15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES. 1. Cuál es el perímetro de un cuadrado de 15 metros de lado?. L=Longitud del lado. P=Perímetro.
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- Alfonso Alarcón Rodríguez
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1 Ejercicios Resueltos 1. Cuál es el perímetro de un cuadrado de 15 metros de lado?. L=Longitud del lado. P=Perímetro. L=15 m. P= = 60. Es decir 60 metros. O lo que es lo mismo: P=5 15 = 60 metros.. Cuántas diagonales tiene un pentágono regular?. L=Número de lados. D=Cantidad de diagonales (diagonales totales de la figura). L=5 D? D = L( L 3) = 5 = 10 = 5 Por tanto, el pentágono regular tiene 5 diagonales. 3. Calcular el valor del ángulo central y de cada uno de los ángulos interiores de un octógono regular. α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior. β = Ángulo interior. 8 α = α = =45 de donde resulta que α =45º, luego el ángulo 8
2 central mide 45º. Como α = γ, entonces γ = 45º. Luego el ángulo exterior mide 45º. Como + β = 180º α, entonces 45 º +β = 180º β = 180º 45º = 135º Luego el ángulo interior mide 135º. β. 4. Cuántos lados tiene un polígono regular, si uno de sus ángulos interiores es de 175º?. α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior. β = Ángulo interior. β = 175º β + γ = 180º 175 º +γ = 180º γ = 180º 175º γ = 5º Luego el ángulo exterior mide 5º. Como α = γ, entonces α = 5º Luego el ángulo central de nuestro polígono mide 5º. Nuestro polígono tiene n ángulos centrales iguales, luego: N 5=360º 360º n = n=7. 5º Nuestro polígono tiene 7 lados, porque el número de ángulos centrales iguales y el número de lados son iguales. 5. Hallar el número de diagonales de un eneágono. Sea: L=Número de lados del polígono. D=Número de diagonales. Aplicamos: L( L 3) D =
3 Y entonces diagonales. ( 9 3) D = = = = 7 Luego el polígono tiene 7 6. Hallar el número de lados de un polígono que tiene 54 diagonales. Sea: L=Número de lados del polígono. D=Número de diagonales. Aplicamos: L( L 3) D = 54 = L( L 3) 54 = L ( L 3) 108 = L ( L 3) 108 = L 3L Luego: L 3L 108 = 0. Ahora aplicando la fórmula para hallar las soluciones de una ecuación de segundo grado, tendremos: 3 ± ± ± 1 L = = = Luego obtenemos las dos soluciones siguientes: 1 L= -9 Como es imposible tener una cantidad negativa de lados, entonces la solución correcta será: L=1. El polígono tiene 1 lados. 7. Hallar el valor de un ángulo interior de un decágono. Un decágono tiene 10 lados, 10 ángulos centrales, 10 ángulos interiores y 0 ángulos exteriores. α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior.
4 360 Entonces 10 α = 360º α = α = 36º 10 Luego el ángulo central mide 36º. Como α = γ, entonces γ = 36º Luego el ángulo exterior también mide 36º. Y ahora, como β + γ = 180º + 36 º = 180 β = 144º Luego el ángulo interior mide 144º. β = 180º 36º β 8. Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide 16º? Un polígono regular tiene tantos lados como ángulos centrales iguales. α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior. β = Ángulo interior. X=Número de ángulos centrales. x α = 360 º β = 16º Como α = γ + γ = 180º β 16 º +γ = 180º γ = 180º 16º γ = 18º Luego también será: α = 18º. 360 º x α = 360º x 18º = 360º = = 0 18º x Luego x=0. El polígono tiene 0 ángulos centrales iguales. El polígono tiene 0 lados.
5 9. Cuál es la longitud del lado de un cuadrado cuya área es de 5 metros cuadrados?. S=Supeficie (Área) del cuadrado. P=Perímetro del cuadrado. A=Apotema. Aplicamos la fórmula para calcular la superficie: P A S = como el perímetro es 4 L, entonces, sustituyendo tendremos 4 L A 5 = Entonces, 5 = L A 5 = L A 1,5 = L A L Entonces, resulta que L= A y por tanto = A 1,5 = L A L 1,5 = L 5 = L L 5 = L Luego el lado mide 5 metros. 5 = L = L Hallar la longitud del lado de un cuadrado, sabiendo que su diagonal mide 1 centímetros. La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos, y por tanto podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. d=longitud de la diagonal del cuadrado. c=longitud del lado del cuadrado (todos poseen la misma longitud). Entonces, tendremos d = c + c d = c 1 = c
6 144 = c 144 = c 7 = c 7 = c 7 = c Entonces, calculando la raíz 8,49 = c Luego el lado mide 8,49 centímetros. 11. El lado de un triángulo equilátero mide centímetros. Halla su área. L=Longitud del lado del triángulo equilátero. P=Perímetro. a=apotema. S=Superficie (Área) del triángulo. Sabemos que S = P a sustituyendo el perímetro, obtenemos L a S = 3 a S = Sabemos que 3 a = L entonces 3 a = L 3 a = a = 3 1 a = Luego S = 3 a S = 3 = = = 1, 73 cm 3 3 1,73 Luego su área mide 1,73 centímetros cuadrados. 1. Calcular la apotema de un cuadrado cuya área es de 36 metros cuadrados. S=Superficie (área) del cuadrado. L=Longitud del lado del cuadrado. a=apotema. Entonces aplicando la fórmula para calcular la superifice tendremos P a S = 4 L a Sustituyendo el perímetro, S = S = L a 36 = L a
7 36 = L a 18 = L a Como el lado es igual que dos veces la apotema, L = a, y sustituyendo 18 = L a 18 = a a 18 = a 18 = a 9 = a 9 = a = a 3 Luego la apotema mide 3 metros. 13. El lado de un hexágono regular mide 8 cm. Hallar el radio de una circunferencia inscrita. El radio de la circunferencia coincide con la apotema del hexágono. Hallaremos por tanto la apotema del hexágono. Como M L=Longitud Aplicando del lado Pitágoras, del hexágono. tendremos r M=Mitad de la longitud del lado del hexágono. 8 = L r=radio de la circunferencia inscrita. = = a=apotema. 4 cm. = a + m r = a + m r = a + 4 r = a = a = a = a 48 = a 48 = a 48 = a 6,9 = a La apotema del hexágono mide 6,9 centímetros. 14. Calcular el perímetro de un cuadrado inscrito en un círculo del 3 cm. de radio. r=radio de la circunferencia. P=Perímetro del cuadrado. L=Longitud del lado del cuadrado. d=longitud de la diagonal del cuadrado. La diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos, luego podemos aplicar Pitágoras: d = L + 36 = L L ( r ) = L + L 4r = L 4 3 = L 4 9 = L 36 = L 18 = L 18 = L 18 = L
8 4, = L Luego el perímetro será P = 4 4, = 16, 8 cm. 15. Hallar el radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado cuyo lado es de 6 cm. L=Longitud del lado del cuadrado. r=radio de la circunferencia circunscrita. Tenemos que aplicando Pitágoras ( r ) = L + L 4r = L + L 7 4r = L 4 r = 6 4r = 36 4r = 7 r = 4 r = 18 r = 18 r = 4, Luego el radio de la circunferencia mide 4, centímetros.
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