A. Ecuaciones polinómicas, bicuadradas, racionales y radicales.

Transcripción

1 A. Ecuaciones polinómicas, bicuadradas, racionales y radicales. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas, = + 1 b) = c) = ( 5 ) = 1 e) = f) 1 + = g) 1 5 (1 ) = h) = 1 i) 1 8 ( + ) 5 = 1 + j) = Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas, ( ) = 4 b) = 7 c) = ( + 1) ( ) = 4 e) (1 + ) 5 = 1 f) + 4 = Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas, = 0 b) 5 98 = 0 c) = = 0 e) = 0 f) = 0 g) = 0 h) = 0 i) = 0 1

2 4. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas, = 0 b) = 0 c) = = 0 e) 8 8 = 0 f) ( 5) ( ) = 1 g) = 0 h) ( + ) ( 5) = Resuelve las siguientes ecuaciones racionales, c) e) 1 = = ( + ) = 9 10 g) ( ) = + 1 b) f) h) 4 + = = = = Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales o radicales, 5 = 1 b) = c) = = e) = 4 f) g) = 5 h) B. Ecuaciones eponenciales y logarítmicas = 4 + = 7. Calcula la solución de las ecuaciones eponenciales siguientes: 4 = 4 b) +1 = c) 18 = 4 +1 = 4 e) 5 1 = 5 f) 4 4 = 8

3 8. Calcula la solución de las ecuaciones eponenciales siguientes: + +1 = 84 b) = 5 c) = = 7 e) = f) = 17 5 g) = 5 h) = Calcula la solución de las ecuaciones eponenciales siguientes: = 0 b) 7 + = 0 c) 8 + = = 0 e) = 0 f) = 0 g) = 0 h) = 0 i) = 0 j) = Calcula la solución de las ecuaciones logarítmicas siguientes: 4 log 8 = b) log 7 ( 1 49 ) = + c) log 515 = 1 log (9) = e) log (18) = f) ln e = 11. Calcula la solución de las ecuaciones logarítmicas siguientes: log ( + 5) + log ( + 5) = b) log ( + ) + log ( + 4) = 1 c) log 5 ( ) = 1 log log ( ) = log ( + ) e) log ( + 1) + log ( 1) = log f) log( + 1) log( 1) = log ( 1) g) log( 5) 1 log( 0) = log h) ln ln ( 1) = ln7

4 i)log ( ) = 4 log ( + ) j) 1 log 5 ( + ) + = log 5( + ) C. Problemas mediante ecuaciones polinómicas, bicuadradas, radicales y racionales con números. 1. Calcula un número sabiendo que si se suman ocho unidades y el resultado se divide entre tres, se obtiene una unidad menos de la mitad del número. (Solución: ). 1. Si al triple de un número se le suman 8 unidades, se obtiene el quíntuplo del número menos 4 unidades. Qué número es? Solución: La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 85, Cuáles son esos números? (Solución: 18 y 19) 15. El cuadrado de un número más es igual a 5 veces el propio número, Qué número es? (Solución: Pueden ser el y ) 1. Busca un número positivo tal que veces su cuarta potencia más 7 veces su cuadrado sea igual a 14. (Solución: 4 ya que dicen que sólo la positiv 17. En un eamen de 0 preguntas, cada acierto suma puntos y cada fallo resta medio punto. Para aprobar es necesario contestar todas las preguntas y obtener al menos 0 puntos. Cuántas preguntas, como mínimo, hay que responder bien para aprobar? (Solución: 1 preguntas) 18. Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 5. (Solución: 5) 19. Al sumar una fracción de denominador con su inversa obtenemos 109/0. Cuál es esa fracción? (Solución: 10/) 0. Calcular todos los números que al restarles su inverso, se obtiene 5/. (Solución: y 1/) 1.La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. Cuál es el número? (Solución: 7).Los / de un número, más sus /4, menos sus 5/ son 14. Qué número es? Solución: 4.Un granjero lleva al mercado una cesta de huevos, con tan mala suerte que tropieza, y se le rompen /5 de la mercancía. Entonces vuelve al gallinero y recoge 1 huevos más, con lo que ahora tiene 1/8 más de la cantidad inicial. Cuántos huevos tenía al principio? Sol: 40 huevos. 4

5 4.Si en un cine estuvieran ocupadas los /5 de las butacas, sobrarían 0 asientos más que si estuvieran ocupadas los /4 de las butacas. Cuántas plazas tiene el cine? Solución: 400 butacas. 5. De un depósito de agua que estaba lleno, el lunes se gastaron /7; el martes, 1/; y el miércoles, 1/5 de su capacidad, quedando aún 700 litros. Cuál es la capacidad del depósito? Solución: litros. Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación k + = 0 sean iguales. (Solución: k = 1 o k = 1) 7. El numerador de una fracción positiva es 4. Si añadimos 9 unidades al denominador el valor de la fracción disminuye en una unidad. Cuál es el denominador original? (Solución: El denominador es ) D. Problemas mediante ecuaciones polinómicas, bicuadradas, radicales y racionales con dinero. 8. Marta tiene dos terceras partes del dinero que tiene Tatiana, y entre ambas juntan 5. Cuánto tiene cada una? Solución: Tatiana 15 y Marta Rosa ha salido 5 días de vacaciones. Sabiendo que en total ha gastado 10, y que cada día gastó euros más que el día anterior, cuánto gastó el primer día? Solución: 0 0. Un bolígrafo cuesta 5 céntimos más que un lapicero. He pagado por lapiceros y bolígrafos. Cuál es el precio de cada uno? Solución: Lápiz 0,50 ; bolígrafo 0,75 1. Un rotulador cuesta lo mismo que dos bolígrafos, y un bolígrafo lo mismo que tres lapiceros. Por un rotulador, un bolígrafo y dos lapiceros he pagado,0. Cuánto cuesta cada artículo? Solución: Rotulador 1,80 ; bolígrafo 0,90 ; lapicero 0,0. Una cinta de música cuesta 8 menos que un cd, pero el precio de dos cintas sobrepasa en al de un cd. Cuánto cuesta una cinta y cuánto un disco? Solución: Cinta 10 ; CD, 18. Un kilo de manzanas cuesta el doble que uno de naranjas. Por kilos de naranjas y 1 de manzanas he pagado. Cuál es el precio de cada fruta? Solución: Manzanas,40 ; naranjas 1,0 5

6 4. Tres hermanos se reparten 100. El mayor recibe doble que el mediano y este el cuádruplo que el pequeño. Cuánto recibe cada uno? Solución: Mayor 800 ; mediano 400 ; pequeño Con el dinero que tengo puedo comprar tres cintas de música y dos discos, y aún me sobrarían 4. También podría comprar únicamente 4 discos y no me sobraría nada. Cuánto dinero tengo sabiendo que un disco cuesta el doble que una cinta? Solución:. Natalia tiene 4 euros más que Andrés, pero la mitad que Rosa. Cuánto tiene cada no si entre los tres juntan 40 euros? Solución: Natalia 11 ; Andrés 7 ; Rosa 7. Jorge tenía en la hucha y su hermana Marta 9. Han comprado, y pagado a medias, un regalo para el cumpleaños de su madre. Cuál ha sido el precio del regalo si ahora Jorge tiene el doble que Marta? Solución: 8. Un joven gasta 1/5 de su dinero en transporte; 1/4 en el cine y /8 en un libro. Si aún le quedan,50, cuánto tenía? Solución: 0 E. Problemas mediante ecuaciones polinómicas, bicuadradas, radicales y racionales con edades. 9. La edad de Juan era, hace nueva años, la raíz cuadrada de la que tendrá dentro de 11. Determinar su edad actual.(solución: 14 años) 40. Las edades actuales de una mujer y su hija son 49 y 5 años. Hace cuántos años el producto de sus edades era 40? (Solución: 9 años) 41. Qué edad tiene Rita sabiendo que dentro de 4 años tendrá el triple de la que tiene ahora? Solución: 1 años 4. Entre un padre y dos hijas tienen 48 años. La edad de la hija mayor es el triple que la edad de la menor. La edad del padre es el quíntuplo de la suma de las edades de las hijas. Cuál es la edad de cada una? Solución: Padre 40 años; hija mayor años; hija menor años. 4. Juan tiene 4 años menos que su hermano Víctor y un año más que su hermana Carol. Si entre todos suman 0 años, cuál es la edad de cada uno? Solución: Juan 9 años; Víctor 1 años; Cárol 8 años. 44. Mi padre le saca años a mi madre, quien tiene años más que yo. Qué edad tenemos cada uno si entre los tres sumamos 100 años? Solución: Padre 44 años; madre 41 años; hijo 15 años.

7 45. Roberto tiene años más que su amiga Natalia y 4 menos que su amigo Federico. Cuántos años tiene cada uno sabiendo que el año que viene, entre los tres, completarán un siglo? Solución: Roberto años; Natalia 9 años; Federico años 4. Las edades de Juan, Carmela y Rosa suman 9 años. Carmela tiene cinco años menos que Juan y dos más que Rosa. Cuál es la edad de cada uno? Solución: Juan 17 años; Carmela 1 años; Rosa 10 años. 47. La edad de Rosa es triple que la de su hija Sara, pero dentro de 10 años será solamente el doble. Qué edad tiene cada una? Solución: Rosa 0 años; Sara 10 años 48. Qué edad tiene Rosa sabiendo que dentro de 5 años tendrá el quíntuplo de su edad actual? Solución: 14 años 49. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad, se obtiene la edad de Andrea. Cuál es la edad de Rodrigo si Andrea tiene 4 años? Solución: 1 años 50. Si a Pablo se le doblará la edad, aún le faltarían 5 años para igualar la edad de su padre. Sabiendo que Pablo nació cando su padre tenía 5 años, cuál es la edad de cada uno? Solución: Pablo 0 años; padre 45 años 51.Hace 15 años mi edad era / de la que tengo ahora. Cuál es mi edad actual? Solución: 45 años. 5. Si al triple de mi edad le restas el quíntuplo de la que tenía hace 1 años, obtendrás mi edad actual. Cuántos años tengo? Solución: 0 años 5. Amelia tiene 14 años y su hermano Jorge, 1. Cuántos años deben transcurrir para que entre los dos completen medio siglo? Solución: 1 años 54. Un padre tiene 47 años y su hijo, 11. Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple que la del hijo? Solución: 7 años F. Problemas mediante ecuaciones polinómicas, bicuadradas, radicales y racionales con geometría. 55. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 4 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². (Solución: m) 5. Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja ortogonal de 840 cm cortando un cuadrado de cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja. (Solución: cm por cm con cm de alto como dice el enunciado). 7

8 57. Halla la medida de los tres lados de un triángulo rectángulo si son tres números consecutivos. (Solución:, 4 y 5 unidades) 58. Un rectángulo de área 84 cm tiene su base 5 cm más larga que su altura. Halla sus dimensiones. (Solución: 7 cm y 1 cm) 59. El perímetro de un triángulo isósceles es 19 cm. La longitud de cada uno de los lados iguales ecede en cm al doble de la longitud del lado desigual. Cuánto miden los lados del triángulo? (Solución: Los lados iguales miden 8 cm mientras que el lado desigual mide cm) 0. En un triángulo isósceles los lados iguales miden 1 cm y la altura mide cm más que la base. Calcula el área. (Solución: altura 1 cm; base 10 cm y área 0 cm ) 1. El perímetro de un triángulo isósceles es 4cm y el lado desigual mide cm menos que cada uno de los lados iguales. Calcula la medida de cada lado. Solución: Lados iguales 1 cm; lado desigual 10 cm. La base de un rectángulo es 5 cm más larga que la altura, y el perímetro mide 4 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. Solución: Base 1 cm; altura 8 cm. Calcula las longitudes de los lados de un rectángulo sabiendo que la diagonal mide 58 cm y el lado mayor ecede en cm al menor. (Solución: 40 cm y 4 cm) 4. Si a uno de los lados de un cuadrado se le aumenta su longitud en 5 cm y a su lado contiguo se aumenta en cm, se consigue un aumento de área de 71 cm. Cuál es la longitud del lado del cuadrado inicial? (Solución: 7 cm). 5. Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que la base es triple que la altura y que el perímetro mide 9 cm. (Solución: Base ; altura 1 cm). En un triángulo isósceles, la base mide la mitad que uno de los lados iguales, y el perímetro es 55 cm. Cuánto miden los lados del triángulo? (Solución: Lados iguales cm; lado desigual 11 cm) 7. En un triángulo, el ángulo mayor es doble que el mediano, y el mediano es triple que el menor. Cuánto mide cada ángulo? Solución: 18º; 54ª; 108ª 8. En un triángulo escaleno, el lado mediano es 5 cm más corto que el lado mayor 5 cm más largo que el lado menor. Calcula los lados sabiendo que el perímetro es de 45 cm. (Solución: 10cm; 15 cm; 0 cm) 9. La base de un rectángulo es triple que la altura. Si fuera metros más largo y metros más estrecho, el perímetro sería doble. Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Solución: Base 15 cm; altura 5 cm 8

9 G. Sistemas de ecuaciones lineales. 70. Resuelve los siguientes sistemas lineales por el método de sustitución. 5y = 1 + y = 4 } 4 y = 5 + y = } e) 4 + 7y = 5 b) + 4y = } c) y = 4 + y = 1 } y = 4 1 y = Resuelve los siguientes sistemas lineales por el método de igualación. y = y = 1 y = 1 } e) + y = 11 y = y = } } b) + y = + 5y = 4 } c) y = + y = 1 } y = + 4 y 1 = Resuelve los siguientes sistemas lineales por el método de reducción. 5 8y = + 4y = 10 y = 1 + y = } b) 4 + y = 4 y = } e) + y = y = = y y 4 + = } } c) y = y 5 = } y = y = 5 } 7. Resuelve los siguientes sistemas lineales por el método gráfico. y = 4 + y = 1 } b) + y = y = = 4 y y + 5 = } e) + 4y = y = } c) y = + y = } + (1 y) = 1 ( + 1) + y = } 74. Representa los siguientes sistemas y eplica qué ocurre con sus soluciones, 4 y = + y = } b) + y = 1 + y = y = y = } e) + y = 5 + 4y = 5 } c) y = + y = 8 1y = 4 + y = 1 } }

10 75. Resuelve los siguientes sistemas y eplica qué ocurre con sus soluciones, + y = + y = 1 } b) + y = y = 4 y = 1 + y = 1 } e) y = 1 + y = } c) + y = 1 + y = } 4y = + y = } 7.Clasifica los siguientes sistemas en Sistemas Compatibles Determinados, Compatibles indeterminados o Sistemas Incompatibles en función del número de soluciones del sistema. y = 4 + y = 1 } b) + y = y = = 4 y y + 5 = } e) + 4y = y = } c) y = + y = } + (1 y) = 1 ( + 1) + y = } 77. Qué representación gráfica tendrán los sistemas del ejercicio anterior y por qué? 78. Responde a las siguientes cuestiones: Resolviendo un sistema de ecuaciones lineal obtenemos =. De qué tipo de sistema se trata?, cuántas soluciones tiene?, qué representación gráfica tendrá? b) Resolviendo un sistema de ecuaciones lineal obtenemos 0 =. De qué tipo de sistema se trata?, cuántas soluciones tiene?, qué representación gráfica tendrá? c) Resolviendo un sistema de ecuaciones lineal obtenemos 0 = 0. De qué tipo de sistema se trata?, cuántas soluciones tiene?, qué representación gráfica tendrá? Resolviendo un sistema de ecuaciones lineal obtenemos = 5. De qué tipo de sistema se trata?, cuántas soluciones tiene?, qué representación gráfica tendrá? 10

11 H. Sistemas de ecuaciones no lineales. 79. Resuelve los siguientes sistemas no lineales, + y = 5 + y = } b) y = 1 + 4y = 1 } y = 1 + y = 7 } g) e) y = 11 + y = y = 4 y = 4 } h) 4 y = + y = } = 4 y c) y = } y = 4 y = 4 i) y = + y = } } j) = y + y 4 = 0 } k) y = 4 + y = 5 } l) + y = + y = 5 } I. Problemas con sistemas de ecuaciones lineales. 80. En un parque de atracciones subir a la noria cuesta 1 y subir a la montaña rusa 4. Ana sube un total de 1 veces y gasta 1. Cuántas veces subió a cada atracción? (Solución: 1 veces a la noria y 1 a la montañ 81. En un almacén hay dos tipos de lámparas: las de tipo A que tienen bombillas; y las de tipo B que usan 7 bombillas. Si en total hay en el almacén 5 lámparas y 10 bombillas, cuántas lámparas hay de cada tipo? (Solución: son del tipo A y del tipo B) 8. En un hotel hay 7 habitaciones entre dobles y sencillas. Si el total de camas de 9, cuántas habitaciones hay de cada tipo? (Solución: 5 dobles y 4 sencillas). 8. En un corral hay ovejas y gallinas. Si hay un total de 77 animales y contamos 74 patas, cuántas ovejas y cuántas gallinas hay? (Solución 17 gallinas y 0 ovejas) 84. Una empresa ha gastado en comprar un móvil a cada uno de sus 5 empleados. Su compañía telefónica ofertó dos modelos diferentes, uno a 75 y otro a 50. Cuántos móviles de cada modelo compró? (Solución: 10 móviles de 75 y 15 móviles de 50 ). 85. El triple de un número más la mitad de otro suman 10. Si sumamos 14 unidades al primer número obtenemos el doble del segundo. Cuáles son dichos números? (Solución: Son y 8) 11

12 8. La profesora de actividades etraescolares recauda para una ecursión 5 en billetes de 5 y de 10 ; si en total tiene 5 billetes, cuántos tiene de cada clase?(solución:15 de 10, 7 de 5 ) 87. Beatriz pagó 7 por cuatro entradas para un concierto y 8 para el teatro. Ángela pagó 7 por 9 entradas para el mismo concierto y para el mismo teatro. Cuánto cuesta la entrada a cada espectáculo? (Solución: La entrada del teatro 5 y la del concierto 18 ). 88. Entre Beatriz y Sara tienen 14 libros. Si Beatriz le diera a Sara libros entonces Beatriz tendría el triple de libros que Sara. cuántos libros tiene ahora cada una? (Solución: Beatriz tiene 9 libros y Sara 8 libros) J. Problemas con sistemas de ecuaciones NO lineales. 89. El producto de dos números es 144 y la suma de sus cuadrados es 1. Cuáles son esos números? (Solución: y 4). 90. Para vallar una finca rectangular de 750 m² en la que aprovechamos que uno de los lados tiene una pared para no vallarlo, se han utilizado un total de 85 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. (Solución: 40 m de largo por 15 m de ancho teniendo la pared en uno de los lados de 15 m o 0 m de largo por 5 m de ancho teniendo la pared en uno de los lados de 0 m). 91. La diagonal de un rectángulo mide cm más que uno de los lados. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de 14 cm. (Solución:Las dimensiones son cm y 4 cm) 9. El doble del cuadrado de la edad de un hijo es la edad de su padre. Dentro de 10 años, la edad del padre será el triple que la del hijo, Cuántos años tiene actualmente cada uno? (Solución: años y 4 años) 9. El producto de las dos cifras de un número es 14 y la suma de la cifra de las unidades con el doble de las de las decenas es 1. Halla el número. (Solución: El número es el 7). 94. Halla dos números naturales cuya suma es 4 y su producto es 15. (Solución: Son el 9 y el 15) 95. La suma de las áreas de dos cuadrados es 100 cm y la suma de sus perímetros es 5 cm, cuánto miden los lados? (Solución: Miden y 8 cm) 9. Para vallar una finca rectangular de 70 m se han utilizado 11 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. (Solución: m y 0 m) 97. La suma de las edades de dos personas es 18 años y el producto 77, qué edad tiene cada una? (Solución: 7 y 11 años) * Colección obtenida del I.E.S. Pablo Serrano cuyo autor es Francisco Soler a la que se le han añadido problemas de LA WEB DEL PROFE DE MATES. 1