PROBLEMAS ALGEBRAICOS (SISTEMAS NO LINEALES) 1.- Calcular dos números positivos sabiendo que la diferencia es 12 y la suma de sus cuadrados es 170.

Transcripción

1 Problemas algebraicos 1 PROBLEMAS ALGEBRAICOS (SISTEMAS NO LINEALES) 1.- Calcular dos números positivos sabiendo que la diferencia es 1 y la suma de sus cuadrados es Hallar dos números naturales sabiendo que su diferencia es 3 y su producto es El área de un triángulo rectángulo es de 60 cm y la suma de los catetos es 3 cm. Halla los lados. 4.- Para vallar una finca rectangular de 750 m se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca. 5.- Un campo rectangular tiene 400 m de superficie y 0 metros de longitud más que de anchura. Hallar las dimensiones del campo. 6.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y la suma de los catetos 14 cm. Halla el valor de los catetos. 7.- Calcular dos números tales que la suma de sus cuadrados es 100 y su producto es Para vallar una finca rectangular de 750 m se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca. 9.- Hallar una fracción equivalente a un tercio tal que si se le añade al numerador se convierte en un medio Dos números suman y la diferencia de sus cuadrados es 44. Calcula dichos números.

2 Problemas algebraicos 1.- Calcular dos números positivos sabiendo que la diferencia es 1 y la suma de sus cuadrados es 170. Sean los números, y La diferencia es 1: y = 1 La suma de sus cuadrados es 170: + y = 170 Despejamos y: y = 1 y = 1 + y = 3 y = 108 Sustituyendo en la otra ecuación: + (1 + ) = = = = 0 Los números son 1 y = = 1 1 ± ( 1) 4 ( 13) 1 ± 14 = = = = = 13.- Hallar dos números naturales sabiendo que su diferencia es 3 y su producto es 108. Sean los números, y La diferencia es 3: y = 3 Su producto es 108: (3 + ) = 108 Despejamos y: y = 3 + y = 3 y = 108 Sustituyendo en la otra ecuación: (3 + ) = = = = = 9 3 ± ( 3) 4 ( 108) 3± 1 = = = = = 1 Los números son (9, 1) 3.- El área de un triángulo rectángulo es de 60 cm y la suma de los catetos es 3 cm. Halla los lados. Sean los catetos:, y La suma de catetos es 3: + y = 3 Área es 60: y = 60 y = 10 Despejamos y: y = 3 y + = 3 y = 10 Sustituyendo en la otra ecuación: (3 ) = = = = 15 3 ± ± 7 = = = = = 8 Los catetos miden 8 y 15 cm, por tanto, la hipotenusa mide: h = h = 17 cm Medida de los lados: 8, 15 y 17 cm

3 Problemas algebraicos Para vallar una finca rectangular de 750 m se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca. Sean = ancho ; y = largo Perímetro es 110: + y = 55 Área es 750: y = 750 Despejamos y: y = 55 y + = 55 y = 750 Sustituyendo en la otra ecuación: (55 ) = = = 0 Las dimensiones son = = 40 y = = 5 55 ± ± 5 = = = = = 15 y = 40 5 = Un campo rectangular tiene 400 m de superficie y 0 metros de longitud más que de anchura. Halla las dimensiones. Sea = anchura y = largo del rectángulo Largo = 0 + ancho: y = + 0 Área es 400: y = 400 y = + 0 y = 400 Sustituyendo y en la segunda ecuación: ( + 0) = = = = 40 0 ± 0 4 ( 400) 0 ± 100 = = = = = 60!!!! Las dimensiones del rectángulo son m 6.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y la suma de los catetos 14 cm. Halla el valor de los catetos. Sea e y las medidas de los catetos. Suma catetos es 14: + y = 4 14 = + y La hipotenusa es 10 cm: 10 = + y + y = 10 Despejamos y: y = 14 Sustituyendo y en la segunda ecuación: 10 = + (14 ) 100 = = = = 8 14 ± ± = = = 1 14 = = 6 La medida de los catetos son 6 y 8 cm.

4 Problemas algebraicos Calcular dos números tales que la suma de sus cuadrados es 100 y su producto es 48. Sean e y los dos números. La suma de sus cuadrados es 100: + y = 100 Su producto es 48: y =48 y = 48 Planteamos el sistema: + y = 100 Despejando de la primera: 48 y = Sustituyendo en la segunda obtenemos una ecuación bicuadrada: 48 + = = 0 ( z = ) z 100 z = z1 = = 64 1 = ± ± ± 8 z = = = z = = 36 = ± 6 Los números son los pares (8, 6) y (-8, -6) 8.- Para vallar una finca rectangular de 750 m se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca. Sean = ancho ; y = largo Perímetro es 110: + y = 55 Área es 750: y = 750 Despejando en la primera ecuación: + y = 55 y = 55 Planteamos la ecuación: (55 ) = = = 0 Planteamos el sistema: + y = 55 y = = = 40 y = = 5 55 ± ± 5 = = = = = 15 y = 40 5 = 15 Las dimensiones son Hallar una fracción equivalente a un tercio tal que si se le añade al numerador se convierte en un medio. Sea = numerador y = denominador Fracción equivalente a un tercio: = 1 y = 3 y 3 Al añadir al numerador es igual a un medio: + 1 = y = ( + ) y Igualando ambas ecuaciones: 3 = ( + ) 3 = + 4 = 4 y = 1 La fracción es 4 1.

5 Problemas algebraicos Dos números suman y la diferencia de sus cuadrados es 44. Calcula dichos números. Sean e y los dos números. Suman : + y = La diferencia de sus cuadrados es 44: y = 44 + y = Planteamos el sistema: y = 44 Despejando en la primera ecuación: + y = y = Planteamos la ecuación: ( ) = 44 ( ) = = = 58 = 1 Por tanto, los números son 1 y 10.