PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

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1 Matemáticas º ESO Federico Arregui PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 1. Cuál es el número cuyo quíntuplo aumentado en es igual a su cuadrado?. Qué número multiplicado por 3 es 0 unidades menor que su cuadrado? 3. Descompón 8 en dos factores, cuya suma sea.. En cuánto hay que disminuir el primer factor y aumentar el segundo, del producto 13 7, para que el producto disminuya en 51? 5. La suma de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 39. Determina estos números.. Cuál es la edad de una persona si al multiplicarla por 15 le falta 100 unidades para completar el cuadrado de ella?. 7. Determina 3 números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea Calcula cuáles son los números cuyo producto es 1, y que además, están en la razón de :3. 9. El triple del cuadrado de un número aumentado en su duplo es 85. Cuál es el número? 10. Si a un número se le agrega el recíproco de 3 resulta el recíproco del número aumentado en 3. Cuál es el número? 11. El área de un cuadrado de lado (x-1) es 9. Determina el perímetro del cuadrado. 1. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 1. Cuáles son los números? Especiales: requieren Teorema de Pitágoras. 13. Determina la medida de los catetos de un triángulo rectángulo cuya suma es de 7 cm. y su hipotenusa mide 5 cm. 1. Determina la diagonal de un cuadrado cuya área es cm. 15. La base de un triángulo isósceles mide 19 cm. y cada lado tiene 8 cm. más que la altura trazada a la base. Cuánto mide la base? Especiales: requieren Fórmula del espacio recorrido por un móvil con movimiento uniformemente acelerado. (Cinemática) 1. Una piedra, cae en caída libre 1, desde una altura de 50 metros, partiendo del reposo. Queremos saber qué tiempo ha tardado en llegar al suelo. 17. Una persona, asomada a un precipicio tira una piedra verticalmente y hacia abajo, con una velocidad de 1 m/s. Si la altura del precipicio es de 10 metros, se desea calcular el tiempo que tardará la piedra en chocar contra el suelo. 1 Caída libre significa que actúa la aceleración de la gravedad, 9,81 m/s, y que el objeto parte desde el reposo. quiere decir que la velocidad inicial es cero

2 Matemáticas º ESO Federico Arregui SOLUCIONES 1. Cuál es el número cuyo quíntuplo aumentado en es igual a su cuadrado? Número que buscamos: x 5x + x 0 x 5x x 5x 0 x 5 ± ± 9 5 ± x, es cierto, ya que se cumple que 5()+ Lo mismo ocurre con x-1, que es válido ya que 5(-1)+(-1). Qué número multiplicado por 3 es 0 unidades menor que su cuadrado? Número que buscamos: x 3x + 0 x 0 x 3x 0 x 3x 0 0 x 3 ± ± 19 3 ± x8, es cierto, ya que se cumple que 3(8)+08 Lo mismo ocurre con x-5, que es válido ya que 3(-5)+0(-5) - -

3 Matemáticas º ESO Federico Arregui 1. Descompón 8 en dos factores, cuya suma sea. Números que buscamos: x, (-x), porque entre los dos suman x( x) 8 x x 8 x x x ± 3 3 ± ± + x, es cierto, ya que el otro sería, y por dan 8 Lo mismo ocurre con x, ya que el otro sería, y por dan 8. En cuánto hay que disminuir el primer factor y aumentar el segundo, del producto 13 7, para que el producto disminuya en 51? Número en que hay que disminuir: x (13 x)(7 + x) (13)(7) x 7x x x x 51 x + 1x 51 0 x 1 ± ± 00 1 ± x3, es cierto, ya que quedaría el producto como , que es igual a 351 que daba antes, menos 51 x-17, es cierto, TAMBIÉN tiene sentido ya que quedaría el producto como , que es igual a 351 que daba antes, menos

4 Matemáticas º ESO Federico Arregui 1. La suma de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 39. Determina estos números. Números impares consecutivos: n-1, n+1 ( n 1) + ( n + 1) 39 n + 1 n + n + 1+ n 39 8n 39 n 39 8 n ±7 Si n7, entonces los impares serían, 13 y 15, cuya suma de cuadrados da 39 Si n-7, los impares serían -15 y -13 cuya suma de cuadrados también da 39.. Cuál es la edad de una persona si al multiplicarla por 15 le falta 100 unidades para completar el cuadrado de ella?. Edad de la persona: x 15x x x 15x x 15 ± ± 5 15 ± y -0 son soluciones matemáticas de la ecuación de segundo grado, pero la segunda solución, -0, NO TIENE SENTIDO COMO EDAD de una persona, y por tanto la única solución al problema sería,

5 Matemáticas º ESO Federico Arregui 1. Determina 3 números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 35. Número en que hay que disminuir: n, n+1, n+1 o también, n-1, n, n+1 ecuación: (n 1) + n + (n + 1) 35 n + 1 n + n + n + 1+ n 35 3n 33 n 11 n Los números son, n-110, 11 y 1.. Calcula cuáles son los números cuyo producto es 1, y que además, están en la razón de :3. Si su producto es 1, un número es x y el otro 1 x 3 x 1 x 3 x 1 ecuación: x x ±1 Si x1 entonces el otro valor es 1 x Si x-1, entonces el otro valor será, 1 x

6 Matemáticas º ESO Federico Arregui 1. El triple del cuadrado de un número aumentado en su duplo es 85. Cuál es el número? El número buscado: x 3x + x 85 3x + x 85 0 x ± (3)( 85) ± 10 ± La solución puede ser el número 15 (comprobamos: 3(5) +(5)85) O también -17/3 (comprobado). Si a un número se le agrega el recíproco de 3 resulta el recíproco del número aumentado en 3. Cuál es el número? El número que buscamos, x x x + 3 3x + x + 9x x +10x 0 x(3x +10) 0 3x x + 3 (x + 3)(3x +1) 3 de donde x10 (que no tiene sentido) y también, x-10/3. - -

7 Matemáticas º ESO Federico Arregui 1. El área de un cuadrado de lado (x-1) es 9. Determina el perímetro del cuadrado. Lado del cuadrado: (x-1) l l 9 l 9 ±7 Es evidente que l-7 no tiene sentido como lado de un triángulo. Por tanto utilizaremos sólo l7 De donde x 1 7 x 8 x. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 1. Cuáles son los números? Número : n, y su consecutivo, (n+1) n + (n +1) 1 n + n + n +1 1 n + n 0 0 n ± ()( 0) ± 3 ± Primera solución: si n los números pedidos serán y 5. Segunda solución; si n-5, los números solicitados serían -5 y