2. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

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1 TEMA 5: ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una igualdad algebraica en la que interviene una letra llamada incógnita. El objetivo es descubrir el valor de esta incógnita. La solución es el valor de la incógnita que hace cierta la igualdad. Por ejemplo la solución de la ecuación 3 x -5 = 4 es x=4 ya que este número es el único que hace cierta la igualdad. Los pasos para resolver una ecuación son: 1- Quitar los paréntesis. - Reducir 3- Quitar las fracciones. 4- Reducir 5- Trasponer términos. 6- Reducir. 7- Despejar la incógnita. Ejercicios. 1. Resuelve las ecuaciones: a) 3x 1 0 ( x + 3) 5 4x + = x + 5x b) 4 + = 3 x Un padre tiene 35 años y su hijo 5. Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

2 3. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas? 4. Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 0 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió /3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Calcula los litros l de gasolina que tenía en el depósito. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado es aquella que después de simplificarla queda de la forma: b ± b 4ac ax + bx +c =0 y su solución es: x = a Número de soluciones. El número de soluciones de estas ecuaciones depende del discriminante que es como se llama a la expresión b 4ac y que se representa por el símbolo. - Si 0 la ecuación tiene dos soluciones - Si = 0 La ecuación tiene una solución - Si 0 La ecuación no tiene solución Ejercicios. 5. Resuelve estas ecuaciones. a) x 6x + 5 = 0 b) 4x + 4x +1 = 0 c) 3x + x + 7 = 0 Ecuaciones de segundo grado incompletas. Son aquellas en las que el coeficiente b o el c son cero. Y para resolverlas no es necesario usar la fórmula. - Si b=0 entonces se despeja la x - Si c=0 entonces sacamos factor común a la x

3 Ejercicios. 6. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 3x 75 = 0 b) 1x + 4x = 0 c) x 98 = 0 d) 4x + 90 = 0 e) x = x 7. Resuelve la ecuación: ( x) ( x + 3) 3x 5 10 = 3x 4x 8. La diagonal de un rectángulo tiene 10 cm. Calcula sus dimensiones si el lado pequeño mide ¾ del lado grande. ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar de la forma ax+by=c, donde x e y son las incógnitas, y a, b y c son números conocidos. Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores (x i,y i) que hacen cierta la igualdad. Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y si las representamos forman una recta.

4 Ejercicios. 9. Dada la ecuación:3x + y = 17, razona si los siguientes pares son solución. a) x=1, y=3 b) x=5, y=1 10. Encuentra soluciones de la ecuación 3x + y =5 11. Dada la ecuación 5x y = c, halla el valor de c sabiendo que una solución es: a) x=3, y=6 b) x=4, y=1 1. Escribe una ecuación lineal con dos incógnitas cuya solución sea: a) x=1, y=3 b) x=-, y=1 13. Calcula cuatro soluciones de la ecuación 3x+y = y represéntalas. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES. CLASIFICACIÓN SEGÚN LAS SOLUCIONES. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x i,y i) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución. Un sistema de ecuaciones, según el número de soluciones que tenga, se llama: Sistema Compatible Determinado. Sistema Compatible Indeterminado Sistema Incompatible

5 Ejercicios. 3x + y = Dado el sistema:, razona si los siguientes pares son solución. 5x y = 11 a) x=3, y=4 b) x=5, y=1 c) x=3, y=1 15. Escribe un sistema de dos ecuaciones cuya solución sea: a) x=, y=-3 b) x=0, y=4 c) Sin solución MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS Antes de resolver cualquier sistema es conveniente simplificarlo y dejar las ecuaciones en la forma general, es decir, ax + by = c Método gráfico. Para este método es conveniente despejar la y hacer una tabla de valores con las soluciones. Para evitar problemas, si la y es negativa conviene cambiar de signo toda la ecuación y luego despejarla. Por ejemplo: 3x + y = 7 5x y = 3 Método de sustitución. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en la otra. Por ejemplo: ( x + ) 3 y = 11 x y + 8 = 3(5 y)

6 Método de igualación. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan. Por ejemplo: x y = ( x + 5) = 3( y) + Método de reducción. Consiste en encontrar otro sistema, con las mismas soluciones, que tenga los coeficientes de una misma incógnita iguales o de signo contrario, para que al restar ó sumar las dos ecuaciones la incógnita desaparezca. Por ejemplo: ( x + 1) 3 = 5y 14 5x 3y 41 4 = 3 6 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON SISTEMAS Los pasos a seguir son los siguientes: Comprender el enunciado Identificar las incógnitas Traducir a lenguaje algebraico Plantear las ecuaciones Resolver el sistema Comprobar la solución Ejercicios. 16. La suma de las edades de un padre y de su hijo es 39 y su diferencia es 5, cuál es la edad de cada uno?

7 17. Una parcela rectangular tiene un perímetro de 30 m. Si mide el triple de largo que de ancho, cuáles son las dimensiones de la parcela? 18. Ana tiene en su cartera billetes de 10 y 0, en total tiene 0 billetes y 440 Cuántos billetes tiene de cada tipo? 19. La suma de las edades de Miguel y Pedro es 97.Dentro de 4 años la edad de Pedro será cuatro veces la edad de Miguel. Qué edades s tienen ambos? 0. Se quiere obtener 90 kg de café a 8 5 /kg mezclando café de 15 /kg con café de 6 /kg, cuántos kg de cada clase hay que mezclar?

8 1. María ha comprado un pantalón y un jersey. Los precios de estas prendas suman 77, pero le han hecho un descuento del 10% en el pantalón y un 0% en el jersey, pagando en total Cuál es el precio sin rebajar de cada prenda? SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. El método que más utilizaremos para resolverlo será el de sustitución. Por ejemplo: x + y = 5 x + y = 7 Ejercicios. x + y = 4. Resuelve: x y = 3

9 3. El producto de dos números n es 4, y la suma de sus cuadrados 17. Cuáles son esos números? EJERCICIOS 1. Es 3 o solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo. Sol: a) 3 no es solución y sí es solución. b) 3 es solución y no es solución. c) 3 es solución y no es solución. d) 3 no es solución y es solución.. Resuelve mentalmente: 3. Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones: 4. Resuelve las siguientes ecuaciones: Sol: a) x=1/11 b) x = 8 c) x=0 d) x = 18 e) x=18 f) x=. 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: Sol: a) x=0 b) x=0 c) x= Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula de resolución: Sol: a) x=0 y x=4 b) x=0 x=1/3 c) x=0 x=5/ d) x= x=- e) x=5/3 x=-5/3 f) s.s. g) x=5/ x=-5/ h) x= x=-.

10 7. Resuelve. Sol: a) x=3 x=-7 b) x=-4 x=-5 c) x=/3 d) s.s. e) x=-7/ f) s.s, g) x=5/ h) x=-1/ x=. 8. Resuelve las siguientes ecuaciones: Sol: a) x= x=3 b) x=7/3 x=- c) x=-1/3 x=-1 1 d) x=-5/3 x=3. 9. Resuelve las ecuaciones siguientes: Sol: a) x=0 x=-1/7 b) b ) x= c) x=1 x=- d) s.s. e) x= 3 x= Resuelve las siguientes ecuaciones: Sol: a) x=- b) x= x=-10 c) x=3, x=1,5 d) x=-6 x= Resuelve las siguientes ecuaciones. Sol: a) s.s. b) i.s. c) i.s. d) s.s. 1. Inventa ecuaciones de segundo grado con: a) Dos soluciones: x = y x = 3 b) Dos soluciones: x = 3 y x = /3 c) Dos soluciones: x = 0 y x = 5 d)una solución: x = 4 e) Ninguna solución. 13. En la ecuación x 14x + m = 0: a) Qué valor debe tomar m para que tenga dos soluciones iguales? b) Y para que sean distintas? c) Y para que no tenga solución? 14. Cuál debe ser el valor de a para que x = sea solución de la ecuación (x 3) x3 + a = 0? Justifica tu respuesta. Sol: a = Resuelve las ecuaciones: a) (x + 3)(x ) = 0 b) x (5x ) = 0 c) (x 4) = 0 d) 5 (x 3) = 0 Sol: a) x=-3 x= b) x=0 x=/5 c) x=4 d) x=3/. 16. Resuelve las siguientes ecuaciones: Sol: a) x=5/ x= -7 b) x= x=-3/ c) x=- d) x=1/3 x=1 x=- 17. Resuelve: a ) x 3x 4 x 16 = 0 b) 5x 3x 7 3 5x = 0 c) x 5 Sol: a) x=0 x=4/3 x=4 x=-4 b) x=0 x=3 x=-3 c) x=5 x=-5 x= x= Resuelve estas ecuaciones y comprueba si las soluciones son válidas: ( )( ) ( )( ) ( )( x + x 6) = 0 Sol: a) x=5/6 x=-1 b) x=1/3 c) x=-1 x=-3 d) x=-.

11 19. Resuelve estas ecuaciones: Sol: a) x 1 = 1, x = 1 b) x 1 = 8, x = 8 c) x=1/6 d) x 1 = 0, x =. 0. Resuelve: Sol: a) x 1 = 8, x = 10 b) x 1 = 31/6, x = 4 c) x 1 = 6/5, x = 3 d) x 1 = 4, x =. 1. Calcula un número tal que sumándole su mitad se obtiene lo mismo que restando 6 a los 9/5 de ese número. Sol: El número es 0.. Halla tres números impares consecutivos tales que su suma sea 117. Sol: Los números son 37, 39 y Calcula las longitudes de los lados de un rectángulo de perímetro 8 cm y cuya base mide 8 cm más que la altura. Sol: La base mide 4,5 cm, y la altura, 16,5 cm. 4. He pagado 14,30 por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es 5 veces el del cuaderno y este cuesta el doble que el bolígrafo, cuál es el precio de cada artículo? Sol: El bolígrafo cuesta 1,1 ; el cuaderno,,, y la carpeta, El precio de unos zapatos ha subido un 15% en diciembre y ha bajado un 0% en enero. De esta forma, el precio inicial ha disminuido en 6,96. Cuál era el precio inicial? Sol: El precio inicial era Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas, el resultado es 18. Averigua cuál es el número sabiendo que la cifra de las unidades es. Sol: El número buscado es Luis y Miguel han comprado dos videojuegos que tenían el mismo precio, pero han conseguido una rebaja del 16% y del 19%, respectivamente. Si Luis pagó 1,6 más que Miguel, cuál era el precio que tenía el videojuego? Sol: El precio del videojuego era Si un número aumenta un 30%, resulta 189 unidades mayor que si disminuye un 15%. Cuál es ese número? Sol: 40 es el número buscado. 9. Con 3,5 más del dinero que tengo, podría comprar la camiseta de mi equipo. Si tuviera el doble, me sobrarían 7,5. Cuánto dinero tengo? Sol: 10,75 es el dinero que tengo. 30. Tres amigos trabajan 0, 30 y 50 días en un negocio. Al cabo de tres meses, se reparten los beneficios correspondiendo al tercero 300 más que al segundo. Cuál fue la cantidad repartida? Sol: es la cantidad repartida. 31. Del dinero de una cuenta bancaria retiramos 1/7; ingresamos después /15 de lo que quedó y aún faltan 1 para tener la cantidad inicial. Cuánto dinero había en la cuenta? Sol: 40 había en la cuenta. 3. De un depósito de agua se sacan un /7 de su contenido; después, 40 litros, y por último, 5/11 del agua restante, quedando aún 60 l. Cuánta agua había en el depósito? Sol: 10 litros de agua había en el depósito. 33. Un padre de 43 años tiene dos hijos de 9 y 11 años. Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? Sol: Han de transcurrir 3 años. 34. La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo y dentro de 14 años será el doble. Qué edad tiene cada uno? Sol: El hijo tiene 14 años, y el padre, 4 años. 35. Calcula cuántos litros de aceite de orujo de 1,6 /l tenemos que añadir a un bidón que contiene 60 l de aceite de oliva de,8 /l para obtener una mezcla de,5 /l. Sol: Tenemos que añadir 0 litros. 36. Al mezclar 30 kg de pintura con 50 kg de otra de calidad inferior, obtenemos una mezcla a 3,30 /kg. Si el precio de la pintura barata es la mitad que el de la otra, cuál es el precio del kilo de cada clase de pintura? Sol: La pintura cara vale 4,8 /kg, y la pintura barata,,4 /kg. 37. Una marca de café se elabora con un 30% de café colombiano de 18 /kg, y el resto, con otro tipo de café. La mezcla resulta a 14,15 /kg. Cuál es el precio del café más barato? Sol: El precio del café barato es 1,5 /kg. 38. Un centro escolar contrató un autobús para una salida al campo. Con todas las plazas ocupadas, el precio del billete es 1 ; pero quedaron 4 plazas libres por lo que el viaje costó 13,5. Cuántas plazas tiene el autobús? Sol: 36 es el número de plazas que tiene el autobús. 39. Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos 130. Cuál es el número? Sol: El número puede ser 13 o Halla dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 145. Sol: Son 8 y 9, o bien, 9 y Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 31, obtenemos el quíntuple de la suma de ambos. De qué número se trata? Sol: El número puede ser 1, o bien, Calcula los lados de un rectángulo cuya diagonal mide 10 cm y en el que la base mide cm más que la altura. Sol: La altura mide 6 cm, y la base, 8 cm. 43. Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 cm. Cuánto mide el lado del cuadrado? Sol: Mide 7 cm. 44. Los catetos de un triángulo rectángulo suman 18 cm y su área es 40 cm. Halla los catetos de este triángulo. Sol: Los catetos miden 7 cm y 11 cm.

12 45. La base de un rectángulo mide 5 cm más que la altura. Si disminuimos la altura en cm, el área del nuevo rectángulo será 60 cm. Halla los lados del rectángulo. Sol: La altura mide 7 cm, y la base, 1 cm. 46. El perímetro de un rombo es 140 cm y sus diagonales se diferencian en 14 cm. Halla la medida de sus diagonales. Sol: La diagonal menor mide 4 cm, y la mayor, 56 cm. 47. Comprueba si x =, y = 1 es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: 48. Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución x = 3, y = 1/: 49. Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya única solución sea x =, y = a) Busca dos soluciones de la ecuación 3x y = 1. b) Representa gráficamente la recta 3x y = 1. c) Un punto cualquiera de la recta es solución de la ecuación? 51. a) Representa gráficamente en los mismos ejes las dos rectas siguientes: x + y = 3 x y = 3 b) Di cuál es la solución de este sistema: 5. Observa la representación de las rectas r 1, r, r 3 y responde sin resolver. a) Cuál es la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones?: b) Cuál es la solución de este sistema?: 53. Observa la representación de las rectas r 1, r, r 3 y responde sin resolver. a) Cuál es la solución de los sistemas siguientes?: b) Tiene alguna solución este sistema?:

13 54. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones: Sol: a) x = 1, y = b) x = 1, y = 3 c) x = 1, y = d) x =, y = Resuelve por sustitución. Sol: a) x = 3, y = 1 b) x =, y = 3 c) x=-3/5, y=-9/5 d) x = 0, y = Resuelve por igualación. Sol: a) x = 4, y = b) x =, y = c) x = 1, y = 6 d) x=-8/11, y=5/ Resuelve por reducción. Sol: a) x = 1, y = 1 1 b) x = 1, y = 3 c) x = 1, y = d) x=15/7, y=-4/7 e) e ) x=4/5, y=-1/15 f) x=/3, y=1/. 58. Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado: Sol: a) x = 5, y = 4 b) x=1/4, y=-1/4 c) x=-1/, y=0 d) x=1/3, y=-1/. 59. Resuelve los sistemas siguientes: Sol: a) x = 0, y = 0 b) x = 6, y = 4 c) x = 1, y = 3 d) x =, y =. 60. Observa las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y di cuál de ellos tiene una única solución, cuál no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones. Compruébalo representando las rectas que los forman: Sol: a) S.S. b) I.S. c) x = 1, y = 3 d) S.S.

14 61. Completa los siguientes sistemas de modo que el primero tenga la solución x = 3, y = ; el segundo sea incompatible y el tercero y el cuarto sean indeterminados: 6. Considera este sistema: Qué valores deben tomar a y b para que el sistema tenga infinitas soluciones? Busca tres soluciones del sistema. 63. Observa el sistema de ecuaciones siguiente: Qué condición deben cumplir c y d para que el sistema no tenga solución? 64. Cuál debe ser el valor de m para que los sistemas a) y b) sean equivalentes? 65. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Para ello, simplifica previamente las ecuaciones que los forman: Sol: a) x=-9/, y= b) x = 1, y = 1 c) x =, y = 1 d) x =, y = Resuelve los siguientes sistemas. Indica si alguno de ellos es incompatible o indeterminado. Sol: a) x = 4, y = b) x = 5, y = 3 c) No tiene solución. Es incompatible. d) Infinitas soluciones. Es indeterminado. 67. Halla dos números tales que su suma sea 160, y su diferencia, 34. Sol: Los números son 97 y Por dos bolígrafos y tres cuadernos he pagado 7,80 ; por cinco bolígrafos y cuatro cuadernos, pagué 13,. Cuál es el precio de un bolígrafo? Y de un cuaderno? Sol: Un bolígrafo cuesta 1,, y un cuaderno, 1, Un librero ha vendido 45 libros, unos a 3 y otros a 8. Obtuvo por la venta Cuántos libros vendió de cada clase? Sol: Vendió 7 libros de 3 y 18 libros de En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 9 cabezas y 9 patas. Cuántos animales hay de cada clase? Sol: Hay 1 gallinas y 17 conejos. 71. Un examen tipo test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas. Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0,5 puntos. Si mi nota ha sido 4,5, cuántos aciertos y cuántos fallos he tenido? Sol: He tenido 33 aciertos y 17 fallos. 7. Una cooperativa ha envasado 000 l de aceite en botellas de 1,5 l y l. Si ha utilizado botellas, cuántas se han necesitado de cada clase? Sol: Se han utilizado 400 botellas de 1,5 l y 700 de l. 73. Halla dos números naturales tales que su suma sea 154, y su cociente, 8/3. Sol: Los números son 11 y Halla dos números naturales que suman 140 y tales que al dividir el mayor entre el menor obtenemos de cociente y 14 de resto. Sol: 98 y 4 son los números buscados. 75. La suma de las edades de una madre y su hijo es 56 años. Hace 10 años, la edad de la madre era el quíntuple de la edad que tenía el hijo. Cuál es la edad actual de cada uno? Sol: La madre tiene 40 años, y el hijo, 16 años. 76. Hace tres años la edad de Nuria era el doble de la de su hermana Marta. Dentro de 7 años, será los 4/3 de la que entonces tenga Marta. Calcula la edad actual de cada una. Sol: Nuria tiene 13 años, y Marta, 8 años.

15 77. La base menor de un trapecio isósceles mide 6 m y la base mayor mide lo mismo que los lados iguales juntos. Si el perímetro del trapecio es 38 m, cuánto mide cada lado? Sol: La base mayor mide 16 m, y los lados oblicuos, 8 m, respectivamente. 78. He cambiado un montón de monedas de 0 céntimos por monedas de 1, de manera que ahora tengo 4 monedas menos que antes. Cuántas monedas de 0 céntimos tenía? Sol: Tenía 30 monedas de 0, y las he cambiado por 6 monedas de Si Álvaro regala a Rita 4 de sus discos, ella tendrá el doble que él. Si Rita da 6 de sus discos a Álvaro, entonces será él el que tenga el doble que ella. Cuántos discos tiene cada uno? Sol: Álvaro tiene 14 discos, y Rita, He pagado 55,7 por una camiseta y un pantalón que costaban 70 entre los dos. En la camiseta me han hecho un 18% de descuento, y en el pantalón, un %. Cuál era el precio original de cada artículo? Sol: La camiseta vale 8, y el pantalón, Por unos zapatos y una chaqueta he pagado 16. Si el precio de los zapatos aumentara en un 14%, entonces sería igual al 75% del precio de la chaqueta. Cuánto he pagado por cada uno? Sol: 50 por los zapatos y 76 por la chaqueta. 8. Los alumnos de un centro escolar son 40 entre ESO y Bachillerato. El 4% de ESO y el 5% de Bachillerato son chicas, lo que supone un total de 196 mujeres. Calcula cuántos estudiantes hay en ESO y cuántos en Bachillerato. Sol: Son 4 alumnos en la ESO y 196 en Bachillerato. 83. Un comerciante compró 35 juegos de un tipo y 5 de otro pagando por ellos 1 0. Con la venta de los primeros ganó un 5% y con los segundos perdió el 5%, de forma que obtuvo 170 de ganancia sobre el precio de compra. Calcula el precio de compra de cada tipo de juego. Sol: Los precios de compra fueron y 18, respectivamente. 84. Un autobús sale de A a 90 km/h. Cuando ha recorrido 5 km, sale de A un coche a 110 km/h que quiere alcanzar al autobús. Cuánto tiempo tarda en hacerlo y qué distancia recorre hasta conseguirlo? Sol: Tarda 1,5 h y recorre 137,5 km. 85. Un tren regional sale de una estación a 85 km/h. Media hora más tarde sale otro más rápido en la misma dirección a 110 km/h. Calcula el tiempo que tardará en alcanzarlo y la distancia recorrida hasta lograrlo. Sol: Tarda 1h 4 min y recorre 187 km. 86. Un automóvil tarda dos horas en recorrer la distancia entre dos ciudades. Si su velocidad hubiera sido superior en 30 km/h, habría tardado una hora y cuarto. Cuál es la distancia entre las dos ciudades? Sol: La distancia es 100 km. 87. Hemos mezclado aceite de oliva de 3,5 /l con aceite de girasol de /l para obtener 50 l de mezcla a 3,08 /l. Calcula la cantidad de aceite de oliva y de aceite de girasol que hemos mezclado. Sol: 36 l de aceite de oliva y 14 l de girasol. 88. Las dos cifras de un número suman 7. Si invertimos el orden de estas, obtenemos otro número que es igual al doble del anterior más unidades. Cuál es el número inicial? Sol: El número buscado es Un número de tres cifras es capicúa y sus cifras suman 10. Si a dicho número le sumamos 10 veces la cifra de las decenas, el resultado es 61. Cuál es el número? Sol: El número es Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas, obtenemos el doble de la cifra de las decenas del número inicial. Halla dicho número sabiendo que sus cifras suman 16. Sol: El número es Resuelve por sustitución. Sol: a) x = 3, y = y x = 1, y = 6. b) x = 7, y = 7 y x = 7, y = 7. c) x = 5, y = 3 d) x = 1, y = 0 y x = 3, y = La diferencia de dos números es, y la de sus cuadrados, 0. Halla esos números. Sol: Los números son 6 y Halla dos números cuya suma es 1, y la de sus cuadrados, 80.. Sol: Los números son 8 y La diagonal de un rectángulo mide 15 cm, y su perímetro, 4 cm. Calcula sus lados. Sol: Los lados miden 9 cm y 1 cm. 95. El perímetro de un rectángulo es 68 m, y su área, 40 m. Halla sus lados. Sol: 10 cm y 4 cm. 96. Las diagonales de un rombo se diferencian en 6 cm y su área es 56 cm. Calcula la medida de las diagonales. Sol: Las diagonales miden 8 cm y 14 cm. 97. El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. La altura relativa al lado desigual mide 1 m. Calcula la medida de los lados iguales. Sol: Los lados iguales miden 13 cm. 98. En una parcela rectangular de 60 m de perímetro se hace un jardín rectangular bordeado por un camino de m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es 11 m. Sol: Las dimensiones de la parcela son 1 m y 18 m. 99. Varios amigos se van a repartir un premio de 800 a partes iguales. Dos de ellos deciden renunciar a su parte y de esta forma los demás reciben 0 más cada uno. Cuántos amigos son? Cuánto recibe cada uno? Sol: Son 10 amigos. Como renuncian a su parte, a los 8 restantes les corresponde Si la base de un rectángulo disminuye cm y la altura aumenta 4 cm, se convierte en un cuadrado. Si la base disminuye 4 cm y la altura aumenta cm, su área disminuye 1 cm. Calcula los lados del rectángulo. Sol: Los lados del rectángulo miden 8 cm y 14 cm.

16 AUTOEVALUACIÓN x 3 5 x x + = 3 x Resuelve la ecuación: 3 x ( x + ) + 4 = 3x Resuelve estas ecuaciones sin aplicar la fórmula: )3x + 6x = x + b ) x 5 x + 1 = 6 4x + 1. Resuelve la siguiente ecuación ( ) a ( ) 18 ( ) ( ) 4. Encuentra por tanteo las soluciones de estas ecuaciones: 6x + 5 a) 3 x + 1 = 4, X= b) 3 x+ = 81, X= c) 3 x x = 1, X= d) = 7X=, 5 5. Ana tiene el doble de la edad de Raúl, y Laura, tres años más que Ana. Calcula la edad de cada uno sabiendo que la suma de sus edades es El área de una lámina de bronce es de 60 cm y su base mide 5/3 de su altura. Halla las dimensiones de la lámina. 7. Resuelve la ecuación: ( x 5) + x 3 = ( x + )( x ) x ( 3 x + 1 ) ( x 1 ) 5 8. Resuelve la ecuación: 9. Resuelve la ecuación: + + = x + 1 x 1 = x + x Halla un número tal que si sumas su mitad más su tercera parte da lo mismo que la resta de ese número y su sexta parte 11. Javier tiene 5 años más que su hermano Miguel, y su madre tiene 4 años. Dentro de 3 años, la edad de la madre será el triple que la suma de las edades de los hijos. Calcula la edad de cada uno de los hermanos. 1. Mezclamos 30 Kg de café de /Kg con 50 Kg de otro café, y se obtiene una mezcla que sale a,6 /Kg. Cuál es el precio de la segunda clase de café? 13. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 3 cm más que el cateto mayor, y este mide 3 cm más que el menor. Cuánto miden los tres lados? 14. A la vista del siguiente gráfico escribe tres soluciones de la ecuación ax+by = c 15. a) Escribe un sistema cuya solución sea x=3 e y=-4 b) Escribe un sistema que no tenga solución. 5x + y = Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico. 3x y = 5 ( ) x y + 3 3x = Resuelve el sistema por el método que consideres más apropiado. ( x + 1) y = El doble de un número más la mitad de otro suman 7; y, si le sumamos 7 al primero obtenemos el quíntuplo del segundo. Calcula esos números. 19. Dos poblaciones distan 10 km entre sí. En el mismo instante salen un peatón de A hacia B a una velocidad de 6 km/h y un ciclista de B hacia A a 4 km/h. Calcula cuánto tardan en encontrarse y la distancia recorrida por el peatón. 0. Hemos mezclado dos tipos de líquidos; el primero de 0,94 /litro, y el segundo, de 0,86 /litro. Si hemos obtenido 40 litros de mezcla a 0,89 /litro, Cuántos litros hemos puesto de cada clase? 1. La suma de las dos cifras de un número es 5. Si invertimos el orden de las cifras, el número que obtenemos es 9 unidades menor que el inicial. De qué número se trata?. Pablo y Alicia tienen entre los dos 160. Si Alicia le da a Pablo 10, los dos tendrán la misma cantidad. Cuánto dinero tiene cada uno? 3. Dos de los ángulos de un triángulo suman 1º. El tercero de sus ángulos excede en 4º al menor de los otros dos. Calcula los tres ángulos del triángulo?

17 4. He pagado 90,5 por una camisa y un jersey que antes costaban entre los dos 110. En la camisa me han rebajado un 0% y en el jersey un 15%. Cuál era el precio original de cada artículo? b) Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A y B, Para fabricar el modela A se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para una del modelo B, kg de cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 80 kg de acero y 10 kg de aluminio, cuántas bicicletas de cada clase puede construir? 5. Resolver por sustitución