmento AP (cateto del triángulo APB) es el lado del cuadrado buscado, es decir, la lado del cuadrado que tiene la misma área que el rectángulo ABCD, ya que por el teorema del cateto, se cumple que: AP 2 = AD' AB = AD AB 6

7 EJERCICIO 3: (Aplicación del teorema del Cateto) Construir gráficamente el lado del cuadrado que tiene el mismo área que los rectángulos de lados: a=1cm b=5cm Área=1 5=5, luego el cuadrado tiene de lado. Por aplicación del teorema del Cateto, sabemos que dicho lado es el cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 cm y cuya proyección sobre ésta es un segmento de longitud 1cm. 1. Se traza un segmento AB=5cm. 2. Se traza una semicircunferencia que tenga al segmento AB por diámetro. 3. Se lleva sobre AB un segmento AD'=1cm 4. Por D' se traza la perpendicular a AB, hasta que corte a la semicircunferencia en el punto P. 5. El segmento AP, es el lado del cuadrado buscado, cuya longitud será. 7

8 EJERCICIO 4: 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y la proyección de un cateto sobre ella 3,6 cm. Hallar el otro cateto. (TEOREMA DEL CATETO) 2. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 cms. Calcular la altura relativa a la hipotenusa. (TEOREMA DE A ALTURA) 3. Construye gráficamente el cuadrado que tiene el mismo área que el rectángulo de lados: a=2cm b=6cm 8

9 FIGURAS EQUIVALENTES Dos figuras son equivalentes cuando teniendo distinta forma tienen las misma superficie o área. Caso general: De un polígono cualquiera, realizando operaciones sucesivas podemos ir obteniendo el polígono que, con un lado menos tiene la misma superficie, hasta llegar al triángulo equivalente. El procedimiento consiste en ir sustituyendo los triángulos formados al trazar una diagonal por otros equivalentes formados al prolongar un lado del polígono. 9

10 EJERCICIO 5: FIGURAS EQUIVALENTES CASO GENERAL CUADRADO EQUIVALENTE A UN TRIÁNGULO. El lado del cuadrado es media proporcional entre la base y la mitad de la altura del triángulo. CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR. Primero se transforma el pentágono en el triángulo equivalente. Luego aplicamos el caso anterior. 10

11 EJERCICIO 6: FIGURAS EQUIVALENTES CUADRADO EQUIVALENTE A RECTÁNGULO. El lado del cuadrado buscado es media proporcional entre la base y la altura del rectángulo. TRIÁNGULO EQUIVALENTE A OTRO TRIÁNGULO. Trazamos por un vértice una recta paralela a uno de los lados. Cualquier punto de esa recta unido con los otros vértices determina un triángulo equivalente al dado. RECTÁNGULO EQUIVALENTE A UN TRIÁNGULO. La base del rectángulo coincide con la del triángulo y la altura será la mitad de la del triángulo. 11

12 EJERCICIO 7: FIGURAS EQUIVALENTES Dibuja un pentágono regular de lado 30 mm y traza un triángulo equivalente al mismo. (PAAU junio 06) Dado un rectángulo de lados a y b, traza otro rectángulo de igual superficie que tenga la medida b como diagonal.(paau junio 05) 12

13 HOMOTECIA Sea k un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O y razón k a un punto cualquiera P, obtenemos otro punto P' de la semirrecta que definen O y P, de manera que Al punto P' lo denominaremos homólogo de P. Ten en cuenta que si k<1, el punto P' queda situado entre O y P. El centro de homotecia O es el punto donde concurren las rectas que determinan los vértices de una figura. También se pueden considerar homotecias en la que la razón sea negativa, en la figura tienes el efecto de aplicar una homotecia de centro O y razón -2 al Triángulo ABC: Cuando la razón es negativa, el centro de la homotecia queda situado entre el punto y su imagen. 13

14 Resumiendo: 1) El centro de homotecia es el punto en el que concurren las rectas que determinan los puntos de una figura y sus correspondientes homólogos. 2) La razón de homotecia se calcula hallando el cociente entre OA y OA, siendo A un punto cualquiera. El signo de ésta dependerá de la posición de O respecto de A y A'. 3) Una homotecia transforma un segmento AB en otro paralelo A'B', k veces el primero. En consecuencia, la razón también se halla dividiendo la longitud de dos segmentos homólogos. Aplicaciones de las homotecias. A la Astronomía, al cálculo de distancias y a la Ingeniería. 14

15 SEMEJANZA Dos figuras son semejantes cuando tienen "igual forma", aunque puedan tener distinto tamaño: La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer una homotecia y un movimiento. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia correspondiente. (El cociente entre las magnitudes homólogas, la proporcionalidad entre los lados) Aplicamos al triángulo ABC la homotecia, y al resultado A B C lo sometemos a: 1. Una traslación 2. Un giro 3. Una simetría Cualquiera de los triángulos resultantes es semejante al ABC. 15

16 EJERCICIO 8: HOMOTECIA Y SEMEJANZA Aplica la homotecia k=2 al rectángulo dado. (Centro de homotecia el punto D). Luego dibujalo con el segmento BC como base. Aplica la homotecia K= 3 y K = 1/3 al triángulo dado. (Centro de homotecia el punto O) Construye la homotecia de razón K = -1 y K = 2. (Centro de homotecia el punto O) 16